Exercícios para aula SME

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01/09/2016 
1 
Sistema de Medição 
SME - exercícios 
Engenharia da 
Qualidade 
2 
Minha empresa está em processo de compra de três instrumentos 
para medir variáveis com grandezas diferentes. Em um teste 
realizado utilizado padrões de 10, 150 e 1000, foram coletados os 
dados abaixo. Qual deles apresenta a menor dispersão? 
A B C 
10,1 150,1 991 
10,3 149 1000 
9,8 151 996 
10,8 159,8 1005 
10,6 152 1003 
Média = 
DP = 
V. Verdadeiro 10 150 1000 
Coeficiente de variação CV 
Vício ou erro sistemático 
% vicio/v. verdadeiro 
3 
Uma balança foi calibrada com um peso padrão de 5000 g. O 
procedimento de pesar foi repetido 10 vezes encontrando os valores 
abaixo. Entende-se que a balança está bem calibrada quando seu 
erro sistemático é zero. 
1 – Calcule o erro sistemático. 
2 – Estabeleça um intervalo de 
confiança de 95% para o erro 
sistemático. 
3 – Interpretando o intervalo de confiança 
estabelecido, pode-se dizer que a 
balança está calibrada? 
Medida Peso (g) 
1 5038 
2 4950 
3 5047 
4 5000 
5 5030 
6 5017 
7 5000 
8 5015 
9 4990 
10 5049 
4 
Medida Peso (g) 
1 5038 
2 4950 
3 5047 
4 5000 
5 5030 
6 5017 
7 5000 
8 5015 
9 4990 
10 5049 
média = 
DP = 
Valor verdadeiro 5000,0 
Erro sistemático= 
1-α = 0,95 
α = 
σ/2 = 
n = 10 
t = 
E = 
1 – Calcule o erro sistemático. 
2 – Estabeleça um intervalo de 
confiança de 95% para o erro 
sistemático. 
IC = Xbarra - E ≤ Xbarra ≤ Xbarra + E 
IC = 
IC = 
E = 
3 – Interpretando o intervalo de confiança estabelecido, pode-
se dizer que a balança está calibrada? 
5 
2 – Estabeleça um intervalo de confiança de 95% para o erro 
sistemático. 
n
s
E
t n *1,2/ 


6 
Exercício 8.29, página 289, 7ª ed, do livro Controle Estatístico 
da Qualidade do Montgomery 
Sabe-se que uma combinação operador-instrumento testa peças 
com erro médio zero; no entanto, o desvio padrão da medição é 
estimado em 3. Amostras de um processo controlado foram 
analisadas e a variabilidade total foi estimada em σtotal = 5. Qual é 
o verdadeiro desvio padrão do processo? 
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2 
7 
1 – Uma empresa modernizando seus processos adquiriu um 
equipamento de medida mais sofisticado que o anterior. Num 
estudo da repetitividade e da reprodutibilidade do processo 
de medida com o equipamento, inicialmente, o operador 1 
utilizou-o para medir uma dimensão crítica em dez peças. 
Cada peça foi medida três vezes pelo operador. Os dados 
estão na tabela a seguir. 
Exercício 5.9, página 157 do livro dos professores da USP – 
Controle estatístico da Qualidade. 
8 
Nº 
peça 
Operador 1 Operador 2 
# 1 # 2 # 3 # 1 # 2 # 3 
1 31 31 31 31 30 30 
2 29 31 30 28 30 31 
3 33 30 30 34 32 31 
4 30 31 30 31 28 29 
5 27 26 29 26 27 28 
6 30 29 30 30 28 31 
7 32 30 30 32 30 30 
8 32 32 31 31 31 31 
9 32 30 29 33 28 30 
10 28 29 28 28 29 28 
Xbarra R 
31,0 0,0 
30,0 2,0 
31,0 3,0 
30,3 1,0 
27,3 3,0 
29,7 1,0 
30,7 2,0 
31,7 1,0 
30,3 3,0 
28,3 1,0 
Xbarra R 
30,3 1,0 
29,7 3,0 
32,3 3,0 
29,3 3,0 
27,0 2,0 
29,7 3,0 
30,7 2,0 
31,0 0,0 
30,3 5,0 
28,3 1,0 
X12barras = 
 R1barra = 
X22barras = 
 R2barra = 
9 
Nº peça 
Operador 1 
# 1 # 2 # 3 
1 31 31 31 
2 29 31 30 
3 33 30 30 
4 30 31 30 
5 27 26 29 
6 30 29 30 
7 32 30 30 
8 32 32 31 
9 32 30 29 
10 28 29 28 
Xbarra R 
31,0 0,0 
30,0 2,0 
31,0 3,0 
30,3 1,0 
27,3 3,0 
29,7 1,0 
30,7 2,0 
31,7 1,0 
30,3 3,0 
28,3 1,0 
X12barras = 
 R1barra = 
a) Considerando apenas os dados do operador 1, verifique se o 
instrumento é adequado para efeito de medir a variabilidade 
entre peças. Qual é a sua conclusão? 
a) Considerando apenas os dados do operador 1, verifique se o 
instrumento é adequado para efeito de medir a variabilidade 
entre peças. Qual é a sua conclusão? 
X12barras = 
R1barra = 
A2 = 
D4 
D3 = 
Gráfico Xbarra Gráfico R 
LSC LSC 
LM LM 
LIC LIC 
10987654321
32
31
30
29
28
Sample
Sam
ple
 Me
an __
X=30,033
UCL=31,773
LCL=28,294
10987654321
4
3
2
1
0
Sample
Sam
ple
 Ra
nge
_
R=1,7
UCL=4,376
LCL=0
1
Xbar-R Chart of p1; ...; p3
10 
11 12 
b) Posteriormente outro operador (operador 2) foi utilizado para 
medir as mesmas peças. Utilizando os dados de ambos 
operadores, estime a repetitividade e reprodutibilidade deste 
método/instrumento de medida (isto é, os desvios padrão 
associados a cada uma dessas propriedades). 
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3 
13 
14 
c) Estime o desvio padrão total do erro de medição. 
15 
d) O desvio padrão total dos dados foi calculado e é igual a 1,67. 
Qual é a sua estimativa do desvio padrão da dimensão crítica 
X das peças? 
16 
e) A especificação para a dimensão da peça é 30 ± 7,5. 
Considerando a especificação, a capacidade do sistema de 
medição é adequada? Justifique. 
LSE = 37,5 
LME = 30 
LIE = 22,5 
17 
f) Calcule o % R&R. O instrumento é adequado em relação à 
variabilidade do conjunto de dados? Por que? Variabilidade 
total 
18 
Gage R&R Study - XBar/R Method - MINITAB 
 %Contribution 
Source VarComp (of VarComp) 
Total Gage R&R 1,37729 40,74 
 Repeatability 1,37729 40,74 
 Reproducibility 0,00000 0,00 
Part-To-Part 2,00369 59,26 
Total Variation 3,38097 100,00 
 Study Var %Study Var 
Source StdDev (SD) (6 × SD) (%SV) 
Total Gage R&R 1,17358 7,0415 63,83 
 Repeatability 1,17358 7,0415 63,83 
 Reproducibility 0,00000 0,0000 0,00 
Part-To-Part 1,41552 8,4931 76,98 
Total Variation 1,83874 11,0325 100,00 
Number of Distinct Categories = 1 
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4 
19 
MINITAB 
20 
Exercício Exemplo 7 e 8.30 página 270 e 289 do livro Introdução 
ao Controle Estatístico da Qualidade do Montgomery 
Deve-se usar um instrumento como parte da implementação de 
proposta de CEP. Seria conveniente que a equipe envolvida no 
projeto de melhoria da qualidade obtivesse uma avaliação da 
capacidade do medidor. Obtêm-se 20 unidades do produto, e o 
operador do processo, que efetivamente toma as medidas para 
os gráficos de controle, utiliza um instrumento para medir cada 
unidade do produto duas vezes. Os dados são apresentado na 
tabela abaixo. Especificação da peça LSE = 60 e LIE = 5. 
Considere intervalo de 99,73 %. 
 
Com base nos dados apresentados, qual é a capacidade do 
medidor? 
21 
X2barras = 22,3 
Rbarra = 1,0 
Medidor do 
processo 
Número da 
peça 
Medidas 
# 1 # 2 
1 21 20 
2 24 23 
3 20 21 
4 27 27 
5 19 18 
6 23 21 
7 22 21 
8 19 17 
9 24 23 
10 25 23 
11 21 20 
12 18 19 
13 23 25 
14 24 24 
15 29 30 
16 26 26 
17 20 20 
18 19 21 
19 25 26 
20 19 19 
Xbarra R 
20,5 1 
23,5 1 
20,5 1 
27 0 
18,5 1 
22 2 
21,5 1 
18 2 
23,5 1 
24 2 
20,5 1 
18,5 1 
24 2 
24 0 
29,5 1 
26 0 
20 0 
20 2 
25,5 1 
19 0 22 
A2 = D4 = 
LSC X2barras LIC LSC Rbarra LIC 
15
17
19
21
23
25
27
29
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Gráfico Xbarra 
Gráfico R 
23 
Capacidade do medidor é variabilidade do medidor em relação 
à tolerância da especificação ou do processo. 
24 
Um novomedidor está sendo avaliado para este processo. O 
mesmo operador mede as 20 peças duas vezes usando o 
novo medidor e obtém os dados da tabela a seguir. 
Novo Medidor 
01/09/2016 
5 
25 
Novo medidor 
X2barras = 21,8 
Rbarra = 2,8 
Número 
da peça 
Medidas 
# 1 # 2 
1 19 23 
2 22 28 
3 19 24 
4 28 23 
5 16 19 
6 20 19 
7 21 24 
8 17 15 
9 24 26 
10 25 23 
11 20 25 
12 16 15 
13 25 24 
14 24 22 
15 31 27 
16 24 23 
17 20 24 
18 17 19 
19 25 23 
20 17 16 
Xbarra R 
21 4 
25 6 
21,5 5 
25,5 5 
17,5 3 
19,5 1 
22,5 3 
16 2 
25 2 
24 2 
22,5 5 
15,5 1 
24,5 1 
23 2 
29 4 
23,5 1 
22 4 
18 2 
24 2 
16,5 1 
26 
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Gráfico Xbarra 
Gráfico R 
Novo medidor 
A2 = D4 = 
LSC X2barras LIC R LSC Rbarra LIC 
27 
a) O que se pode dizer sobre o desempenho do novo medidor 
em relação ao antigo. 
Novo medidor 
28 
Novo medidor 
b) Se a especificação é 25 ± 15, qual é razão P/T para este 
medidor? 
29 
Exercício 8.34, página 290, livro Introdução ao controle estatístico 
da qualidade do Montgomery. 
Um experimento de um sistema de medidas que envolve 20 
peças, três operadores e duas medições por peça é mostrado no 
quadro abaixo. 
a) Estime a repetitividade e reprodutibilidade do medidor. 
b) Qual é a estimativa da variabilidade total do medidor? 
c) Se as especificações do produto são LIE = 6 e LSE = 60 o que 
se pode dizer sobre a capacidade do medidor? 
30 
Número da peça 
Medidas 
Operador 1 Operador 2 Operador 3 
1 21 20 20 20 19 21 
2 24 23 24 24 23 24 
3 20 21 19 21 20 22 
4 27 27 28 26 27 28 
5 19 18 19 18 18 21 
6 23 21 24 21 23 22 
7 22 21 22 24 22 20 
8 19 17 18 20 19 18 
9 24 23 25 23 24 24 
10 25 23 26 25 24 25 
11 21 20 20 20 21 20 
12 18 19 17 19 18 19 
13 23 25 25 25 25 25 
14 24 24 23 25 24 25 
15 29 30 30 28 31 30 
16 26 26 25 26 25 27 
17 20 20 19 20 20 20 
18 19 21 19 19 21 23 
19 25 26 25 24 25 25 
20 19 19 18 17 19 17 
01/09/2016 
6 
31 
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
Gráfico Xbarra 
Gráfico R 
A2 = Gráfico Xbarra Gráfico R 
D4 = LSC = LSC = 
D3 = LM = LM = 
 LIC = LIC = 
32 
33 
ESPECIFICAÇÃO 
LSE = 60 LIE = 6 T = LES - LIE = 54 
a) Estime a repetitividade e reprodutibilidade do medidor 
REPETITIVIDADE 
d2 = 
R2barras = 
REPRODUTIBILIDADE 
d2 = 
Rxbarra = 
n = 
r = 
34 
b) Qual é a estimativa da variabilidade total do medidor? 
R&R 
 
 
c) Se as especificações do produto são LIE = 6 e LSE = 60 o que 
se pode dizer sobre a capacidade do medidor? 
35 
PEÇA - PROCESSO 
VARIAÇÃO TOTAL 
36 
Gage R&R Study - XBar/R Method 
 %Contribution 
Source VarComp (of VarComp) 
Total Gage R&R 1,0416 10,24 
 Repeatability 1,0387 10,21 
 Reproducibility 0,0029 0,03 
Part-To-Part 9,1328 89,76 
Total Variation 10,1744 100,00 
 Study Var %Study Var 
Source StdDev (SD) (6 × SD) (%SV) 
Total Gage R&R 1,02060 6,1236 32,00 
 Repeatability 1,01916 6,1150 31,95 
 Reproducibility 0,05422 0,3253 1,70 
Part-To-Part 3,02205 18,1323 94,74 
Total Variation 3,18973 19,1384 100,00 
Number of Distinct Categories = 4 
01/09/2016 
7 
37