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1 UNIFACS – Universidade Salvador Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Curso: Engenharias Professores: Equipe GAAL 1a Lista de Exercícios – Vetores – 2014.1 1) Com base na figura coloque Verdadeiro ou Falso: 2) Com base na figura ao lado, escreva o vetor x em função de u , v e w : 3) Verdadeiro ou falso? a) Se vu então vu . b) Se vu então vu . c) Se v // u então vu . d) Se vu então v // u . e) Se v u w então vuw . f) Se vuw então v e u, w são paralelos. g) DCAB ABCD é paralelogramo. h) u5u5u5 i) v3 e v4 são paralelos e de mesmo sentido. M J I H E C B G D A F L a) AB = GH = LJ b) LM, GH e FA são coplanares. c) LE, JI e IH são coplanares. d) BC + CI + IB e MF são coplanares. e) GM e 2AH são coplanares. f) FA, FE e FM não são coplanares. g) FM pode ser escrito como combinação linear de FA, FE e GM. h) MG pode ser escrito como combinação linear de GH. i) F = E + LM j) H = I + LM w x u v 2 4) Dados os vetores )1,3(u e )2 ,1(v , determine o vetor w tal que wu2w 3 1 )vu(4 5) Considere os pontos A(1,2) e B(1, –2) e o vetor u = (2, –1) a) No sistema de coordenadas XOY, represente o vetor u com origem no ponto A, indicando o ponto A1 tal que u = 1AA b) Sabendo que B, A, A1 e C são vértices consecutivos de um paralelogramo, determine o vértice C. Represente geometricamente o paralelogramo no sistema de coordenadas XOY 6) Dados os pontos )3,2,1(A , )4,1,2(B e ))1,3,1(C , determinar o ponto D tal que 0CDAB 7) Considere os vetores k2ji2u ; k2j5i5v e j6i3w . Determine: a) wvu2 a) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e u = AB c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. d) O versor de b , onde b é paralelo a u . 8) Determinar os valores de m para que o vetor v = (m,2m,2m) seja um versor. 9) Determinar os valores de m para que o vetor v = mi + 6j tenha módulo igual a 10. 10) Determinar um vetor paralelo ao vetor kjiv e que tenha módulo igual a 5. 11) Determinar um vetor de módulo 10 paralelo ao vetor k5j2i4v 12) Considere os vetores k2ji2u , k2j5i5v e j6i3w . Determine: a) vu e wu b) ou u c) )w,u( e )v,u( d) Um vetor não nulo ortogonal a v . e) A projeção de u na direção de v f) A projeção de u na direção de w . g) A medida algébrica da projeção de v na direção de u . 3 13) Determinar m para que os vetores 1v e 2v sejam ortogonais nos seguintes casos: a) 1v = ( m, -2 ,4) e 2v = (1, -2,-5) b) 1v = ( 2m - 1, 0 ,3) e 2v = (0, m+1,0) c) 1v = ( 4m, 0 ,1) e 2v = (0, 2,5) 14) Determinar o vetor v , paralelo ao vetor u = (2, -1, 3), tal que 42vu . 15) Sabendo que | u | = 2, | v | = 3 e 1vu , calcule: a) u).v3u( c) )u4v).(vu( b) )v2).(uv2( d) )uv).(vu( 16) Calcular vu , vu , )vu).(vu( , sabendo que 4u e 3v e o ângulo entre u e v é de 60º . 16) Determinar o vetor u tal que 2u , o ângulo entre u e v = (1, -1, 0) é 45º e u é ortogonal a w = (1,1,0). 17) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores u = (1, -2, 1) e v = (-2, 1 m + 1). 18) Calcular os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3). 19) Os ângulos diretores de um vetor a são 45º , 60º e 120º e | a | = 2. Determinar a . 20) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45º , 60º e 90º ? Justificar. 21) Dados os vetores jiu kj2iv , determine: vu ; b) um vetor unitário ortogonal a u e a v ; c) área do triângulo ABC, sendo u = AB e v = AC 22) De um triângulo ABC sabemos que | AB | = 2 , | AC | = 3 e AB . AC = 33 . Determine a área desse triângulo. 4 23) Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1) a) Mostre que AC AB . b) Verifique se o triângulo ABC é isósceles. 24) Determine o vetorv no R 3 tal que 1)ki(v e k4ji2)0,2,1( v 25) Determine o vetor v no R3 tal que 2)ji(v e )0,0,0()k3i(v 26) Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o sen ( AB , AD ). 27) Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos P = (4,-3,1), Q = (6,-4,7), R = (1,2,2) e verifique se esse triângulo é equilátero. 28) Determine o centro e o raio da esfera com diâmetro nos pontos P = (1,1,0) e Q = (0,0,1). 29) Nos itens abaixo, os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um retângulo. a) A = (1,2,1) , B = (3,3,-1) , C = (4,6,0) , D = (2,5,2) . b) A = (3,-1,2) , B = (5,3,4) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3) . 30) Nos itens abaixo os pontos A, B C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero. Verifique se esses pontos são vértices de um paralelogramo. a) A = (3,2,2) , B = (5,6,3) , C = (6,5,5) , D = (4,1,4) . b) A = (2,-3,1) , B = (6,5,5) , C = (6,2,5) , D = (4,-2,3). 31) Determine o vetor v sabendo que 3v e que seus ângulos diretores são agudos e congruentes. 32) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e AC o = 2/2,0,2/2 . Determine a altura do triângulo ABC em relação à base AC. 33) Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. Respostas: 1) 2) x = w u v a b c d e f g h i j F V F V V V F F F V 5 3 ) 4) 15 15 , 2 2 ; 5) a) A1(3,1) b) C(3, - 3) ; 6) D(-2, -6, 8) 7) a) (8,11,6); b) (3,-1,0); c) (2, -1/2, -1); d) (2/3, -1/3, 2/3) ou (-2/3, 1/3, -2/3) 8) m = ± 1/3 ; 9) m = ± 8; 10) ( ±5√3 / 3, ± 5√3 / 3, ± 5√3 / 3); 11) ± ( 8√5 / 3, 4√5 / 3, -10√5 / 3) 12) a) u . v = 1 e u . w = 0 b) | u | = 3 e u o = (2/3,-1/3,2/3); c) (u , v) = arccos (√6/54) e (u , w) = 900 ; d) (x, y, (5x+5y) / 2 ) ; x,y Є R* ; e) ( 5/54, 5/54, -1/27); f) (0,0,0); g) 1/3; 13) a) m = 16 b) qualquer m c) não existe m; 14) (-6,3,-9); 15) a) 7; b) 38; c) -4; d) 5 10) 16) 37 , 13 e 7; 17) 0 ou – 18; 18) = arc cos (6/7) 31º =arc cos (-2/7) 107º = arc cos (3/7) 65º; 19) a = ( 2 , 1, -1); 20) Não, pois cos2 45 + cos2 60 + cos2 90 1; 21) a) )3,1,1( ; b )3,1,1( 11 1 ; c) 2 11 ; 22) 3/2 u.a. 23) a) AC.AB=0 b) O triângulo é isósceles, pois |AC| = |AB|; 24) (2,0,1); 25) (2,0,6); 26) D = (0,4,2) A = 4√2 u.a. e sen (AB, AD) = 2√2 / 3; 27) aproximadamente 18,8 u.a. O triângulo não é equilátero; 28) centro: M = (1/2,1/2,1/2) raio = 2 3 ; 29) a) não é retângulo; b) é retângulo; 30) a) é paralelogramo; c) não é paralelogramo; 31) )1,1,1(v ; 32) 2 22 h ; 33) t (2/3,1/3,1/3) , t Є R* a b c d e f g h i V F F V F V F V F
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