Exercícios Propostos

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
     
τ = + + × − + +( ) ( )0 2 0 10 0 0i j k m i j k N
ou


τ =( )20k mN
y
x
F
r B
z
A
τ
Figura 3.12
Problemas propostos
1. Se 

  

  
u i j k v i j k= − − = + −3 2 2 4, e 
 
w i k= − + , determinar
a) | |
 
u u×
b) ( ) ( )2 3
 
v v×
c) ( ) ( )
   
u w w u× + ×
d) ( ) ( )
   
u v v u× × ×
e) ( )
  
u v w− ×
f) ( )
  
u v w× ×
g) 
  
u v w× ×( )
h) 
  
u v w× +( )
i) 
   
u v u w× + ×
j) ( )
  
u v v× ⋅
k) ( )
  
u v w× ⋅
l) 
  
u v w⋅ ×( )
2. Efetuar
a) 
 
i k×
b) 
 
j i×( )2
c) ( ) ( )3 2
 
i k×
d) 
 

i j k⋅ ×( )
e) ( ) ( )3 2
 
i j⋅
f) ( ) ( )3 2
 
i j×
g) 
  
i j i⋅ ×( )
h) 
 

j j k⋅ ×( )
i) ( )
  
i j k× ×
j) ( )
  
i j j× ×
k) 
  
i j j× ×( )
l) ( )



j k i× ⋅
3. Dados os pontos A(2, 1, −1), B(3, 0, 1) e C(2, −1, −3), determinar o ponto D tal 
que AD BC AC
� ��� � ��� � ���
= × .
4. Determinar o vetor 

x tal que 

x·( , , )1 4 3 7− = − e 

x × − = −( , , ) ( , , )4 2 1 3 5 2 .
5. Resolver os sistemas
a) 




 

x j k
x i j k
× =
− + =



 ·( )4 2 10
b) 

 



 

x i j k
x i j k
× − + =
⋅ + − =




( )
( )
2 3 0
2 2 12
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res e g
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m
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6. Dados os vetores 

u =( , , )3 1 1 , v = −( , , )4 1 3 e w =( , , )1 2 0 , determinar x de modo que 
 
x w⊥ e   x u v× = .
7. Considerando a Figura 3.13, calcular
a) OF OD
� ��� � ���
× d) EC EA
� ��� � ���
×
b) AC FA
� ��� � ���
× e) OA OC OE
� ��� � ��� � ���
⋅ ×( )
c) AB AC
� ��� � ���
× f) GB AF
� ��� � ���
×
8. Sejam os vetores 

u = −( , , )1 2 1 , v =( , , )1 1 1 e 

w = −( , , )1 0 1 .
a) Utilizar o produto escalar para mostrar 
que os vetores são, dois a dois, ortogonais.
a
y
a
a
A
B
C
DE
F G
O
x
z
Figura 3.13
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer 
dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
c) Mostrar que 
  

u v w× × =( ) 0.
9. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
 
u v+2 e  v u− , sendo 

u = −( , , )3 2 0 e v = − −( , , )0 1 2 .
10. Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, −1, 1) 
e C(4, 1, −2).
11. Dado 

v1 1 2 1= −( , , ) , determinar vetores 

v2 e 

v3 de modo que os três sejam mutua-
mente ortogonais.
12. Dados os vetores 

u =( , , )1 1 0 e v = −( , , )1 1 2 , determinar:
a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a 

u e 

v ;
b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a 

u e 

v .
13. Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a 

u =( , , )3 2 2 
e a 

v =( , , )0 1 1 .
14. Com base na Figura 3.14, calcular
a) | |AB AD
� ��� � ���
× d) | |AB CD
� ��� � ���
×
b) | |BA BC
� ��� � ���
× e) | |BD AC
� ��� � ���
×
c) | |AB DC
� ��� � ���
× f) | |BD CD
� ��� � ���
×
C
D
A
B
30
2
2
2
°
2
Figura 3.14
C
ap
ítu
lo
 3 
Pro
d
u
to
 veto
rial
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15. Sendo | | , | |
 
u v e= = °2 2 4 45 o ângulo entre 

u e 

v , calcular 
a) | |2
 
u v× b) 2
5
1
2
 
u v×
16. Determinar 
 
u v⋅ , sabendo que | | u v× =12, | |u =13 e v é unitário.
17. Dados os vetores 

u = −( , , )3 1 2 e v = −( , , )2 2 1 , calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por 

u e 

v ;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 

v.
18. Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4, 1, 2), B(5, 0, 1), 
C(−1, 2, −2) e D (−2, 3, −1) é um paralelogramo e calcular sua área.
19. Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2, −4, 0) e B(1, −3, −1), e 
o ponto médio das diagonais é M (3, 2, −2). Calcular a área do paralelogramo.
20. Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinada por 

u m= −( , , )3 1 
e 

v = −( , , )1 2 2 seja igual a 26 .
21. Sabendo que | |

u = 6, | |v = °4 30 e o ângulo entre u e v, calcular:
a) a área do triângulo determinado por 

u e 

v ;
b) a área do paralelogramo determinado por 

u e ( )−v ;
c) a área do paralelogramo determinado por 
 
u v+ e  u v− .
22. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 

u e 

v , sabendo que 
suas diagonais são 
 
u v+ = −( , , )1 3 4 e  u v− = −( , , )1 1 2 .
23. Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa por A(1, 2, −1) e B(3, 1, 1).
24. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, dado que:
a) A(−4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0, −1, 3);
b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0).
25. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R e 
calcular a área do triângulo PQR, dado que:
a) P(3, 0, 0), Q(0, 3, 0), R(0, 0, 2);
b) P(2, 3, 0), Q(0, 2, 1), R(2, 0, 2).
26. Calcular z, sabendo-se que A (2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices de um 
triângulo de área 6.
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27. Dados os pontos A(2, 1, −1) e B(0, 2, 1), determinar o ponto C do eixo Oy de 
modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 u.a.
28. Sabendo que os pontos A(4, 0, 0), B(0, 0, 2), C(0, 3, 0) e D(4, 3, −2) são coplanares, 
calcular a área do quadrilátero ABCD.
29. Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M(0, 1, 3), N(3, −2, 2) e 
P(1, 0, 2). Determinar a área do triângulo ABC.
 Respostas de problemas propostos
1. a) 0
b) 

0
c) 

0
d) 

0
e) (−5, 0, −5)
f) (−1, −23, −1)
g) (−6, −20, 1)
h) (8, −2, 13)
i) (8, −2, 13)
j) 0
k) 5
l) 5
2. a) −

j e) 0 i) 

0
b) −2

k f) 6

k j) −

i
c) −6

j g) 0 k) 

0
d) 1 h) 0 l) 1
3. D (−4, −1, 1)
4. 

x = −( , , )3 1 2
5. a) 

x = −( , , )1 3 0 b) x = − −( , , )4 2 6
6. Não existe 

x, pois 

u não é ortogonal a 

v.
7. a) ( , , )− −a a a2 2 2
b) ( , , )− −a a2 2 0
c) ( , , )0 0 2a
d) ( , , )− − −a a a2 2 2
e) a3
f) 

0
9. Um deles: ( ) ( ) ( , , )
   
u v v u+ × − = − −2 12 18 9
10. Um deles: AB AC
� ��� � ���
× = −( , , )12 3 10
11. Uma das infinitas soluções: 

v1 1 2 1= −( , , ), 

v2 1 1 1=( , , ) e 

v3 1 0 1= −( , , )
12. a) ( , , )
1
3
1
3
1
3
− ou ( , , )− −1
3
1
3
1
3
b) ( , , )
5
3
5
3
5
3
− ou ( , , )− −5
3
5
3
5
3
2. a) −

j
b) −2

k
c) −6

j
d) 1
C
ap
ítu
lo
 3 
Pro
d
u
to
 veto
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13. ( , , )0 2 2− ou ( , , )0 2 2−
14. a) 2 3 d) 0
b) 2 3 e) 4 3
c) 0 f) 2 3
15. a) 16 b) 
8
5
16. 5 ou −5
17. a) 3 10
b) 10
18. 122
19. 2 74
20. m = 0 ou m = 2
21. a) 6 b) 12 c) 24
22. 35
23. 
65
3
24. a) 35
2 35
6
 e b) 
7
2
7
5
 e 
25. a) t t( , , ),2 2 3 ∈ e 3 17
2 
b) t t( , , ),1 4 6 ∈ e 53
2
26. z =4 ou z = −4
27. C( , , )0 1 0 ou C( , , )0
5
2
0
28. 2 61
29. 4 2
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