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COTUCA –UNICAMP Resistência Materiais (Versão 4.4 – 21 fev 2013) Michel Sadalla Filho Pág. 112 EXEMPLO 5.15 - Um eixo de secção circular vazada está submetido a um momento torçor MT = 500 kgf.cm. A relação entre os diâmetros interna e externa do eixo é d/D = 0,7. Dimensionar o eixo, sabendo-se que a tensão admissível a cisalhamento `t = 600 kgf/cm2. Módulo de Resistências à força ߱ݐ : ߱ݐ = ܯݐ߬ = 500 ܭ݂݃/ܿ݉600 ܭ݂݃/ܿ݉² ՜ ߱ݐ = 0,83 ܿ݉³ ߱ݐ = ߨ16 . ሾܦ4 െ ݀4ሿܦ 0,83.16ߨ = ܦ4 െ ݀4ܦ = ܦ4 െ ሺ0,7ܦሻ4ܦ 4,22 = 0,76ܦ³ ՜ ܦ³ = 5,56 ܿ݉³ ܦ = 1,77 ܿ݉ à ݀ = 1,24 ܿ݉ EXMPLO 5.16 Um eixo oco, de aço, tem 3 m de comprimento e transmite o momento de torção Mt = 250 tf.cm. O valor de q/L, correspondente ao comprimento total do eixo, não deve exceder 2,5%; a tensão admissível ao cisalhamento é `t = 840 Kgf/cm². Sendo G = 0,84 x 10 6 Kgf/cm 2, quais os diâmetros interno e externo ? ܯݐ = 250 ݂ܶܿ݉ = 250000 ܭ݂݃. ܿ݉ Dados: ߠ ܮൗ = 2,5° ߬ = 840 ܭ݂݃/ܿ݉² ܩ = 0,84. 106 ܭ݂݃/ܿ݉² Pede െ se: ݀ =? ; ܦ =? ܽ) ߬݉ܽݔ = ܯݐ߱ݐ ՜ ߱ݐ = 250000ܭ݂݃. ܿ݉840 ܭ݂݃/ܿ݉² ݉ܽݏ ߱ݐ = ߨ16 ሺܦ4 െ ݀4ሻܦ ՜ 297,6.16ߨ = ܦ4 െ ݀4ܦ ܦ4 െ ݀4 = 1515ܦ (1) ܾ) ߠ = ܯݐ . ܮܬ . ܩ ߠܮ = ܯݐܬܲ . ܩ ݉ܽݏ ߨܴܽ݀ = 180 ݁݊ݐã: ߠ = 0,0436 ݎܽ݀ 0,0436 = 250.000 ܭ݂݃. ܿ݉ ݔ 300ܿ݉ܬܲ . 0,84. 106 ܭ݂݃/ܿ݉² ܬ = 2047,8ܿ݉4 ܬ = ߨ 32 ሾܦ4 െ ݀4ሿ ՜ ܦ4 െ ݀4 = ܬ .32ߨ Substituindo o valor de Jp = 2047,8 cm4 encontramos um valor numérico para D 4 – d 4 . Este valor é substituído em (1), onde encontramos o valor do diâmetro externo D e posteriormente o valor do diâmetro interno d. Respostas: D = cm d = cm COTUCA –UNICAMP Resistência Materiais (Versão 4.4 – 21 fev 2013) Michel Sadalla Filho Pág. 113 EXEMPLO 5.17 Um eixo maciço de um trem de laminação tem que transmitir uma potência de 30 CV a uma frequência de 100 RPM. Determinar seu diâmetro de maneira que a tensão de cisalhamento máxima não exceda 420 Kgf/cm 2 e que o ângulo de torção, em um comprimento de 3 m, seja no máximo 5,73°. Adotar G = 0,84 x 10 6 Kgf/cm 2. ܦܽ݀ݏ ܲݐ = 30 ܿݒ; ݊ = 100 ܴܲܯ; ߬ܯܽݔ = 420 ݂݇݃ܿ݉2 ; ߠ = 5,73° ܽ)ܯݐ = 71620 ܲݐܴ݉ ܯܶ = 71620. 30100 ՜ ܯܶ = 21486 ܭ݂݃/ܿ݉ ܯó݀ݑ݈ ݀݁ ݎ݁ݏ݅ݏݐê݊ܿ݅ܽ à ܶݎçã(߱ܶ) ߱ܶ = ܯܶ߬ = 21486 ܭ݂݃ ܿ݉Τ420 ܭ݂݃ ܿ݉²Τ ՜ ߱ܶ = 51,16 ܿ݉³ ܯܽݏ ߱ܶ = ߨ16 . ݀³ ՜ ݀ = ඨ߱ݐ . 16ߨ3 ݀ = 6,39 ܿ݉ ܾ) ܳ = ܯݐ .ܮܬܲ ߠ = 5,73° ߨܴܣܦ = 180° ݁݊ݐã ߠܴܣܦ = 5,73. ߨ180 ՜ ߠ = 0,100ݎܽ݀ 0,100 = 21486 ܭ݂݃ ܿ݉. 300ܿ݉Τܬܲ . 0,84. 106 ܭ݂݃ ܿ݉²Τ ܬܲ = 76,73 ܿ݉4 ܯܽݏ ܬܲ = ߨ32 ݀4 ՜ ݀4 = 781,6 ܿ݉4 ݀ = 5,28 ܿ݉ COTUCA –UNICAMP Resistência Materiais (Versão 4.4 – 21 fev 2013) Michel Sadalla Filho Pág. 114 EXEMPLO 5.18 Considere-se um eixo de secção circular cheia e outro de secção circular vazada; este último tem diâmetro interno igual a ¾ do externo. Admite-se, para ambos os eixos o mesmo momento torçor Mt e a mesma tensão máxima de cisalhamento. Comparar os pesos, por unidade de comprimento, desses eixos, de mesmo material, ou seja, para eixos de mesmo comprimento qual a relação de pesos entre os eixos vazado e cheio? Solução Condição Mt e τmax tem os mesmos valores para os eixos maciços e os eixos vazados. Seja eixo maciço: diâmetro d1 Eixo vazado: D2 =diâmetro externo e d2 =diâmetro interno. ݏ݁݊݀ ܦ2 = 4 3ൗ ݀2 ݑ ݀2 = 34 ܦ2 ܲݎݐܽ݊ݐ ߱ݐ1 = ߱ݐ2 ߨ݀1³ 16 = ߨ 16 = ሾܦ24 െ ݀24ሿܦ2 ݀13 = ܦ24 െ ሺ3 4ܦ2Τ ሻ4ܦ2 ݀13 = 0,683ܦ23 ՜ ݀1 = 0,88ܦ2 ܥ݊݀݅çã: ܯ݁ݏ݉ ܯܽݐ݁ݎ݈݅ܽ ܲ݁ݏ1ܲ݁ݏ2 = ܯ1 . ݃ܯ2 . ݃ = ߩ1 . 1ܸߩ2 . 2ܸ = ܣ1 . ܮ1ܣ2 . ܮ2 ܲݎݐܽ݊ݐ: ܲ݁ݏ1ܲ݁ݏ2 = ܣ1ܣ2 = ߨ݀124ߨ 4 ሾܦ22 െ ݀22ሿ = ݀12ܦ22 െ ሺ3 4Τ ܦ2ሻ2 ܲ݁ݏ1ܲ݁ݏ2 = ݀210,4375ܦ22 = ሺ0,88ܦ2ሻ20,4375 2ܲ2 = 1,77 ܲݎݐܽ݊ݐ: ܲ݁ݏ1 = 1,77 ܲ݁ݏ2 COTUCA –UNICAMP Resistência Materiais (Versão 4.4 – 21 fev 2013) Michel Sadalla Filho Pág. 115 EXEMPLO 5.19 O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou a escolha de uma barra de aço de secção vazada, com diâmetro interno de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm. Pede-se determinar o máximo torque que poderá ser transmitido, sendo a tensão admissível do material 830 kgf/cm 2 , nas seguintes situações: a) do projeto preliminar; b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso daquele do anteprojeto. c) supondo um eixo de secção vazada com 200 mm de diâmetro externo e de mesmo peso do anteprojeto. a) Projeto Preliminar: ݀1 = 100 ݉݉ ܦ1 = 150 ݉݉ ߬ = 830 ܭ݂݃ ܿ݉²Τ ߬ = ܯݐܬܲ . ߩܯܣܺ ՜ ܬܲ1 = ߨ32 ሾ15 ܿ݉4 െ 10 ܿ݉4ሿ ՜ ܬܲ1 = 3988 ܿ݉4 830 ܭ݂݃ ܿ݉² = ܯݐ 3988 ܿ݉4ൗ . 7,5 ܿ݉ ՜ ܯݐ = 441364 ܭ݂݃. ܿ݉ b) Eixo Maciço Área do projeto preliminar: ܣ1 = ߨ4 ሾܦ12 െ ݀12ሿ = áݎ݁ܽ ܣ = ߨ4 ݀22 Portanto: ܣ1 = ܣ2 ߨ 4 ሾܦ12 െ ݀12ሿ = ߨ32 ݀22 ՜ ݀2 = 11,2 ܿ݉ ܬ2 = ߨ32 ݀24 = ߨ32 . 11,2ܿ݉4 ՜ ܬ2 = 1545 ܿ݉4 ߱ݐ2 = ܬ2ߩܯܣܺ = 1545ܿ݉45,6 ܿ݉ ՜ ߱ݐ2 = 275,9 ܿ݉3 ߱ݐ2 = ܯݐ߬ ՜ ܯݐ2 = 275,9 ܿ݉³. 830 ܭ݂݃ܿ݉² ܯݐ2 = 228997 ܭ݂݃. ܿ݉ c) Projeto com diâmetro esterno ܦ3ܿ݉ = 200݉݉ e mesma área que o projeto preliminar ܣ1 = ܣ3 ߨ 4 . ሾሺ15ܿ݉ሻ2 െ ሺ10ܿ݉ሻ2ሿ = ߨ 4 . ሾሺ20ܿ݉ሻ2 െ ݀32ሿ 125 = 400 െ ݀32 ՜ ݀3 = 16,58 ܿ݉ ܬܲ3 = ߨ32 ሾܦ34 െ ݀34ሿ = ߨ32 ሾሺ20 ܿ݉ሻ4 െ ሺ16,58 ܿ݉ሻ4ሿ ܬܲ3 = 8.289 ܿ݉4 ߱ݐ3 = 8289ܿ݉410 ܿ݉ ՜ ߱ݐ3 = 828,9 ܿ݉3 ߱ݐ3 = ܯݐ߬ ՜ ܯݐ3 = 828,9 ܿ݉³. 830 ݂݇݃/ܿ݉2 ܯݐ3 = 687987 ܭ݂݃. ܿ݉ COTUCA –UNICAMP Resistência Materiais (Versão 4.4 – 21 fev 2013) Michel Sadalla Filho Pág. 116 EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 5.20 Um eixo de aço está submetido a um momento torçor Mt = 200 kgf.m. Determinar seu diâmetro sabendo-se que a tensão limite de escoamento do material te = 2500 kgf/cm 2 . Adotar o coeficiente de segurança igual a 3. EXERCÍCIO 5.21 Um eixo de secção constante de 5 cm de diâmetro, está submetido a dois pares de momentos torçores como indica a figura abaixo, através de rodas dentadas montadas sobre ele. Se G = 8,4 x 10 5 kgf/cm 2 , determinar em graus o ângulo total de torção entre A e D. EXERCÍCIO 5.22 A figura abaixo mostra um eixo maciço de dois materiais e diâmetros diferentes, firmemente unidos e perfeitamente presos em seus extremos. A parte de alumínio tem 8 cm de diâmetro e Gal = 2,8 x10 5 Kgf/cm 2 , e a parte de aço tem 5 cm de diâmetro e GA =8,4 x10 5 kgf/cm 2 . O par torçor aplicado é de 11769 kgf.cm, e como se observa na figura é aplicado na união das partes. Calcular a máxima tensão de cisalhamento no aço e no alumínio. EXERCÍCIO 5.23 Considerem-se dois eixos maciços ligados por duas engrenagens, de 10 in e 2 in, tal como se indica na figura ao lado. Os eixos são apoiados, nos mancais, de tal forma que não sofrem flexão. Determinar o deslocamento angular de D em relação a A, produzido pelo momento torçor de 3000 kgf.cm, aplicado em D. O eixo da esquerda é de aço com G = 0,84 x 10 6 kgf/cm 2 , o eixo da direita é de latão, com G = 0,35 x 10 6 kgf/cm 2 EXERCÍCIO 5.24 Sob condições normais de funcionamento, o motor elétrico produz o torque de 2,4 KNm. Sabendo-se que todos os eixos são maciços, determinar: a) a tensão máxima de cisalhamento no eixo AB; b) idem eixo BC, CD, DE.
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