ufrrj_IT_503_Hidraulica_Aula_4_Hidrodinamica

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Hidrodinâmica 
Prof. Dr. Conan Ayade Salvador 
Prof. Dr. Leonardo Duarte Batista da Silva 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: IT 503 – FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA 
Seropédica - RJ 
 Introdução e Princípios Básicos; 
 Propriedades Físicas dos Fluidos; 
 Estática dos Fluidos; 
 Hidrodinâmica; 
 Hidrometria; 
 Condutos Forçados; 
 Bombas Hidráulicas; e, 
 Condutos Livres. 
Programa da Disciplina 
Escada hidráulica 
 Dinâmica de Fluidos; 
 Vazão; 
 Energia e suas formas de representação; 
 Classificação do movimento dos fluidos; 
 Linha e tubo de corrente; 
 Regime de escoamento; 
 Equações gerais do movimento; 
 Equação da continuidade; 
 Equação de Estado dos Fluidos; 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos. 
Tópicos da Aula 
É a parte da Hidráulica que estuda as leis que regem o 
movimento dos fluidos. 
Por simplificação no tratamento matemático do assunto será 
desenvolvido baseado nos fluidos perfeitos ou fluidos ideais. 
Esses fluidos não possuem viscosidade (e por consequência 
atrito interno) e também são incompressíveis (possuem 
massa específica constante qualquer que seja a pressão). 
Dinâmica dos Fluidos 
Vazão 
Vazão à base de volume (Q): É o volume de fluido que atravessa uma dada 
seção transversal de um conduto na unidade de tempo. 
ds 
Verifica-se que o volume de fluido que 
atravessa a seção a normal a direção do fluxo, 
em um intervalo de tempo dt, é igual ao 
volume gerado pelo deslocamento ds, de área 
A. Matematicamente, tem-se: 
𝑑𝑉𝑜𝑙 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑠 
Dividindo ambos os membros da equação por dt, tem-se: 
𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑑𝑡
=
𝐴 𝑥 𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
Q V 
𝑄 = 𝐴 𝑥 𝑉 Q – vazão volumétrica, m3 s-1 (L3 s-1, L3 h-1); 
A – área da seção de escoamento, m2; e, 
V – velocidade média do escoamento, m s-1. 
Forma mais comum de se expressar a vazão de um fluido. 
Vazão 
Vazão em massa (Qm): É a massa de fluido que atravessa uma dada seção 
transversal de um conduto na unidade de tempo. 
𝑄𝑚 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝜌 𝑥 𝑉𝑜𝑙
𝑡
 𝑄𝑚 = 𝜌𝑄 
Vazão em peso (Qp): É o peso de fluido que atravessa uma dada seção 
transversal de um conduto na unidade de tempo. 
Qm – vazão em massa, kg s
-1; 
Q – vazão volumétrica, m3 s-1; e, 
ρ – massa específica, kg m-3. 
𝑄𝑚 =
𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝛾 𝑥 𝑉𝑜𝑙
𝑡
 𝑄𝑚 = 𝛾𝑄 
Qp – vazão em peso, N s
-1; 
Q – vazão volumétrica, m3 s-1; e, 
γ – peso específico, N m-3. 
 Linha e Tubo de Corrente 
Linha de corrente é uma linha imaginária e contínua inserida em um 
escoamento, a qual tem a seguinte propriedade: o vetor velocidade de cada 
partícula do fluido que ocupa uma posição na linha de corrente é sempre 
tangente a essa mesma linha de corrente (PERES, 2006). 
Tubo de corrente é um tubo cuja as paredes é formada por linhas de corrente, 
logo, nenhuma partícula fluida pode atravessar suas paredes. 
Uma tubulação é considerada um tubo de corrente, visto que suas paredes 
são linhas de corrente e nenhum fluido pode atravessá-las. 
 Equações Gerais de Movimento 
Leonhard Paul Euler 
Basileia Suíça 15 de abril de 1707 - São 
Petersburgo 18 de setembro de 1783 (76 anos) 
Matemático Suíço 
 Equações Gerais de Movimento 
Considerando um cubo infinitesimal no interior de uma massa líquida, de 
arestas dx, dy, e dz, desenvolve-se o equacionamento das chamadas 
equações gerais do movimento dos fluidos perfeitos, denominadas 
“Equações de Euler”. 
AZEVEDO NETTO et al. (1998). 
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑧
= 𝑋 −
1
𝜌
.
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑧
= 𝑌 −
1
𝜌
.
𝜕𝑝
𝜕𝑦
 
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑉𝑥
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑉𝑦
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑧
𝜕𝑉𝑧
𝜕𝑧
= 𝑧 −
1
𝜌
.
𝜕𝑝
𝜕𝑧
 
Para a solução do problema do movimento dos fluidos são 
necessárias ainda duas equações que serão vistas adiante. 
 Equações Gerais de Movimento 
Considerando o movimento permanente, ou seja, que não exista variação 
em dx, dy e dz com o tempo, obtêm-se a equação de Euler para o 
movimento permanente, também chamada de “Equação das Forças 
Vivas”. 
AZEVEDO NETTO et al. (1998). 
Para a solução do problema do movimento dos fluidos são 
necessárias ainda duas equações que serão vistas adiante. 
1
𝜌
𝑑𝑝 = 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 − 𝑑(
𝑉2
2
) 
 Equação da Continuidade 
A Equação da Continuidade é de fundamental importância para estudar os 
movimentos dos fluidos nas condições de fluxo permanente. 
AZEVEDO NETTO et al. (1998). 
Considerando um trecho do tubo de corrente abaixo, com as seções A1 e A2 
e as respectivas velocidades V1 e V2, a quantidade de fluido de massa 
específica ρ que passa pelas seções é: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌1. 𝐴1. 𝑉1 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌2. 𝐴2. 𝑉2 
No movimento permanente: 𝜌2. 𝐴2. 𝑉2 = 𝜌1. 𝐴1. 𝑉1 
Para fluidos incompressíveis: 𝐴2. 𝑉2 = 𝐴1. 𝑉1 
Generalizando: 𝑄 = 𝐴1. 𝑉1 = 𝐴2. 𝑉2 = ⋯ = 𝐴𝑛. 𝑉𝑛 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
Daniel Bernoulli Groningen, Holanda 8 de 
fevereiro de 1700 — Basileia, Suíça 17 de 
março de 1782 (82 anos) 
Matemático Holandês. Foi contemporâneo 
e amigo de Leonard Euler. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Groningen
http://pt.wikipedia.org/wiki/8_de_fevereiro
http://pt.wikipedia.org/wiki/8_de_fevereiro
http://pt.wikipedia.org/wiki/1700
http://pt.wikipedia.org/wiki/Basileia
http://pt.wikipedia.org/wiki/17_de_mar%C3%A7o
http://pt.wikipedia.org/wiki/17_de_mar%C3%A7o
http://pt.wikipedia.org/wiki/1782
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonard_Euler
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
O teorema de Bernoulli resulta da aplicação da conservação da energia. 
Plano de 
referência 
Considera-se o tubo de corrente ao 
lado, transportando um fluido 
perfeito e incompressível. A variação 
da energia cinética é dada por: 
∆𝐸𝑐=
𝑑𝑚1𝑉1
2
2
−
𝑑𝑚2𝑉2
2
2
 
A ∆Ec é igual ao trabalho realizado pelas forças devidas à pressão e à 
gravidade. 
Trabalho devido às forças de pressão: 
Trabalho devido à força gravitacional: 
𝑝1. 𝐴1. 𝑑𝑥1 − 𝑝2. 𝐴2. 𝑑𝑥2 
𝑑𝑚1. 𝑔. 𝑧1 − 𝑑𝑚2. 𝑔. 𝑧2 
h = z 
(1) 
(2) 
(3) 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
Plano de 
referência 
Igualando (1) a (2) e (3), tem-se: 
h = z 
𝑑𝑚1𝑉1
2
2
−
𝑑𝑚2𝑉2
2
2
= (𝑝2. 𝐴2. 𝑑𝑥2 − 𝑝1. 𝐴1. 𝑑𝑥1)
+ (𝑑𝑚2. 𝑔. 𝑧2 − 𝑑𝑚1. 𝑔. 𝑧1) 
Como A.dx = dm/ρ. Substituindo: 
𝑑𝑚1𝑉1
2
2
−
𝑑𝑚2𝑉2
2
2
= (𝑝2.
𝑑𝑚2
𝜌
− 𝑝1.
𝑑𝑚1
𝜌
) + (𝑑𝑚2. 𝑔. 𝑧2 − 𝑑𝑚1. 𝑔. 𝑧1) 
Como dm1=dm2 (fluido incompressível), tem-se: 
𝑉1
2
2
−
𝑉2
2
2
= (
𝑝2
𝜌
−
𝑝1
𝜌
) + (𝑔. 𝑧2 − 𝑔. 𝑧1) 
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔. 𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔. 𝑧2 
𝑝1
𝜌𝑔
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
𝑝1
𝛾
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 
÷ g 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
O teorema de Bernoulli: 
“Em qualquer ponto do escoamento permanente de um fluido perfeito, sem fornecer 
ou receber energia, quando a energia total do fluido é expressa à base de peso, a 
soma das alturas piezométricas (p/γ), cinética (V2/2g) e potencial (Z) ao longo de 
cada linha de corrente se mantém constante.” 
Plano de energia total = linha de energia 
Q (1) 
 
 
(2) 
 
Z1 Z2 
 
 
P1 /  
P2 /  
Linha Piezométrica 
V1
2 / 2g 
V2
2 / 2g 
Plano de referência 
𝑝1
𝛾
+
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1 =
𝑝2
𝛾
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Onde Z + p/ = carga piezométrica; somando-se a carga cinética = linha de energia. 
Quando a linha de energia = linha de energia total, é porque não existe a perda de energia. 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
Demonstração experimental do Teorema de Bernoulli (Froude, 1875): 
Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à 
alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, 
portanto, tambémé maior a carga cinética, resultando menor carga de 
pressão. Como as seções são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e 
a constância da carga total (soma das aturas). 
Exemplo 1: Um tubo de 200 mm de diâmetro está instalado em um 
reservatório de água, conforme figura abaixo. Calcule a velocidade do jato e 
a vazão do tubo. Considere a água como um fluido perfeito. 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
constante 1 
2 NR 
h = 4 m 
PERES (2006). 
Exemplo 2: O tubo venture abaixo está instalado em nível. Sabendo-se que 
o manômetro de mercúrio indica uma deflexão de 360 mm, determine a 
vazão da água atuante no venturímetro. Considere nula a perda de energia 
entre os pontos (1) e (2). 
 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
Q 
PERES (2006). 
“Você pode encarar um erro como uma besteira a ser 
esquecida, ou como um resultado que aponta uma 
nova direção” 
 
 Steve Jobs