Lista 04

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Quarta Lista de Exerc´ıcios - Estat´ıstica Aplicada para engenharia
Assuntos: Distribuic¸a˜o do ma´ximo, do mı´nimo, da normal bivariada
e comparac¸a˜o de 2 populac¸o˜es.
1. Suponha que X1, X2, . . . , Xn e´ uma colec¸a˜o de n varia´veis aleato´rias independentes
e identicamente distribu´ıdas de acordo com o modelo Uniforme em [0, 1] e seja
Yn = max{X1, X2, . . . , Xn}. Pede-se o menor valor de n de modo a ter Pr(Yn ≥
0, 99) ≥ 0, 95.
2. Suponha que Xi
iid∼ Exp(1), i = 1, . . . , n. Sejam Y1 = min{X1, X2, . . . , Xn} e
Yn = max{X1, X2, . . . , Xn}.
(a) Encontre as f.d.p. de Y1 e de Yn.
(b) Sabendo que n = 20, calcule a Pr(Yn ≥ 5).
(c) Sabendo que n = 20, calcule a Pr(Y1 ≤ 0, 05).
3. Sabendo-se que
 X
Y
 ∼ N
 200
3
 ,
 9 0, 5
0, 5 0, 04
.
(a) Calcule o valor esperado de X, o valor esperado de Y , a variaˆncia de X, a
variaˆncia de Y e a correlac¸a˜o entre X e Y .
(b) Supondo que Y = 2, 8, calcule a Pr(X > 201).
(c) Calcule a Pr(2, 85 < Y < 3, 10).
4. Sabe-se que X ∼ N(4, V ), Y ∼ N(−1, τ) e que X e Y sa˜o independentes. Coletou-
se uma amostra de X e de Y e obteve-se os seguintes valores
Amostra de X 3,53 3,12 3,91 5,83 5,92 6,33 4,22 4,37
Amostra de Y -1,00 -4,48 -0,60 -0,35 1,18 -3,01 -0,84
(a) Crie um intervalo de confianc¸a bilateral de 99% para a raza˜o R =
τ
V
.
(b) Teste a hipo´tese de que a raza˜o R = 2 versus R 6= 2, ao n´ıvel de significaˆncia
de 1%.
1
5. Sabe-se que X ∼ N(µ, V ), Y ∼ N(θ, τ) e que X e Y sa˜o independentes. Coletou-
se uma amostra de X e de Y e obteve-se os seguintes valores:
30∑
i=1
xi = 113, 328,
30∑
i=1
x2i = 458, 783,
30∑
i=1
yi = −30, 335 e
30∑
i=1
y2i = 57, 451.
(a) Crie um intervalo de confianc¸a bilateral para V com n´ıvel de confianc¸a de 90%.
(b) Crie um intervalo de confianc¸a bilateral para µ com n´ıvel de confianc¸a de 90%.
(c) Teste a hipo´tese de que a raza˜o R =
τ
V
= 2 versus R > 2, ao n´ıvel de
significaˆncia de 5%. Explicite a regia˜o cr´ıtica deste teste.
(d) Teste a hipo´tese de que V = τ versus V 6= τ , ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
(e) Teste a hipo´tese de que µ = θ versus µ > θ.
Sabe-se que Pr(W ≤ 0, 476) = 0, 025, Pr(W ≤ 0, 537) = 0, 050, Pr(W ≤
1, 861) = 0, 950, Pr(W ≤ 2, 101) = 0, 975, W ∼ F (29, 29).
6. Uma das maneiras de medir o grau de satisfac¸a˜o dos empregados de uma mesma
categoria quanto a` pol´ıtica salarial e´ por meio do desvio padra˜o de seus sala´rios. A
fa´brica A diz ser mais coerente na pol´ıtica do que a fa´brica B. Para verificar essa
afirmac¸a˜o, sorteou-se uma amostra de 10 funciona´rios na˜o especializados de A e 15
de B, obtendo-se os desvios padro˜es sA = 1000 reais e sB = 1600 reais. Qual seria
a sua conclusa˜o?
7. Uma fa´brica de embalagens para produtos qu´ımicos esta´ estudando dois proces-
sos para combater a corrosa˜o de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos
tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados esta˜o no quadro abaixo (em
porcentagem de corrosa˜o eliminada). Qual seria a conclusa˜o sobre os dois trata-
mentos? Caso sua resposta seja negativa, deˆ um intervalo de confianc¸a para indicar
a intensidade dessa desigualdade.
Me´todo Amostra Me´dia Desvio Padra˜o
A 15 48 10
B 12 52 15
2
8. Para investigar a influeˆncia da opc¸a˜o profissional sobre o sala´rio inicial de rece´m-
formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberias em geral
e outro de formados em Administrac¸a˜o de Empresas. Com os resultados abaixo,
expressos em sala´rios mı´nimos, quais seriam suas concluso˜es? Assuma que o teste
da igualdade das variaˆncias na˜o foi rejeitado.
Liberais 6,6 10,3 10,8 12,9 9,2 12,3 7,0
Administradores 8,1 9,8 8,7 10,0 10,2 8,2 8,7 10,1
9. Para verificar a importaˆncia de um cartaz nas compras de certo produto, procedeu-
se do seguinte modo:
(a) formaram-se sete pares de lojas
(b) os pares foram formados de modo que tivesse as mesmas caracter´ısticas quanto
a` localizac¸a˜o, ao tamanho e ao volume de vendas;
(c) em um dos elementos do par, colocou-se o cartaz, no outro na˜o;
(d) as vendas semanais foram registradas, e os resultados esta˜o a seguir. Qual seria
a sua conclusa˜o sobre a eficieˆncia do cartaz? Use o teste t, fazendo as suposic¸o˜es
necessa´rias.
Pares Vendas (sem cartaz) Vendas (com cartaz)
1 13 16
2 18 24
3 14 18
4 16 14
5 19 26
6 12 17
7 22 29
3