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Fenômenos de Trasnporte PPrrooff.. GGiillbbeerrttoo AAuugguussttoo AAmmaaddoo MMoorreeiirraa 22ºº sseemmeessttrree 22001122 Fenômenos de Transporte – 02/2012 1 Disciplina: Curso: Prof.: Mecânica dos Fluidos Engenharia de Energias Renováveis Gilberto Augusto Amado Moreira 2º semestre 2012 Objetivos: - Compreender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos; - Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso; - Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas; - Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos; Ementa: Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade. Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, Aplicações. Fenômenos de Transporte – 02/2012 2 Índice 1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 13 1.1. Definição............................................................................................. 13 1.2. Objetivo............................................................................................... 13 1.3. Aplicação............................................................................................. 13 2. Definição de um Fluido..................................................................................... 13 2.1. Introdução........................................................................................... 13 2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 14 2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 14 3. Métodos de Análise........................................................................................... 15 3.1. Sistema................................................................................................ 15 3.2. Volume de Controle............................................................................ 15 4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 15 4.1. Introdução............................................................................................ 15 4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 15 4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 16 5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 17 5.1. Peso Específico.................................................................................... 17 5.2. Volume Específico.............................................................................. 18 5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 18 5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 19 5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 19 5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 20 5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 20 5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 20 6. Campo de Velocidade....................................................................................... 21 7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21 7.1. Regime Permanente............................................................................. 21 7.2. Regime Transiente............................................................................... 21 7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 22 8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 22 8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 22 Fenômenos de Transporte – 02/2012 3 8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22 8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 23 8.4. Campos de Tensão............................................................................... 24 9. Viscosidade....................................................................................................... 25 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 25 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 26 9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 27 9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 28 10. Pressão............................................................................................................ 29 10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 31 11. Fluidoestática.................................................................................................. 31 11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 31 11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 34 11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 35 11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 35 11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 36 11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 38 11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 38 11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 39 12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 40 12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 41 13. Fluidodinâmica................................................................................................ 44 13.1. Sistema.............................................................................................. 44 13.2. Volume de Controle.......................................................................... 45 13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para Volume de Controle................................................................................... 45 13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um Volume de Controle Arbitrário.................................................................. 46 13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 47 13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 48 13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle............. 50 13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 52 13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 54 Fenômenos de Transporte – 02/2012 4 13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 54 13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli.....................................56 13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 56 13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 57 13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 59 13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 60 13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 62 13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 65 13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 65 13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais.................................................................................................. 66 13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 67 13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 67 13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 71 13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 78 14. Transferência de Calor.................................................................................... 83 14.1. Introdução.......................................................................................... 83 14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 83 14.2.1. Condução............................................................................ 83 14.2.2. Convecção.......................................................................... 84 14.2.3. Radiação............................................................................. 84 14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 85 14.3.1. Condução............................................................................ 86 14.3.2. Convecção.......................................................................... 88 14.3.3. Radiação............................................................................. 90 15. Condução........................................................................................................ 93 15.1. Introdução à Condução...................................................................... 93 15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 94 15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 95 15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 98 15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 98 15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 101 15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 101 Fenômenos de Transporte – 02/2012 5 15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 102 15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 105 15.5.1. Parede Simples.................................................................. 105 15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 106 15.5.3. Parede Composta................................................................ 110 15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 113 15.5.5. Resistência de contato........................................................ 113 15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Cilindro....................................................................................... 116 15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 116 15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 119 15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 122 15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 126 15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 127 15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica - Parede Plana....................................................................... 127 15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais................................................................. 130 16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 131 16.1. Introdução.......................................................................................... 131 16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 133 16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 134 16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 135 16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 140 17. Condução Transiente....................................................................................... 143 17.1. Introdução.......................................................................................... 143 17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 143 18. Convecção....................................................................................................... 145 18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 145 18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 147 18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 148 18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 149 Fenômenos de Transporte – 02/2012 6 18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 150 18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ 153 EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 155 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. 156 Apêndice A........................................................................................................... 157 Apêndice B............................................................................................................ 161 Fenômenos de Transporte – 02/2012 7 Figuras Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 13 Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força de Cisalhamento Constante. 14 Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ 14 Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 15 Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 15 Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 21 Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22 Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 23 Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 25 Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 27 Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 28 Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 30 Figura 13 – Fluida em Repouso. 31 Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 32 Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 34 Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 35 Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 35 Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 36 Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 37 Figura 20 – Manômetro de Líquido. 38 Figura 21 – Manômetrode Líquido. 39 Figura 22 – Manômetro de Líquido. 39 Figura 23 – Tubo de Bourdon. 40 Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 40 Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 40 Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 44 Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 45 Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 45 Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 49 Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 55 Fenômenos de Transporte – 02/2012 8 Unidimensional em um Duto. Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. 56 Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de controle usado para análise. 57 Figura 33 – Tubo de Venturi. 59 Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 60 Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 61 Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. 63 Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 65 Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real. 66 Figura 39 - Ábaco de Moody. 69 Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 70 Figura 41 – Valores aproximados de k. 71 Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço. 72 Figura 43- Redução de Área – Bocal. 74 Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 75 Figura 45 – Válvula de gaveta. 76 Figura 46 – Válvula Globo. 77 Figura 47 – Válvula de Retenção. 77 Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 78 Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. 80 Figura 50 - Transferência de calor. 83 Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia provocada pela atividade molecular. 84 Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) Convecção forçada. 84 Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 85 Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 85 Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 86 Fenômenos de Transporte – 02/2012 9 Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 88 Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 91 Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 94 Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 99 Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 101 Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 102 Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 105 Figura 63 – Circuito Térmico. 108 Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 110 Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 111 Figura 66 – Parede Composta. 113 Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 113 Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. 114 Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. 116 Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta. 118 Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 121 Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 122 Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 125 Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 126 Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor. (a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário. 128 Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 131 Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. 132 Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. 132 Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. 133 Figura 80 – Configurações de Aletas. 133 Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 134 Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 136 Figura 83 – Eficiência de aletas. 141 Fenômenos de Transporte – 02/2012 10 Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. 143 Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 144 Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção. 145 Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 145 Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 146 Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 148 Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 149 Figura 91 – Camada Limite. 150 Figura 92 – Camada Limite Térmica. 153 Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 163 Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 164 Fenômenos de Transporte – 02/2012 11 Tabelas Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 16 Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 17 Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 68 Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 73 Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 73 Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. 74 Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões 75 Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 89 Tabela 9 – Equações de Taxa 93 Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas 93 Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos interfaciais 115 Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 115 Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 160 Fenômenos de Transporte – 02/2012 12 1. Introdução a Mecânica dos Fluidos 1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica). 1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio produtor de trabalho. 1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, etc. 2. Definição de um Fluido 2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b). Fenômenos de Transporte – 02/2012 13 Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força de Cisalhamento Constante. 1a Situação: Figura 2a Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio estático.2a Situação: Figura 2b Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de equilíbrio estático. 2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito. Em outras palavras, a maioria dos problemas de engenharia se ocupa de dimensões físicas muito maiores do que um volume-limite, de modo que a massa específica é essencialmente uma função pontual e as propriedades do fluido podem ser consideradas como variando continuamente no espaço, como se esboça na Figura xxx. Tal fluido é chamado meio continuo, o que simplismente significa que a sua variação em propriedades é tão suave que os calculos diferenciais podem ser usados para analisar a substância. A massa específica ρ fr um flúido é mais bem deficnida como 𝜌𝜌 = lim 𝛿𝛿𝛿𝛿→𝛿𝛿�̇�𝛿 𝛿𝛿𝛿𝛿 𝛿𝛿𝛿𝛿 O volume 𝛿𝛿�̇�𝛿 - limite é aproximadamente 10-9 mm3 para todos os líquidos e gases a pressão atmosférica. Fenômenos de Transporte – 02/2012 14 Figura 3 – A definição-limite de massa específica de um fluido contínuo: (a) um volume elementar em uma região do fluido de massa específica continua variável; (b) massa específica calculada pelo tamanho do volume elementar. 2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3) Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas. 3. Métodos de análise 3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 . Fenômenos de Transporte – 02/2012 15 Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5. Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 4. Dimensões e unidades 4.1. Introdução Uma dimensão é a medida pela qual uma variável física é expressada quantitativamente. Uma unidade é um modo particular de ligar um número à dimensão quantitativamente, em outras palavras: Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias (básicas) e secundárias (derivadas)). Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões. 4.2. Sistemas de Dimensões Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”. Exemplo: 200 at2 1Vxx ++= ( ) ( ) ( ) ( )22 ttL21ttLLL ×+×+= Fenômenos de Transporte – 02/2012 16 4.3. Sistema de Unidades Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária. SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), quantidade de matéria e intensidade luminosa. Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura). Tabela 1 – Sistemas de Unidades. SISTEMA DE UNIDADES MASSA COMPRI- MENTO TEMPO TEMPE- RATURA CORRENTE ELÉTRICA QTE DE MATÉRIA INTENSI- DADE LUMINOSA SI Kg m s K A mol cd ABSOLUTO g cm s K TÉCNICO utm m s K INGLÊS slug ft s R INGLÊS TÉCNICO lbm ft s R Força: 2s m1kg1N = Força: 2s cm1g1dina = Massa ft s1lbf1slug 2 = No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as diferentes grandezas. Fenômenos de Transporte – 02/2012 17 A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa. Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. Fator Multiplicativo Prefixo Símbolo 109 Giga G 106 Mega M 103 Kilo k 10-1 Deci d 10-2 Centi c 10-3 Mili m 10-6 Micro µ 10-9 Nano n 10-12 Pico p EXEMPLO 1.0 – Uma unidade primitiva de viscosidade no sistema CGS é o poise (abreviado P), ou g/(cm.s), em homenagem a J. L. M. Poiseuille, médico francês que realizou experimentos pioneiros em 1840 sobre escoamento de água em tubos. A viscosidade da água (doce ou salgada) a 293,26 K = 20 ºC é aproximadamente μ = 0,01 P. Expresse esse valor em (a) unidades do SI e (b) unidades do BG. Soluçao Parte (a) μ = [0,01 g/(cm.s)](1 kg/1000 g)(100 cm/m) = 0,001 kg/(m.s) Parte (b) μ = [0,001 kg/(m.s)](1 slug/14,59 kg)(0,3048 m/ft) = 2,09 x 10-5 slug/(ft.s) Nota: o resultado (b) poderia ter sido obtido diretamente de (a) dividindo-se (a) pelo fator de conversão de viscodidade 47,88 listado na Tabela B1 (Apendice B). Fenômenos de Transporte – 02/2012 18 5. Propriedades físicas dos fluidos 5.1. Peso especifico: (γ) É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. γ: Peso específico [F/L3] ∀ = Wγ W: Peso da substância [F] ][L fluido do Volume: 3∀ ggmmg ργ = ∀ = ∀ = Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3) DIM: [F / L3] 5.2. Volume específico: (ν) Inverso da massa específica. υ: Volume específico [L3/M] ρ υ 1=∀= m ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm) DIM: [L3/ M] 5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG) Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o Fenômenos de Transporte – 02/2012 19 ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância de referência seja a água. δ: Densidade relativa [adimensional] ref SGd ρ ρδ === ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da substância de referência [M/L3] δ=d = SG= padrãofluido fluido ρ ρ = padraãofluido fluido γ γ DIM: [1] 5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β ) Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida em uma unidade de volume. ρ: Massa específica [M/L3] ∀ = mρ m: Massa do fluido [M] ][L fluido do Volume: 3∀ Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3) DIM: [M / L3] A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns Fenômenos de Transporte – 02/2012 20 fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm. 5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico:(β) Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por unidade de volume. β: Módulo de elasticidade volumétrico ∀∀∆ ∆− = / Pβ ∆P: Variação de pressão [F/L2] ][L Volume de Variação:Δ 3∀ ][L Volume: 3∀ O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de volume. Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2) DIM: [F / L2] Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão. 5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante P.V. = constante P1V1 = P2V2 1 2 2 1 P P V V = P.dV + V.dP = 0 P.dV = - V.dP P P dP V dV = − = β 5.5.2. Condições adiabáticas: P.Vk = constante Fenômenos de Transporte – 02/2012 21 k = Cp / Cv P1.V1k = P2.V2k Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0 P.k.dV + V.dP = 0 kP kP dP V dV = − = β 5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) Inverso do módulo de elasticidade volumétrico. β 1 =C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F] β: Módulo de elasticidade volumétrico [F/L2] Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf) DIM: [L2/F] 6. Campo de velocidade Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume de fluido ∀ mostrado na Fig. 6. Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do volume infinitesimal ∀δ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão. Fenômenos de Transporte – 02/2012 22 O campo de velocidade, V , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representação do campo de velocidades é dada por: ( )tzyxVV ,,, = O vetor velocidade, V , pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidades pode ser escrito como: kwjviuV ˆˆˆ ++= , onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu === 7. Regime permanente e transiente 7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é: 0= ∂ ∂ t η , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido. 7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas espaciais, através de toda a extensão do campo. 8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades. 8.1. Escoamento unidimensional: Exemplo: Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção transversal constante mostrado na Fig. 7. Fenômenos de Transporte – 02/2012 23 Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equação: −= 2 max 1 R ruu Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é unidimensional. 8.2. Escoamento bidimensional: Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional. Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente: Fenômenos de Transporte – 02/2012 24 Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente. Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta linha é chamada de linha de tempo. Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula é uma trajetória. Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo no espaço, é definida como linha de emissão. As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, não pode haver escoamento através delas. No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e, subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento. A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não coincidem. Exemplo: Fenômenos de Transporte – 02/2012 25 Considere o campo de escoamento ∧∧→ −= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 3 segundos. Resolução: Partindo do princípio dt dxu = e dt dyv = , então: dt dxaxtu == , ∫∫ = tx x dtat x dx 0 . 0 2 0 2 1ln at x x = e 2 2 1,02 1 0 3 tat exexx =∴= e também, b dt dyv == , ∫∫ = ty y bdtdy 00 , tybtyy 310 +=∴+= ty ex t 31 3 21,0 += = Região a ser plotada no plano xy. Temos que u v dx dy s = . Logo: axt b dx dy = . Aplicando equações diferenciais temos: x dx at bdy x x y y ∫∫ = 00 ou += 0 0 ln x x at byy . Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, += 3 ln151 x t y . Para t=1 += 3 ln151 xy t=2 += 3 ln5,71 xy t=3 += 3 ln51 xy Fenômenos de Transporte – 02/2012 26 Exemplo: O campo de velocidade ∧∧→ −= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhasde corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0). Resolução: A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por: u v dx dy = Para ∧∧→ −= jbyiaxV , façamos u = ax e v = -by, logo: xa yb u v dx dy . . −== Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos: ∫∫ −= x dx a b y dy ∴+−= cx a by lnln c = constante ∴+= − cxy a b lnlnln ln c = constante Fenômenos de Transporte – 02/2012 27 Portanto: a b cxy − = Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c. Como a = b = 1 sec-1, então 1= b a , e a equação das linhas de corrente é dada por: x ccxy == −1 ou y cx = Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y. • A equação x cy = é a equação da hipérbole. • As curvas estão mostradas para diferentes valores de c. 8.4. Campo de Tensão Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo. A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por dVgρ , onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é gρ por unidade de volume e g por unidade de massa. Fenômenos de Transporte – 02/2012 28 O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de toda extensão do material. Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um tensor de 2ª ordem. Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , xAδ , e tomando o limite quando xAδ se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão mostradas abaixo: x z x y x x A F A F A F xxx A xy A xy A xx δ δ δ δ δ δ δδδ τττ limlimlim 000 →→→ =∴=∴= Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos. 9. Viscosidade 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ) Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou seja, a dificuldade do fluido em escoar. Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx. Fenômenos de Transporte – 02/2012 29 Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por: dAy dFx Ay Fx Ayyx == → δ δτ δ 0 lim A taxa de deformação é igual a: dt d tt α δ δα δ = →0 lim A distância entre os pontos M e M’é dada por: tVl δδδ = (a) Para pequenos ângulos, δαδδ yl = (b) Igualando-se (a) e (b), dy du dt d y u t =⇒= α δ δ δ δα Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou: dy du dy du yxyx µττ =⇒∝ . A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. DIM: [F.t / L2= M/L.t] Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2) Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições normais. Fenômenos de Transporte – 02/2012 30 Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa. A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso. 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν) Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. ν: Viscosidade cinemática [L2/t] ρ µυ = µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] DIM: [L2/t] Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s) Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes = 1cm2/s. 9.3. Número de Reynolds: (Re) Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. Re: Número de Reynolds [adimensional] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] µ ρ **Re LV= V*: Velocidade do fluido [L/t] L*: Comprimento característico [L] Fenômenos de Transporte – 02/2012 31 µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2] DIM: [1] O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve- se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa. Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água. 9.4. Tipos de escoamento: - Escoamento laminar ( em tubulações Re 2300≤ ) - Escoamento turbulento (Re > 4000) Fenômenos de Transporte – 02/2012 32 Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio. S VMa = Exemplo: Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra na folga anular, em (Pa.s) Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão de cisalhamento: dy du.µτ = Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual possamostrabalhar: Mecânica dos Fluidos Fluido não viscoso μ = 0 Compressível Incompressível Ma < 0,3 Fluido viscoso μ 0 Laminar Re 2300 Turbulento Re > 4000 Fenômenos de Transporte – 02/2012 33 s mru sradrrot rrot rpsW 13,1 /6,125..2.2020 ..21 20 max == →→ → = ω π π 60 .. 230 . max max max ndu dnu ru ou π π ω = = = Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material: 26 33 10.39,3 10.60.10.18 .. mA A LDA − −− = = = π π Pelo torque, podemos tirar a força: NF F r F rF 4,0 10.9 0036,0 . 3 = = = = − τ τ Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia à força: 2 3 3 .0208,0 13,1.10.39,3 10.2,0.4,0 m sN du dy A F = = = − − µ µ µ , onde y u dy du max= 10. Pressão Força exercida em uma unidade de área. P: Pressão [F/L2] A FP = F: Força [F] A: Área [L2] Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg) DIM: [F / L2] Fenômenos de Transporte – 02/2012 34 A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão: TRnP =∀ Onde: n: quantidade de matéria [mol] R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K DIM: Tkmol LF .. . T: temperatura absoluta do gás [T] Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação pode ser reescrita na forma: mRTP =∀ Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns. MM RR = A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ou “standard”. A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser calculada da maneira mostrada a seguir: Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. Fenômenos de Transporte – 02/2012 35 A pressão na superfície do fluido é igual a P0. A força na superfície do fluido é dada por AP0 A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso: ( ) ghAgAhgmgFfluido ρρρ ==∀== A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do fluido e do peso da coluna de fluido: ghAAPF FFF fluidoerfície ρ+= += 0 sup A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base: A FF A FP fluidoerfície + == sup ghP A ghAAPP ρρ +=+= 00 Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes. Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h. 10.1. Lei de Pascal: “No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”. Figura 13 – Fluido em Repouso. 11. Fluidoestática É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido. Fenômenos de Transporte – 02/2012 36 11.1. A equação básica da estática dos fluidos: Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 14. dx dy dz y x z Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. A força total atuando no elemento é dada por: SSC FdgdmFdFdFd +=+= . A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é: jdzdxdy y PpFd L ˆ.2 ∂ ∂ −= A força de pressão na face direita é dada por: ( )jdzdxdy y PpFd R ˆ.2 − ∂ ∂ += Fenômenos de Transporte – 02/2012 37 A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do elemento, ( ) jdzdxdy y Ppidzdydx x Ppidzdydx x PpFd S ˆ.2 ˆ. 2 ˆ. 2 ∂ ∂ −+− ∂ ∂ ++ ∂ ∂ −= ( ) ( )kdydxdz z Ppkdydxdz z Ppjdzdxdy y Pp ˆ. 2 ˆ. 2 ˆ. 2 − ∂ ∂ ++ ∂ ∂ −+− ∂ ∂ ++ dzdydxk z Pj y Pi x PFd S ..ˆˆˆ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ −= A força total é dada, portanto, por: dzdydxk z Pj y Pi x PgdmFdgdmFd S ..ˆˆˆ.. ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ −+=+= Como dzdydxddm .... ρρ =∀= , ( ) ∀∇−= ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ −+= dPgdzdydxk z Pj y Pi x PgdzdydxFd ...ˆˆˆ..... ρρ A 2ª Lei de Newton estabelece que: admFd .= Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as forças deve ser zero. Assim, ( ) 0. =∇− Pgρ Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares, 0=+ ∂ ∂ − xgx P ρ 0=+ ∂ ∂ − ygy P ρ 0=+ ∂ ∂ − zgz P ρ Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z apontado para cima )ˆ( kgg −= , as equações podem ser reescritas como: 0= ∂ ∂ x P 0= ∂ ∂ y P 0= ∂ ∂ z P Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15). Fenômenos de Transporte – 02/2012 38 Conclusões: 1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma pressão; 2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da orientação (Lei de Pascal). Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles - Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15). Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões manométricas ou efetivas. 11.2. Pressão Manométrica: Pressão medidatomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm). Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 760 mmHg ghPP CB ρ+= Fenômenos de Transporte – 02/2012 39 A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. Se P>Patm, Pman > 0 Se P<Patm, Pman < 0 Se P=Patm, Pman = 0 11.3. Pressão Absoluta: Pressão medida a partir do zero absoluto. manatmabs PPP += ou atmabsman PPP −= A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de estado é a pressão absoluta. Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 11.4. O Barômetro de Mercúrio: A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17. Fenômenos de Transporte – 02/2012 40 Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. hghP ghP P ghPP PP PP atm A E EA AA atmA γρ ρ ρ ==∴ = = += = = vácuo0 repouso) em fluido mesmo no altura (mesma isobáros pontos ' Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida de mercúrio. mmHgatmmmHgh 7601760 =⇒= 11.5. Aplicação para a Manometria: ( ) γρ ρ 1212 12 1212 PP g PPzz zzgPP − = − =− −=− Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão. Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. Fenômenos de Transporte – 02/2012 41 1) ( )5445 zzgPP m −=− ρ 2) ( )4334 zzgPP g −=− ρ 3) ( )3223 zzgPP a −=− ρ 4) ( )2112 zzgPP o −=− ρ Agrupando as equações acima temos: ( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao −+−+−+−=− ρρρρ Exemplo: 1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera. Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. Resolução: Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´. Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos: 1 pol = 25,4 mm 36 pol = 0,914 m 15 pol = 0,381 m 10 pol = 0,254 m 5 pol = 0,127 m P1 Patm P2 P3 36pol dB=1,20 dA=0,75 Fenômenos de Transporte – 02/2012 42 Calculamos as diferenças de pressão: PaPa PhgPa hgPPa PaP hgSGPP hgPP PaP hgSGPP hgPP PaP hgSGP hgPP oh oh Apadãof A Bpadãof B atmBpadrãof atmBatm 81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1 3.. ..3 07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63 ...23 ..32 47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102 ...12 ..21 60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11 ...1 ..1 3 34 34 3 32. 32 3 21. 21 3 1. 1 2 2 =+= += =− =−= −= =− =−= −= =− == = =− − − − − − − − − ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Temos então como pressão no ponto “a”´: PaPa 81,831.7= 11.6. Tipos de Manômetros: 11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo. Figura 20 – Manômetro de Líquido. Fenômenos de Transporte – 02/2012 43 BA BatmB AatmA BA pp ghpp ghpp hh = += += = ρ ρ Figura 21 – Manômetro de Líquido. BbatmB AaatmA BA ghpp ghpp pp ρ ρ += += = Figura 22 – Manômetro de Líquido. AaBbmanC BbatmB AaCA BA ghghp ghpp ghpp pp ρρ ρ ρ −= += += = , Fenômenos de Transporte – 02/2012 44 11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações industriais. Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado. As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de flutuação de um densímetro. Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em repouso. Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. O empuxo vertical no cilindro elementar de volume ∀d é dado por: Fenômenos de Transporte – 02/2012 45 ( ) ( ) ( ) ∀=−= +−+= −= gddAhhgdF dAghPdAghPdF dAPdAPdF atmatm ρρ ρρ 12 12 12 O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja, ∫∫ ∀=∀== ggddFF ρρ 12.1. Princípio de Arquimedes: “Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado pelo corpo.” O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido. Corpo Imerso: E = peso do volume de fluido deslocado gW gE corpocorpo corpofluido ∀= ∀= ρ ρ Corpo Flutuante: E = peso do volume de fluido deslocado gW gE corpocorpo deslocadofluido ∀= ∀= ρ ρ Fenômenos de Transporte – 02/2012 46 Situações Possíveis: • Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: corpofluido WE ρρ = = • Corpo Afunda fluidocorpo EW ρρ > > • Corpo Fica Parcialmente Imerso corpofluido WE ρρ > > O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C). Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado. Fenômenos de Transporte – 02/2012 47 • Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. • Corpo Afunda O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. • Corpo Fica Parcialmente Imerso O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo. Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações: • Corpo imerso Fenômenos de Transporte – 02/2012 48 Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo está em equilíbrio indiferente. • Corpo flutuante Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro. Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável. Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em equilíbrio instável. Fenômenos de Transporte – 02/2012 49 13. Fluidodinâmica Os fluidos podem ser analisadosutilizando-se o conceito de sistema ou de volume de controle, figuras 27 e 28. 13.1. Sistema: Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles. Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 13.2. Volume de Controle: Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento. Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle: As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando- se a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma Fenômenos de Transporte – 02/2012 50 propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds estabelece que: ∫ ∫ ∀ ∀== )( )(sistemamassa sistema ddmNsistema ηρη (N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa. (η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura. ∫∫ •+∀∂ ∂ = ∀ SCCsistema AdVd tdt dN ηρηρ Onde: .sist dt dN : é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do sistema. ∫ ∀ ∀ ∂ ∂ C d t ηρ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N), dentro do volume de controle. η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa). ∀dρ : é um elemento de massa contido no volume de controle. ∫ ∀ ∀ C dηρ : é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de controle. ∫ • SC AdVηρ : é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela superfície de controle. AdV •ρ : é a vazão em massa através do elemento de área Ad . AdV •ηρ : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área Ad . nV • : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área. 13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de controle arbitrário: Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa, Fenômenos de Transporte – 02/2012 51 MNsistema = 1== dm dMη ( )∫∫ •+∀∂ ∂ = ∀ SC C sistema dAnVd tdt dM ρρ Como a massa não varia no interior do sistema, 0= sistemadt dM ( ) 0=•+∀ ∂ ∂ ∫∫∀ SC C dAnVd t ρρ Onde: θcosunV =• Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área é dado por: θcos. AdVAdV = , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área. Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0° Na entrada de uma tubulação, unV −=• , e, na saída, unV =• Para um volume de controle fixo, ( ) ∑∑∫ −=• entradasaídaSC uAuAdAnV ρρρ Como o volume de controle é fixo, 0=−+∀ ∑∑∫∀ entradasaída C uAuAd dt d ρρρ ou 0=−+∀ ∑∑∫∀ entradasaída C mmd dt d ρ 13.4.1. Casos especiais: Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa. Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como: Fenômenos de Transporte – 02/2012 52 0=•∫ SC AdVρ Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é dada por: 0=− ∑∑ entradasaída mm , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para saídas e negativo para entradas. Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como: ( ) 0=•+∀ ∂ ∂ ∫∫∀ SC C dAnVd t ρρ saídaentrada ρρ = A integral de ∀d em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos incompressíveis é dada por: 0=•∫ SC AdV Definindo-se a vazão volumétrica Q por: ∫ •= SC AdVQ a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas e saídas, como: 0=− ∑∑ entradasaída QQ A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área da seção, ou: ∫ •== SC AdV AA QV 1 Fenômenos de Transporte – 02/2012 53 13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica: Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t). Figura 29 – Escoamento Unidimensional. Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t: ∀= ρm A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada por: ( ) dt d dt dmm ∀== ρ Aplicando-se a regra da cadeia, ( ) dt d dt dmm ∀== ρ Mas: ( ) Au dt dsAAs dt d dt d === ∀ Assim: dt duAm ρρ ∀+= DIM: [M/t] Para escoamento incompressível, 0= dt dρ . uAm ρ= A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por: uA dt dQ =∀= DIM: [L3/t] Fenômenos de Transporte – 02/2012 54 A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: Qm ρ= 13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle: A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua formulação para sistema é: .. .. sistsist dt dEWQ =− Onde: . Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é adicionado ao sistema. . W : é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio sobre o sistema (negativa). E: é a energia total do sistema, dada por: ∫∫ ∀ ∀== )()( sistemasistemaM deedmE ρ e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a energia potencial do sistema (por unidade de massa). ugzVe UmgzmVE ++= ++= 2 2 1 2 2 As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por: ∫∫ •+∀∂ ∂ = ∀ SCCsistema AdVd tdt dN ηρηρ ∫ ∫ ∀ ∀ ∀== C sistema ddnNsistema )( ηρη A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da termodinâmica, estabelecemos: N = E N = η. M Fenômenos de Transporte – 02/2012 55 dm dE =η η=e ∫∫ •+∀∂ ∂ =− ∀ SCC sistema AdVedet WQ ρρ .. no instante t0: Csist WQWQ ∀ −=− .. . .. O termo . W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle. outroscisalnormaleixo WWWWW ..... +++= ∫ •= SC normal AdVpW . ∫∫∫ •+∀∂ ∂ = ++•+− ∀ SCC outroscisal SC eixo AdVede t WWAdVpWQ ρρ .... ( )∫∫ •++∀∂ ∂ =− ∀ SCC AdVpede t WQ ρρ .. AdVugzVde t WQ SCC • ++++∀ ∂ ∂ =− ∫∫ ∀ ρρυρ 2 2 Sendo: ρ υ 1= É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos sugeridos. Na equação, eixoW . é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência)realizado sobre ou pelo volume de controle, outrosW . é qualquer taxa de trabalho não considerada, como trabalho produzido por forças eletromagnéticas. Exemplo: Fenômenos de Transporte – 02/2012 56 Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência de calor. Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à seguinte fórmula: AdVugzVde t WQ SCC • ++++∀ ∂ ∂ =− ∫∫ ∀ ρρυρ 2 2 Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime permanente: ( ) ++++ +++−=− 1222 2 2 2221111 2 1 111 22 υρυρ pugzVAVpugzVAVWQ Colocando a vazão mássica em evidência ( ) ( ) ( ) −+−+−+ − =− 11221212 2 1 2 2 2 υυ ppuuzzgVVmWQ h = entalpia específica = u + pυ ( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p −=+−+=∆=− υυ 01 =V 21 ZZ = OBS.: Cp é tabelado, Rlbm BtuCpar ⋅ ⋅= 24,0 e Rlbm ftlbfRar ⋅ ⋅ = 3,53 s ftlbfHP ⋅⋅= 5501 e ftlbfBtu ⋅= 778 1 T (ºR) = 460 + T (ºF) Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos: ( ) WTTCVmQ p + −⋅+⋅= 12 2 2 2 ( ) s BTU, s lbm Rlbm BTU, s ftQ 7122612053995923990 2 500 02 22 −⋅ −⋅ ⋅ ⋅+⋅= s BTUQ 6 . 10.49,2−= 13.6. Equação de Bernoulli: (A) Fenômenos de Transporte – 02/2012 57 Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser simplificada. AdVugzVde t WQ SCC • ++++∀ ∂ ∂ =− ∫∫ ∀ ρρυρ 2 2 Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de trabalho realizadas, a equação se reduz a: AdVugzVWQ SC • +++=− ∫ ρρυ2 2 Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se alteram, a equação pode ser dada por: ( )( ) ( ) 11 2 1 22 2 2 22221111 22 22 AdVVAdVVmugzmugzWQ AA • −• ++++−++=− ∫∫ ρρυρυρ No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva. ( ) 11 2 1 22 2 2 111212 12 22 dAVVdAVVmuugzgzWQ AA • −• +−+−+−=− ∫∫ ρρυρυρ Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que: VdAVVdAV AA ραρ ∫∫ = 22 22 Onde: α: é o fator de correção da energia cinética Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta: mVVppuugzgzWQ −+−+−+−=− 22 2 1 1 2 2 2121212 ααυυ Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para escoamento em regime laminar, α = 2. Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se: −+−+−+−=− 22 2 1 1 2 2 2121212 VVppuugzgz m W m Q ααυυ Reescrevendo-se a equação, Fenômenos de Transporte – 02/2012 58 ( ) m Quu m WVpgzVpgz −−+= ++− ++ 12 2 2 222 2 1 111 22 αυαυ Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo . m W representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido (Hs) e o termo . 12 )( m Quu −− representa a conversão irreversível de energia mecânica na seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de calor. 13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais: Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos de atrito (fluidos ideais), têm que: . 12 )( m Quu =− A equação de Bernoulli pode ser dada então por: sH VpgzVpgz = ++− ++ 22 2 2 222 2 1 111 αυαυ Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se conserva. A equação é dada por: ++= ++ 22 2 2 222 2 1 111 VpgzVpgz αυαυ == ++ HVpgz 2 2 αυ constante Equação de Bernoulli para fluidos ideais A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime permanente é constante. 13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli: Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem Fenômenos de Transporte – 02/2012 59 dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais são: : g P ρ Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão estática local. z: Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação. g V 2 2 α : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão dinâmica local. H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento. Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura de carga dinâmica (de velocidade). Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um Duto. Linha Energética: g V g pz 2 2 ++ ρ Fenômenos de Transporte – 02/2012 60 Linha Piezométrica: g Pz ρ + . 13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli: 13.6.2.1. Teorema de Torricelli: Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral. Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a: g Vz g P g Vz g P 2 1 1 1 2 2 2 2 ++=++ ρρ Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1 A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja, 2211 VAVAQ == No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01 =V . Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atmPPP == 21 . Além disso, hzz =− 21 Portanto, g Vh 2 2 2= ghV 22 = Fenômenos de Transporte – 02/2012 61 Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h.”. 13.6.2.2. Medidores de vazão: Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico. Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de controle
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