Apostila MMA

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Métodos Matemáticos Aplicados
Prof. Dr. Rafael B. Frigori
frigori@utfpr.edu.br
Sumário
1 Vetores e Cálculo Vetorial 3
1.1 Vetores e Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Bases e Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Sistema de coordenadas cartesiano em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 Produto misto e Produto triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Cálculo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Aplicações sucessivas de nabla
14
1.2.5 Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6 Integrais de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.7 O teorema da Divergência de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.8 Teorema do Rotacional de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Problemas do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Vetores & Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Gradiente, Divergente e Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Teoremas Integrais do Cálculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Equações Diferenciais Ordinárias 31
2.1 EDOs lineares de primeira ordem
32
2.1.1 Solução das EDOs lineares homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Solução das EDOs lineares não-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 EDOs lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 EDOs homogêneas com coe�cientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1.1 Caso b2 − 4ac > 0 : raízes λ1 6= λ2 ∈ R
43
2.2.1.2 Caso b2 − 4ac = 0 : raízes λ1 = λ2 ∈ R
43
2.2.1.3 Caso b2 − 4ac < 0 : raízes λ1 6= λ†2 ∈ C
44
2.2.2 EDOs não-homogêneas com coe�cientes variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Problemas do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
Introdução
Prezado leitor,
esta apostila surgiu para apoiar o ensino no curso de Métodos Matemáticos Aplicados (MMA) que
é ofertado como nivelamento no Mestrado em Processos Químicos e Biotecnológicos da UTFPR
de Toledo (PPGQB). Seu objetivo é revisar o conteúdo matemático relevante para cursos mais
avançados, como Fenômenos de Transporte, Termodinâmica e Eletromagnetismo. Ao �nal de cada
capítulo há uma lista de problemas que permitirá que testes seu aprendizado. Como pre-requisitos
assumimos conhecimentos prévios de Cálculo Diferencial e Integral em uma e duas variáveis. Clara-
mente, longe de exaurir o tema, esta apostila almeja sintetizar os tópicos matemáticos mais essenci-
ais e orientar o leitor em direção à bibliogra�a da área, a qual recomento particularmente consultar
1. Advanced engineering mathematics, E. Kreyszig, Wiley & Sons (2011), 10
a
edição.
2. Vector analysis and an introduction to tensor analysis, M. R. Spiegel, Schaum' s Outline
Series, McGraw-Hill (1959).
3. Di�erential Equations. R. Bronson & G. B. Costa. Schaum' s Outline Series, McGraw-Hill
(2006), 2
a
edição.
4. Física Matematica, Eugene Butkov, LTC (1978).
5. Di�erential equations and their applications, M. Braun, Springer-Verlag New York (1983).
6. Introdução à computação algébrica com o Maple. Lenimar Nunes de Andrade. SBM (2004).
7. A short course in mathematical methods with Maple, H. Aratyn & C. Rasinariv, World
Scienti�c (2006).
8. Aprendizagem de eletromagnetismo via programação e computação simbólica. D.T. Alves,
J.V. Amaral, J.F. Medeiros Neto, E.S. Cheb-Terrab. Rev. Bras. Ens. Fís. vol 24, no 2,
Junho 2002, pp 201�213.
Espero que o material aqui apresentado seja útil ao seu desenvolvimento acadêmico e pro�ssional.
Rafael. B. Frigori, Toledo/PR, Fevereiro de 2018.
2
Capítulo 1
Vetores e Cálculo Vetorial
A título de revisão inicial, abordaremos nesre capítulo a de�nição e operacionalização de vetores,
bem como, dependência linear, base e componentes de vetores, seus produtos escalar, vetorial e
misto. Estes conceitos serão essenciais para o desenvolvimento do cálculo vetorial a ser apresentado
subsequentemente.
1.1 Vetores e Espaços Vetoriais
1.1.1 Vetores
Grandezas físicas como massa, temperatura e densidade são especi�cadas exclusivamente por sua
magnitude, expressa em unidades apropriadas. Mas em física, outras grandezas, como força,
velocidade e momentum tem, além da magnitude, uma dada orientação e direção: elas são ditas
vetoriais.
Vetores são representados por �echas, podendo ser somados com outros vetores, multiplicados
por um número (escalar) ou mesmo por outros vetores, além, claro, de rotacionados. Algebrica-
mente, denotamos um vetor como
~V.
A soma de vetores
~C = ~A + ~B, pode ser feita de modo grá�co, utilizando-nos da chamada
regra do Paralelogramo, que é comutativa e associativa, como visto na Figura 1.1 que se segue .
Existe ainda a multiplicação de vetores
~A e ~B por escalares λ, ou seja: λ
(
~A+ ~B
)
= λ ~A+ λ~B.
1.1.2 Espaços vetoriais
O conceito geométrico de vetores pode, ainda, ser generalizado para o de Espaço Vetorial.
• DEFINIÇÃO: seja o conjunto V um espaço vetorial sobre o corpo de escalares K (sendo
α, β ∈K). Se para todo par de vetores v, w em V existir uma soma v+w em V e para todo
par α, β existir o produto αv em V obedecendo as seguintes propriedades
1. v+w = w+v: comutatividade da adição
2. u+(v+w)=(u+v)+w: associatividade da adição
3. 0+v=v ∈K: existência do zero.
4. Para cada v em K existe -v tal que v+(-v)=0: existência do inverso.
5. 1*v = v: existência da unicidade
6. α(βv) = (αβ)v: associatividade com respeito à multiplicação por escalar
7. α(v+w) = αv+αw: distributividade com respeito à adição de vetores
3
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 4
Figura 1.1: Soma vetorial e suas propriedades
8. (α+ β)v= αv+βv: distributividade com respeito à adição de escalares
• EXEMPLO: seja Pn o conjunto dos polinômios de grau máximo n, isto é: Pn (x) =
anx
n+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0. Portanto, sob a adição usual e multiplicação por escalares,
Pn é um espaço vetorial (veri�que!).
• EXEMPLO: considere n números reais : a1, a2, . . . , an alinhados em coluna como
a =

a1
a2
.
.
.
an

e denote por Rn o conjunto de todas as possíveis colunas com n elementos reais. De�nimos
a soma a+b de duas colunas (a e b) como a coluna cujo i−ésimo elemento é dado por ai+bi,
ou seja
a+ b =

a1 + b1
a2 + b2
.
.
.
an + b3
 .
Além disso, o produto de uma coluna por um escalar λ é dado por
λa =

λa1
λa2
.
.
.
λan

o que implica, diretamente, na existência do inverso (tome λ = −1). A veri�cação das demais
propriedades que tornam Rn um espaço vetorial são deixadas como exercício.
CAPÍTULO 1. VETORESE CÁLCULO VETORIAL 5
1.1.3 Bases e Componentes de um vetor
• DEFINIÇÃO: seja um conjunto {~v1, . . . , ~vn} de n vetores não nulos, dizemos que ele é
linearmente independente se a relação
i=n∑
i=1
λi~vi = 0 (1.1)
tem como solução apenas a �solução trivial�, ou seja, λi = 0 para i = 1 . . . n. Por outro lado,
os vetores {~v1, . . . , ~vn} são ditos linearmente dependentes.
• EXEMPLO: considere os 3 vetores em R3
u1 =
 02
1
 , u2 =
 13
−4
 , u3 =
 20
1
 .
Neste caso, a Eq. (1.1) decompõe-se em
λ1 · 0 + λ2 · 1 + λ3 · 2 = 0
λ1 · 2 + λ2 · 3 + λ3 · 0 = 0
λ1 · 1 + λ2 · (−4) + λ3 · 1 = 0
cuja única solução é dada por λ1 = λ2 = λ3 = 0 (veri�que!). Ou seja, u1, u2, u3 são vetores
linearmente independentes (LI).
• EXEMPLO: considere os 3 vetores em R3
u1 =
 02
1
 , u2 =
 13
−4
 , u3 =
 20
−11
 .
Neste caso, a Eq. (1.1) decompõe-se em
λ1 · 0 + λ2 · 1 + λ3 · 2 = 0
λ1 · 2 + λ2 · 3 + λ3 · 0 = 0
λ1 · 1 + λ2 · (−4) + λ3 · (−11) = 0
que possui como solução λ1 = 3/2, λ2 = −1, λ3 = 1/2 (Con�ra!). Neste caso, constatamos que
os vetores são linearmente dependentes (LD). Ou seja, podemos reexpressar, por exemplo,
u1 como uma combinação linear de u2 e u3, isto é
u1 =
2
3
· u2 − 1
3
· u3.
OBS: em R3 vetores LD são chamados de coplanares.
• DEFINIÇÃO: seja um conjunto {~v1, . . . , ~vn} de n vetores não nulos. Este conjunto de
vetores é dito base dos vetores de um espaço vetorial V se as seguintes condições forem
obedecidas:
1. Os vetores {~v1, . . . , ~vn} são linearmente independentes.
2. Qualquer vetor ~a ∈V pode ser escrito como uma combinação linear ~a = ∑i=ni=1 λi~vi dos ve-
tores ~vi = {~v1, . . . , ~vn}.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 6
• EXEMPLO: considere os vetores do R3
e1 =
 10
0
 , e2 =
 01
0
 , e3 =
 00
1
 .
Eles formam uma base, visto que são LI
0 =
i=3∑
i=1
λi~ei = λ1 ·
 10
0
+ λ2 ·
 01
0
+ λ3 ·
 00
1
 =⇒
 λ1 = 0λ2 = 0
λ3 = 0
bem como também qualquer vetor ~v do R3 pode ser representado como uma combinação
linear deles, ou seja
~v =
 v1v2
v3
 = v1 ·
 10
0
+ v2 ·
 01
0
+ v3 ·
 00
1
 .
OBS: por serem ortonormais (produto escalar nulo e norma unitária), dizemos que {e1, e2, e3}
constituem a base canônica do R3.Mas vale ressaltar que não há uma única base deste espaço.
• Há duas propriedades importantes dos espaços vetoriais que devemos destacar:
1. Se um espaço tem uma base de n vetores, então qualquer conjunto contendo mais de n
vetores não é linearmente independente.
2. Se um espaço vetorial V tem uma base de n vetores, então toda base de V terá n vetores.
• DEFINIÇÃO: se um espaço vetorialV tem uma base constituída por n vetores {~v1, . . . , ~vn} ,
então V é dito um espaço vetorial n-dimensional, ou seja: dim (V ) = n.
• OBS: existem espaços vetoriais que não possuem uma base �nita, eles são ditos espaços veto-
riais de dimensão in�nita. Um exemplo são os espaços funcionais, onde os vetores são funções.
• EXEMPLO: tome o espaço vetorial dos polinômios de grau máximo cúbico, que é chamado
P 3, e considere ainda o intervalo a ≤ x ≤ b. Tais polinômios podem ser escritos como
combinações lineares dos seguintes monômios (base):{
1, x, x2, x3
}
.
Por exemplo: p (x) ≡ x3 − 3 · x2 + 5 = 5 · (1) + 0 · (x)− 3 · (x2)+ 1 · (x3), c.q.d.
Note ainda que, muito embora
{
1, x, x2, x3
}
seja uma base, ela não é a única! Outras, no
intervalo −1 ≤ x ≤ 1, são:
1.
{
1, x,
(
3x2 − 1) /2, (5x3 − 3x) /2} : Polinômios de Legendre.
2.
{
1, x,
(
2x2 − 1) , (4x3 − 3x)} : Polinômios de Chebyshev.
1.1.4 Sistema de coordenadas cartesiano em R3
Imaginemos um �espaço de �echas� em um sistema de coordenadas cartesiano no R3 (Figura 1.2),
em que pode-se escrever um vetor (��echa�) genérico
~A como:
~A = Axiˆ+Ay jˆ +Az kˆ
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 7
Figura 1.2: Vetores de base do espaço tridimensional
em termos dos vetores unitários (versores) de base
{
iˆ, jˆ, kˆ
}
. Nesta notação, teríamos: Ax = A1,
Ay = A2, Az = Ax, bem como Ax = A1, eˆ1 = iˆ, eˆ2 = jˆ, eˆ3 = kˆ. Ou seja, na notação de índices
temos
~A = A1eˆ1 +A2eˆ2 +A3eˆ3 =
3∑
i=1
Aieˆi.
Alternativamente, podemos pensar sobre vetores no R3 como uma tripla ordenada ~A = (A1, A2, A3) =
(Ax, Ay, Az) , de coordenadas Ai. Então, rearranjando as triplas em coluna, temos
~A =
 A1A2
A3

que pode ser decomposto segundo uma representação versorial da base canônica {eˆ1, eˆ2, eˆ3} de R3
como
~A = A1 ·
 10
0
+A2 ·
 01
0
+A3 ·
 00
1
 .
Podemos assim identi�car o sistema de coordenadas tridimensional cartesiano com o espaço euclidi-
ano tridimensional, para tal tomamos eˆ1 =
[
1 0 0
]T
, eˆ2 =
[
0 1 0
]T
, eˆ3 =
[
0 0 1
]T
,
em que o sinal �T � indica transposição. Portanto, utilizando esta decomposição podemos expressar
a soma de vetores como segue:
~A+ ~B =
3∑
i=1
Ai · eˆi +
3∑
i=1
Bi · eˆi =
3∑
i=1
(Ai +Bi) · eˆi
1.1.5 Produto escalar
De�ne-se o produto escalar de dois vetores tridimensionais
~A = (A1, A2, A3) e ~B = (B1, B2, B3)
como
~A • ~B =
3∑
i=1
(Ai ·Bi) = A1 ·B1 +A2 ·B2 +A3 ·B3 (1.2)
Que alternativamente pode ser escrito em termos dos vetores de base como
~A • ~B =
3∑
i=1
3∑
j=1
(AiBj) eˆi • eˆj . (1.3)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 8
Particularmente, este conceito é útil para de�nir o comprimento (norma) dos vetores. O produto
escalar de um vetor com ele mesmo de�ne a norma
∣∣∣ ~A∣∣∣do vetor ~A através de
∣∣∣ ~A∣∣∣ =√ ~A • ~A =√(A1)2 + (A2)2 + (A3)2. (1.4)
As principais propriedades da norma são:
•
∣∣∣ ~A∣∣∣ ≥ 0 para todo vetor tridimensional, sendo que ∣∣∣ ~A∣∣∣ = 0 =⇒ ~A = ~0.
•
∣∣∣λ ~A∣∣∣ = |λ| ∣∣∣ ~A∣∣∣ para um número real �λ� e um vetor 3d designado por ∣∣∣ ~A∣∣∣ .
•
∣∣∣ ~A+ ~B∣∣∣ ≤ ∣∣∣ ~A∣∣∣+ ∣∣∣ ~B∣∣∣ para dois vetores ~A e ~B (desigualdade tringular).
Comparando agora as Eq.(1.2) e Eq.(1.3) concluímos que
eˆi • eˆj =
{
1, i = j
0, i 6= j
como eˆi • eˆj = 0 se i 6= j esses vetores são ortogonais, e como eˆi • eˆj = 1 quando i = j, esses vetores
formam uma base ortonormal.
É agora conveniente de�nir a função delta de Kronecker δij como:
δij = eˆi • eˆj =
{
1, i = j
0, i 6= j .
1.1.6 Produto vetorial
Existe ainda outra forma de produto entre vetores . Esta operação é chamada de produto vetorial,
ou produto em cruz, que é de�nido como
~A× ~B =
3∑
i=1
3∑
j=1
(AiBj) eˆi × eˆj = det
 eˆ1 eˆ2 eˆ3A1 A2 A3
B1 B2 B3
 , (1.5)
em que, mais explicitamente temos
det
 eˆ1 eˆ2 eˆ3A1 A2 A3
B1 B2 B3
 = (A2 ·B3 −A3 ·B2) eˆ1 + (A3 ·B1 −A1 ·B3) eˆ2 + (A1 ·B2 −A2 ·B1) eˆ3.
Vale ainda eˆ1 × eˆ1 = eˆ2 × eˆ2 = eˆ3 × eˆ3 = 0, bem como eˆ1 × eˆ2 = eˆ3, eˆ2 × eˆ3 = eˆ1, eˆ3 × eˆ1 = eˆ2.
• Um modo compacto de escrever as regras de multiplicação anteriores envolve o simbolo εijk
de�nido como
εijk =
 0, i = j = k+1 {ijk} : par−1 {ijk} : impar ,
note-se que {ijk} é chamada de permutação e será par ou impar nos seguintes casos
1. {ijk} par: partindo-se da sequência {123} e �zeram-se uma série par de permutações de
vizinhos próximos. Ou seja: 123, 231, 312 =⇒ εijk = 1
2. {ijk} impar: partindo-se da sequência {123} e �zeram-se uma série impar de permutações
de vizinhos próximos. Ou seja: 321, 213, 132 =⇒ εijk = −1
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 9
OBS: permutando dois índices vizinhos transforma-se uma permutação par em ímpar e vice-versa,
de onde conclui-se que
εijk = −εjik = −εikj = −εkji.
Portanto, vale escrever de forma geral
eˆi × eˆj =
3∑
k=1
εijkeˆk, (1.6)
o que implica que
~C = ~A× ~B =
3∑
i=1
3∑
j=1
3∑
k=1
(Ai ·Bj) εijkeˆk,
ou, em componentes temos
Ck =
3∑
i=1
3∑
j=1(Ai ·Bj) εijk.
• Introduzimos agora a seguinte identidade (veri�que!)
3∑
i=1
εijkεnmk = δinδjm − δimδjn (1.7)
de onde segue que(
~A× ~B
)
•
(
~C × ~D
)
=
3∑
i=1
εijkεnmkAi ·Bj ·Cn ·Dm =
(
~A • ~C
)(
~B • ~D
)
−
(
~A • ~D
)(
~B • ~C
)
,
no caso particular em que
~C = ~A e ~D = ~B temos∣∣∣~Z∣∣∣2 = ( ~A× ~B) • ( ~A× ~B) = ~A2 ~B2 − ( ~A • ~B)2
mas como
~A • ~B =
∣∣∣ ~A∣∣∣ ∣∣∣ ~B∣∣∣ cos θ
sendo θ o ângulo entre os dois vetores, temos que
∣∣∣~Z∣∣∣2 = ~A2 ~B2 (1− cos2 θ) = ~A2 ~B2 sin2 θ.
Logo:
|Z| =
∣∣∣ ~A× ~B∣∣∣ = ∣∣∣ ~A∣∣∣ ∣∣∣ ~B∣∣∣ sin θ.
1.1.7 Produto misto e Produto triplo
De�nimos o produto misto entre os produtos escalar e vetorial como
~A •
(
~B × ~C
)
. Já o produto
triplo entre os mesmos vetores é dado por
~A×
(
~B × ~C
)
.
Assim, o produto vetorial misto pode ser calculado utilizando a relação
eˆi • (eˆj × eˆk) = εijk,
ou seja
~A •
(
~B × ~C
)
=
3∑
i=1
3∑
j=1
3∑
k=1
εijkAiBjCk = det
 A1 A2 A3B1 B2 B3
C1 C2 C3
 .
Da mesma forma, o triplo produto vetorial será
~A×
(
~B × ~C
)
= ~B
(
~A • ~C
)
− ~C
(
~A • ~B
)
.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 10
• DEMONSTRAÇÃO: a relação anterior será demonstrada como segue
~A×
(
~B × ~C
)
=
3∑
i=1
Aieˆi ×
 3∑
k,m,n=1
εkmnBmCneˆk

=
3∑
i,k,m,n=1
εkmnAiBmCn (eˆi × eˆk)
Aplicando aqui a Eq.(1.6) no lugar de (eˆi × eˆk) temos
=
3∑
i,l,m,n=1
3∑
k=1
(εkmnεkli)AiBmCneˆl
Aplicando então a Eq.(1.7) no lugar de (εkmnεkli) temos
=
3∑
i,l,m,n=1
(δmlδni − δmiδnl)AiBmCneˆl
=
3∑
i=1
AiCi
3∑
m=1
Bmeˆm −
3∑
i=1
AiBi
3∑
n=1
Cneˆn
= ~B
(
~A • ~C
)
− ~C
(
~A • ~B
)
c.q.d.
1.2 Cálculo vetorial
O cálculo vetorial generaliza para funções vetoriais as técnicas de diferenciação e integração usuais.
Inicialmente aprenderemos o análogo dos operadores diferenciais, aqui chamados de operadores
vetoriais: gradiente, divergente, rotacional e laplaciano. Em seguida, aprenderemos a executar
sua composição. Por �m, veremos integrais de linha, superfície e os teoremas do Rotacional e da
Divergência (de Gauss) que nos permitem execução de cálculos de forma bastante facilitada.
Operadores diferenciais
1.2.1 Gradiente
Seja φ (x, y, z) um campo escalar, ou seja, uma função que associa um número a uma posição no
espaço representada pelas variáveis (x, y, z) . De�nimos o gradiente da função escalar φ (x, y, z)
como
~∇φ (x, y, z) = iˆ ∂φ
∂x
+ jˆ
∂φ
∂y
+ kˆ
∂φ
∂z
, (1.8)
sendo a derivada parcial de�nida como
∂φ
∂x
= lim
4x→0
φ (x+4x, y, z)− φ (x, y, z)
4x . (1.9)
Desta forma, o gradiente é o operador vetorial que de�ne a partir de um campo escalar um campo
vetorial (i.e. associa um vetor a cada ponto do espaço). Vale notar aqui que o operador gradiente,
ou nabla, é escrito em coordenadas cartesianas como
~∇ = iˆ ∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
. (1.10)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 11
• EXEMPLO: dada a função f (x, y, z) = f (r) = f
(√
x2 + y2 + z2
)
, em que, claramente
r =
√
x2 + y2 + z2, calcule seu gradiente.
Utilizamo-nos da regra da cadeia, em que
~∇f (r) = iˆ df
dr
∂r
∂x
+ jˆ
df
dr
∂r
∂y
+ kˆ
df
dr
∂r
∂z
dado que
∂r
∂x=
1
2 ·
(
x2 + y2 + z2
)−3/2 ·2x = xr , e que o mesmo se dá, analogamente para as derivadas
em y e z, teremos
~∇f (r) =
(
iˆ
x
r
+ jˆ
y
r
+ kˆ
z
r
) df
dr
mas rˆ = ~rr = iˆ
x
r + jˆ
y
r + kˆ
z
r , então
~∇f (r) = rˆ df
dr
,
ao que se diz que o gradiente de uma função radial é radial, i.e.
~∇f (r) ‖ rˆ.
Interpretação geométrica do gradiente: o Gradiente de uma função φ (x, y, z) , denotado
por
~∇φ (x, y, z) , é o vetor que aponta na direção de máxima variação de φ (x, y, z) . Consideremos
a variação de φ (x, y, z) , que é dada por sua derivada direcional a sequir:
φ′ =
dφ (~ro)
ds
=
∂φ
∂x
∂x
∂s
+
∂φ
∂y
∂y
∂s
+
∂φ
∂z
∂z
∂s
=
= u1
∂φ
∂x
+ u2
∂φ
∂y
+ u3
∂φ
∂z
= ~∇φ (~ro) • uˆ
em que ~r =
[
x y z
]T
=
[
x0 y0 z0
]T
+
[
u1 u2 u3
]T
= ~r0 + suˆ, ou seja
φ′ (~ro) = lim
s→0
φ (~ro + suˆ)− φ (x, y, z)
s
.
De�nição: a taxa de variação da função φ (x, y, z) em ~r0 =
[
x0 y0 z0
]T
na direção do
vetor unitário uˆ é dada pela derivada direcional
Duφ (~ro) =
dφ (~ro)
ds
,
onde a derivada direcional é expressa em termos do gradiente como Duφ (~ro) = ~∇φ (~ro) • uˆ. Note-
mos que o produto escalar é máximo quando escolhemos uˆ na mesma direção e sentido de ~∇φ (~ro) .
• EXEMPLO: seja φ (x, y, z) = x2+2xy+ y3+ z2. Determine a derivada direcional de φ em
(1,−1,−1) na direção de uˆ = aiˆ+ bjˆ + ckˆ, com a, b, c tais que a2 + b2 + c2 = 1.
Tomando a derivada direcional de φ em (1,−1,−1), temos a partir das derivadas parciais ∂xφ = 2x+ 2y∂yφ = 3y2 + 2x
∂zφ = 2z
a seguinte expressão
Duφ (1,−1,−1) =
[ˆ
i (2x+ 2y) + jˆ
(
3y2 + 2x
)
+ kˆ (2z)
] ∣∣
(1,−1,1) •
(
aiˆ+ bjˆ + c
)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 12
Figura 1.3: Campo de força é o gradiente das equipotenciais eletrostáticas.
=
[
(2 · 1 + 2 · (−1)) · a+
(
3 · (−1)2 + 2 · 1
)
· b+ (2 · 1) · c
]
= 5b− 2c
O locus geométrico dos pontos (x, y, z) satisfazendo φ (x, y, z) = φ (x0, y0, z0) = cte denomina-se
superfície de contorno (ex.: uma equipotencial eletrostática), vide �gura 1.3 em que as �linhas
de forças� são dadas pelo campo elétrico
~E = −~∇φ (~r) , já as circunferências de raios concêntricos
são suas equipotenciais.
1.2.2 Divergente
Um campo vetorial
~V (x, y, z) é uma função que associa quantidades vetoriais ~v ∈ ~V a cada ponto
(x, y, z) do espaço tridimensional, de modo que
~V (x, y, z) = iˆVx (x, y, z) + jˆVy (x, y, z) + kˆVz (x, y, z) .
De�nimos então o divergente desse campo vetorial como a operação produto escalar do operador
vetorial Nabla (Eq.1.10) sobre
~V como segue ~∇•~V (x, y, z) =
(
iˆ ∂∂x + jˆ
∂
∂y + kˆ
∂
∂z
)
•
(
iˆVx + jˆVy + kˆVz
)
=
(
∂Vx
∂x
+
∂Vy
∂y
+
∂Vz
∂z
)
=
3∑
i=1
∂Vi
∂xi
(1.11)
Vale resaltar ainda que para um vetor f ~V, onde f = f (x, y, z) é uma função escalar arbitrária,
a regra do produto (das derivadas) generaliza-se como:
~∇•
(
f ~V
)
=
3∑
i=1
∂ (fVi)
∂xi
=
3∑
i=1
f
∂ (Vi)
∂xi
+
3∑
j=1
Vj
∂ (f)
∂xj
= f ~∇•~V + ~V • ~∇f
≡ f · div
(
~V
)
+ ~V • grad (f) (1.12)
• EXEMPLO: seja ~V = f (r) · ~r uma função vetorial radial, encontre seu divergente.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 13
Tomando o divergente segundo a Eq.(1.12) temos:
~∇• (f · ~r) = f (r) ~∇ • ~r + df
dr
rˆ • ~r
= f (r)
[
iˆ
∂x
∂x
+ jˆ
∂y
∂y
+ kˆ
∂z
∂z
]
+ r
df
dr
= 3 · f (r) + r df
dr
NOTA: no caso em que f (r) = rn temos um notável caso particular
~∇ • (rn · ~r) = 3rn + nrn = (3 + n) rn
e se n = −3 teremos ~∇ [ ~rr3 ] = ~∇ [ rˆr2 ] = 0, este caso é �sicamente relevante pois representa os
campos conservativos gravitacional (~g = GMrˆr2 ) e elétrico (
~E = kqrˆr2 ), em que a divergência é nula!
Sempre que um campo vetorial
~V tem ~∇ • ~V = 0 dizemos que este campo é solenoidal.
Geometricamente, o operador divergente mensura a convergência (ou divergência) das linhas
de um campo vetorial no espaço.
1.2.3 Rotacional
O rotacional é a aplicação do operador vetorial nabla sobre um campo vetorial
~V (x, y, z) na forma
de produto vetorial, ou seja
~∇× ~V (x, y, z) =
(
iˆ
∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
)
×
(
iˆVx + jˆVy + kˆVz
)
= det
 iˆ jˆ kˆ∂x ∂y ∂z
Vx Vy Vz

= iˆ
(
∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+ jˆ
(
∂Vx
∂z
− ∂Vz
∂x
)
+ kˆ
(
∂Vy
∂x
− ∂Vx
∂y
)
. (1.13)
• EXEMPLO: étrivial provar por substituição direta que ~∇× ~r = 0, se ~r = ~x + ~y + ~z. Ou
seja, o rotacional de um campo radial é nulo.
Já em termos de permutações, podemos também expressar o rotacional como
~∇× ~V (x, y, z) =
3∑
i,j,k=1
εijk
∂Vk
∂xj
eˆi. (1.14)
Esta última expressão é especialmente útil para calcular o rotacional do produto de uma função
escalar f = f (x, y, z) por um campo vetorial ~V, ou seja
~∇×
(
f ~V
)
=
3∑
i,j,k=1
εijk
∂ (fVk)
∂xj
eˆi
= f
3∑
i,j,k=1
εijk
∂Vk
∂xj
eˆi +
3∑
i,j,k=1
εijkVk
∂f
∂xj
eˆi
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 14
= f ~∇× ~V +
(
~∇f
)
× ~V
= f · rot
(
~V
)
+ grad (f)× ~V (1.15)
• EXEMPLO: seja ~V = f (r) · ~r, calcule ~∇× ~V
Utilizando a Eq.(1.15) obtemos diretamente
~∇× [f (r) · ~r] = f (r) ·
[
~∇× ~r
]
+
[
~∇f (r)
]
× ~r = 0,
Por que? Note as propriedades de anti-simetria do εijk e do produto vetorial ~r × ~r (i.e. ~a ×~b =
−~b× ~a, e εijk = −εikj), logo
~∇× ~r =∑ijk εijk∂xjxk =⇒ 12∑ijk (εijk∂xjxk + εikj∂xkxj) = 0
~∇f (~r) = λ~r =⇒ λ~r × ~r = 0.
OBSERVAÇÕES:
1. Sempre que
~∇ × ~V = 0, o campo vetorial ~V é dito irrotacional. Este é o caso do campo
gravitacional (e elétrostático), dado que são radiais (i.e. ‖ ~r).
2. O rotacional é também denotado por
~∇× ≡ curl. Este operador vetorial mensura a tendência
de um campo vetorial, por exemplo
~V, circular ao redor de um eixo especi�cado por ~r.
1.2.4 Aplicações sucessivas de nabla
(A) LAPLACIANO
A aplicação do produto escalar de dois operadores nabla sobre uma função escalar φ (x, y, z) é
dada por
~∇ • ~∇φ (x, y, z) =
(
iˆ
∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
)
•
(
iˆ
∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
)
φ (x, y, z)
=
(
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
)
= ~∇2φ
o operador
~∇2 é denominado de Laplaciano e, geometricamente, expressa a concentração de
um campo escalar e um ponto (x, y, z) . A equação diferencial ~∇2φ = 0 é chamada de Equação
de Laplace, e rege, por exemplo, o comportamento dos potenciais elétrico e gravitacional no vácuo.
• EXEMPLO: seja f (r) uma função escalar radial, calcule ~∇2f (r)
~∇2f (r) = ~∇ • ~∇f (r)
= ~∇ •
(
~r
r
· df
dr
)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 15
=
(
~∇ • ~r
)(1
r
· df
dr
)
+ ~r • ~∇
(
1
r
· df
dr
)
Empregando a relação
~∇ = rˆ ddr para funções radiais e ~∇ • ~r = 3 (veri�que!), temos
= 3
(
1
r
· df
dr
)
+ ~r • rˆ d
dr
(
1
r
· df
dr
)
=
3
r
· df
dr
+ r
d
dr
(
1
r
· df
dr
)
=
3
r
· df
dr
+ r
(
− 1
r2
)
df
dr
+ r
(
1
r
)
d2f
dr2
Logo
~∇2f (r) = 2
r
· df
dr
+
d2f
dr2
(1.16)
• Então, por aplicação direta da Eq.(1.16), se f (r) = rn teremos ~∇2f (r) = ~∇2rn = 2rnrn−1+
n (n− 1) rn−2, logo
~∇2rn = n (n+1) rn−2
O caso em que n = −1 é �sicamente importante porque o potencial eletrostático expressa-
se como:φE =
kq
r e portanto implica que
~∇2φE = 0, ou seja, é regido pela equação de Laplace.
(B) ROTACIONAL do GRADIENTE
O rotacional do gradiente de um campo escalar φ = φ (x, y, z) é sempre nulo. Prova:
~∇× ~∇φ = det
 iˆ jˆ kˆ∂x ∂y ∂z
∂xφ ∂yφ ∂zφ
 =
= iˆ (φyz − φzy) + jˆ (φzx − φxz) + kˆ (φxy − φyx)
=
3∑
i,j,k=1
εijk
∂2φ
∂xj∂xk
eˆi = 0. (1.17)
A última expressão anula-se por causa da soma sobre os índices anti-simétricos de εijk.
(C) DIVERGENTE do ROTACIONAL
O divergente do rotacional de um campo vetorial
~V é sempre nulo. Prova:
~∇ •
(
~∇× ~V
)
=
(
iˆ
∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
)
• det
 iˆ jˆ kˆ∂x ∂y ∂z
Vx Vy Vz

=
(
iˆ
∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
)
•
[
iˆ
(
∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+ jˆ
(
∂Vx
∂z
− ∂Vz
∂x
)
+ kˆ
(
∂Vy
∂x
− ∂Vx
∂y
)]
=
(
∂2Vz
∂x∂y
− ∂
2Vy
∂x∂z︸ ︷︷ ︸
)
+
(
∂2Vx
∂y∂z
− ∂
2Vz
∂y∂x
)
+
(
∂2Vy
∂z∂x︸ ︷︷ ︸− ∂
2Vx
∂z∂y
)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 16
=
3∑
i,j,k=1
εijk
∂
∂xi
∂
∂xj
Vk = 0. (1.18)
A última expressão é naturalmente nula por causa da soma sobre os índices anti-simétricos de
εijk.εijk.
(D) ROTACIONAL do ROTACIONAL
Calculamos o rotacional do rotacional de um campo vetorial
~V utilizando a dupla aplicação
da Eq.(1.14) como segue:
~∇× ~∇× ~V =
3∑
i,l,m,n,k=1
εkmnεkli
∂
∂xi
∂
∂xm
Vneˆl
aplica-se agora a relação dada na Eq.(1.7), de onde temos
=
3∑
l,m,n,k=1
(δmlδni − δmiδnl) ∂
∂xi
∂
∂xm
Vneˆl
=
[
3∑
m=1
eˆm
∂
∂xm
]
︸ ︷︷ ︸
=grad
·
[
3∑
i=1
∂Vi
∂xi
]
︸ ︷︷ ︸
=div
−
[
3∑
i=1
∂2
∂x2i
]
︸ ︷︷ ︸
=Laplaciano
·
 3∑
n=1
Vneˆn︸ ︷︷ ︸

~V
Reconhecendo individualmente os termos acima temos, �nalmente
~∇× ~∇× ~V = ~∇
(
~∇ • ~V
)
− ~∇2~V (1.19)
• APLICAÇÃO: considerando as equações de Maxwell no vácuo para os campos elétrico(
~E
)
e magnético
(
~B
)
a seguir {
~∇ • ~B = 0
~∇× ~B = µ0ε0 ∂ ~E∂t
(1.20)
{
~∇ • ~E = 0
~∇× ~E = −∂ ~B∂t
(1.21)
Podemos calcular a derivada temporal de
∂ ~E
∂t de modo a obter
µ0ε0
∂2 ~E
∂t2
=
∂
∂t
(
~∇× ~B
)
então, permutando o rotacional pela derivada temporal
µ0ε0
∂2 ~E
∂t2
= ~∇×
(
∂ ~B
∂t
)
e empregando agora a Eq.(1.20) para substituição
µ0ε0
∂2 ~E
∂t2
= ~∇×
(
~−∇× ~E
)
aplicamos agora a relação Eq.(1.19) de modo a obter
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 17
µ0ε0
∂2 ~E
∂t2
= ~∇
(
~∇ • ~E︸ ︷︷ ︸)
=0
− ~∇2 ~E.
Note que a expressão resultante é chamada de equação de onda para o campo elétrico
~E, e a
velocidade da onda propagante (luz!) é dada por c = 1/√µ0ε0. Faça o procedimento análogo para
o campo magnético
~B : ele também propaga-se ondulatoriamente no vácuo.
Integração
1.2.5 Integrais de linha
O conceito de integral de linha generaliza o de integral de�nida
bˆ
a
f (x) dx. (1.22)
Na Eq.(1.22) a função escalar f (x) é integrada no eixo x entre [a, b] . Agora, em uma integral
de linha, devemos integrar dada função (integrando) ao longo de uma curva Γ no espaço (bi- ou
tridimensional). Isto requer que representemos Γ de uma forma paramétrica, ou seja
Γ (t) = ~r (t) = [x (t) , y (t) , z (t)] = x (t) iˆ+ y (t) jˆ + z (t) kˆ,
e assim, a curva Γ será denominada �caminho de integração� . Ainda, a curva Γ será dita �suave�
se todos seus pontos possuirem um único vetor tangente, cuja direção variar continuamente ao
longo da curva.
• DEFINIÇÃO: a integral de linha da função vetorial ~F (~r) sobre a curva paramétrica Γ (~r) =
~r (t) é dada por
ˆ
Γ
~F (~r) • d~r =
bˆ
a
~F (~r) • d~r′dt, (1.23)
onde
~r′ =
d~r (t)
dt
=⇒ d~r (t) = ~r′dt.
Adotando a abordagem por componentes, que é bastante conveniente, escrevemos
ˆ
Γ
~F (~r) • d~r =
ˆ
Γ
Fxdx+
ˆ
Γ
Fydy +
ˆ
Γ
Fzdz
=
ˆ
Γ
Fxdx
′ · dt+
ˆ
Γ
Fydy
′ · dt+
ˆ
Γ
Fzdz
′ · dt.
OBS: se a curva Γ for fechada adota-se a seguinte notação no símbolo de integração
¸
Γ
• EXEMPLO: encontre o valor da integral de linha de ~F (~r) = [−y,−xy] sobre Γ dada por
um quarto de circunferência entre (1, 0) e (0, 1) .
Res: a equação que determina o locus de uma circunferência é dada por x2 + y2 = R2. Já
empregando coordenadas polares, escrevemos x (t) = R · cos (t) e y (t) = R · sin (t) , em que, neste
caso implica R = 1. Logo podemos parametrizar Γcomo
Γ (~r) = ~r (t) = [cos (t) , sin (t)]|t=0..pi2 =⇒
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 18
~r′ (t) = [− sin (t) , cos (t)]|t=0..pi2 .
Também sob a mesma parametrização
~F (~r) = [− sin (t) ,− sin (t) · cos (t)]
Logo é imediata a relação
ˆ
Γ
~F (~r) • d~r =
pi
2ˆ
0
[− sin (t) ,− sin (t) · cos (t)] • [− sin (t) , cos (t)] dt=
pi
2ˆ
0
 sin (t)2︸ ︷︷ ︸
=1
2
[1−cos(2t)]
+ sin (t) ·
(
cos (t)︸ ︷︷ ︸
)
2
=u
 dt
=
pi
2ˆ
0
1
2
(1− cos (2t)) dt−
0ˆ
1
u2 (−du)
=
pi
4
− 0− 1
3
' 0, 4521.
• EXEMPLO: calcule a integral de linha no R3 da função ~F (~r) = [z, x, y] sobre a hélice
Γ (~r) = [cos (t) , sin (t) , 3t].
Res: adotando a parametrização x (t) = cos (t) , y (t) = sin (t) , z (t) = 3t, podemos escrever
~F (~r) • ~r′ = [3t, cos (t) , sin (t)] • [− sin (t) , cos (t) , 3] = −3t sin (t) + cos2 (t) + 3 sin (t)
Logo ˆ
Γ
~F (~r) • d~r ==
2piˆ
0
− 3t︸︷︷︸ sin (t)
=u·dv
+ cos2 (t) + 3 sin (t)
 dt
= 6pi + pi + 0 ' 21, 99.
Propriedade: qualquer representação de Γ que forneça a mesma direção em Γ gerará o mesmo
resultado na integral de linha, como provamos a seguir
ˆ
Γ
~F (~r∗) • d~r∗ =
bˆ
a
~F [~r (φ (t∗))] • d~r
dt
dt
dt∗
dt∗
=
bˆ
a
~F (~r (φ (t∗))) • d~r
dt
dt
dt∗
dt∗
=
bˆ
a
~F (~r (t)) • d~r
dt
dt =
bˆ
a
~F (~r (t)) • d~r
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 19
Note, na última passagem, que ~r∗ ≡ ~r (φ (t∗)) e ~r (t) são apenas representações distintas da mesma
curva Γ, logo, geometricamente ~r∗ = ~r para efeito do produto escalar (que é invariante por mu-
dança de parametrização).
Independência de trajetória de algumas Integrais de linha: uma integral de linha´
Γ
~F (~r)•d~r = ´
Γ
F1dx+
´
Γ
F2dy+
´
Γ
F3dz com F1, F2, F3 no domínio D no espaço é independente
de Γ no domínio D se e somente se ~F = [F1,F2, F3] é um gradiente de uma função escalar φ no
domínio D. Ou seja
~F = ~∇φ⇐⇒
 F1 = ∂xφF2 = ∂yφ
F3 = ∂zφ
Prova: considere que
ˆ
Γ
~F • d~r =
ˆ
Γ
F1dx+
ˆ
Γ
F2dy +
ˆ
Γ
F3dz =
ˆ
Γ
(∂xφ · dx+ ∂yφ · dy + ∂zφ · dz)
=
bˆ
a
(
∂xφ · dx
dt
+ ∂yφ · dy
dt
+ ∂zφ · dz
dt
)
dt
=
bˆ
a
(
dφ
dt
)
dt = φ [x (t) , y (t) , z (t)]|ba
= φ [x (b) , y (b) , z (b)]− φ [x (a) , y (a) , z (a)]
= φ [B]− φ [A]
Ou seja, temos assim total independência de Γ, visto que no caso acima
´
Γ
~F • d~r = φ [B]− φ [A]
o resultado depende apenas do ponto inicial (A) e do ponto �nal da trajetória (B), mas não de
seu formato.
Corolário: considerando
~F = ~∇φ e que pela Eq.(1.17) temos ~∇ × ~∇φ = 0 =⇒ ~∇ × ~F = 0,
logo
´
Γ
~F • d~r = φ [B]− φ [A]⇐⇒ ~∇× ~F.
1.2.6 Integrais de superfície
Para de�nirmos uma integral de superfície, tomemos a superfície �S� representada parametrica-
mente como todos os pontos do R3 de�nidos por
r (u, v) = [x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)]
= x (u, v) · iˆ+ y (u, v) · jˆ + z (u, v) · kˆ,
em que u, v variam em uma região do intervalo real R no plano uOv. Assumimos ainda que �S�
seja suave (piecewise) tal que o vetor
~N = ~ru + ~rv seja normal à superfície.
• Então, para uma dada função vetorial ~F podemos de�nir a integral de superfície sobre uma
superfície �S� como
¨
S
~F • d ~A =
¨
S
~F • nˆdA =
¨
S
~F • ~N · du · dv, (1.24)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 20
onde utilizamos nˆ =
~N
| ~N| , bem como a identidade nˆdA = nˆ
∣∣∣ ~N ∣∣∣ · du · dv = ~N · du · dv, notar
que dA é o elemento de área em S. Ou seja, explicitamente em coordenadas cartesianas:
¨
S
~F • d ~A =
¨
S
(Fxdydz + Fydxdz + Fzdxdy) .
• EXEMPLO: calcule o �uxo ϕ de água através do cilíndro parabólico dado por
S =
{
y = x2 0 ≤ x ≤ 2
z 0 ≤ z ≤ 3
considerando que o vetor velocidade ~v do �uido é dado por ~v =
[
3z2, 6, 6xz
]
em m/s.
Res: empregando a parametrização x = u =⇒ y = u2 e z = v temos imediatamente que S =[
u, u2, v
]
com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 3. De onde calculamos
~ru =
d~r
du = [1, 2u, 0]
~rv =
dr
dv = [0, 0, 1]
 =⇒ ~N ≡ ~ru × ~rv = det
 iˆ jˆ kˆ1 2u 0
0 0 1
 ,
ou seja
~N = [2u,−1, 0] . Logo
ϕ =
¨
S
~F • d ~A =
3ˆ
0
dv
2ˆ
0
du · ~F (~r (u, v)) • ~N
=
3ˆ
0
dv
2ˆ
0
du · [3v2, 6, 6uv] • [2u,−1, 0]
=
3ˆ
0
dv
2ˆ
0
du · (6v2u− 6 + 6 · u · v · 0)
=
3ˆ
0
dv
(
3u2v2 − 6u)∣∣u=2
u=0
=
3ˆ
0
dv
(
12v2 − 12)
=
(
4v3 − 12v)∣∣v=3
v=0
= 72m3/s.
1.2.7 O teorema da Divergência de Gauss
Integrais volumétricas (ou triplas) podem ser transformadas em integrais de superfície. Este tipo de
transformação é importante pois uma das duas formas de integração poderá ser operacionalmente
mais simples. Para tal, invocamos o chamado �Teorema da divergência de Gauss�, em que
• Dada uma função vetorial (campo) ~F = [Fx, Fy, Fz] = iˆFx+ jˆFy+ kˆFz temos seu divergente
dado por
~∇ • ~F = ∂xFx + ∂yFy + ∂zFz.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 21
Teorema:
Seja V uma região �nita e limitada do espaço cuja fronteira S é suave (ao menos por partes).
Seja
~F (x, y, z) uma função contínua e que tenha derivadas primeiras igualmente contínuas em um
domínio que contenha V . Neste caso, é válido a�rmar que
˚
V
(
~∇•~F
)
dv =
¨
S
~F • d ~A (1.25)
ou em componentes cartesianas
˚
V
(∂xFx + ∂yFy + ∂zFz) dxdydz =
¨
S
(Fxdydz + Fydxdz + Fzdxdy) .
Prova: particione o volume de integração V em elementos dV cúbicos in�nitesimais. O �uxo
ϕ através das duas faces perpendiculares ao eixo x, cujas áreas (4S) são dadas por 4y4z, é
obtido tomando os pontos P+ e P− no centro de cada uma daquelas faces, através das quais cruza
o campo vetorial
~F. As suas coordenas dos pontos são P± =
(
x± 124x, y, z
)
. Então temos
ϕx = [F (P+)− Fx (P−)]4S = [Fx (P+)− Fx (P−)]4y4z. (1.26)
Considerando agora a de�nição de derivada parcial Eq.(1.9) para vx temos que
Fx
(
x± 1
2
4x, y, z
)
= Fx (x, y, z)± 1
2
4x · ∂Fx (x, y, z)
∂x
,
então, podemos expressar
Fx (P+)− Fx (P−) = 4x · ∂Fx (x, y, z)
∂x
. (1.27)
Finalmente, substituindo a Eq.(1.27) na Eq.(1.26) obtemos
ϕx = 4x4y4z · ∂Fx
∂x
= 4V · ∂Fx
∂x
.
• Repetindo agora o mesmo procedimento para as demais faces, concluímos que
ϕx + ϕy + ϕz =
¨
S
~F • d ~A
= (∂xFx + ∂yFy + ∂yFy)︸ ︷︷ ︸
=div(~F)
4V.
Somando então sobre todos os elementos de volume
ϕTotal =
N−elementos∑
i=1
(ϕx + ϕy + ϕz)i =
N−elementos∑
i=1
(∂xFx + ∂yFy + ∂yFy)i4Vi,
e �nalmente tomando então os limites 4Vi → 0, 4Si → 0 e N →∞ resulta em
ϕTotal =
¨
S
~F • d ~A =
˚
V
(
~∇•~F
)
dV c.q.d.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 22
• EXEMPLO: calcule a integral
I =
¨
S
(
x3 · dy · dz + x2 · y · dz · dx+ x2 · z · dx · dy) ,
onde S é a superfície composta pela lateral mais as tampas de um cilindro em que
S =
 x
2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ b : lateral
x2 + y2 ≤ a2, z = 0, z = b : tampa
.
Res: pelo enunciado temos Fx = x
3, Fy = x
2y, Fz = x
2z então ~∇•~F = (∂xFx + ∂yFy + ∂zFz) =
5x2. Empregamos então coordenadas polares, assim x = r · cos (θ) e y = r · sin (θ) o que implica
pelo uso do teorema da Divergência
I =
˚
V
5x2 · dx · dy · dz =
bˆ
z=0
dz
2piˆ
θ=0
dθ
aˆ
r=0
r · dr [5r2 cos2 (θ)]
= 5
bˆ
z=0
dz
2piˆ
θ=0
dθ
[
a4
4
· cos2 (θ)
]
=
[
5pia4
4
] bˆ
z=0
dz =
5pia4b
4
• EXEMPLO: veri�que que o cálculo da integral
¨
S
(
7xiˆ− zkˆ
)
• nˆdA
sobre a superfície esférica S : x2 + y2 + z2 = 4 utilizando
(a) o teorema da divergência de Gauss
(b) cálculo direto
Res: (a) utilizando o teorema de Gauss temos
~∇ • ~F = ∂x (7x) + ∂y (0) + ∂z (−z) = 6, logo
¨
S
~F • d ~A =
˚
V
(
~∇•~F
)
dv
=
˚
V
6 · dv = 6 · 4
3
pi r3
∣∣
r=2
= 64pi
(b) Utilizando coordenadas esféricas: (x, y, z) = (r · cos (v) cos (u) , r · cos (v) sin (u) , r · sin (v)),
parametrizamos a superfície S como
S : ~r = [2 cos (v) cos (u) , 2 cos (v) sin (u) , 2 sin (v)]
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULOVETORIAL 23
logo  ~ru =
d~r
du = [−2 cos (v) sin (u) , 2 cos (v) cos (u) , 0]
~rv =
d~r
dv = [−2 sin (v) cos (u) ,−2 sin (v) sin (u) , 2 cos (v)]
Então calculando o vetor normal
~N à superfície S obtemos
~N = ~ru × ~rv = det
 iˆ jˆ kˆ−2 cos (v) sin (u) 2 cos (v) cos (u) 0
−2 sin (v) cos (u) −2 sin (v) sin (u) 2 cos (v)

=
[
4 cos2 (v) cos (u) , 4 cos2 (v) sin (u) , 4 cos (v) sin (v)
]
Analogamente, parametrizamos a função
~F = [7x, 0,−z] = [14 cos (v) cos (u) , 0,−2 sin (v)],
de onde resulta que
~F • ~N = (14 cos (v) cos (u)) · (4 cos2 (v) cos (u))+ 0 + (−2 sin (v)) · (4 cos (v) sin (u))
= 56 cos3 (v) cos2 (u)− 8 cos (v) sin2 (v) .
Logo
¨
S
~F • d ~A =
pi/2ˆ
−pi/2
dv
2piˆ
0
du
[
56 cos3 (v) cos2 (u)− 8 cos (v) sin2 (v)] ,
e a integração desta expressão em u produz
¨
S
~F • d ~A =
pi/2ˆ
−pi/2
dv
[
56pi cos3 (v)− 16pi cos (v) sin2 (v)]
Mas, dado que cos3 (v) = cos (v) · (1− sin2 (v)) e fazendo a substituição: sin2 (v) cos (v) dv =
x2dx, a integração em v resulta
¨
S
~F • d ~A =
pi/2ˆ
−pi/2
56pi cos (v) dv −
pi/2ˆ
pi/2
56pi sin2 (v)︸ ︷︷ ︸
=x2
· cos (v) dv︸ ︷︷ ︸−
=dx
pi/2ˆ
pi/2
16pi sin2 (v)︸ ︷︷ ︸
=x2
· cos (v) dv︸ ︷︷ ︸
=dx
= 56pi sin (v)|pi/2−pi/2 − 72pi
sin3 (v)
3
∣∣∣∣pi/2
−pi/2
= 112pi − 72pi · 2
3
= 64pi
Veri�cado!
• APLICAÇÃO: modelagem do �uxo de calor via Equação da Difusão
* Considere uma placa metálica aquecida por um maçarico, ela permite a propagação de um �uxo
calórico ϕ a uma certa velocidade ~v proporcional ao gradiente da temperatura U, que por sua vez
é função do local e do tempo: U = U (x, y, z, t) . Assim temos
~v = −k ~∇U, k = cte. (1.28)
Com estas condições, modelaremos a equação da difusão do calor da seguinte forma:
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 24
1. A quantidade de calor que vaza através da sessão S da placa por unidade de tempo é dada
por
˜
S
~v • d ~A, o que é equivalentemente expresso utilizando o teorema da divergência e da
Eq.(1.28) como ¨
S
~v • d ~A = −k
˚
V
~∇ •
(
~∇U
)
dV
= −k
˚
V
~∇2U · dV. (1.29)
2. Mas a energia calorí�ca total em um corpo H pode ser expresso em termos da temperatura,
de sua massa M =
˝
V
ρdV , expressa através da densidade especí�ca local ρ (x, y, z) , e
também do calor especí�co σ como
H =
˚
V
σ · ρ · UdV
cuja variação temporal é expressa como
−∂H
∂t
= −
˚
V
σ · ρ · ∂U
∂t
· dV. (1.30)
3. Dada a lei de conservação da energia, a variação temporal calorí�ca expressa na Eq.(1.30)
deve igualar o �uxo calorí�co da Eq.(1.29), ou seja
−
˚
V
σ · ρ · ∂U
∂t
· dV = −k
˚
V
~∇2U · dV =⇒
˚
V
(
σ · ρ · ∂U
∂t
− k~∇2U
)
· dV = 0 =⇒
∂U
∂t
= c2~∇2U, c2 = k/σ·ρ (1.31)
A Eq.(1.31) é chamada de Equação da Difusão e rege a difusão calórica em uma placa com
relação a posição e o tempo. A constante c2é conhecida como difusividade térmica do corpo.
Vale notar que, no caso estacionário (i.e. independente do tempo) a equação da difusão se
reduz à equação de Laplace.
1.2.8 Teorema do Rotacional de Stokes
De forma similar ao teorema da divergência, que permite transformar integrais volumétricas em de
superfície, existe outro teorema do cálculo vetorial (Stokes) que nos permite transformar integrais
de superfície em integrais de linha.
Teorema:
seja S uma superfície suave (piecewise) no espaço e seja Γ a fronteira dessa superfície, também uma
curva suave (piecewise). Considere
~F (x, y, z) uma função vetorial contínua que tenha derivadas
primeiras no domínio espacial que contém S. Então
¨
S
(
~∇× ~F
)
• d ~A =
˛
Γ
~F • d~r, (1.32)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 25
em que d ~A = n̂dA é o elemento de área orientada de S e d~r = ~r′dl é o elemento de arco de Γ,
enquanto
~r′ = d~rdl é o vetor tangente à curva em cada ponto. Ou em componentes cartesianas:¨
S
[
(∂yFz − ∂zFy) · ~Nx + (∂zFx − ∂xFz) · ~Ny + (∂xFy − ∂yFx) · ~Nz
]
•
(
~du × ~dv
)
=
=
˛
Γ
(Fxdx+ Fydy + Fzdz) .
Prova: particione a superfície S em elementos de área in�nitesimais retangulares 4x4y. Calcu-
lamos então a integral de linha correspondente à Eq.(1.32) sobre o contorno Λ associado à 4x4y.
Esta integral é conhecida como circulação C de ~F, e é executada sobre as arestas paralelas �1� e
�3� bem como �2� e �4� deste elemento de área, ou seja:
˛
Λ
~F • d~r = C1 + C2 + C3 + C4
=
ˆ
Aresta1
Fx (1) dx+
ˆ
Aresta2
Fy (2) dy +
ˆ
Aresta3
Fx (3) dx+
ˆ
Aresta4
Fy (4) dy
• Logo, como as arestas são in�nitesimais, e considerando a orientação anti-horária do per-
curso, temos
C1 + C3 ' 4x [Fx (1)− Fx (3)] (1.33)
• Ainda considerando uma separação in�nitesimal 4y entre as componentes Fx (3) e Fx (1) ,
é uma ótima aproximação tomar
Fx (3)− Fx (1) = Fx (3 +4y)− Fx (1) =⇒
Fx (3)− Fx (1)
4y =
Fx (3 +4y)− Fx (1)
4y =⇒
Fx (3)− Fx (1)
4y =
Fx (3 +4y)− Fx (1)
4y '
∂Fx
∂y
=⇒
Fx (3) ' Fx (1) + ∂Fx
∂y
· 4y (1.34)
• Logo, substituindo a Eq.(1.34) na Eq.(1.33) obtemos
C1 + C3 ' 4x
[
Fx (1)− Fx (1)− ∂Fx
∂y
· 4y
]
= −∂Fx
∂y
· 4x4y
e executando procedimento análogo para as circulações C2 e C4 concluímos que para cada
elemento de área 4x4y vale
˛
Λ
~F • d~r = C1 + C2 + C3 + C4 =
(
∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
)
4x4y.
Somamos então sobre todos os N elementos de área e passamos ao limite do contínuo
˛
Γ
~F • d~r '
N∑
i=1
˛
Λi
~F • d~r =
N∑
i=1
(
∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
)
︸ ︷︷ ︸
=
(
~∇×−→F
)
z
4xi4yi =⇒
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 26
˛
Γ
~F • d~r = lim
N →∞
4x4y → dA
N∑
i=1
˛
Λi
~F • d~r =
¨
S
(
~∇× ~F
)
• d ~A c.q.d.
• EXEMPLO: veri�que o teorema de Stokes aplicando-o sobre a função vetorial ~F = [y, z, x]
e considerando a superfície S dada pelo parabolóide z = f (x, y) = 1− (x2 + y2) ≥ 0.
Res: utilizando coordenadas cilíndricas: x = r · cos (θ) , y = r · sin (θ) e z, temos que a circun-
ferência de base Γ do parabolóide pode ser parametrizada como Γ : −→r = [cos (θ) , sin (θ) , 0] =⇒
−→r ′ = [− sin (θ) , cos (θ) , 0] . Analogamente, a função ~F pode ser expressa como ~F= [y, z, x] =
[sin (θ) , z, cos (θ)]. Desta forma
˛
Γ
~F • d~r =
2piˆ
0
~F (~r (θ)) • ~r′dθ =
2piˆ
0
[sin (θ) , z, cos (θ)] • [− sin (θ) , cos (θ) , 0] dθ
=
2piˆ
0
(− sin2 (θ) + z cos (θ) + 0) dθ = −pi
Por outro lado
~∇× ~F = det
 iˆ jˆ kˆ∂x ∂y ∂z
x y z
 = −iˆ− jˆ − kˆ,
enquanto a normal à S é dada por ~N = ~∇S = grad [z + (x2 + y2)− 1] = [2x, 2y, 1] , ou seja:
nˆ = xiˆ+yiˆ+kˆ9 . Assim temos
(
~∇× ~F
)
• ~N = −2x− 2y − 1, sendo portanto
¨
S
(
~∇× ~F
)
• d ~A =
¨
S
(
~∇× ~F
)
• ~N ·dxdy =
¨
R2
(−2x− 2y − 1) dxdy =
2piˆ
0
dθ
1ˆ
0
r · dr · (−2r · (cos (θ) + sin (θ)− 1))
=
2piˆ
0
dθ ·
(
−2
3
(cos (θ) + sin (θ))− 1
2
)
= 0 + 0− 1
2
· 2pi = −pi.
Veri�camos assim o teorema de Stokes em um caso particular, que mostra claramente que a integral
de linha é geralmente mais simples de calcular que a integral de superfície.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 27
1.3 Problemas do capítulo
1.3.1 Vetores & Espaços Vetoriais
1. Um conjunto de vetores {~v1, . . . , ~vn} gera um espaço vetorial V se cada vetor em V é uma
combinação linear
∑i=n
i=1 ci~vi para dados escalares c1, . . . , cn. Mostre que dois vetores
~v1 =
 10
0

~v2 =
 01
−1

não geram o R3. E os três vetores abaixo ?
~v1 =
 10
0

~v2 =
 01
−1

~v3 =
 11
1
 .
2. Encontre os valores de ”x” para os quais os vetores abaixo sejam Linearmente Independentes
(L.I.)
~v1 =
 10
0

~v2 =
 01
−1

~v3 =
 1x
1
 .
3. Seja P2 um espaço vetorialde polinômios com grau menor ou igual a dois. Descubra se os
três polinômios abaixo:
p1 = x
2 + 3,
p2 = x+ 1,
p3 = x− 1,
(a) São linearmente independentes ? (b) Eles formam uma base de P2 ?
4. É possível obter p = x2 − x+ 3 como uma combinação linear dos vetores
p1 = x
2 − 2x− 1,
p2 = x
2 + 1,
p3 = x+ 1,
em P2? Os vetores p1, p2, p3 formam uma base de P2 ?
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 28
5. Sejam os vetores ~u = (3, 1) e ~v = (2,−1) . Encontre a projeção de ~u em ~v e a projeção de ~v
em ~u.
6. (a) Cheque se os três vetores abaixo são L.I.
~A = (−1, 1,−1) ,
~B = (2, 0, 3) ,
~C = (1, 2, 1) .
(b) Calcule
~A·
(
~B × ~C
)
para os vetores acima. Esse resultado é consistente com o item (a)
?
7. Mostre que se os vetores
~A e ~B são simultaneamente ortogonais ao vetor ~C, então:
(
~A× ~B
)
×
~C = 0.
8. Mostre que
~A×
(
~B × ~C
)
= ~B
(
~A · ~C
)
− ~C
(
~A · ~B
)
9. Para dois vetores tridimensionais
~A e ~B prove a �identidade de Lagrange�, ou seja:∣∣∣ ~A× ~B∣∣∣2 + ( ~A · ~B)2 = ∣∣∣ ~A∣∣∣2 ∣∣∣ ~B∣∣∣2 ,
use para tal a identidade de Cauchy-Schwarz.
10. Prove a identidade de Jacobi
~A×
(
~B × ~C
)
+ ~B ×
(
~C × ~A
)
+ ~C ×
(
~A× ~B
)
= 0.
1.3.2 Gradiente, Divergente e Rotacional
1. Encontre o gradiente
~∇f de f = ex2+y2 sin (2xy) . Encontre a derivada direcional de f na
direção de uˆ =
(
iˆ− jˆ
)
/
√
2 no ponto (1, 1) .
2. A temperatura no plano xy é dada pela função
T (x, y) = 30 + 120 exp
[
1
2
(x− 1)2 + 1
2
(y − 3)2
]
.
Em que direção podemos encontrar o máximo incremento da temperatura no ponto (3, 2) .
3. Prove as seguintes identidades vetoriais
~∇ · (~u× ~v) = ~v · ~∇× ~u− ~u · ~∇× ~v, (1.35)
~∇ ·
(
~∇× ~v
)
= 0, (1.36)
~∇×
(
~∇φ
)
= 0 (1.37)
~∇×
(
~∇× ~E
)
= ~∇
(
~∇ · ~E
)
− ~∇2 ~E, (1.38)
1
2
~∇ (~v2) = ~v × (~∇× ~v)+ (~v · ~∇)~v (1.39)
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 29
4. Considere as quatro equações de Maxwell
~∇ · ~B = 0, (1.40)
~∇ · ~E = ρ
ε0
, (1.41)
~∇× ~B = µ0ε0 ∂
~E
∂t
+ µ0~j, (1.42)
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
. (1.43)
(a) A partir das quais, deduza a equação de continuidade
∂ρ
∂t
+ ~∇ ·~j = 0.
(b) Associamos uma energia ao campo eletromagnético dada por U =
∣∣∣ ~B∣∣∣2 /2µ0+ε0 ∣∣∣ ~E∣∣∣2 /2.
De�nimos ainda o chamado �vetor de Poynting� como
~S =
(
~E × ~B
)
/µ0. Empregue as
equações de Maxwell e a Eq. (1.35) para demonstrar que
∂U
∂t
+ ~∇ · ~S = −~j · ~E,
que é a equação que descreve a taxa com que o trabalho é realizado por cargas elétricas
movendo-se na presença de um campo elétrico
~E.
(c) Mostre que no vácuo (i.e.
~j = 0 e ρ = 0) as equações de Maxwell implicam na existência
das seguintes equações de onda {
~∇2 ~E = µ0ε0 ∂2 ~E∂t2
~∇2 ~B = µ0ε0 ∂2 ~B∂t2 .
1.3.3 Teoremas Integrais do Cálculo Vetorial
1. Calcule
´
C
~F (~r) · d~r = ´ b
a
~F (~r (t)) · (d~r/dt) dt para ~F = 3yxiˆ+ x2jˆ e C dada por
(a) a curva C é um segmento reto entre os pontos (0, 0) e (1, 3) .
(b) a curva C é um segmento de reta quebrado ligando os pontos de (0, 0) a (0, 3) e até (1, 3) .
(c) a curva C é uma parábola tal que y = 3x2 com 0 ≤ x ≤ 1.
(d) Repita os itens de (a) até (c) utilizando:
~F = 2yxiˆ+ x2jˆ
2. Seja
~F = (z cos (xz)− x) iˆ + yjˆ+(x cos (xz)) kˆ um campo vetorial no espaço. Calcule o
trabalho feito sobre uma partícula que segue uma trajetória dada por z = − (x+ y)pi sobre
a in�uência de
~F de (0, 0, 0) até (−1, 1/2, pi/2) .
3. Calcule a integral de linha
´
C
~F (~r) · d~r para o campo vetorial ~F = yziˆ+ xzjˆ + xykˆ sobre a
curva C, parametrizada tal que ~r = tˆi+ t2jˆ + t3kˆ sendo0 ≤ t ≤ 1.
4. Calcule
˜
S
~F · nˆdA em que ~F = exz iˆ+ y2kˆ e S : y2 + z2 = 1, com −3 ≤ x ≤ 3 e z ≤ 0.
5. Calcule
˜
S
~F · nˆdA através do hemisfério superior (i.e. z ≥ 0) de S : x2 + y2 + z2 = 1 para
~F = x3iˆ+ y3jˆ + zykˆ.
6. Calcule
˜
S
~F · nˆdA utilizando o teorema da divergência nas seguintes situações
(a)
~F = −ex2 iˆ+ey2 jˆ−ez2 kˆ, S é a superfície de uma caixa de�nida por 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1,
0 ≤ z ≤ 1.
(b)
~F = xy2iˆ+ x2yjˆ +
(
z3/3
)
kˆ, S é a superfície de x2 + y2 + z2 ≤ 4.
(c)
~F = x3iˆ + y3jˆ + 9kˆ, S é a superfície de um cilíndro vertical ao longo do eixo z com
−1 ≤ z ≤ 1 e raio 2.
CAPÍTULO 1. VETORES E CÁLCULO VETORIAL 30
7. Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral
¸
C
~F (~r) · d~r para ~F = x2iˆ+ y2jˆ + kˆ ao
longo do caminho triangular formado pelos pontos (1, 0, 0) até (0, 1, 0) até (0, 0, 1) e de volta
até (1, 0, 0) .
8. Utilize o teorema de Stokes para calcular a integral
¸
C
~F (~r) ·d~r para ~F = y2ziˆ+xz2jˆ−zx2kˆ
com C sendo
(a) o círculo x2 + y2 = R2, z = h > 0.
(b) o círculo z2 + y2 = R2, x = h > 0.
Capítulo 2
Equações Diferenciais Ordinárias
Diversos conceitos físicos como velocidade, aceleração ou corrente elétrica são expressos como
taxas de variação (derivadas). Assim, um modelo matemático envolvendo a evolução dessas
grandezas será, necessariamente, uma equação envolvendo derivadas. Essas equações são chamadas
de equações diferenciais.
Figura 2.1: Exemplos de sistemas físicos e suas E.D.O.s
• E.D.O.s: uma Equação Diferencial Ordinária é uma equação que contém ao menos uma
derivada de uma função desconhecida, chamada geralmente y (x) ou y (t) . Esta equação
pode conter ainda a função y e funções de x (ou, de t). Por exemplo, empregando a notação
y′ = dydx e y” =
d2y
dx2 , temos os seguintes exemplos:
1. y′ = cos (x)
2. y” + 9y = e−2x
3. y′y − 32 (y′)2 = 0
• E.D.P.s: uma Equação Diferencial Parcial, por outro lado, é uma equação que envolve
derivadas parciais de funções desconhecidas como, por exemplo
∂2
∂u2
f (u, v) +
∂2
∂v2
f (u, v) = 0.
Temos ainda as seguintes EDPs de grande relevância física
1. Equação da difusão:
~∇2φ = ∂φ∂t
2. Equação de onda:
~∇2φ = − 1c2 ∂
2φ
∂t2
• A ordem de uma equação diferencial é a ordem da sua derivada mais alta.
• Uma função y = h (x) é dita solução de uma dada EDO em um intervalo aberto a ≤ x ≤ b
se obedecer o seguinte teorema
31
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 32
Teorema da existência e unicidade local da solução
Sejam f e ∂f∂y contínuas no retângulo
R : (t, y) =
{
t0 ≤ t ≤ t0 + a, |y − y0| ≤ b
}
.
Sejam ainda M = max(t,y)∈R |f (x, y)| e α = min
{
a, bM
}
. Então o chamado problema de valor
inicial P.V.I., dado por  y˙ = f (t, y)
y (t0) = y0
,
tem uma e somente uma solução no intervalo t0 ≤ t0 + α. Prova: M. Braun, pg. 88.
2.1 EDOs lineares de primeira ordem
• De�nição: uma equação diferencial linear de primeira ordem é uma equação da forma
y˙ (t) + a (t) · y (t) = b (t) (2.1)
onde a (t) e b (t) são funções contínuas em um intervalo I.
• OBS 1: essa equação diferencial é dita linear porque não apresenta dependências tais quais
y2 (t) ,..., yn (t) , yny˙ (t) , y˙n (t) , etc.
• OBS 2: o P.V.I.  y˙ (t) + a (t) · y (t) = b (t)
y (t0) = y0
,
tem solução única. Isto segue do teorema da unicidade pois f (t, y) = −a (t) · y (t) + b (t) e
∂
∂yf (t, y) = −a (t) são contínuas em t e y.
2.1.1 Solução das EDOs lineares homogêneas
Quando b (t) = 0 a Eq.(2.1) ela é denominada de EDO linear Homogênea e pode ser integrada
(i.e. resolvida) imediatamente, visto que
y˙ (t) + a (t) · y (t) = 0 =⇒ y˙ (t)
y (t)
= −a (t) =⇒ d
dt
ln [y (t)] = −a (t) ,
ou seja, integrando ambos os membros e considerando a constante de integração C temos
ˆ
d
dt
ln [y (t)] · dt = −
ˆ
a (t) · dt =⇒
y (t) = C · e−
´
a(t)·dt. (2.2)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 33
• EXEMPLO: determine a solução geral da equação y˙ + 2ty = 0.
Res: neste caso temos a (t) = 2t, logo, substituindo na solução geral da EDO L.H. dada pela
Eq.(2.13) temos
y (t)= C · exp
[
−
ˆ
a (t) · dt
]
= C · exp
[
−
ˆ
2t · dt
]
=⇒
y (t) = C · exp [−t2] .
• EXEMPLO: determine a solução do PVI y˙ (t) + sin (t) · y (t) = 0
y (0) = 2
.
Res: temos a (t) = sin (t) , logo
y (t) = C · exp
[
−
ˆ
sin (t) · dt
]
= C · exp [cos (t)] ,
mas como y (0) = 2 =⇒ C · exp [cos (0)] = 2 =⇒ C = 2 · e−1, logo
y (t) = 2 · exp [cos (t)− 1] .
2.1.2 Solução das EDOs lineares não-homogêneas
Considere que consigamos escrever a Eq.(2.1) da seguinte forma
d
dt
(”algo”) = b (t) , (2.3)
neste caso, a solução poderia ser encontrada imediatamente por integração de ambos os mem-
bros. Propomos aqui que a Eq.(2.1) pode ser transformada para obter este objetivo por meio da
multiplicação de ambos seus termos por uma função µ (t) , chamada de fator integrante. Para
determinar o formato de µ (t) teremos de exigir que após a transformação
µ (t) · y˙ (t) + µ (t) · a (t) · y (t) = µ (t) · b (t) , (2.4)
encontremos ”algo” = µ (t) · y (t) de modo que
d
dt
[µ (t) · y (t)] = µ (t) · y˙ (t) + µ˙ (t) · y (t) . (2.5)
Identi�cando a Eq.(2.4) com a Eq.(2.5), obtemos
µ (t) · y˙ (t)︸ ︷︷ ︸+µ (t) · a (t) · y (t) = µ (t) · y˙ (t)︸ ︷︷ ︸+µ˙ (t) · y (t) =⇒
µ (t) · a (t) = µ˙ (t) =⇒ µ˙ (t)
µ (t)
= a (t) ,
que pode ser reescrita na forma
d
dt
ln [µ (t)] = a (t) =⇒
µ (t) = exp
[ˆ
a (t) · dt
]
, (2.6)
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 34
em que a constante de integração foi assumida unitária.
Por �m, substituindo a Eq.(2.6) na Eq.(2.4) obtemos
d
dt
[µ (t) · y (t)] = µ (t) · b (t) =⇒
µ (t) · y (t) =
ˆ
µ (t) · b (t) · dt+ C =⇒
y (t) =
1
µ (t)
[ˆ
µ (t) · b (t) · dt+ C
]
=⇒
y (t) =
1
µ (t)
ˆ
µ (t) · b (t) · dt+ 1
µ (t)
C =⇒
y (t) = e−
´
a(t)·dt
ˆ
e−
´
a(t)·dtb (t) · dt︸ ︷︷ ︸
soluc¸a˜o L.N.H.
+ C · e−
´
a(t)·dt︸ ︷︷ ︸
soluc¸a˜o L.H.
. (2.7)
À expressão dada por Eq.(2.7) denominamos solução geral da EDO de 1
a
ordem.
• EXEMPLO: determine a solução geral de y˙ + 2ty = t
Res: temos a (t) = 2t, logo o fator integrante é determinado pela Eq.(2.6) como
µ (t) = exp
[ˆ
a (t) dt
]
= exp
[ˆ
2tdt
]
= exp
[
t2
]
,
logo, substituindo-o na solução geral dada pela Eq.(2.7), em que b (t) = t, temos
y (t) = et
2
ˆ
e−t
2
t · dt+ C · e−t2 ,
efetuamos agora a integral substituindo t2 = u→ du = 2tdt, de onde
y (t) =
1
2
+ C · e−t2 .
• EXEMPLO: determine a solução do P.V.I. y˙ (t)− 3t
2y (t) = t2
y (0) = 1
.
Res: considerando a (t) = −3t2, obtemos o seguinte fator integrante utilizando a Eq.(2.6)
µ (t) = exp
[ˆ
−3t2dt
]
= e−t
3
,
substituindo-o na Eq.(2.7) com b (t) = t2 temos
y (t) = C · e−t3 + et3
ˆ
e−t
3
t2dt,
tomando u = −t3 → −3t2dt obtemos imediatamente
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 35
y (t) = C · e−t3 − 1
3
.
Para a resolução do P.V.I. aplicamos agora a condição
y (0) = 1 = C · e−t3
∣∣∣
t=0
− 1
3
=⇒
1 = C · e0 − 1
3
=⇒ C = 4
3
,
∴ y (t) = 4
3
et
3 − 1
3
.
Aplicações
1 - Desintegração Radioativa
SejaN (t) o número de átomos radioativos em uma amostra num instante t. De�ne-se a atividade de
uma amostra radioativa como sendo o número de desintegrações radioativas por unidade de tempo.
Foi observado desde o início do estudo da radioatividade (1896) que a atividade é proporcional ao
número de átomos radioativos presentes, isto é
dN
dt
= −λN,
onde λ é a chamada constante de desintegração, ou de decaimento radioativo.
Se N0 é o número de átomos no instante t = 0, teremos o seguinte P.V.I.
dN
dt = −λN
N (0) = N0
,
que é uma EDO homogênea de 1
a
ordem, cuja solução é imediata
N (t) = N0e
−λt.
OBS: essa mesma equação vale para a massa m (t) de uma substância radioativa, ou seja:
m˙ (t) = −λm (t) .Denominamos ameia-vida de uma substância radioativa como o tempo necessário
para a decomposição da metade da substância.
• EXEMPLO: uma quantidade de substância radioativa tem inicialmente m0 gramas e
decompõe-se a uma razão proporcional à massa presente. Se a meia-vida da quantidade
inicial é de 2000 anos, calcule a quantidade que estará presente quando a amostra tiver 3000
anos.
Res: temos pelo enunciado que m˙ (t) = −λm (t) e que m (0) = m0, além de que m (2000) = m0/2.
Assim, da solução geral desta EDO temos m (t) = m0e
−λt, calculando λ no valor da meia-vida
temos m (2000) = m02 = m0e
−2000λ =⇒ λ = ln (2) /2000. Desta forma temos
m (3000) = m0 · exp
[
− ln (2)
2000
· 3000
]
=⇒ m (3000) = m0√
8
.
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 36
2 - Circuitos elétricos
Considere um circuito indutivo-resistivo (LR) simples, acoplado a um gerador eletromotriz que
produz uma tensão (d.d.p.) constante ε0. O circuito é ligado no instante t = 0. Deseja-se deter-
minar a corrente i (t) no sistema, sabendo-se ainda que:
1. A queda de tensão VR através da resistência R é dada pela lei de Ohm: V = R · i.
2. A queda de tensão VL na indutância L é dada pela lei de Faraday-Lenz: VL = L · didt .
3. A lei das malhas de Kirchho� dita que VR + VL = ε0.
Res: considerando os dados do enunciado é imediato escrever o P.V.I. L ·
di
dt +R · i = ε0
i (0) = 0
,
o qual resolve-se recorrendo à solução geral Eq.(2.7), considerando a (t) = R/L e b (t) = ε0/L, de
onde vem o fator integrante
µ (t) = exp
[ˆ
R
L
dt
]
= eRt/L,
bem como
i (t) = e−Rt/L
[ˆ
eRt/L · ε0
L
· dt
]
+ C·e−Rt/L =⇒
i (t) =
ε0
R
+ C·e−Rt/L,
impondo então que i (0) = 0 = ε0R + C· e−Rt/L
∣∣
t=0
=⇒ C = − ε0R , portanto
i (t) =
ε0
R
(
1− e−Rt/L
)
.
3 - Diluição de misturas
Um tanque contém 100 litros de água salgada. É adicionado neste tanque água salgada à razão
de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de 2kg/l. Ao mesmo tempo, a mistura do
tanque é continuamente agitada, de modo a mantê-la homogênea (i.e. com a mesma concentração
em todo o tanque). Se a mistura deixa o tanque por um buraco à mesma razão de entrada, calcule
sua concentração em um instante futuro, sabendo que inicialmente sua concentração era de 1kg/l.
Res: seja y (t) a quantidade de sal no tanque depois de t minutos a contar de t0 = 0. Sabemos
que o sal está sendo adicionado no tanque a uma razão de 5l · 2kgl = 10kg por minuto, por outro
lado vaza à razão de 5l · y(t)100l = y(t)20 por minuto. Deste modo, a variação da quantidade de sal no
tanque é dada por:
y˙ = 10− y
20
,
que é uma EDO LNH com Valor Inicial dado por y (0) = 100. Sua solução se dá calculando
inicialmente o fator integrante
µ (t) = exp
[ˆ
a (t) dt
]
= exp
[ˆ
dt
20
]
= e0,05t
e por �m substituindo-o na solução geral Eq.(2.7), onde tomamos b (t) = 10, obtemos
y (t) = C · e0,05t + e−0,05t
ˆ
e0,05t10dt =⇒
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 37
y (t) = C · e0,05t + 200.
Para resolver o PVI, calculamos C impondo que y (0) = 100 = C · e0,05t∣∣
t=0
+ 200 → C = −100.
Logo
y (t) = 200− 100e−0,05t,
assim, a concentração c = y(t)100 =⇒t→∞ c = 2kg/l para um instante longinqüo no tempo.
3 - Nível hormonal
Admita que o nível de certo hormônio no sangue de um paciente varie com o tempo, suponha que
sua taxa de variação temporal é a diferença entre uma entrada sinusoidal com período de 24h da
glândula tiróide e uma remoção contínua proporcional ao nível presente. Construa um modelo
para o nível hormonal no sangue, e também
1. Encontre sua solução geral
2. Encontre uma solução particular atendendo a uma condição inicial (P.V.I.) razoável
Res:
1 - Inicialmente construindo o modelo, seja y (t) o nível hormonal em dado instante de tempo
t. Consideramos
• A taxa de remoção deste hormônio será k · y (t)
• A taxa de entrada deste hormônio será A+B cos (ω · t) , onde ω = 2pi24 = pi12 , sendo A a taxa
de entrada média, e assumaA ≥ B de modo que a taxa de entrada seja positiva.
• As constantes k,A,B podem ser mensuradas experimentalmente
Assim, a EDO resultante é
y˙ (t)︸︷︷︸
variac¸a˜o hormonal
= [A+B · cos (ω · t)]︸ ︷︷ ︸
taxa de entrada
− k · y (t)︸ ︷︷ ︸
taxa de saı´da
2 - Resolvendo o modelo: examinando a EDO proposta observamos que a (t) = k e b (t) =
A+B · cos (ω · t) . Assim, o fator integrante é
µ (t) = exp
[ˆ
a (t) dt
]
= exp
[ˆ
kdt
]
=⇒ µ (t) = ekt,
substituindo-o agora na solução geral Eq.(2.7) temos
y (t) = e−kt
{
C +
ˆ
ekt [A+B · cos (ω · t)]
}
=⇒
y (t) = C · e−kt + A
k
+B · e−kt
ˆ
ekt cos (ω · t)︸ ︷︷ ︸
u=ekt, dv=cos(ω·t)
=⇒
y (t) = C · e−kt + A
k
+
B
k2 +
(
pi
12
) · [k cos(pit
12
)
+
pi
12
sin
(
pit
12
)]
.
Observação: na última passagem acima a integral foi calculada pela técnica de �integração por
partes� (2x), ou seja:
´
u · dv = u · v− ´ v · du, veri�que! Valores razoáveis para as constantes são
A = B = 1, k = 0, 05 e y (0) = 0 (faça o grá�co!).
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 38
4 - Equação logística (Verhulst)
• O crescimento populacional, o crescimento de tumores, reações auto-catalíticas e difusão de
informação são exemplos de sistemas que podem ser modelados por uma EDO não-linear
que pode ser linearizada.
• Resolveremos o caso do crescimento tumoral. Para tal, admita que y (t) é o tamanho de um
tumor em dado instante de tempo t. Este tumor cresce com uma taxa y˙ (t) proporcional ao
seu tamanho, ou seja: y˙ (t) = r · y (t) . Por outro lado, à medida que cresce, há recursos do
meio e a capacidade de proliferação decai como − rk · y (t)2 . Logo
y˙ (t) = r · y (t) ·
(
1− y (t)
k
)
.
• Observemos que esta equação tem a forma
y˙ (t) = A · y (t)−B · y (t)α ,
a qual pode ser linearizada se �zermos u (t) = y (t)
1−α
, que neste caso particular (α = 2)
implica u (t) = y (t)
−1
, e também: u˙ (t) = −y (t)−2 · ˙y (t). Logo, fazendo as substituições
−u˙ · y (t)2 = A · y (t)−B · y (t)2 =⇒ u˙ = B −A · y (t)−1 =⇒ u˙ (t) = B −A · u (t) .
Assim, linearizamos uma EDO não-linear, que pode agora ser resolvida imediatamente ao
reconhecermos a (t) = A e b (t) = B. Portanto, o fator integrante é obtido
µ (t) = exp
[ˆ
A · dt
]
= eAt,
e consequentemente pela Eq.(2.7) temos
u (t) = e−At
[ˆ
eAtB · dt+ C
]
=⇒ u (t) = B
A
+ C · e−At.
Agora, é imediato obter
y (t) =
1
u (t)
=
1
B
A + C · e−At
,
em que A = r e B = r/k. Esta solução permite, entre outras curvas, obter as chamadas
curvas de crescimento sigmoidais quando C = −B/A.
• OBS: nos casos em que os coe�cientes A = p (t) e B = p (t) dependem do tempo as EDOs
também podem ser integradas imediatamente, para tal basta prosseguir analogamente assu-
mindo u (t) = y (t)
1−α
. Logo, são exatamente integráveis equações de Bernoulli, como:
y˙ (t) = p (t) · y (t)− p (t) · y (t)α .
2.2 EDOs lineares de segunda ordem
As EDOs de 2
a
ordem podem, geralmente, ser escritas sob a forma
y¨ = f (t, y, y˙) , (2.8)
em que f é uma função de�nida em um conjunto A ⊂ R3.
Dizemos que uma função y (t) é uma solução da Eq.(2.8) no intervalo I se y (t) tiver derivada
de 2
a
ordem em I e se y¨ = f (t, y, y˙) para todo t ∈ I.
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 39
• EXEMPLO: as funções y1 (t) = e2t e y2 (t) = e−2t são soluções da equação y¨ = 4y, pois:
y¨ =
d2y1
dt2
=
d
dt
[
dy1
dt
]
=
d
dt
[
2e2t
]
= 4e2t ≡ 4y1 ∴ y1 (t) = e2t =⇒ y¨1 − 4y1 = 0
y¨ =
d2y2
dt2
=
d
dt
[
dy2
dt
]
=
d
dt
[−2e−2t] = 4e−2t ≡ 4y2 ∴ y2 (t) = e−2t =⇒ y¨2 − 4y2 = 0
Equações diferenciais de segunda ordem surgem com frequência em Física, especialmente em
Mecânica, dado que a 2
a
lei de Newton assume a forma
~F = md
2~x
dt2 . Na Figura (2.2) vemos o
exemplo da dedução da EDO que rege o movimento do pêndulo.
Figura 2.2: Dedução da EDO que rege o movimento do pêndulo.
Nesta sessão consideramos EDOS de dois tipos, as homogêneas
y¨ + a (t) · y˙ + b (t) · y = 0,
bem como as inomogêneas
y¨ + a (t) · y˙ + b (t) · y = g (t) .
Para ambas as formas, vale o teorema a seguir:
Teorema da existência e unicidade da solução
• Se as funções a (t) , b (t) e g (t) forem contínuas em um intervalo I, então, dados t0 ∈ I e
y0, z0 ∈ R, o P.V.I. 
y¨ + a (t) · y˙ + b (t) · y = g (t)
y˙ (t0) = z0
y (t0) = y0
possui uma solução única dada por y = y (t) , a qual está de�nida para todo t ∈ I.
Valem ainda as seguintes observações
1. Pelo teorema da unicidade, a única solução da EDO LH tal que y˙ (t0) = y (t0) = 0 é
y(t0) = 0. Fisicamente, considere o caso de um pêndulo que parte da origem y = 0 no
repouso v = y˙ = 0, a única solução que existe (dada a inércia) é permanecer no repouso, ou
seja, temos uma solução trivial!
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 40
2. Este teorema é consequência direta do teorema análogo para EDOs de 1
a
ordem, como
veremos a seguir.
Se f e ∂f∂x são contínuas, então o PVI  x˙ = f (t, x)
x (t0) = x0
tem uma única solução, por consequência do teorema da unicidade da sessão anterior. Mas, a
equação
y¨ = −a (t) · y˙ − b (t) · y + g (t)
pode ser escrita na forma x˙ = f (t, x) se �zermos a seguinte substituição y = x1
y˙ = x˙1 = x2
.
Então, teremos que y¨ = x˙2 = −a (t) · x2 − b (t) · x1 + g (t) , ou seja
~˙x =
[
x˙1
x˙2
]
=
[
x2
−a (t) · x2 − b (t) · x1 + g (t)
]
=
[
f1 (t, x1, x2)
f2 (t, x1, x2)
]
.
Neste caso,
∂f
∂x representa a matriz jacobiana de f (t, x1, x2) em relação a x1 e x2, ou seja
J [f (t, x1, x2)] =
∂ (f1, f2)
∂ (x1, x2)
=
(
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
)
=
(
0 1
−b (t) −a (t)
)
.
Logo, pelo teorema da unicidade da sessão anterior, este PVI tem solução única se o sistema linear
em ~x for solúvel, o que implica det J (f) 6= 0. Por consequência direta, se o sistema linear tiver
solução, a EDO de 2
a
ordem que o gerou também terá solução única.
Mas, em se tratando de EDOs lineares, vale ainda outro teorema, chamado de princípio de
superposição linear
Teorema: princípio da superposição linear
Se ϕ1 (t) e ϕ2 (t) são soluções de uma EDO LH e se c1 e c2 são constantes reais, então a função
ϕ (t) = c1 · ϕ1 (t) + c2 · ϕ2 (t) também é solução da EDO LH.
Prova: considere a EDO LH para ϕ = c1 ·ϕ1 + c2 ·ϕ2 e que ϕ1 e ϕ2 sejam soluções, portanto
ϕ¨ (t) = a (t) · ϕ˙ (t) + b (t) · ϕ (t)
= c1 · [a (t) · ϕ˙1 (t) + b (t) · ϕ1 (t)]︸ ︷︷ ︸
=0
+ c2 · [a (t) · ϕ˙2 (t) + b (t) · ϕ2 (t)]︸ ︷︷ ︸ = 0 c.q.d.
=0
Então a solução mais geral para a EDO LH terá a forma
ϕ = c1 · ϕ1 + c2 · ϕ2,
de modo que se o PVI em questão tem a forma y0 = y (t0) , z0 = y˙ (t0) , com t0 ∈ I, teremos c1 · y1 (t0) + c2 · y2 (t0) = y0
c1 · y˙1 (t0) + c2 · y˙2 (t0) = z0
,
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 41
o que consiste em um sistema linear para as incógnitas c1 e c2. Como é sabido, para que este
sistema tenha solução única é su�ciente que
D = det
(
y1 (t0) y2 (t0)
y˙1 (t0) y˙2 (t0)
)
= y1 (t0) · y˙2 (t0)− y2 (t0) · y˙1 (t0) 6= 0,
condição esta que implica na imediata determinação das incógnitas c1 = [y0 · y˙2 (t0)− y2 (t0) · z0] ·D
−1
c2 = [y1 (t0) · z0 − y0 · y˙1 (t0)] ·D−1
.
OBS: para a solução deste sistema é conveniente utilizar o Método de Cramer, no qual obte-
mos c1 = D
−1 · det
[
y0 y2
z0 y˙2
]
e c2 = D
−1 · det
[
y1 y0
y˙1 z0
]
.
Destes resultados, provamos um teorema sobre a forma mais geral da solução de uma EDO
LH de 2
a
ordem, como segue
Teorema:
Sejam y1 (t) e y2 (t) soluções de uma EDO LH tais que
W = det
(
y1 (t) y2 (t)
y˙1 (t) y˙2 (t)
)
6= 0 (2.9)
para todo t ∈ I. Então toda solução dessa EDO LH assume a forma
y (t) = c1 · y1 (t) + c2 · y2 (t) . (2.10)
Restaainda fazer as seguintes observações:
1. A solução dada pela Eq.(2.10) é conhecida como Solução Geral da EDO LH de 2
a
ordem.
2. O determinante W na Eq.(2.9) é chamado de Wronskiano e assume importante papel no
estudo das EDOs.
A seguir, apresentaremos uma técnica bastante útil para a solução de EDOs de 2
a
ordem e que
pode ser imediatamente aplicada quando se tem uma das soluções, digamos y1 (t) , cuja combinação
linear leva à solução geral y (t) em Eq.(2.10):
Técnica da redução de ordem
Dado que se conheça a solução y1 (t) que compõe por combinação linear a solução geral vista na
Eq.(2.10), a técnica da redução de ordem consiste em propor que
y2 (t) = v (t) · y1 (t) .
Deste modo, ao derivar y2 (t) e substituir de volta na EDO associada, é possível obter v (t) e por
conseguinte a solução geral y (t) . Vejamos como isso funciona na forma de um exemplo.
• EXEMPLO: determine a 2a solução da equação
t2 · y¨ + 2t · y˙ − 2y = 0,
sabendo-se que y1 (t) = t é solução (veri�que!).
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 42
Res: procuraremos uma solução geral com a forma y2 (t) = v (t) · y1 (t) = t · v (t) , de onde temos y˙2 (t) = v (t) + t · v˙ (t)
y¨2 (t) = v˙ (t) + v˙ (t) + t · v¨ (t) =⇒ y¨2 (t) = 2v˙ (t) + t · v¨ (t)
.
Substituindo então y2 (t), y˙2 (t) e y¨2 (t) na EDO original, obtemos
t2 · [2v˙ (t) + t · v¨ (t)]︸ ︷︷ ︸
=y¨2(t)
+ 2t · [v (t) + t · v˙ (t)]︸ ︷︷ ︸
=y˙2(t)
− 2t · v (t)︸︷︷︸
=y2(t)
= 0 =⇒ t3 · v¨ (t) + 4t2 · v˙ (t) = 0.
Tomamos agora z (t) = v˙ (t)→ z˙ (t) = v¨ (t) e substituindo na EDO para v (t) acima, produz
t3 · z˙ (t) + 4t2 · z (t) = 0,
que é uma EDO de 1
a
ordem, cujo fator integrante é
µ (t) = exp

ˆ
4
t
dt︸ ︷︷ ︸
=4·ln(t)
 = t4.
Então, visto que a (t) = 4t e b (t) = 0, a integração é imediata via Eq.(2.7), sendo a solução
z (t) = v˙ (t) = C · t−4 =⇒ v (t) = C ·
ˆ
t−4dt = C · t
−3
3
.
Por �m, podemos agora combinar ambas soluções e obter a segunda solução (veri�que!)
y2 (t) = t · v (t) = t · C · t
−3
3
=⇒ y2 (t) = C · t
−2
3
.
2.2.1 EDOs homogêneas com coe�cientes constantes
Consideremos a equação
a · y¨ (t) + b · y˙ (t) + c · y (t) = 0, (2.11)
onde a 6= 0, b, c são constantes reais. Em que casos particulares relevantes são θ¨ +
g
l · θ = 0 Eq. peˆndulo
y¨ (t) + bm · y˙ (t) + km · y (t) = 0 Eq. massa−mola
.
• Pelos teoremas previamente enunciados, basta encontrar duas soluções y1 (t) e y2 (t) lin-
earmente independentes (i.e., tal que W [y1, y2] 6= 0) e todas as demais serão combinações
lineares destas.
• Por tentativa podemos propor uma solução da forma
y (t) = eλ·t =⇒
 y˙ (t) = λ · e
λ·t
y¨ (t) = λ2 · eλ·t
,
cuja substituição na EDO original Eq.(2.11), conduz a
a · y¨ (t) + b · y˙ (t) + c · y (t) = c · eλ·t + b · λ · eλ·t + a · λ2 · eλ·t = 0 =⇒
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 43
c+ b · λ+ a · λ2 = 0. (2.12)
As duas soluções λ± da equação de segundo grau em λ em Eq.(2.12) são dadas por
λ± =
−b±√b2 − 4ac
2a
e são classi�cadas segundo uma das três situações à seguir λ1 6= λ2 ∈ Rλ1 = λ2 ∈ R
λ1 6= λ2 ∈ C
.
Em todas elas, a solução resultante da EDO LH tem a forma:
yLH (t) = c1 · eλ1t + c2 · eλ2t. (2.13)
2.2.1.1 Caso b2 − 4ac > 0 : raízes λ1 6= λ2 ∈ R
Nesta situação temos y1 (t) = e
λ1·t
e y2 (t) = e
λ2·t, o que implica que seu Wronskiano será
W (t) = det
(
eλ1·t eλ2·t
λ1 · eλ1·t λ2 · eλ1·t
)
= (λ2 − λ1) · e(λ2−λ1)·t 6= 0 ∀ t,
então, claramente ambas as soluções são LI e podem ser combinadas linearmente para gerar a
solução geral da EDO LH
y (t) = c1 · eλ1·t + c2 · eλ2·t.
2.2.1.2 Caso b2 − 4ac = 0 : raízes λ1 = λ2 ∈ R
Neste caso λ1 = λ2 = − b2a , o que produz uma única solução (dita degenerada) dada por
y1 (t) = e
−b·t/2a.
Por outro lado, a outra solução pode ser obtida pela técnica supracitada da redução de ordem, ou
seja
y2 (t) = v (t) · e−b·t/2a.
Ao calcular suas derivadas e substituir na Eq.(2.11) veri�que que obtemos
e−b·t/2a
a · v¨ (t) +
(
b2
4a
− b
2
2a
+ c
)
︸ ︷︷ ︸
=(b2−4ac)/4a=0
· v˙ (t)
 = 0,
como y1 (t) = e
−b·t/2a > 0, isso implica que o termo entre colchetes é nulo, logo
a · v¨ (t) = 0 =⇒ v (t) = α · t+ β,
com α, β ∈ R. De onde concluímos que
y2 (t) = t · e−b·t/2a,
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 44
vale notar que tomamos α = 1 e β = 0, visto que essas constantes podem ser absorvidos por c1 e
c2 na solução geral que segue
y (t) = c1 · y1 (t) + c2 · y2 (t) =⇒ y (t) = c1 · e−b·t/2a + c2 · t · e−b·t/2a.
2.2.1.3 Caso b2 − 4ac < 0 : raízes λ1 6= λ†2 ∈ C
Neste caso temos raízes conjugadas complexas, ou seja: λ± = −b±i
√
4ac−b2
2a . Consideremos então
as seguintes expansões em séries de Taylor
1. cos (θ) = 1− θ22! + θ
4
4! − · · ·
2. sin (θ) = θ − θ33! + θ
5
5! − · · ·
3. exp (θ) = 1+ θ+ θ
2
2! +
θ3
3! +
θ4
4! +
θ5
5! − · · · =⇒ exp (i · θ) = 1+ i · θ− θ
2
2! − i · θ
3
3! +
θ4
4! − i θ
5
5! − . . .
Da comparação das expressões (1)�(3) acima concluímos que
exp (i · θ) = cos (θ) + i · sin (θ) ,
chamada de fórmula de Euler, cujo corolário é cos (θ) =
1
2
(
ei·θ + e−i·θ
)
sin (θ) = 12i
(
ei·θ − e−i·θ) .
Portanto, as raízes conjugadas λ± implicam que as soluções y+ (t) e y− (t) terão o formato
y± (t) = eλ±·t = e(α±iβ) = eα·t [cos (β · t)± i · sin (β · t)] ,
mas como a solução geral da EDO LH é uma combinação linear de y± (t) podemos escolher
apropriadamente as constantes c1 e c2 de forma a reescrevê-la como
y (t) = c1 · y1 (t)︸ ︷︷ ︸
=eα·t·cos(β·t)
+ c2 · y2 (t)︸ ︷︷ ︸
=eα·t·sin(β·t)
.
Ou seja, �nalmente podemos escrever
y (t) = eα·t · [c1 · cos (β · t) + c2 · sin (β · t)]
em que 
α = −b2a
β =
√
4ac−b2
2a
.
EXEMPLOS: oscilações livres não-amortecidas e amortecidas
Osciladores massa-mola são descritos pela lei de Newton segundo a expressão
~Fres = my¨ = −~Fmola − ~Famortecimento.
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 45
Dentro do regime de linearidade de mola temos uma constante elástica (de mola) k, então, segundo
a lei de Hooke
~Fmola = −k · y.
Enquanto, uma forma analítica simples de amortecimento é aquele proporcional à velocidade da
massa e à constante viscosa do meio (c) , isto é
~Famortecimento = c · y˙.
• Livres e não-amortecidas: um sistema que oscila em meio não viscoso é, claramente
descrito segundo
y¨ +
k
m
· y = 0,
então, supondo que y = eλt e substituindo na EDO, obtemos λ2 = − km =⇒ λ = ±i
√
k
m .
Este é portanto o caso λ1 = λ
†
2 ∈ C que produz uma oscilação oscilante com freqüência
oscilatória natural ω0 =
√
k
m e forma
y (t) = c1 · cos (ω0 · t) + c2 · sin (ω0 · t) .
• Amortecidas: um sistema oscilando em meio viscoso pode sofrer amortecimento fraco
(subamortecido), crítico ou forte (superamortecido) que diferem no valor relativo de c frente
m e k. Estudaremos cada caso a seguir visto que em todos eles a equação de movimento é
m · y¨ + c · y˙ + k · y = 0 =⇒ y¨ + c
m
· y˙ + k
m
· y = 0,
o que implica, segundo a substituição usual y = eλt, que a equação característica
λ2 +
c
m
· λ+ k
m
= 0
terá raízes
λ± =
−c±√c2 − 4mk
2m
.
É o comportamento dessas raízes que de�nirá cada um desses regimes característicos.
CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 46
Figura 2.3: Oscilações livres amortecidas e seus casos particulares.
1. Subamortecidas: neste caso temos c2− 4mk < 0 =⇒ λ1 = λ†2 ∈ C, de modo que de�nimos
a freqüência de oscilação amortecida ω =
√
c2−4mk
2m do sistema, cuja solução é
y (t) = e−ct/2m [c1 · cos (ω · t) + c2 · sin (ω · t)] .
Analisando esta solução, observamos que a amplitude sofre oscilações periódicas com freqüên-
cia de oscilação ω, mas essa amplitude decai em módulo segundo um envelope y ∝ e−ct/2m.
2. Críticamente amortecidas: