tcm2 capitulo6

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120
5. Convecção com Mudança de Fase 
 
5.1 Transferência de Calor na Condensação 
 
5.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical 
 
Nos capítulos anteriores independentemente do aquecimento ou resfriamento, o 
fluido sempre permanecia numa única fase. Neste capítulo, consideram-se os casos em 
que o fluido sofre uma mudança de fase durante a convecção. Condensação pode 
ocorrer quando um reservatório contendo um vapor tem sua parede resfriada, como 
ilustrado na Figura 5.1, na qual também são ilustrados os perfis de velocidade e 
temperatura. Na interface entre o filme líquido e o vapor a temperatura é igual a 
temperatura de saturação. 
 
 
Figura 5.1 Regimes de escoamento de filme de condensado sobre uma parede vertical 
resfriada. 
 
Considere, agora, só a região laminar ilustrada na Figura 5.2, em que um vapor 
saturado e estacionário entra em contato com uma parede resfriada. Na hipótese de 
camada limite a equação de movimento fica na forma: 
 121
 
Figura 5.2 Filme laminar de condensado suprido por um reservatório de vapor saturado 
estacionário 
 
 
g
x
v
y
p
y
vv
x
vu lll ρμρ +∂
∂+∂
∂−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
2
2
 (5.1) 
 
Admitindo que a distribuição de pressão seja dada pelo vapor, gdydp vρ=/ , então a 
Eq. (5.1) pode ser reescrita como 
 
( )�
�	�
	��� 
�� 	� sumidouro vl
fricção
l
inércia
l gx
v
y
vv
x
vu ρρμρ −+∂
∂=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂
2
2
 (5.2) 
 
Supondo que os termos de inércia sejam desprezíveis em relação ao atrito 
viscoso, resulta a equação: 
 
( )�
�	�
	� sumidouro vl
fricção
l gx
v ρρμ −+∂
∂= 2
2
0 
 
com as condições de contorno 
 
 122
)(;0
0;0
yx
x
v
xv
δ==∂
∂
==
 (5.3) 
 
Integrando duas vezes em x, obtém-se a distribuição da velocidade do filme de 
condensado: 
 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=
2
2
2
1),( δδδρρμ
xxgyxv vl
l
 (5.4) 
 
na qual )(yδ é a espessura do filme líquido que é desconhecida. 
A taxa total de escoamento de massa através da seção de filme é: 
 
( ) 3
0 3
)( δρρμ
ρρδ vl
l
l
l
g
vdxy −==Γ ∫ em [kg/s/m] (5.5) 
Pode se notar que a velocidade e vazão mássica são proporcionais a ( )vlg ρρ − e 
inversamente proporcionais a lμ . 
 
Para estimar a espessura do filme de líquido aplica-se a primeira lei da 
termodinâmica ao volume de controle dyxδ , obtendo-se 
 
vdxhdHdHHdhdyqH lgw ρ=+=Γ+′′− ; (5.6) 
 
que integrada fornece 
 
( )[ ]∫ −−= δ ρ0 , dxTTchvH satlpfl (5.7) 
 
Visto que o fluido levemente sub-resfriado ( satTT < ) a entalpia específica será menor 
do que a entalpia do líquido saturado ( )fhh < . Nusselt propôs a seguinte relação: 
 
 
 123
δ
x
TT
TT
wsat
sat −≅−
−
1 (5.8) 
 
que substituída na Eq. (5.7) juntamente com a Eq. (5.4) leva à equação para cálculo da 
entalpia 
 
( ) Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= wsatlpf TTchH ,8
3 (5.9) 
 
O fluxo de calor na parede é: 
 
δ
wsat
lw
TT
kq
_≅′′ (5.10) 
Do balanço de energia 
 
Γ+′′−= dhdyqdH gw (5.11) 
 
e, portanto, com o uso das Eqs. (5.5), (5.9) e (5.11) obtém-se 
 
( ) 0
8
3
, =−−Γ+Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−− dyTTkdhdTTch wsatlgwsatlpf δ ou 
 
( )
Γ′=
Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=−
d
dTTchdyTTk wsatlpfgwsatl
fg
,
h 
8
3
δ (5.12) 
 
Pela Eq. (5.5) 
 
( ) δδρρμ
ρ
d
g
d vl
l
l 23
3
−=Γ (5.13) 
 
a qual substituída em (5.12) resulta 
 
 
 124
( )
( ) δδρρ
ν ddy
g
TTk
vl
wsatll 3
fgh
=−′
−
 (5.14) 
 
Integrando a Eq. (5.14) de 0=y até δ=y obtém-se a espessura de filme líquido: 
 
( )
( )
4/1
fgh
4
)( ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−′
−=
vl
wsatll
g
TTk
yy ρρ
νδ (5.15) 
 
Os coeficientes local e médio de transferência de calor podem ser calculados 
como 
 
( )
( )
( )
( )
4/13
4
/
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==−
−=−
′′=
wsatl
vlfgll
wsat
wsatl
wsat
w
y TTy
ghkk
TT
TTk
TT
q
h ν
ρρ
δ
δ
 (5.16) 
 
Ly
Ly
L h
h
h =
= =−+= 3
4
)4/1(1
 (5.17) 
 
O número de Nusselt global (médio) é então calculado pela correlação 
 
( )
( )
4/13
943,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==
wsatll
vlfg
l
L
L TTk
ghL
k
LhuN ν
ρρ
 (5.18) 
 
A partir das Eqs. (5.15) e (5.18) pode-se demonstrar que 
 
( )
( )
4/13
707,0
)( ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′=
wsatll
vlfg
TTk
ghL
L
L
ν
ρρ
δ (5.19) 
 
As propriedades são avaliadas a temperatura 2/)( satw TT + e a entalpia de condensação 
é avaliada de tabelas de propriedades termodinâmicas a satT . Para perfil de temperatura 
não linear Rohsenow propôs 
 
 125
( )wsatlpfgfg TTchh −+=′ ,68,0 ou (5.20) 
 
)68,01( Jahh fgfg +=′ (5.21) 
 
na qual 
 
( )
fg
wsatlp
h
TTc
Ja
−= , (5.22) 
 
é o número de Jakob que mede o grau de sub-resfriamento do filme líquido. 
 
A taxa total de calor absorvida pela parede por unidade de largura é 
 
( ) ( ) Lwsatlwsatl uNTTkTTLhq −=−=′ (5.23) 
 
Se Ly = , a taxa total de condensação é 
 
( ) Lwsat
fg
l
fg
uNTT
h
k
h
qL −′=′
′=Γ )( (5.24) 
 
Em muitos casos lvlvl ρρρρρ ≅−⇒>> . 
 
Ex. 5.1 Uma parede plana vertical na temperatura CT ow 60= faceia um espaço cheio 
de vapor saturado estagnante a pressão atmosférica. A altura da parede é 2 m . 
Assumindo escoamento laminar, calcule a taxa em que vapor se condensa na parede 
vertical. 
 
5.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical 
 
O filme líquido se torna ondulado e mais abaixo, turbulento quando a ordem de 
grandeza do Reynolds local é maior do 100. O Reynolds local do filme líquido pode ser 
 126
calculado na forma 
l
l
y
yv
μ
δρ )(
Re = , em que o numerador e igual à taxa de 
condensação, )(yvl δρ=Γ . O Reynolds local tem sido, entretanto, definido como 
 
l
y
y
μ
)(4Re Γ= (5.25) 
 
Experimentos mostram que o escoamento laminar cessa quando 30Re ≈y e é 
ondulado na faixa 1800Re30 ≤≤ y . Foi proposto por Chen et al. a correlação 
 
[ ] 30Re;PrRe)1082,5(Re 2/13/18,0644,03/12 ≥+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−
LlLL
l
l
l x
gk
h ν
 (5.26) 
 
Para LRe abaixo de 30 pode-se usar a equação (5.18) que para vl ρρ >> reduz a 
 
3/1
3/12
Re468,1 −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
L
l
l
L
gk
h ν (5.27) 
 
Pode-se verificar que ambos o número de Reynolds e a taxa de condensação são 
desconhecidos, portanto é proposto resolver a Eq. (5.26) na forma: 
 
Bgk
h Ll
l
L Re
3/12
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ν
 (5.28) 
 
na qual 
 
( )
3/1
2
4
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′−= lfgl
l
wsat
g
h
kTTLB νμ (5.29) 
 
Por comparação com as Eqs. (5.26) e (5.27) pode-se mostrar 
 
 127
[ ] 2/13/18,0644,0 PrRe)1082,5(ReRe −−− += lLLL xB (5.30) 
 
3/4Re681,0 LB = (5.31) 
 
Um gráfico da variação de B com Reynolds local é mostrado na Figura 5.3. 
 
 
Figura 5.3 Filme de condensação numa parede vertical: taxa total de condensação em 
função de B. 
 
Ex. 5.2 Refazer o Ex. 5.1 
 
5.1.3 Filme de Condensação em Outras Configurações 
 
 128
Os resultados descritos até agora são válidos não só para superfícies planas, mas 
também para superfícies curvas em que o filme de condensado seja suficientemente 
fino. Superfícies curvas englobam, por exemplo, cilindros e esferas, e desde que o 
diâmetro seja maior do que a espessura do filme pode-se usar os resultados anteriores.Um filme sobre uma esfera pode ser considerado como um processo de condensação 
sobre uma parede inclinada. Alguns exemplos são ilustrados na figuras a seguir. 
 
 
Figura 5.4 Filme de condensado em superfícies planas, curvas e inclinadas. 
 
No caso de superfícies curvas a componente tangencial da gravidade varia ao 
longo do filme Um exemplo é uma superfície esférica. Para filme laminar ao redor da 
esfera, a correlação para calcular o Nusselt médio é da forma 
 
( )
( )
4/13
815,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==
wsatll
vlfg
l
D
D TTk
ghD
k
DhuN ν
ρρ
 (5.32) 
 
Para escoamento laminar em torno de um único cilindro a correlação é 
 
( )
( )
4/13
729,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==
wsatll
vlfg
l
D
D TTk
ghD
k
DhuN ν
ρρ
 (5.33) 
 
No caso de uma fileira vertical de cilindros horizontais, Figura 5.5, foi proposto 
 
( )
( )
4/13
, 729,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==
wsatll
vlfg
l
nD
D TTnk
ghD
k
Dh
uN ν
ρρ
 (5.34) 
 
Comparando a Eq. (5.34) com a Eq. (5.33) pode demonstrar que 
 129
4/1, n
hh DnD = (5.35) 
 
 
Figura 5.5 .Filme de condensado em escoamentos em tubos horizontais 
 
Outras configurações podem ser encontradas por exemplo, no livro do Bejan. A 
Figura 5.6 ilustra condensação numa superfície horizontal de uma tira ou disco. Um 
caso interessante é o caso de condensação num cilindro num escoamento cruzado por 
convecção forçada ou paralelo a uma placa, Figura 5.7. Vapor escoando verticalmente 
num tubo é ilustrado Figura 5.8. Escoamentos rápido e lento de vapor em tubos 
horizontais são ilustrados na Figura 5.9 
 
 130
 
Figura 5.6 Filme de condensado numa fita horizontal de largura L ou disco de diâmetro 
D. 
 
 
Figura 5.7 Filme de condensação sobre um cilindro horizontal em escoamento cruzado e 
sobre uma placa plana paralela ao escoamento. 
 
 131
 
Figura 5.8 Condensação num tubo vertical com escoamento co-corrente do vapor. 
 
 
Figura 5.9 Condensação como um filme anelar num tubo com escoamento rápido de 
vapor (esquerda) e acumulação no fundo com escoamento lento de vapor (direita). 
 
5.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto 
 
A condensação pode ocorrer quando a tensão superficial for alta, o condensado 
forma gotas que escorrem pela superfície quando o tamanho das gotas aumentam. Veja 
ilustração no livro Bejan. 
 
5.2 Transferência de Calor na Ebulição 
 
5.2.1 Regimes de Ebulição em Vaso Aberto 
 
 132
 
Nesta seção considera-se o caso de transferência de calor na ebulição, que ocorre 
quando a temperatura de uma superfície sólida é suficientemente mais alta do a 
temperatura de saturação do líquido que está em contato com ela. Ebulição é sinônimo 
de transferência de calor convectiva com mudança de fase líquido para vapor quando o 
líquido está sendo aquecido por uma superfície suficiente quente. Este é o processo 
inverso da condensação em que vapor se torna líquido quando ele é resfriado em contato 
com uma superfície fria. O processo de ebulição em vaso (pool boiling) é ilustrado na 
Figura 5.10. No caso do líquido estar inicialmente subresfriado as bolhas de vapor 
formado não conseguem alcançar a superfície livre e se condensam novamente. Quando 
o líquido já esta na temperatura de saturação as bolhas de vapor alcançam a superfície 
livre. 
 
 
Figura 5.10 Nucleação de ebulição em vaso, líquido subresfriado (esquerda) e líquido 
saturado (direita). 
 
Os regimes de ebulição em vaso são ilustrados na Figura 5.11. No experimento 
com temperatura controlada consegue-se reproduzir a curva de ebulição, já no 
experimento com potência controlada quando o fluxo de calor atinge o máximo (que é 
chamado ponto de queima, pois a temperatura atinge o ponto de fusão do aquecedor), 
daí não se consegue reproduzir a parte descendente da curva, no regime de transição. Se 
for um processo de resfriamento, quando o fluxo de calor atinge o mínimo, o filme de 
vapor se colapsa e inicia-se o processo de nucleação de bolhas, também não se 
conseguindo reproduzir a parte da curva de ebulição no regime de transição. 
 
 133
 
Figura 5.11 Os quatro regimes de ebulição de água em vaso a pressão atmosférica 
 
 
Figura 5.12 Curva de ebulição em vaso, em um experimento com temperatura 
controlada (esquerda) e em um experimento com potência controlada 
 
 
5.2.2 Nucleação da Ebulição e Fluxo de Calor de Pico 
 
 134
O regime mais importante de ebulição ilustrado na curva da Figura 5.11 é o de 
nucleação da ebulição, porque é neste regime que o coeficiente de transferência de calor 
definido por 
 
satw
w
TT
q
h −
′′= (5.36) 
 
atinge altos valores, no range de 103-105 W/(m2K). 
Muitos estudos têm sido realizados, uma correlação proposta para por Rohsenow 
tem a forma: 
 
( )
3/12/1
,
Pr ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
′′=−
vlfgl
w
sf
s
l
lp
fg
satw gh
qC
c
h
TT ρρ
σ
μ (5.37) 
 
a qual se aplica para superfícies limpas e como uma aproximação de engenharia é 
insensível a orientação da superfície. Ele depende de duas constantes empíricas sfC e 
s . sfC é um coeficiente que leva em conta a combinação do líquido com a superfície do 
material e s é um expoente que depende do líquido. Estes valores podem ser 
encontrados na Tabela 8.1 do livro do Bejan (Heat Transfer, pg. 425). σ [N/m] é a 
tensão superficial do líquido em contato com seu vapor. Se considerar uma bolha de 
vapor de forma esférica seu raio pode ser estimado como: )/(2 lv ppr −= σ , em que vp 
é pressão dentro da bolha e lp é pressão fora. 
No caso em que a diferença de temperatura satw TT − é conhecida a Eq. (5.37) 
pode ser rearranjada para se determinar o fluxo de calor na forma 
 
( ) ( ) 3,2/1
Pr ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=′′
fgsf
s
l
satwlpvl
fglw hC
TTcg
hq σ
ρρμ (5.38) 
 
O fluxo de calor de pico sobre uma grande superfície horizontal baseado em 
análise dimensional é da forma: 
 
 135
( )[ ] 4/12/1max 149,0 vlvfg ghq ρρσρ −=′′ (5.39) 
 
que independe da superfície do material. Esta correlação se aplica para superfícies cujo 
comprimento linear é muito maior do que o tamanho das bolhas de vapor. 
 
Ex.: 5.3 Um elemento cilíndrico de aquecimento de diâmetro 1 cm e comprimento 30 
cm é imerso horizontalmente numa piscina de água saturada a pressão atmosférica. A 
superfície cilíndrica é coberta com níquel. Calcule o fluxo de calor e a taxa total de 
transferência de calor do cilindro para a piscina de água, quando CT ow 108= . Calcule 
também o fluxo crítico de calor. 
 
5.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor 
 
Filme de ebulição é uma camada contínua de vapor (0,2-0,5 mm de espessura) 
que separa a superfície aquecida do resto do líquido. O fluxo mínimo de calor é 
registrado na temperatura mais da superfície do aquecedor que ainda mantém o filme 
contínuo. Para superfícies horizontais extensas, o fluxo mínimo é da forma: 
 
( )
( )
4/1
2min 09,0 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−=′′
vl
vl
vfg
ghq ρρ
ρρσρ (5.40) 
 
Para um cilindro horizontal a correlação é da forma: 
 
( )
( )
4/13
62,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==
satwvv
vlfg
v
D
D TTk
ghD
k
DhuN ν
ρρ
 (5.41) 
 
na qual as propriedades são do vapor. Para filme de ebulição sobre uma esfera tem-se 
 
( )
( )
4/13
67,0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−′==
satwvv
vlfg
v
D
D TTk
ghD
k
DhuN ν
ρρ
 (5.42) 
 
 136
Em que 
 
( )satwvpfgfg TTchh −+=′ ,4,0 (5.43) 
 
e neste caso vpvvv ck ,,,, ρν são avaliados a( ) 2/satw TT + . 
Se a temperatura do aquecedor aumenta, o efeito de radiação térmica deve ser 
levado através do filme se torna importante. Para se considerar a radiação pode-se 
definir um coeficiente equivalente na forma: 
 
radDradD hhhhh >+= ;4
3 (5.44) 
na qual 
 
( )
satw
satww
rad TT
TTh −
−=
44σε
 (5.45) 
 
Na Eq. 5.45 a constante de Stefan-Boltzmann tem o valor 810669,5 −= xσ W/m2K4. Para 
água se CTT osatw 600550 −>− , deve-se considerar radiação. No caso em que 
Drad hh > o coeficiente pode ser calculado na forma 
 
radDrad
D
D hhhh
hhh ≤+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ;
3/1
 (5.46) 
 
Ex.: 5.4 Refazer o Ex. 5.3 considerando radiação. Adote CT ow 300= e 8,0=wε . 
 
5.2.4 Escoamento com Ebulição 
 
Se o líquido for forçado sobre o aquecedor, o fluxo de calor deve ser calculado 
na forma: 
 
cw qqq ′′+′′=′′ (5.47) 
 137
 
na qual wq ′′ é calculado pela Eq. (5.38) e o fluxo de calor devido ao escoamento pode ser 
calculado como 
 
)( lwcc TThq −=′′ (5.48) 
 
O coeficiente de troca convectiva pode ser avaliado como nos capítulos anteriores como 
nos casos de convecção forçada externa ou interna ou convecção natural. Por exemplo 
para ebulição num duto, uma correlação usada é da forma: 
 
4,05/4 PrRe019,0 D
c
D k
Dh
Nu == (5.49)