Lista Torção Michel Sadalla

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EXEMPLO 5.15 - Um eixo de secção circular vazada está submetido a um 
momento torçor MT = 500 kgf.cm. A relação entre os diâmetros interna e 
externa do eixo é d/D = 0,7. Dimensionar o eixo, sabendo-se que a tensão 
admissível a cisalhamento `t = 600 kgf/cm2. 
 Módulo de Resistências à força ߱ݐ : 
 ߱ݐ = ܯݐ߬ = 500 ܭ݂݃/ܿ݉600 ܭ݂݃/ܿ݉² ՜ ߱ݐ = 0,83 ܿ݉³ ߱ݐ = ߨ16 . ሾܦ4 െ ݀4ሿܦ 
0,83.16ߨ = ܦ4 െ ݀4ܦ = ܦ4 െ ሺ0,7ܦሻ4ܦ 
4,22 = 0,76ܦ³ ՜ ܦ³ = 5,56 ܿ݉³ ܦ = 1,77 ܿ݉ à ݀ = 1,24 ܿ݉ 
EXMPLO 5.16 Um eixo oco, de aço, tem 3 m de comprimento e transmite o momento de torção Mt = 250 
tf.cm. O valor de q/L, correspondente ao comprimento total do eixo, não deve exceder 2,5%; a tensão 
admissível ao cisalhamento é `t = 840 Kgf/cm². Sendo G = 0,84 x 10 6 Kgf/cm 2, quais os diâmetros interno e 
externo ? 
 ܯݐ = 250 ݂ܶܿ݉ = 250000 ܭ݂݃. ܿ݉ 
Dados: ߠ ܮൗ = 2,5° ߬ = 840 ܭ݂݃/ܿ݉² ܩ = 0,84. 106 ܭ݂݃/ܿ݉² 
Pede െ se: ݀ =? ; ܦ =? 
 ܽ) ߬݉ܽݔ = ܯݐ߱ݐ ՜ ߱ݐ = 250000ܭ݂݃. ܿ݉840 ܭ݂݃/ܿ݉² 
 ݉ܽݏ ߱ݐ = ߨ16 ሺܦ4 െ ݀4ሻܦ ՜ 297,6.16ߨ = ܦ4 െ ݀4ܦ ׵ ܦ4 െ ݀4 = 1515ܦ (1) ܾ) ߠ = ܯݐ . ܮܬ݌ . ܩ ߠܮ = ܯݐܬܲ . ܩ ݉ܽݏ ߨܴܽ݀ = 180 ݁݊ݐã݋: ߠ = 0,0436 ݎܽ݀ 
0,0436 =
250.000 ܭ݂݃. ܿ݉ ݔ 300ܿ݉ܬܲ . 0,84. 106 ܭ݂݃/ܿ݉² ܬ݌ = 2047,8ܿ݉4 ܬ݌ = ߨ
32
ሾܦ4 െ ݀4ሿ ՜ ܦ4 െ ݀4 = ܬ݌ .32ߨ Substituindo o valor de Jp = 2047,8 cm4 encontramos 
um valor numérico para D
4
 – d
4
. Este valor é substituído em (1), onde encontramos o valor do diâmetro 
externo D e posteriormente o valor do diâmetro interno d. 
Respostas: D = cm d = cm 
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EXEMPLO 5.17 Um eixo maciço de um trem de laminação tem que transmitir uma potência de 30 CV a uma 
frequência de 100 RPM. Determinar seu diâmetro de maneira que a tensão de cisalhamento máxima não 
exceda 420 Kgf/cm
 2
 e que o ângulo de torção, em um comprimento de 3 m, seja no máximo 5,73°. Adotar 
G = 0,84 x 10 6 Kgf/cm 2. ܦܽ݀݋ݏ ׷ ܲ݋ݐ = 30 ܿݒ; ݊ = 100 ܴܲܯ; ߬ܯܽݔ = 420 ݂݇݃ܿ݉2 ; ߠ = 5,73° ܽ)ܯݐ = 71620 ܲ݋ݐܴ݌݉ ܯܶ = 71620. 30100 ՜ ܯܶ = 21486 ܭ݂݃/ܿ݉ ܯó݀ݑ݈݋ ݀݁ ݎ݁ݏ݅ݏݐê݊ܿ݅ܽ à ܶ݋ݎçã݋(߱ܶ) ߱ܶ = ܯܶ߬ = 21486 ܭ݂݃ ܿ݉Τ420 ܭ݂݃ ܿ݉²Τ ՜ ߱ܶ = 51,16 ܿ݉³ ܯܽݏ ߱ܶ = ߨ16 . ݀³ ՜ ݀ = ඨ߱ݐ . 16ߨ3 ݀ = 6,39 ܿ݉ ܾ) ܳ = ܯݐ .ܮܬܲ ߠ = 5,73° ߨܴܣܦ = 180° ݁݊ݐã݋ ߠܴܣܦ = 5,73. ߨ180 ՜ ߠ = 0,100ݎܽ݀ 
0,100 =
21486 ܭ݂݃ ܿ݉. 300ܿ݉Τܬܲ . 0,84. 106 ܭ݂݃ ܿ݉²Τ ܬܲ = 76,73 ܿ݉4 ܯܽݏ ܬܲ = ߨ32 ݀4 ՜ ݀4 = 781,6 ܿ݉4 ݀ = 5,28 ܿ݉ 
 
 
 
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EXEMPLO 5.18 Considere-se um eixo de secção circular cheia e outro de secção circular vazada; este último 
tem diâmetro interno igual a ¾ do externo. Admite-se, para ambos os eixos o mesmo momento torçor Mt e 
a mesma tensão máxima de cisalhamento. Comparar os pesos, por unidade de comprimento, desses eixos, 
de mesmo material, ou seja, para eixos de mesmo comprimento qual a relação de pesos entre os eixos 
vazado e cheio? 
Solução 
Condição Mt e τmax tem os mesmos valores para os eixos maciços e os eixos vazados. 
Seja eixo maciço: diâmetro d1 
Eixo vazado: D2 =diâmetro externo e d2 =diâmetro interno. ݏ݁݊݀݋ ܦ2 = 4 3ൗ ݀2 ݋ݑ ݀2 = 34 ܦ2 ܲ݋ݎݐܽ݊ݐ݋ ߱ݐ1 = ߱ݐ2 ߨ݀1³
16
=
ߨ
16
=
ሾܦ24 െ ݀24ሿܦ2 ݀13 = ܦ24 െ ሺ3 4ܦ2Τ ሻ4ܦ2 ݀13 = 0,683ܦ23 ՜ ݀1 = 0,88ܦ2 ܥ݋݊݀݅çã݋: ܯ݁ݏ݉݋ ܯܽݐ݁ݎ݈݅ܽ ܲ݁ݏ݋1ܲ݁ݏ݋2 = ܯ1 . ݃ܯ2 . ݃ = ߩ1 . 1ܸߩ2 . 2ܸ = ܣ1 . ܮ1ܣ2 . ܮ2 
ܲ݋ݎݐܽ݊ݐ݋: ܲ݁ݏ݋1ܲ݁ݏ݋2 = ܣ1ܣ2 = ߨ݀124ߨ
4 ሾܦ22 െ ݀22ሿ = ݀12ܦ22 െ ሺ3 4Τ ܦ2ሻ2 ܲ݁ݏ݋1ܲ݁ݏ݋2 = ݀210,4375ܦ22 = ሺ0,88ܦ2ሻ20,4375 2ܲ2 = 1,77 ܲ݋ݎݐܽ݊ݐ݋: ܲ݁ݏ݋1 = 1,77 ܲ݁ݏ݋2 
 
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EXEMPLO 5.19 O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou a escolha de uma barra de aço de 
secção vazada, com diâmetro interno de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm. Pede-se determinar o 
máximo torque que poderá ser transmitido, sendo a tensão admissível do material 830 kgf/cm
2
, nas 
seguintes situações: 
a) do projeto preliminar; 
b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso daquele do anteprojeto. 
c) supondo um eixo de secção vazada com 200 mm de diâmetro externo e de mesmo peso do anteprojeto. 
a) Projeto Preliminar: ݀1 = 100 ݉݉ 
 ܦ1 = 150 ݉݉ ߬ = 830 ܭ݂݃ ܿ݉²Τ ߬ = ܯݐܬܲ . ߩܯܣܺ ՜ ܬܲ1 = ߨ32 ሾ15 ܿ݉4 െ 10 ܿ݉4ሿ ՜ ܬܲ1 = 3988 ܿ݉4 
830 ܭ݂݃ ܿ݉² = ܯݐ
3988 ܿ݉4ൗ . 7,5 ܿ݉ ՜ ܯݐ = 441364 ܭ݂݃. ܿ݉ 
 
b) Eixo Maciço 
Área do projeto preliminar: ܣ1 = ߨ4 ሾܦ12 െ ݀12ሿ = áݎ݁ܽ ܣ = ߨ4 ݀22 
Portanto: ܣ1 = ܣ2 ߨ
4
ሾܦ12 െ ݀12ሿ = ߨ32 ݀22 ՜ ݀2 = 11,2 ܿ݉ ܬ݌2 = ߨ32 ݀24 = ߨ32 . 11,2ܿ݉4 ՜ ܬ݌2 = 1545 ܿ݉4 ߱ݐ2 = ܬ݌2ߩܯܣܺ = 1545ܿ݉45,6 ܿ݉ ՜ ߱ݐ2 = 275,9 ܿ݉3 ߱ݐ2 = ܯݐ߬ ՜ ܯݐ2 = 275,9 ܿ݉³. 830 ܭ݂݃ܿ݉² ܯݐ2 = 228997 ܭ݂݃. ܿ݉ 
 
c) Projeto com diâmetro esterno ܦ3ܿ݉ = 200݉݉ e mesma área que o projeto preliminar ܣ1 = ܣ3 ߨ
4
. ሾሺ15ܿ݉ሻ2 െ ሺ10ܿ݉ሻ2ሿ = ߨ
4
. ሾሺ20ܿ݉ሻ2 െ ݀32ሿ 
125 = 400 െ ݀32 ՜ ݀3 = 16,58 ܿ݉ ܬܲ3 = ߨ32 ሾܦ34 െ ݀34ሿ = ߨ32 ሾሺ20 ܿ݉ሻ4 െ ሺ16,58 ܿ݉ሻ4ሿ ܬܲ3 = 8.289 ܿ݉4 ߱ݐ3 = 8289ܿ݉410 ܿ݉ ՜ ߱ݐ3 = 828,9 ܿ݉3 ߱ݐ3 = ܯݐ߬ ՜ ܯݐ3 = 828,9 ܿ݉³. 830 ݂݇݃/ܿ݉2 ܯݐ3 = 687987 ܭ݂݃. ܿ݉ 
 
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EXERCÍCIOS 
 
EXERCÍCIO 5.20 Um eixo de aço está submetido a um momento torçor Mt = 200 kgf.m. Determinar seu 
diâmetro sabendo-se que a tensão limite de escoamento do material te = 2500 kgf/cm 
2
. Adotar o 
coeficiente de segurança igual a 3. 
 
EXERCÍCIO 5.21 Um eixo de secção constante de 5 cm de diâmetro, está submetido a dois pares de 
momentos torçores como indica a figura abaixo, através de rodas dentadas montadas sobre ele. Se G = 8,4 
x 10 
5
 kgf/cm 
2
, determinar em graus o ângulo total de torção entre A e D. 
 
EXERCÍCIO 5.22 A figura abaixo mostra um eixo maciço de dois materiais e 
diâmetros diferentes, firmemente unidos e perfeitamente presos em seus 
extremos. A parte de alumínio tem 8 cm de diâmetro e Gal = 2,8 x10
 5
 
Kgf/cm 
2
, e a parte de aço tem 5 cm de diâmetro e GA =8,4 x10 
5
 kgf/cm 
2
. 
O par torçor aplicado é de 11769 kgf.cm, e como se observa na figura é 
aplicado na união das partes. Calcular a máxima tensão de cisalhamento 
no aço e no alumínio. 
 
 
EXERCÍCIO 5.23 Considerem-se dois eixos maciços ligados por duas engrenagens, de 10 in e 2 in, tal como 
se indica na figura ao lado. Os eixos são apoiados, nos mancais, de tal forma que não sofrem flexão. 
Determinar o deslocamento angular de D em relação a A, produzido pelo momento torçor de 3000 kgf.cm, 
aplicado em D. O eixo da esquerda é de aço com G = 0,84 x 10 6 kgf/cm 
2
, o eixo da direita é de latão, com G 
= 0,35 x 10 
6
 kgf/cm 
2
 
 
EXERCÍCIO 5.24 Sob condições normais de funcionamento, o motor elétrico produz o torque de 2,4 KNm. 
Sabendo-se que todos os eixos são maciços, determinar: 
 a) a tensão máxima de cisalhamento no eixo AB; 
 b) idem eixo BC, CD, DE.