07 Controladores Analógicos

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Controladores Analógicos
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Amplificadores operacionais, também conhecidos como Amp Op, são 
circuitos integrados analógicos ativos (o que quer dizer que possuem uma 
fonte de alimentação externa) muito utilizados em diversas aplicações 
como por exemplo na amplificação de sinais em circuitos de sensores.
No entanto, a aplicação de interesse para o curso é a utilização de Amp Ops
como blocos básicos na implementação de funções de transferência 
utilizadas para implementar controladores analógicos.
Controlador Analógicos
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Amp Ops possuem duas entradas +V e –V de alimentação que são 
normalmente omitidas do circuito, uma vez que não influenciam 
diretamente no seu comportamento, seu papel é apenas energizar o 
circuito integrado do Amp Op.
É comum escolher o terra como 0 V e medir v1,v2 e vo relativamente ao 
terra. A entrada v1 do terminal negativo do Amp Op é invertida (entrada 
inversora) e a entrada v2 do terminal positivo não é invertida (não 
inversora).
Amplificadores Operacionais
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Amplificadores operacionais ideais apresentam as seguintes características:
1. Entrada diferencial 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
2. Alta impedância de entrada (𝑍𝑖 → ∞)
3. Baixa impedância de saída (𝑍𝑜 → 0)
4. Ganho elevado e constante de amplificação (𝐴 → ∞)
Amplificadores Operacionais
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A partir da primeira propriedade:
1. Entrada diferencial 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
temos que a saída do amplificador operacional é dada por
Amplificadores Operacionais
𝑣0 𝑡 = 𝐴 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
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A partir da segunda propriedade:
2. Alta impedância de entrada (𝑍𝑖 → ∞)
conclui-se que não entra corrente no Amp Op através de +v1 e +v2
De fato, lembrando-se da equação que relaciona tensão e corrente em uma 
impedância complexa:
com uma tensão V fixa, para uma impedância Z tendendo ao infinito, a 
corrente I tende a zero.
Amplificadores Operacionais
𝑉𝑖 = 𝑍𝑖 ∙ 𝐼𝑖
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A partir da terceira propriedade:
3. Baixa impedância de saída (𝑍𝑜 → 0)
temos que o Amp Op poderia, em teoria, fornecer uma corrente infinita na 
saída vo , portanto, a tensão de saída vo independe da carga ligada na saída 
do Amp Op. Na prática, essa corrente é limitada pela fonte de alimentação 
do Amp Op (+V e –V).
Amplificadores Operacionais
𝑉𝑜 = 𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ∙ 𝐼o
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A partir da quarta propriedade:
4. Ganho elevado e constante de amplificação (𝐴 → ∞)
temos que a equação do Amp Op pode ser reescrita como:
Amplificador Operacional
𝑣0 𝑡 = 𝐴 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
𝑣0 𝑡
𝐴
= 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
0 = 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡 𝑣2 𝑡 = 𝑣1 𝑡
𝐴 → ∞
Portanto, a tensão nas duas entradas do amplificador serão sempre iguais.
como
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- Sem Realimentação
Amp-Op em malha aberta tende a saturar em valores próximos a +V e –V. 
Essa configuração é aplicada em comparadores, detectores de nível e 
detectores de passagem por zero.
- Realimentação Positiva
Nessa configuração o sinal de saída do Amp Op é realimentado na entrada 
não inversora. Este tipo de configuração pode conduzir o circuito à 
instabilidade. Algumas aplicações são comparadores com histerese, 
multivibradores e osciladores.
- Realimentação Negativa
A saída do Amp Op é realimentado na entrada inversora, resultando em 
uma relação saída/entrada estável. Esta configuração possui diversas 
aplicações, dentre elas: Inversores, não inversores, buffers, somadores, 
subtratores, integradores, diferenciadores, filtros ativos, conversores 
tensão-corrente e corrente-tensão e retificadores de precisão.
Configurações Básicas
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É conhecido como amplificador operacional inversor devido ao fato do sinal 
de entrada ser conectado na entrada inversora, portanto, o sinal de saída 
apresenta polaridade invertida.
Realimentação Negativa
Como será utilizada a abordagem de impedância complexa, a figura já está 
representada no domínio de Laplace.
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Como na configuração inversora a entrada positiva está aterrada, a 
equação do amplificador operacional se reduz a
Realimentação Negativa
Mas, conforme mostrado, a quarta propriedade implica que as duas 
entradas do Amp Op possuem a mesma tensão, portanto V1(s) também 
está aterrado (terra virtual), logo não há queda de tensão neste terminal 
do Amp Op.
𝑉0 𝑠 = −𝐴 ∙ 𝑉1 𝑠
𝑣0 𝑡 = 𝐴 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
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Aplicando a Lei de Kirchhoff dos Nós no ponto verde:
Realimentação Negativa
𝐼𝐴 𝑠 = 𝐼1 𝑠 + 𝐼2 𝑠
E como a impedância de entrada 
do Amp Op é infinita (não entra 
corrente): IA(s) = 0
𝐼1 𝑠 = −𝐼2 𝑠
Assim, as equações das impedâncias complexas do circuito são:
𝑉𝑖 𝑠 = 𝑍1 𝑠 ∙ 𝐼1 𝑠
𝑉𝑜 𝑠 = 𝑍2 𝑠 ∙ 𝐼2 𝑠
𝑉𝑜 𝑠
Vi 𝑠
= −
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
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Realimentação Negativa
Observe que a função de transferência possui um sinal negativo pois a 
configuração de realimentação negativa utiliza a porta inversora do Amp Op.
Para circuitos mais complexos, pode-se calcular as impedâncias complexas 
equivalentes através de associações em série e em paralelo e substituí-las 
na função de transferência obtida.
Lembrando que associações de impedâncias complexas em série e em 
paralelo são feitas como as associações de resistores.
𝑉𝑜 𝑠
Vi 𝑠
= −
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
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Revisão
Associação Impedância Equivalente
Série 𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2
Paralelo 𝑍𝑒𝑞 =
𝑍1 ∙ 𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
Componente Eq. no Tempo Eq. em Laplace Imp. Complexa
Resistor 𝑣𝑅 = 𝑅 ∙ 𝑖𝑅 𝑉𝑅 = 𝑅 ∙ 𝐼𝑅 𝑍𝑅 = 𝑅
Indutor 𝑣𝐿 = 𝐿 ∙
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
𝑉𝐿 = 𝐿𝑠 ∙ 𝐼𝐿 𝑍𝐿 = 𝐿𝑠
Capacitor 𝑖𝐶 = 𝐶 ∙
𝑑𝑣𝐶
𝑑𝑡
𝑉𝐶 =
1
𝐶𝑠
∙ 𝐼𝐶 𝑍𝐶 =
1
𝐶𝑠
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Controladores
Controle Circuito
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Controladores
Avanço
ou Atraso
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Exemplo 1
A função de transferência do circuito acima é:
Que representa um controlador tipo PI.
𝑉0 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
=
22𝑠 + 1000
36𝑠
Obtenha a função de transferência do circuito abaixo:
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Exemplo 2
KP = 5
KI = 2
KD = 0.5
𝑃𝐼𝐷 𝑠 = 𝐾𝑃 +
𝐾𝐼
𝑠
+ 𝐾𝐷𝑠 =
𝐾𝐷𝑠
2 + 𝐾𝑃𝑠 + 𝐾𝐼
𝑠
=
0,5𝑠2 + 5𝑠 + 2
𝑠
Obtenha a implementação analógica 
do controlador PID dado por:
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Exemplo 2
𝑃𝐼𝐷 𝑠 =
𝑅4
𝑅3
𝑅2
𝑅1
∙
𝑅1𝐶1𝑠 + 1 𝑅2𝐶2𝑠 + 1
𝑅2𝐶2𝑠
A expressão da implementação analógica do controlador PID é:
𝑃𝐼𝐷 𝑠 =
𝑅4
𝑅3𝑅1𝐶2
∙
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2𝑠
2 + 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2 𝑠 + 1
𝑠
Ou ainda:
Onde: 𝐾𝑃 =
𝑅4 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
𝑅3𝑅1𝐶2
𝐾𝐼 =
𝑅4
𝑅3𝑅1𝐶2
𝐾𝐷 =
𝑅4𝑅2𝐶1
𝑅3
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Exemplo 2
Primeiro, foi escolhido R4 = R3 = 10 kΩ, desta forma, o segundo estágio do 
controlador terá ganho unitário e apenas servirá para inverter o sinal. 
Assim, as expressões se tornam:
𝐾𝑃 =
𝑅4 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
𝑅3𝑅1𝐶2
𝐾𝐼 =
𝑅4
𝑅3𝑅1𝐶2
𝐾𝐷 =
𝑅4𝑅2𝐶1
𝑅3
𝐾𝑃 =
𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2
𝐾𝐼 =
1
𝑅1𝐶2
𝐾𝐷 = 𝑅2𝐶1
Pode-se escolher R1 = 100 kΩ e C2 = 5 µF para termos KI = 2
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Exemplo 2
Assim: 𝐾𝑃 = 2 ∙ 10
5 ∙ 𝐶1 + 10
−5 ∙ 𝑅2 𝐾𝐷 = 𝑅2𝐶1
Da segunda equação, como deseja-se 
KD = 0,5 , pode-se escrever:
𝐶1 =
0,5
𝑅2
E substituindo a expressão de C1 e KP = 5 
na primeira equação:
10−5 ∙ 𝑅2
2 − 5𝑅2 + 10
5 = 0
Portanto, R2 = 479,1 kΩ ou R2 = 20,8 kΩ
Logo, C1 = 1,04 µF ou C1 = 0,23 µF
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Exemplo 2
Em resumo:
Componente Valor Projetado Valor Comercial
R3 10 kΩ 10 kΩ
R4 10 kΩ 10 kΩ
R1 100 kΩ 100 kΩ
R2 479,1 kΩ ou 20,8 kΩ 470 kΩ ou 20 kΩ
C1 1,04 µF ou 0,23 µF 1 µF
C2 5 µF 5,1 µF
E a função de transferência real do controlador analógico é:
𝑃𝐼𝐷 𝑠 =
0,47𝑠2 + 4,896𝑠 + 1,961
𝑠