Integrais Triplas em Coordenadas Polares

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Ca´lculo III
Departamento de Matema´tica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha
Integrais Triplas em Coordenadas Polares
Na aula 3 discutimos como usar coordenadas polares em integrais duplas,
seja pela regia˜o ser mais bem adaptada a este sistema, seja pela func¸a˜o ficar
melhor escrita assim. Retornamos agora a este assunto para as integrais
triplas com a mesma motivac¸a˜o, mas com mais alternativas. Agora temos
dois sistemas diferentes de coordenadas polares a tratar: as cil´ındricas e as
esfe´ricas.
5.1 Coordenadas Cil´ındricas
A primeira generalizac¸a˜o tridimensional das coordenadas polares que vamos
trabalhar sa˜o as chamadas coordenadas polares cil´ındricas, ou, simplesmente,
coordenadas cil´ındricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata
um plano do R3 em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a
este. Cada ponto e´ descrito pela tripla (r, θ, z). Se escolhemos a origem de
um sistema cartesiano no po´lo das coordenadas polares, mantemos a mesma
convenc¸a˜o de fazer θ = 0 corresponder a` semi-reta da parte positiva do
eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cil´ındricas
coincidirem (e ate´ por isso e´ convencional usar-se a mesma letra), a mudanc¸a
de coordenadas toma a forma:
x = r cos θ,
y = r sen θ,
z = z.
Novamente, voceˆ deve tentar fazer uma figura para entender o que se passa.
5.1.1 Regio˜es Fundamentais
Ja´ deve ter ficado claro que a maneira mais simples de fazer partic¸o˜es de uma
regia˜o e´ fazer partic¸o˜es nos intervalos das varia´veis que as definem. Queremos
1
enta˜o entender como sa˜o as regio˜es que, em coordenadas cil´ındricas, sa˜o
definidas por
P = {(r, θ, z) : R1 ≤ r ≤ R2,Θ1 ≤ θ ≤ Θ2, Z1 ≤ z ≤ Z2} ,
onde Ri, Θi e Zi sa˜o constantes.
O primeiro passo e´ entendermos como sa˜o os limites desta regia˜o, ou
seja, o que significam as equac¸o˜es r = Ri, θ = Θi e z = Zi. A primeira
equac¸a˜o representa um cilindro (circular reto) de raio Ri e centrado no eixo
z; a segunda representa um semi-plano que parte do eixo z com o valor Θi
definido; a terceira e´ um plano, paralelo ao plano z = 0, mas na “altura” Zi.
A figura que poder´ıamos chamar de “paralelep´ıpedo cil´ındrico” (mas essa
nomenclatura na˜o e´ muito usual) e´ uma generalizac¸a˜o natural dos retaˆngulos
polares que estudamos na aula 3. Constitui o so´lido que pode ser visto
como um “prisma” de altura ∆z = Z2 − Z1 e base o retaˆngulo polar de
abertura ∆θ = Θ2 − Θ1, raio menor R1 e raio maior R2. O volume deste
“paralelep´ıpedo” e´
∆V =
1
2
(
R22 −R21
)
∆θ ∆z,
que pode ser reescrito como
∆V = r¯ ∆r ∆θ ∆z,
onde r¯ = 1
2
(R2 +R1) e´ o raio me´dio e ∆r = R2 −R1.
Note que ha´ alguns casos degenerados, mas importantes, da construc¸a˜o
acima, como R1 = 0 ou ∆θ = 2pi, mas para os quais as mesmas fo´rmulas
continuam valendo.
5.1.2 Integrais Triplas em Paralelep´ıpedos Cil´ındricos
Com a experieˆncia do momento voceˆ ja´ deve achar natural que, se quisermos
resolver uma integral tripla de uma func¸a˜o f (x, y, z) escrita em coordenadas
cartesianas em um paralelep´ıpedo cil´ındrico P , faremos uso das seguintes
integrais iteradas:∫ ∫ ∫
P
f (x, y, z) dV =
∫ Z2
Z1
∫ Θ2
Θ1
∫ R2
R1
f (r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz.
Novamente, a ordem de integrac¸a˜o na˜o e´ pre´-definida, podendo ser usada
como arma para tornar a integral mais simples. Ale´m disso, na˜o sa˜o so´ os
“paralelep´ıpedos cil´ındricos” que servem como regia˜o de integrac¸a˜o.
2
Como um exemplo, vamos calcular a integral∫ ∫ ∫
R
x3 + xy2 dV,
onde R e´ a regia˜o do primeiro octante, abaixo de z = 1−x2−y2. O primeiro
passo e´ reconhecermos que o parabolo´ide em questa˜o e´ dado em coordenadas
cil´ındricas por z = 1 − r2 e que a regia˜o R e delimitada por ele, pelo plano
z = 0 (pois a regia˜o e´ do primeiro octante) e pelos semi-planos θ = 0 e θ = pi
2
.
Pela intersecc¸a˜o do plano z = 0 com o parabolo´ide, conclu´ımos que os valores
de r permitidos sa˜o de 0 a 1. Assim a regia˜o pode ser escrita
R =
{
(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ pi
2
, 0 ≤ z ≤ 1− r2
}
.
Isso indica que a integral em z deve ser calculada antes da integral em r, com
a integral em θ podendo tomar a ordem que parecer mais adequada. Assim,∫ ∫ ∫
R
x3 + xy2 dV =
∫ pi
2
0
∫ 1
0
∫ 1−r2
0
r3
(
cos3 θ + cos θ sen 2θ
)
r dz dr dθ
=
∫ pi
2
0
∫ 1
0
(
1− r2) r4 cos θ dr dθ
=
∫ pi
2
0
cos θ dθ
∫ 1
0
(
r4 − r6) dr = 1
5
− 1
7
.
Muitos outros exemplos interessantes podem ser encontrados em livros e nos
exerc´ıcios sugeridos.
5.2 Coordenadas Esfe´ricas
Mais pro´ximo na ide´ia das coordenadas polares planas esta´ o sistema de
coordenadas polares esfe´ricas, ou, simplesmente, coordenadas esfe´ricas. No-
vamente, a ide´ia e´ apontar a direc¸a˜o em que se deve ir e a distaˆncia a ser
percorrida. Esta direc¸a˜o sera´ dada por um ponto na esfera, assim usamos
dois aˆngulos para descrever a direc¸a˜o (parecido com os aˆngulos de latitude
e longitude que sa˜o usados geograficamente). Uma escolha comum1 destes
1Va´rios livros fazem escolhas diferentes e voceˆ deve estar sempre atento a isso, princi-
palmente quando tenta usar fo´rmulas memorizadas.
3
aˆngulos e´ manter o mesmo θ das coordenadas cil´ındricas (que geograficamente
e´ a longitude) e trabalhar com um aˆngulo φ medido a partir do semi-eixo
z > 0 das coordenadas cil´ındricas (muitas vezes chamado de co-latitude).
Naturalmente para cobrir todas as direc¸o˜es sera´ suficente usar θ ∈ [0, 2pi] e
φ ∈ [0, pi]. Com essas escolhas, e chamando de ρ (leˆ-se roˆ) a distaˆncia ao po´lo,
teremos a seguinte mudanc¸a de coordenadas entre esfe´ricas e cil´ındricas:
z = ρ cosφ,
r = ρ senφ,
θ = θ,
que leva a` seguinte relac¸a˜o entre polares esfe´ricas e cartesianas (com as con-
venc¸o˜es ja´ discutidas)
x = ρ senφ cos θ,
y = ρ senφ sen θ,
z = ρ cosφ.
E´ importante notar que com essas escolhas, alguns pontos sa˜o descritos
maneira amb´ıgua. Por exemplo, para todo ponto do eixo z, o aˆngulo θ
e´ arbitra´rio. Ale´m disso, pontos com θ = 0 ou com θ = 2pi coincidem.
Voltaremos a esta questa˜o mais adiante, para explicar porque isso na˜o e´ um
problema para integrac¸a˜o.
5.2.1 Regio˜es Fundamentais
Novamente queremos entender as superf´ıcies que obtemos fazendo cada uma
das varia´veis constantes. Se ρ = R, teremos uma esfera de raio R, que da´
nome ao sistema de coordenadas. Se θ = Θ teremos o mesmo semi-plano das
coordenadas cil´ındricas. Por fim, se φ = Φ reconheceremos um cone (circular
reto), com eixo coincidindo com o eixo z, no caso geral, com algumas situac¸o˜es
degeneradas: φ = 0 e φ = pi sa˜o semi-retas e φ = pi
2
e´ o plano z = 0.
Calcular o volume de uma regia˜o dada por
R = {(ρ, φ, θ) : R1 ≤ ρ ≤ R2,Φ1 ≤ φ ≤ Φ2,Θ1 ≤ θ ≤ Θ2}
e´ um bom exerc´ıcio de geometria. Na˜o vamos resolveˆ-lo aqui. Vamos apenas
indicar a fo´rmula para o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas, discu-
tir seu significado geome´trico e apontar para a questa˜o geral de trabalhar em
qualquer sistema de coordenadas, que sera´ nosso assunto na pro´xima aula.
4
5.2.2 Integrais Triplas em Coordenadas Esfe´ricas
Se quisermos resolver uma integral tripla na regia˜o descrita acima (um “pa-
ralelep´ıpedo esfe´rico”, por que na˜o?) podemos usar as seguintes integrais
iteradas: ∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z) dV =∫ Θ2
Θ1
∫ Φ2
Φ1
∫ R2
R1
f (ρ senφ cos θ, ρ senφ sen θ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dφ dθ,
onde os termos ρ2 e senφ podem ser entendidos da seguinte maneira: o termo
ρ2 e´ fundamental para que tenhamos um elemento de volume, ja´ que as coor-
denadas esfe´ricas sa˜o definidas em termos de dois aˆngulos e um comprimento
(do mesmo modo que o r nas coordenadas polares e cil´ındricas era essencial);
o termo senφ tem um apelo geome´trico claro: as mesmas variac¸o˜es em φ e
θ geram a´reas muito diferentes em uma esferase elas sa˜o feitas pro´ximas aos
po´los ou pro´ximas ao equador. Como senφ e´ pequeno pro´ximo dos po´los e
grande pro´ximo ao equador, ele traz este aspecto para o elemento de volume.
Por fim, e´ este termo que faz na˜o ser grave o fato dos pontos do eixo z serem
descritos por qualquer valor de φ: o termo senφ faz com que estes pontos
na˜o colaborem para a integral.
5.3 Discussa˜o Geral
A u´ltima lic¸a˜o que deve ser tomada ja´ foi discutida nas integrais duplas
em coordenadas polares e sera´ nosso assunto na pro´xima aula teo´rica: todo
problema de integral mu´ltipla e´ constitu´ıdo de treˆs ingredientes ba´sicos: a
func¸a˜o a ser integrada, que precisa ser escrita com respeito a`s varia´veis es-
colhidas; a regia˜o de integrac¸a˜o, que determina os limites de integrac¸a˜o e
impo˜e restric¸o˜es quanto a` ordem em que se resolvem as integrais iteradas; e
o elemento de volume, que traduz quanto volume (ou a´rea) e´ representado
por uma variac¸a˜o infinitesimal padra˜o nas varia´veis utilizadas.
Na pro´xima aula veremos como isso se da´ no caso geral de mudanc¸a de
coordenadas e, como exemplo particular, deduziremos o elemento de volume
das coordenadas polares esfe´ricas.
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