Aula 2 Equações Integrais

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Mecânica dos Fluidos – 2ª Aula
Volume de Controle – Equações Integrais
Prof.: Elson Nascimento
Universidade Federal Fluminense
TEC - Departamento de Engenharia Civil
Sumário:
 3ª Aula – Equações Fundamentais 
Integrais
 Leis Básicas
 Volume de Controle
 Teorema de transporte de Reynolds e 
aplicações:
▪ Conservação da Massa
▪ Quantidade de movimento linear
▪ Quantidade de movimento angular
▪ Energia
 Leis Básicas
 Conservação da massa
 Relação da quantidade de movimento linear
 Relação da quantidade de movimento angular
 Equação da energia
(relações de estado)
 Leis Básicas
 Conservação da massa (continuidade)
constmsistema 
0





sistemadt
dm
 Leis Básicas
 Relação da quantidade de movimento linear
Vmlinearmovimentodequantidade 
 Vm
dt
d
F 
2ª Lei de Newton:
 Leis Básicas
 Relação da quantidade de movimento angular
  mVrHangularmovimentodequantidade  
dt
Hd
M 
 Leis Básicas
 Equação da energia
dt
dE
dt
dW
dt
dQ

T
dQ
dS 
▪ 1ª Lei da Termodinâmica:
▪ 2ª Lei da Termodinâmica:
 Leis Básicas
Relações de estado:
),( Tpp 
),( Tee 
 Vazão V
 Vazão
Vn
n

dA
Vazão 
volumétrica:
dA
dt
dh
dQ 
   S dAnVQ  S n dAV
Vazão 
mássica:
 dAnVdQmd  
   S dAnVm   S n dAV
dt
d
Q


dt
dm
m 
 dAnV dAVn
V
cos VVn
nV Vt
 Vazão unidimensional (velocidade 
uniforme ao longo da área)
VnA
   S dAnVQ
AVm n
 S n dAV  Sn dAV AVQ n
 Volume de controle: 
Volume de
Controle
Fronteira
Vizinhança
 Volume de controle:
Volume de
Controle
FR
MR
em
sm
e
 Teorema de transporte de Reynolds: 
Conversão das leis básicas de análise 
de um sistema para um volume de 
controle.
Volume de
Controle
Teorema de 
transporte de 
ReynoldsSistema
 Teorema de transporte de Reynolds: 

dm
dB
 
VC
dB 
Volume de
Controle
dm
dB m
dm
dB
B  
 
dm
dB
B
 B
, onde B é a lei básica (massa, qtd de movimento linear, angular ou a energia).








 
VC
d
dt
d
dt
dB

Ao longo de todo 
volume de controle:
 Teorema de transporte de Reynolds: 
Volume de
Controle
, onde B é a lei básica (massa, qtd de movimento linear, angular ou a energia).








 
VC
d
dt
d
dt
dB

Ao longo de todo 
volume de controle:
 Teorema de transporte de Reynolds: 
Volume de
Controle
, onde B é a lei básica (massa, qtd de movimento linear, angular ou a energia).
 
fronteiranafluxod
dt
d
dt
Bd
VC
sistema 







  
V
n






dt
dB
d 






dt
dm
dm
dB
d
 dAnV  
 md  md 
 Teorema de transporte de Reynolds: 
Volume de
Controle
, onde B é a lei básica (massa, qtd de movimento linear, angular ou a energia).
V
n






dt
dB
d 






dt
dm
dm
dB
d
 dAnV  
 md 
    







SCVC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
md 
 Teorema de transporte de Reynolds
 Superfície de controle em movimento 
    







SCVC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
 Teorema de transporte de Reynolds
 Superfície de controle em movimento 
Vs
dt V
n
Vr = V - Vs
-Vs
V
Vr
 Teorema de transporte de Reynolds
 Superfície de controle em movimento 
Vs
dt V
n
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
 Teorema de transporte de Reynolds
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
VsaiVent
Caso geral:
Caso 1D:
 
   
entranrsainr
VC
sistema VAVAd
dt
d
dt
Bd  






 
   
SC
nr
SC
r dAVdAnV 
  sai
entranr
AV    entranrsainr AVAV  

SC
nr dAV
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Caso geral:
 
   
entranrsainr
VC
sistema VAVAd
dt
d
dt
Bd  






 
Caso unidimensional:
dm
dB

 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Conservação da massa:
dm
dB
 mB
1  

dt
md sistema 0
 

dt
md sistema 








VC
d
dt
d
   
SC
r dAnV
0
 Conservação da massa (continuidade)
  0 
SC
r
VC
dAnVd
dt
d 
Para entradas e 
saídas 
unidimensionais:
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
e ainda 
escoamento 
permanente:
    
i
entrainrii
i
saiinrii
AVAV 
Caso geral:
Um volume de 
controle 
indeformável:   0


SC
r
VC
dAnVd
t

    
i
entrai
i
saii
mm 
 Conservação da massa
 Exemplo:
Escreva a relação de conservação de massa
para o escoamento permanente através de um tubo
de corrente (escoamento paralelo as paredes em
todos os locais) com uma única saída 1 e uma
única entrada 2, unidimensionais.
 Conservação da massa
 Exemplo:
    
i
entrainrii
i
saiinrii
AVAV 
222111 AVAV  
Se a massa específica for constante:
2211 AVAV Q
1
2
1
2 V
A
A
V 
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Quantidade de movimento linear:
dm
dB
 mVB
V
 

dt
Vmd sistema 








VC
dV
dt
d
   
SC
r dAnVV  F
 Vm
dt
d
F 
2ª Lei de Newton:
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Quantidade de movimento linear:
dm
dB
 mVB
V
 Vm
dt
d
F 
  







SC
r
VC
dAnVVdV
dt
d
F 
 Quantidade de movimento linear
 Caso Unidimensional
    







SC
r
VC
sistema dAnVVdV
dt
d
dt
Vmd
F 
  
SC
r dAnVV
V
n
dA
Vn 
SC
nr dAVV
i
 inriii AVV 
im
ii Vm

 ii Vm ii Vm
 Quantidade de movimento linear
 Caso geral:
 Volume de controle fixo:
 Caso unidimensional:
    







entradaiisaídaii
VC
VmVmdV
dt
d
F 
  







SC
r
VC
dAnVVdV
dt
d
F 
  







SCVC
dAnVVdV
dt
d
F 
 Quantidade de movimento linear
 Exemplo: Um volume de controle fixo em regime permanente 
possui uma entrada uniforme (1, A1, V1) e uma saída uniforme 
(2, A2, V2). Encontre uma expressão para a força resultante no 
volume de controle.
    







entradaiisaídaii
VC
VmVmdV
dt
d
F 
0
1122 VmVmF   mmm   21
 12 VVmF  
V2
-V1
V2-V1
 Quantidade demovimento linear
 Forças de pressão
n
p
 
SC
pressão dAnpF )(
 Quantidade de movimento linear
 Forças de pressão
-n
p
 
SC
pressão dAnpF )(
 Quantidade de movimento linear
 Forças de pressão constante (Ex.: Pressão 
atm.)
-n
pa
 
SC
apressão dAnpF )(
    VS dVBdAnB
Teorema de Gauss:






 k
dz
d
j
dy
d
i
dx
d
0
0 pressãoF
 Quantidade de movimento linear
 Forças de pressão X Pressão manométrica
 
SC
m dAnp )(
am ppp 
  
SC
a dAnpp )(
 
SC
a
SC
dAnpdAnp )()(
0
 
SC
mpressão dAnpF )(
 
SC
pressão dAnpF )(
 Quantidade de movimento linear
 Forças de pressão - Pressão manométrica 
▪ Exemplo:
am ppp 
 Quantidade de movimento linear
 Forças de pressão - Pressão manométrica 
▪ Exemplo:
am ppp 
Pressões absolutas: Pressões manométricas:
3” 1”
 Quantidade de movimento linear
 Forças de pressão - Pressão manométrica 
▪ Exemplo:
am ppp 
Pressões manométricas:
Força de pressão efetiva = 
 
SC
pressão dAnpF )( 1
)( Anp  iAp 1
 
i
in
in
lbf















4
3
25
2
2
 lbfi177
 Quantidade de movimento linear
 Exercício
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Quantidade de movimento angular (H0):
r
dmV
O
 dmVrHd 0    dmVrH0
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Quantidade de movimento angular (H0):
dm
dB
 0HB
Vr
 

dt
Hd
sistema0   






VC
dVr
dt
d
     
SC
r dAnVVr  
 0M
dt
Hd
M 0
r
dmV
O
 dmVrHd 0    dmVrH0
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Quantidade de movimento angular (H0):
dm
dB
 0HB
Vr
      






SC
r
VC
dAnVVrdVr
dt
d
M 0
dt
Hd
M 0
r
dmV
O
 dmVrHd 0    dmVrH0
 Quantidade de movimento angular :
 Caso geral: 
 Entradas e saídas unidimensionais:
      






SC
r
VC
dAnVVrdVr
dt
d
M 0
    
SC
r dAnVVr 
VsaiVent
  
SC
nr dAVVr 
rsai
rent
Vnrn

Vr
 Quantidade de movimento angular :
 Caso geral: 
 Entradas e saídas unidimensionais:
      






SC
r
VC
dAnVVrdVr
dt
d
M 0
    
SC
r dAnVVr 
VsaiVent
  
SC
nr dAVVr 
  sai
entra
inriiii AVVr rsai
rent   sai
entra
iii mVr 
       entraiiisaiiii mVrmVr 
 Quantidade de movimento angular :
 Caso geral: 
 Entradas e saídas unidimensionais:
      






SC
r
VC
dAnVVrdVr
dt
d
M 0
        






entraiiisaiiii
VC
mVrmVrdVr
dt
d
M 0
inriii AVm 
, onde:
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: 
O irrigador de grama de três braços da figura abaixo
recebe água a 20°C através do seu centro à 2,7 m³/h.
Se o atrito do colar é desprezível, calcule a rotação
permanente em rpm para  = 0° e  = 40°.
Qe = 2,7 m³/h
me = Q = 2.700 kg/h
= 0,75 kg/s
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: 
Qe = 2,7 m³/h
me = Q = 2.700 kg/h
= 0,75 kg/s
        






entraiiisaiiii
VC
mVrmVrdVr
dt
d
M 0
y
x
O irrigador de grama de
três braços da figura abaixo
recebe água a 20°C através do
seu centro à 2,7 m³/h. Se o
atrito do colar é desprezível,
calcule a rotação permanente
em rpm para  = 0° e  = 40°.
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: 
Q = 2,7 m³/h
dm/dt = Q = 2.700 kg/h
= 0,75 kg/s
   0 saiiii mVr 
y
x
321 mmmmentra  
Continuidade:
13mmentra  
skg
m
m entra /25,0
3
1 


 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: 
   0 saiiii mVr 
y
x
skgmmm /25,0321  
inriii AVm 







4
2
i
i
i
ii
i
nri
d
m
A
m
V




sm
d
m
A
m
V
i
i
i
ii
i
nri /5,6
4
2











sinri VVV 
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: 
   0 saiiii mVr 
y
x
skgmmm /25,0321  
sinri VVV  snrii VVV 
Vnri
Vi
Vs =  R i
    jsenViVRV nrnr  111 cos 
smVVV nrnrnr /5,6321 
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: 
   0 saiiii mVr 
y
x
skgmmm /25,0321  
    jsenViVRV nrnr  111 cos 
  03 111  mVr  011 Vr
smVVV nrnrnr /5,6321 
       0cos 11  jsenViVRjR nrnr   0cos1  ijVRR nr 
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: y
x
skgmmm /25,0321  
    jsenViVRV nrnr  111 cos 
smVVV nrnrnr /5,6321 
  0cos1  ijVRR nr 
   0cos1  kVR nr 
  0cos1  kRVnr 
0cos1  RVnr 
R
Vnr cos1
 Quantidade de movimento angular :
 Exemplo: y
x
skgmmm /25,0321  
smVVV nrnrnr /5,6321 
R
Vnr cos1
a)  = 43,3 rad/s  f = 43,3x60/2
= 413 rpm
b)  = 33,2 rad/s  f = 33,2x60/2
= 316 rpm
 Teorema de transporte de Reynolds: 
    







SCVC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Energia (1ª Lei da Termodinâmica):
dm
dE
 EB
e









VC
de
dt
d
   
SC
dAnVe
dt
dE
dt
dW
dt
dQ


dt
dE
dt
dW
dt
dQ
1ª Lei da 
Termodinâmica:
 Energia: 
     SCVC dAnVededt
d
dt
dE
dt
dW
dt
dQ 
e = einterna + ecinética + epotencial + eoutros
e = û + ½ V2 + gz
dm
dE
e 
viscpressmaq WWWW
dt
dW  
Q
dt
dQ 
 Energia
 Trabalho:
▪ Trabalho devido à pressão:
viscpressmaq WWWW
dt
dW  
W
dt
dW
Pot 
VFdWd press 
   VAdp    VdAnp   dAnVp 
   SCpress dAnVpW
dA
n
p
 Energia
 Trabalho:
▪ Trabalho devido à tensão viscosa:
viscpressmaq WWWW
dt
dW  
W
dt
dW
Pot 
VdFWd vvisc 
 dAV 
  SCvisc dAVW 
dA
n

  VdA  
 Energia
viscpressmaq WWWW
 
  SCvisc dAVW 

     SCVC dAnVededt
d
WQ 
   SCpress dAnVpW
     SCVCviscpressmaq dAnVededt
d
WWWQ 
    press
SCVC
viscmaq WdAnVede
dt
d
WWQ    
 Energia
viscpressmaq WWWW
 
  SCvisc dAVW 

     SC rVC dAnVededt
d
WQ 
   SCpress dAnVpW
    press
SCVC
viscmaq WdAnVede
dt
d
WWQ    
     SCSC dAnVpdAnVe   






SC
dAnV
p
e 

 Energia
viscpressmaq WWWW
 
  SCvisc dAVW 

     SC rVC dAnVededt
d
WQ 
   SCpress dAnVpW
     SCVCviscpressmaq dAnVededt
d
WWWQ 
    






SCVC
viscmaq dAnV
p
ede
dt
d
WWQ 
 Energia
   






SC
r
VC
viscmaq dAnV
p
ede
dt
d
WWQ 
gz
V
ûe 
2
2

p
uh  ˆˆ
  





















SC
r
VC
viscmaq dAnVgz
V
hdgz
V
u
dt
d
WWQ 
2
ˆ
2
ˆ
22

 Energia
 Volume de controle fixo:
 Entradas e saídas unidimensionais:
  





















SCVC
viscmaq dAnVgz
V
hdgz
V
u
dt
d
WWQ 
2
ˆ
2
ˆ
22

  






SC
dAnVgz
V
h 
2
ˆ
2
entrasai
mgz
V
hmgz
V
h 























  
2
ˆ
2
ˆ
22
 
sai
entra
AnVgz
V
h 





 
2
ˆ
2
sai
entra
mgz
V
h 






2
ˆ
2
A
Vn
 Energia
 Volume de controle fixo:
 Entradas e saídas unidimensionais:
 Escoamento permanente - 1 entrada e 1 
saída:
  





















SCVC
viscmaq dAnVgz
V
hdgz
V
u
dt
d
WWQ 
2
ˆ
2
ˆ
22

  






SC
dAnVgz
V
h 
2
ˆ
2
entrasai
mgz
V
hmgz
V
h 























  
2
ˆ
2
ˆ
22












 2
2
2221
2
111
2
1ˆ
2
1ˆ gzVhmgzVhmWWQ viscmaq 

 Energia
 Escoamento permanente - 1 entrada e 1 
saída:
▪ Continuidade:












 2
2
2221
2
111
2
1ˆ
2
1ˆ gzVhmgzVhmWWQ viscmaq 

mmm   21
m
W
m
W
m
Q
gzVhgzVh visc
maq






 2
2
221
2
11
2
1ˆ
2
1ˆ
m
q
dm
dQ
dt
dm
dt
dQ
m
Q



maq
maq
w
m
W



visc
visc w
m
W



 Energia
 Escoamento permanente - 1 entrada e 1 
saída:
▪ Calor trocado q: > 0, se adicionado ao VC
< 0, se sai do VC
▪ Trabalho w: > 0, se realizado pelo fluido
< 0, se sofrido pelo fluido
viscmaq wwqgzVhgzVh 





 2
2
221
2
11
2
1ˆ
2
1ˆ
 g
 Energia
 Escoamento permanente - 1 entrada e 1 
saída:
viscmaq wwqgzVhgzVh  2
2
221
2
11
2
1ˆ
2
1ˆ
viscmaq wwqgzV
p
ugzV
p
u 











 2
2
2
2
21
2
1
1
1
2
1
ˆ
2
1
ˆ 

p
uh  ˆˆ
g
w
g
w
g
quu
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p viscmaq 







 122
2
22
1
2
11
ˆˆ
22  g
w
g
w
g
quu
z
g
Vp
z
g
Vp viscmaq 







 122
2
22
1
2
11
ˆˆ
22 
 Energia
 Escoamento permanente - 1 entrada e 1 saída:
▪ Caso adiabático e à temperatura constante ou 
:
g
w
g
w
g
quu
z
g
Vp
z
g
Vp viscmaq 







 122
2
22
1
2
11
ˆˆ
22 
atritoturbinabomba hhh
g
quu
z
g
Vp
z
g
Vp








 122
2
22
1
2
11
ˆˆ
22 
)(ˆ Tfu 
atritoturbinabomba hhhz
g
Vp
z
g
Vp






 2
2
22
1
2
11
22 
uq ˆ
 Exemplo
Um navio bombeiro suga
água do mar (densidade 1,025)
de um tubo submerso e a
recalca através de um bico,
conforme figura abaixo. A perda
total de carga é de 2 m. Se a e
bomba tem eficiência de 75%,
qual a potência do motor
necessária?
atritoturbinabomba hhhz
g
Vp
z
g
Vp






 2
2
22
1
2
11
22 
1
2
d
hat

 Exemplo
d = 1,025
hatrito = 2 m.
 = 75%
Pot = ?
1
2
Pelo princípio da continuidade
(escoamento permanente,
entradas e saídas unidimensionais):
21 mm   2211 AVAV  
   
4
0254,02
36
4
0254,06
V
22
1




smV /41 
atritobomba2
2
2
1
2
11 hhz
g2
V
z
g2
Vp








 Exemplo
d = 1,025
hatrito = 2 m.
 = 75%
Pot = ?
1
2
smV /41 
2h3
g2
36
8,1
g2
48,1
bomba
22









mhbomba 69
 
bombabombabomba
bomba hgAVghmgh
dt
dm
dt
hgmd
dt
dE
Pot 11  
atritobomba2
2
2
1
2
11 hhz
g2
V
z
g2
Vp








 Exemplo
d = 1,025
hatrito = 2 m.
 = 75%
Pot = ?
1
2
smV /41 
mhbomba 69
bombahgAVPot 11 
agua
d


 aguad  
33 /1025/1000025,1 mkgmkg 
 
kW
hgAV
Pot bomba 5,6775,0/6981,9
4
0254,06
41025
2
11 



 Energia
 Escoamento permanente - 1 entrada e 1 
saída:
▪ Caso adiabático e à temperatura constante:
▪ Caso sem trocas de energia (Eq. de Bernoulli):
atritoturbinabomba hhh
g
quu
z
g
Vp
z
g
Vp








 122
2
22
1
2
11
ˆˆ
22 
atritoturbinabomba hhhz
g
Vp
z
g
Vp






 2
2
22
1
2
11
22 
constz
g
Vp
z
g
Vp
 2
2
22
1
2
11
22 
 Exemplo
Uma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma região de baixa pressão que pode aspirar
fluido de um reservatório, conforme figura abaixo.
Considerando um escoamento sem perdas, deduza uma
expressão para velocidade V1 suficiente para trazer o fluido
do reservatório para seção estrangulada.
2
2
22
1
2
11
22
z
g
Vp
z
g
Vp


1 2
 Exemplo
2
2
22
1
2
11
22
z
g
Vp
z
g
Vp


1 2
3
hphgppp a   113
hpp a  1
g
Vp
g
Vhp aa
22
2
2
2
1 



gh2VV 22
2
1  22211121 AVAVmm  
4
2
4
12
1
2
22
2
2
1
12
D
D
VV
D
D
VV 
 
2
2
4
1
4
2
1
D
DDgh2
V


 Bibliografia:
 White, F.M., "Mecânica dos Fluidos", McGraw-Hill, 
Brasil, 6a Edição, 2001
 Fox R.W. & Mc Donald A.T.; “Introdução à 
Mecânica dos Fluídos”; John Wiley and Sons, 
N.Y., Tradução: LTC–Livros Técnicos e 
Científicos, RJ.
 Porto, Rodrigo de Melo; “Hidráulica Básica”; 3ª 
Edição, EESC-USP, 2004.
 Azevedo Netto, J. M. & Alvarez, G. A. “Manual de 
Hidráulica”, 6ª Edição, Edgard Blucher, 1973.
www.hidrouff.uff.br