Lista 03

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA
Estat´ıstica Aplicada para Engenharia
Terceira Lista de Exerc´ıcios
15/03/2014
1. Seja, X e Y varia´veis aleato´rias cuja densidade conjunta e´ dada por
f(x, y) =
{
2(x+ y), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
0, c.c.
Encontre a densidade de Z = X + Y.
2. Seja, X e Y varia´veis aleato´rias independentes e identicamente distribu´ıdas
segundo uma distribuic¸a˜o exponencial de me´dia 1. Determine a densidade de V = X−Y.
3. Suponha que X1, X2, . . . , Xn e´ uma colec¸a˜o de n varia´veis aleato´rias independentes
e identicamente distribu´ıdas de acordo com o modelo Uniforme em [0, 1] e seja Yn =
max{X1, X2, . . . , Xn}. Pede-se o menor valor de n de modo a ter
P (Yn ≥ 0, 99) ≥ 0, 95
4. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias independentes e identicamente distribu´ıdas
segundo uma distribuic¸a˜o Normal padra˜o. Mostre que as varia´veis Z = X+Y√
2
e V = X−Y√
2
tambe´m sa˜o iid’s com distribuic¸a˜o Normal padra˜o.
5. Considere o lanc¸amento de dois dados balanceados. Sejam X1 - o menor valor
obtido e X2 - o maior. Fac¸a X1 = X2 quando houver empate. Calcule a correlac¸a˜o entre
X1 e X2.
6. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias cuja func¸a˜o de probabilidade conjunta esta´
representada na tabela a seguir
Y \X 1 2 3
1 0 1/5 0
2 1/5 1/5 1/5
3 0 1/5 0
Calcule a correlac¸a˜o entre X e Y .
7. SeX, Y e Z sa˜o varia´veis aleato´rias duas a duas na˜o-correlacionadas e V ar(X) = 1,
V ar(Y ) = 4 e V ar(Z) = 9, calcule
(a) COV (X + Y,X + Z)
(b) ρUV , com U = 5X + 2 e V = Y + Z.
8. Sejam X1 e X2 varia´veis aleato´rias independentes com E(X1) = 5, V ar(X1) = 100,
E(X2) = 2 e V ar(X2) = 16. Calcule a me´dia e o desvio-padra˜o das seguintes varia´veis
aleato´rias:
(a) U1 = X1 +X2
(b) U2 = X1 −X2
(c) U3 = X1 + 4X2
(d) U4 = 2X1 − 5X2
9. Suponha queX, Y e Z sa˜o treˆs varia´veis aleato´rias tais que V ar(X) = 1, V ar(Y ) =
4, V ar(Z) = 8, COV (X, Y ) = 1, COV (X,Z) = −1 e COV (Y, Z) = 2. Determine:
(a) V ar(X + Y + Z)
(b) V ar(3X − Y − 2Z + 1)
10. Considere a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y dada na tabela abaixo.
Y \X -1 0 1
-1 1/12 0 1/12
0 1/6 0 1/6
1 1/4 0 1/4
(a) Calcule E(X + Y ) e V ar(X + Y )
(b) Se Z = aX + bY , calcule a e b de modo que E(Z) = 10 e V ar(Z) = 600
11. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuic¸a˜o conjunta:
2
Y \X 1 2 3
1 0,1 0,1 0,0
2 0,1 0,2 0,3
3 0,1 0,1 0,0
(a) Determine a func¸a˜o de probabilidade de X + Y e, a partir dela calcule E(X + Y ).
Pode-se obter a mesma resposta de outra maneira?
(b) Determine a func¸a˜o de probabilidade de XY e, em seguida, calcule E(XY ).
(c) Mostre que, embora E(XY ) = E(X)E(Y ), X e Y na˜o sa˜o independentes.
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