Aula 3 Equações Diferenciais

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Universidade Federal Fluminense
TEC - Departamento de Engenharia Civil
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
E HIDRÁULICA I
Disciplina:
Prof.: Elson Nascimento
Gabriel Nascimento (TER)
Mecânica dos Fluidos – 3ª Aula
Equações Diferenciais
SUMÁRIO:
 4ª Aula – Equações diferenciais
 Equação da continuidade
 Equação da quantidade de movimento linear
 Equação de Navier-Stokes
 Equação de Euler
 Teorema de transporte de Reynolds: 
Conversão das leis básicas para análise de um 
sistema num volume de controle (entradas e 
saídas unidimensionais).
 
    







entrasai
VC
sistema AVAVd
dt
d
dt
Bd
dm
dB

 Volume de controle infinitesimal:
 Teorema de transporte de Reynolds: 
Conservação da massa:
dm
dB
 mB
1  

dt
md sistema 0
 

dt
md sistema 








VC
d
dt
d

     entrasai VAVA
0
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
 
    







entrasai
VC
sistema AVAVd
dt
d
dt
Bd
 Conservação da massa: 
Volume de controle infinitesimal:
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
dzdydx
t
d
dt
d
VC




 Volume de controle infinitesimal:
 Volume de controle infinitesimal:
+
+
+
-
-
-
=
dzdydx)u(
x



dzdydx)v(
y



dzdydx)w(
z



 Conservação da massa: 
Volume de controle infinitesimal:
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
dzdydx
t
d
dt
d
VC




   
dzdydxw
z
dzdydxv
y
dzdydxu
x
AVAV
i
entrainrii
i
saiinrii
)()()( 










 Conservação da massa: 
Volume de controle infinitesimal:
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
0)()()( 











dzdydxw
z
dzdydxv
y
dzdydxu
x
dzdydx
t

0)()()( 











w
z
v
y
u
xt

0)( 


V
t


 Conservação da massa: 
 Exemplo:
[PETROBRAS – ENG. EQP. JÚNIOR - 2008]
Considerando um escoamento permanente e
incompressível, cuja distribuição de velocidades seja
dada pela função 𝑣 = 3𝑥 𝑖 + 𝐶𝑦𝑗 + 2𝑥𝑘, calcule o valor
da constante C para que seja atendido o princípio da
continuidade.
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
dm
dB

dm
dB

V VmB 
      










entrasai
VC
sistema
AVVAVVdV
tdt
Vmd
 
    










entrasai
VC
sistema AVAVd
tdt
Bd
    










entrasai
VC
VmVmdV
t
F 
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Volume de controle infinitesimal:
    










entrasai
VC
VmVmdV
t
F   dzdydxV
t
dV
t
VC















 Volume de controle infinitesimal:
 Volume de controle infinitesimal:
 Volume de controle infinitesimal:
+
+
+
-
-
-
=
dzdydx)Vu(
x



dzdydx)Vv(
y



dzdydx)Vw(
z



 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Volume de controle infinitesimal:
  dzdydxV
t
dV
t
VC















    










entrasai
VC
VmVmdV
t
F 
    dzdydx)Vw(
z
dzdydx)Vv(
y
dzdydx)Vu(
x
VmVm
entrasai









    

















 )Vw(
z
)Vv(
y
)Vu(
x
V
t
dzdydxF
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
  

















 )Vw(
z
)Vv(
y
)Vu(
x
V
t
dzdydxF  )Vw(
z
)Vv(
y
)Vu(
x
V
t












dzdydx
dt
Vd
F  dt
Vd
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V












 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Aceleração 
dzdydx
dt
Vd
F  dt
Vd
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V












 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Forças de campo:
g
d
Fd
dxdydzgFd
g
g






dzdydx
dt
Vd
F 
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Forças de contato (pressão + viscosidade):
dzdydx
dt
Vd
F 
 Tensões nas faces do volume de controle:
 Forças nas faces do volume de controle:
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Forças viscosas:
kˆ
zyx
jˆ
zyx
iˆ
zyx
d
dF
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
v














































dzdydx
dt
Vd
F 
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Forças de pressão:
kdxdydz
z
p
jdxdzdy
y
p
idydzdx
x
p
dFp 
























dxdydzk
z
p
j
y
p
i
x
p
dFp 














dxdydzpdFp 
p
d
dFp


dzdydx
dt
Vd
F 
 Equação da quantidade de movimento 
linear.
 Forças de campo:
 Forças viscosas:
 Forças de pressão:
p
d
dFp


kˆ
zyx
jˆ
zyx
iˆ
zyx
d
dF
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
v














































g
d
Fd g 



dzdydx
dt
Vd
F 
 Equação da quantidade de movimento 
linear.





 

























 

























 




















z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
zyxz
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
zyxy
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
zyxx
p
g
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x


























































































z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
zyxz
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
zyxy
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
zyxx
p
g
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
 Fluidos ideais (Euler):
dt
Vd
pg  0ij 
 Fluidos ideais (Euler):
Exemplo: Um campo de escoamento permanente,
incompressívele sem atrito é dado por
em unidades arbitrárias. Seja a massa específica 0 =
constante e despreze a gravidade. Encontre uma
expressão para o gradiente de pressão na direção x.
dt
Vd
pg 
jˆyiˆxy2V 2
 Distorção de um elemento fluido em movimento:
x
y
 Distorção de um elemento fluido em movimento:
x
y
 Distorção de um elemento fluido em movimento:
x
y
v dt
u dt
dtdy
y
v
dy



dtdx
x
u
dx


dtdx
x
v

 dtdy
y
u


dx
dy
d
d
 Distorção de um elemento fluido em movimento:
x
y
v dt
u dt
dtdy
y
v
dy



dtdx
x
u
dx


dtdx
x
v

 dtdy
y
u


dx
dy
d
d



















dtdx
x
u
dx
dtdx
x
v
tanalim
0dt
d



















dtdy
y
v
dy
dtdy
y
u
tanalim
0dt
d
 Distorção de um elemento fluido em movimento:



















dtdx
x
u
dx
dtdx
x
v
tanalim
0dt
d



















dtdy
y
v
dy
dtdy
y
u
tanalim
0dt
d
dt
x
v


 dt
x
u

















y
u
dt
x
v
dt
d
d
y
u
x
v
dtdtdt
d xy










 dd














y
u
x
v
dt
d
xy
xy
xy














































z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
yz
xz
xy
 Fluidos newtonianos:
 Tensões viscosas para o 
caso 3D:
































































z
w
2
y
v
2
x
u
2
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
zz
yy
xx
zyyz
xzxz
yxxy
 Eq da qtd de mov Linear Navier-Stokes (fluidos newtonianos)





 

























 

























 




















z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
zyxz
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
zyxy
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
zyxx
p
g
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x





 






























 






























 

























z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
w
y
w
x
w
z
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
y
x



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2














































z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
zyyz
xzxz
yxxy


















z
w
2
y
v
2
x
u
2
zz
yy
xx
 Fluidos newtonianos (Navier-Stokes):





 






























 






























 

























z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
w
y
w
x
w
z
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
y
x



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 Exercício:
Um fluido viscoso de massa
específica  e viscosidade dinâmica
 constantes escorre devido a
gravidade entre duas placas
distantes 2h uma da outra, conforme
figura abaixo. O fluxo está totalmente
desenvolvido, com uma única
componente de velocidade w = w(x).
Não há gradientes de pressão
aplicados, somente a gravidade.
Resolva a equação de Navier-Stokes
para o perfil de velocidade entre as
placas.
 Referência bibliográfica:
 White, F.M., "Mecânica dos Fluidos", McGraw-
Hill, Brasil, 6a Edição, 2001.
 White, F.M., “Viscous Fluid Flow”, MacGraw-
Hill, 3rd edition, 2006.
 Fox R.W. & Mc Donald A.T.; “Introdução à 
Mecânica dos Fluídos”; John Wiley and Sons, 
N.Y., Tradução: LTC–Livros Técnicos e 
Científicos, RJ.
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