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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA Prof.a Paula Francis Benevides Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 2 Conteúdo AULA 1 ............................................................................................................................ 6 1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 6 1.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 7 1.3 CLASSIFICAÇÃO ............................................................................................................... 7 1.3.1 Tipo: ....................................................................................................................... 7 1.3.2 Ordem: ................................................................................................................... 7 1.3.3 Grau: ...................................................................................................................... 8 1.3.4 Linearidade: ........................................................................................................... 8 1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: .............................................................................. 9 1.5 RESOLUÇÃO: ................................................................................................................ 11 1.5.1 Curvas Integrais: .................................................................................................. 11 1.5.2 Solução: ................................................................................................................ 11 1.6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ................................................................................. 12 1.7 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO ............................................................. 13 1.8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS............................................................................. 14 AULA 2 .......................................................................................................................... 18 2. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU ............................................. 18 2.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ............................................................................... 18 2.1.1 Resolução: ............................................................................................................ 18 AULA 3 .......................................................................................................................... 22 2.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS .............................................................................................. 22 2.2.1 Função Homogênea ............................................................................................. 22 2.2.2 Equação Homogênas ........................................................................................... 22 2.2.2.1 Resolução: .................................................................................................................................................23 AULA 4 .......................................................................................................................... 26 2.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS . 26 2.3.1 O determinante 22 11 ba ba é diferente de zero ...................................................... 26 2.3.2 O determinante 22 11 ba ba é igual a zero. .............................................................. 28 AULA 5 .......................................................................................................................... 31 2.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................... 31 2.4.1 Fator Integrante ................................................................................................... 33 AULA 6 .......................................................................................................................... 37 2.5 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 37 2.5.1 Fator Integrante: .................................................................................................. 37 2.5.2 Substituição ou de Lagrange: .............................................................................. 38 AULA 7 .......................................................................................................................... 41 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 3 2.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: ................................. 41 2.6.1 Equações de Bernoulli: ......................................................................................... 41 AULA 8 .......................................................................................................................... 44 2.6.2 Equação de Ricatti ............................................................................................... 44 AULA 9 .......................................................................................................................... 47 3. EQUAÇÕES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM ............................................. 47 3.1 ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES ............................................................................ 47 3.1.1 Definições: ............................................................................................................ 47 3.1.2 Equação da Envoltória ......................................................................................... 48 3.1.3 Soluções Singulares .............................................................................................. 49 3.1.4 Equação de Clairaut ............................................................................................. 50 AULA 10 ........................................................................................................................ 52 3.1.5 Equação de Lagrange: ......................................................................................... 52 3.1.6 Outros tipos de equação de 1a Ordem e grau diferente de um: .......................... 54 AULA 11 ........................................................................................................................ 56 4. EXERCÍCIOS GERAIS ................................................................................................ 56 AULA 12 ........................................................................................................................ 58 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS ..................................... 58 5.1 MODELO MATEMÁTICO ................................................................................................. 58 5.2 DINÂMICA POPULACIONAL .............................................................................................. 59 5.3 MEIA VIDA .................................................................................................................. 61 5.4 DECAIMENTO RADIOTAIVO .............................................................................................63 5.5 CRONOLOGIRA DO CARBONO .......................................................................................... 63 5.6 RESFRIAMENTO ............................................................................................................ 64 5.7 MISTURAS ................................................................................................................... 66 5.8 DRENANDO UM TANQUE ................................................................................................ 68 5.9 DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA ..................................................................................... 70 5.10 CORPOS EM QUEDA ....................................................................................................... 72 5.10.1 Corpos em queda e a resistência do ar .............................................................. 74 5.11 CORRENTE DESLIZANTE .................................................................................................. 76 5.12 CIRCUITOS EM SÉRIE ...................................................................................................... 78 AULA 13 ........................................................................................................................ 85 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR ................. 85 6.1 EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES ..................................... 87 6.1.1 Caso 1: Raízes Reais Distintas. ............................................................................. 88 6.1.2 Caso 2: Raízes Múltiplas. ..................................................................................... 88 6.1.3 Caso 3: Raízes complexas distintas. ..................................................................... 89 AULA 14 ........................................................................................................................ 92 6.2 EULER - CAUCHY........................................................................................................... 92 AULA 15 ........................................................................................................................ 95 6.3 EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS .......................................................................... 95 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 4 6.3.1 Solução por coeficientes a determinar (Descartes): ............................................ 95 AULA 16 ........................................................................................................................ 98 6.3.2 Solução por variação de parâmetros ................................................................... 98 AULA 17 ...................................................................................................................... 101 6.3.3 Método do Operador Derivada .......................................................................... 101 6.3.3.1 Definição .................................................................................................................................................101 6.3.3.2 Propriedades ...........................................................................................................................................101 6.3.3.3 Equações Diferenciais .............................................................................................................................101 6.3.3.4 Operador Anulador .................................................................................................................................102 6.3.3.5 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores ...................................................................103 6.3.3.6 Resolução de Equações Lineares ............................................................................................................104 AULA 18 ...................................................................................................................... 107 7. EXERCÍCIOS GERAIS .............................................................................................. 107 AULA 19 ...................................................................................................................... 109 8. MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .................... 109 8.1 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: ....................................... 109 8.1.1 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido .................................. 109 8.1.1.1 ED do Movimento Livre não amortecido: ...............................................................................................110 8.1.1.2 Solução e Equação do Movimento:.........................................................................................................110 8.1.2 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido ........................................ 111 8.1.2.1 ED do Movimento Livre Amortecido: ......................................................................................................111 8.1.3 Sistema Massa Mola: Movimento Forçado ....................................................... 114 8.1.3.1 ED do Movimento Forçado com Amortecimento: ..................................................................................114 8.1.3.2 ED de um Movimento Forçado Não Amortecido: ...................................................................................115 8.1.4 Circuito em Série Análogo - Circuitos elétricos RLC em série ............................. 116 8.2 EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO............................................. 117 8.2.1 Deflexão de uma viga: ....................................................................................... 117 8.2.1.1 Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: .................................................................118 8.2.1.2 Deformação de uma Coluna Fina: ...........................................................................................................119 8.2.1.3 Corda Girando: ........................................................................................................................................121 AULA 20 ...................................................................................................................... 126 9. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ................................................................. 126 9.1 SISTEMA CANÔNICO E SISTEMA NORMAL: ............................................................ 126 AULA 21 ...................................................................................................................... 129 9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMÉTRICA ........................... 129 AULA 22 ...................................................................................................................... 132 9.3 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ..................................... 132 9.3.1 Vetor solução ..................................................................................................... 133 9.3.2 O Problema de Valores Iniciais .......................................................................... 134 9.3.2.1 Existência de uma única solução .............................................................................................................134 9.3.3 Sistemas homogêneos ....................................................................................... 134 9.3.3.1 Princípio da Superposição .......................................................................................................................135 9.3.4 Independência Linear......................................................................................... 136 9.3.4.1 Critério para Soluções Linearmente Independentes ...............................................................................136 9.3.5 Conjunto fundamental de solução ..................................................................... 137 9.3.5.1 Solução Geral - Sistemas Homogêneos ...................................................................................................137 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 5 9.3.6 Sistemas não homogêneos ................................................................................ 138 9.3.6.1 Solução Geral - Sistemas Não-Homogêneos ...........................................................................................138 9.3.7 Uma Matriz Fundamental .................................................................................. 140 9.3.7.1 Uma Matriz Fundamental é Não-Singular ...............................................................................................141 9.3.7.2 Matriz Especial ........................................................................................................................................141 9.3.7.3 ( )tΨ é uma Matriz Fundamental .........................................................................................................143 AULA 23 ...................................................................................................................... 147 9.4 SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS ................................................................................ 147 9.4.1 Autovalores reais e distintos .............................................................................. 147 9.4.2 Autovalores complexos ...................................................................................... 149 9.4.3 Autovalores de Multiplicidade dois.................................................................... 150 AULA 24 ...................................................................................................................... 154 9.5 SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS ....................................................................................... 154 9.5.1 Coeficientes Indeterminados ............................................................................. 154 9.5.2 Variação de Parâmetros .................................................................................... 157 AULA 25 ...................................................................................................................... 161 10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .................................................................. 161 10.1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS: ......................................................... 161 10.2 DEFINIÇÃO: ............................................................................................................... 161 10.2.1 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais: .................................................. 161 10.2.2 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial Parcial: ....................................... 162 10.3 FORMAÇÃO: .............................................................................................................. 162 10.3.1 Eliminação de constantes arbitrárias: ............................................................. 162 10.4 EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM: ......................................................................... 164 10.4.1 Método de Lagrange........................................................................................ 164 AULA 26 ...................................................................................................................... 167 10.5 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO COMPLETA: MÉTODO DE CHARPIT ............................................ 167 10.6 EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS EM RELAÇÃO APENAS A UMA DAS VARIÁVEIS. ............... 170 AULA 27 ...................................................................................................................... 173 10.7 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 2A ORDEM PELO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. ........... 173 10.7.1 Solução ............................................................................................................. 173 10.7.2 Separação de Variáveis .................................................................................... 173 10.7.3 Classificação de Equações ................................................................................ 176 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 6 AULA 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 INTRODUÇÃO Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada dxdy de uma função � = �(�) nada mais é do que uma outra função ��(�) encontrada por uma regra apropriada. Como por exemplo, a função � = � é diferenciável no intervalo (−∞,∞), e a sua derivada é 2x x3.e dx dy 3 = . Se fizermos 3xey = teremos: 2x3.y dx dy = (1) Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função � = �(�)? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde dada uma derivada, encontrar uma antiderivada. Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: • a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas; • a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; • a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza; • o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); • se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: dx dy em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: )x(f dx dy = é possível escrever: dx)x(fdy = que se denomina equação diferencial. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 7 • uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral. 1.2 DEFINIÇÃO Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. Exemplo 1: 1)13 −= x dx dy 2) 0=− ydxxdy 3) 0y2 dx dy3 dx yd 2 2 =++ 4) xyyy cos')"(2'" 2 =++ 5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + = 6) y3x5 dt dy dt dx +=+ 7) yx y z x z 2 2 2 2 2 += ∂ ∂ + ∂ ∂ 8) y z xz x z ∂ ∂ += ∂ ∂ 1.3 CLASSIFICAÇÃO 1.3.1 TIPO: Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6) Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação diferencial parcial (EDP). 1.3.2 ORDEM: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira ordem. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 8 1.3.3 GRAU: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau. As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. Exemplo 2: 1 3dx y3d y 3dx y3d x =− ⇒ 3dx y3dy 2 3dx y3d x =− ⇒ 3a ordem e 2o grau yx dx dy =− 2lnln ⇒ y x dx dy =2ln ⇒ ye dx dy .2 x 1 = ⇒ ye2x dx dy = ⇒ 1a ordem e 1o grau Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto a ordem e grau. 1.3.4 LINEARIDADE: Dizemos que uma equação diferencial ordinária )()()()()( 011 1 1 xgyxadx dy xa dx yd xa dx yd xa n n nn n n =++++ − − − K de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições: 1) A variável dependente y e todas as suas derivadas y', y", ... yn são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo y é um. 2) Os coeficientes a0, a1, ... an de y, y', ... yn dependem quando muito da variável independente x. Exemplo 3: 1) 08)( =+− xdydxxy 2) 0y dx dy7 dx yd 2 2 =+− 3) xy dx dy x dx yd 2453 3 =−+ São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceira ordem. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 9 1.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como Cxxy += 4 ou 2y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um número menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva. Exemplo 4: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: a) Cxxy +−= 2 3 2 b) y = C1 sen x + C2 cos x c) y = Cx2 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 10 d) y = C1 x2 + C2 e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes f) y = C1 e3x + C2 e- 2x Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 11 1.5 RESOLUÇÃO: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. 1.5.1 CURVAS INTEGRAIS: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial. Exemplo 5: x dx dy 2= 1.5.2 SOLUÇÃO: É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: • Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. • Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. • Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. As soluções ainda podem ser: • Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy = é chamada solução explícita. • Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma 0)y,x(G = trata-se de uma solução implícita. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 12 Exemplo 6: Consideremos a resolução da seguinte EDO: x1 dx dy += ( ) c2 3 x 3 2 xy dxx1dy ++= += ∫∫ A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita. Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: 2 2 xxy y dx dy − = tem como solução: x y Cey = , ou seja, uma solução implícita. Exemplo 7: Verifique que 16 xy 4 = é uma solução para a equação 2 1 xy dx dy = no intervalo ),( ∞−∞ . Resolução: Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação diferencial como 0xy dx dy 21 =− e verificar, após a substituição, se a diferença acima 2 1 xy dx dy − é zero paratodo x no intervalo. 4 x dx dy 16 x4 dx dy 33 =⇒= Substituindo na E.D., temos0 4 x 4 x0 4 x .x 4 x0 16 x x 4 x 33232 1 43 =−⇒=−⇒= − Esta condição se verifica para todo Rx ∈ 1.6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) Seja a equação diferencial de primeira ordem )y,x(f dx dy = sujeita a condição inicial 00 y)x(y = , em que 0x é um número no intervalo I e 0y é um número real arbitrário, é chamado de problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo) determinado a priori. Exemplo 8: Seja xe.cy = a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo ),( ∞−∞ . Se especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos: Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 13 x0 e.3ye3ce.c3 ==⇒= Se especificarmos que y(1) = 3, então temos: 1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3 −−− =⇒==⇒= Será que a equação diferencial )y,x(f dx dy = possui uma solução cujo gráfico passa pelo pelo ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única? Exemplo 9: As funções y = 0 e 16 xy 4 = são soluções para o problema de valor inicial = = 0)0(y xy dx dy 21 Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma, deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema. 1.7 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Seja R uma região retangular no plano xydefinida por bxa ≤≤ , dyc ≤≤ , que contém o ponto )y,x( 00 em seu interior. Se )y,x(f e dy df são contínuas em r, então existe um intervalo I, centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial )y,x(f dx dy = , sujeito a 00 y)x(y = . Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 14 Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características. Teorema: Considere o problema de valor inicia = =+ 00 )( )()( yxy xqyxp dx dy Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções. 1.8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS As equações diferenciais da forma ( )yf dx dy = (2) são chamadas de autônomas. Utilizando a manipulação formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a equação (2) na forma: )( 1 yfdx dy = (3) Cuja resolução é: ∫+= y y dy yfyxyx 0 )( 1)()( 0 (4) Para justificar a equação (4) necessitamos que )( 1 yf seja bem definida no intervalo de interesse A, onde 0)( ≠yf e que seja contínua neste intervalo A. Pois, como 0)( 1 ≠= yfdy dx em A , o Teorema da Função Inversa garante que existe uma função inversa da função )(yx , isto é, )(xFy = tal que )(yf dx dF = em A , o que justifica o procedimento formal. Portanto, a solução do problema de condição inicial = = 00 )( )( yxy yf dx dy (5) é obtida pela solução do problema = = 00 )( )( 1 xyx yfdy dx (6) Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 15 e com a inversão da função )(yx . As equações autônomas aparcem na formulação de uma grande quantidade de modelos. Sempre que uma lei de formação afrma que: “a taxa de variação de uma quantidade y(t) é proporcional a esta mesma quantidade”, temos uma equação autônoma da forma ky dx dy = (7) Como, kyyf =)( , então 0*)( =yf se 0* =y . Devemos procurar soluções separadamente nos dois intervalos 0<<∞− y e +∞<< y0 . Considerando inicialmente o problema de Cauchy ≠= = 0)( 00 yxy ky dx dy (8) E seu problema inverso = = 00 )( 1 xyx kydy dx (9) Cuja solução inversa é dada por [ ]∫∫ +=−+=+=+= = y yxyx y y k xyy k xdy ky xCdy ky yx 000 0 0000 )( ln1lnln111)( ou seja, )( 00 0 0)(ln xxkeyyxxk y y − =⇔−= para ∈x R. Exemplo 10: Considere a equação autônoma aky dx dy += sua solução geral, para k ay −≠ , é obtida considerando-se sua forma diferencial Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 16 ∫ ∫ ++= = + = + Caky k x dxdy aky dxdy aky ln1 1 1 Portanto, [ ] k ayea k yeaky CxkCxk −≠+−=⇒=+ −− ,1 )()( Neste caso, k ay −≠ e a solução de equilíbrio. AULA 1 - EXERCÍCIOS • Nos exercícios de 1 a 12, obter a equação diferencial associada a primitiva: 1) x 2 + y2 = C2 2) y = C ex 3) x 3 = C (x2 – y2) 4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 5) y = (C1 + C2x) ex + C3 6) y = C1 e2x + C2 e- x 7) ay y x +=1ln 8) x 2y3 + x3y5 = C 9) y = Ax2 + Bx + C 10) y = Ae2x + Bex + C 11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 12) ln y = Ax2 + B 13) Obter a equação diferencial da família de círculos de raio 10, cujos centros estejam sobre o eixo y. 14) Verifique que xxey = é uma solução para a equação 0y'y2"y =+− no intervalo ),( ∞−∞ . 15) Verificar que para qualquer valor de c1 a função 1 x cy += é uma solução da equação diferencial de 1a ordem 1y dx dy x =+ no intervalo ),0( ∞ . 16) Verificar que xey = , xey −= , x1eCy = , x 2eCy − = e x2 x 1 eCeCy −+= são todas soluções da equação diferencial 0y"y =− . 17) Verificar que 4Cxy = e ≥ <− = 0x,x 0x,x y 4 4 são soluções de 0y4'xy =− . Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 17 Respostas: 1) 0ydyxdx =+ 2) 0y dx dy =− 3) dx dy xy2xy3 22 =− 4) 042 2 =+ y dx yd 5) 0 dx dy dx yd2 dx yd 2 2 3 3 =+− 6) 0y2 dx dy dx yd 2 2 =−− 7) 0ln =−⋅ y dx dy y x x 8) 0 dx dy x5y3xy dx dy x3y2 2 = +++ 9) 0 dx yd 3 3 = 10) 0 dx dy2 dx yd3 dx yd 2 2 3 3 =+− 11) 0y6 dx dy11 dx yd6 dx yd 2 2 3 3 =−+− 12) 2 " ' ( ') 0xyy yy x y− − = 13) 2 22 x100 x dx dy − = 14) Esta condição se verifica para todo número real. 15) Variando o parâmetro C, podemos gera uma infinidadede soluções. Em particular, fazendo c = 0, obtemos uma solução constante y = 1. Logo a função 1 x cy +== é uma solução em qualquer intervalo que não contenha a origem. 16) Note que x1eCy = é uma solução para qualquer escolha de c1, mas 0C,Cey 11 x ≠+= não satisfaz a equação, pois, para esta família de função temos y" - y = - C1 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 18 AULA 2 2. EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU São equações de 1a ordem e 1o grau: ),( yxF dx dy = ou 0=+ NdyMdx em que M = M(x,y) e N = N(x,y). Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 2.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS A equação diferencial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM será de variáveis separáveis se: • M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes. • M e N forem produtos de fatores de uma só variável. Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma 0)()( =+ dyyQdxxP , a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. 2.1.1 RESOLUÇÃO: Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma: ∫ ∫ =+ CdyyQdxxP ).().( Exemplos: Resolver as seguintes equações: 1) 13 −= x dx dy Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 19 2) y dx – x dy = 0 3) 04 =−− dy y x xdx 4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx 5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 20 6) xyx y dx dy )1( 1 2 2 + + = 7) 2 2 1 1 x y dx dy + + = 8) Resolva o problema de valor inicial 1)0(y,4y dx dy 2 −=−= Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 21 AULA 02 – EXERCÍCIOS Resolver as seguintes equações diferenciais. 1) 0 dx dy .tgy x 1 =− 2) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 4) xy dx – (1 + x2) dy = 0 5) 42 2 + = − x e dx dy y 6) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 7) dx dy xyy dx dy xa = + 2 8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 10) (x – 1) dy – y dx = 0 11) (1 + x2)dy – xydx = 0 12) 0cos =+ xy dx dy 13) xcosy3 dx dy = 14) 0dye)2y(dxxy x324 =++ − Respostas: 1) x cos y = C 2) C y 1)1xln(2 2 =−+ 3) (2 + y)(3 – x) = C 4) C y2 = 1 + x2 5) C 2 x arctge y2 =− 6) C y 1 x 1 2 1 y xln 22 = +− 7) y y k a aex + = ln 2 8) tg x . tg y = C 9) C b y arctg.b2y ax axlnax =−+ + − + 10) y = c(x – 1) 11) C.x1y 2+= 12) senxe Ky = 13) senx3Cey = 14) C y 6 y 9)1x3(e 3 x3 ++=− Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 22 AULA 3 2.2 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 2.2.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈R, vale a relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y) Exemplos: 1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2, pois )y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222 =+=+=+= 2) 4 y x)y,x(g 2 2 += é homogênea de grau zero pois, )y,x(ft4 y x t4 y x4 yt xt4 )ty( )tx()ty,tx(g 02 2 0 2 2 22 22 2 2 = +=+=+=+= 3) f(x,y) = 2x3 + 5xy2 é homogênea de grau três pois, )y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323 =+=+=+= Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, note que podemos escrever = x y ,1fx)y,x(f n e = 1, y xfy)y,x(f n são ambas homogêneas de grau n. Exemplo: Seja 22 yxy3x)y,x(f ++= homogênea de grau 2. Logo, = + += ++= x y ,1fx x y x y .31x x y x y31x)y,x(f 2 2 2 2 2 2 = + + = ++= 1, y xfy1 y x3 y xy1 x y3 y xy)y,x(f 2 2 2 2 2 2 2.2.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS A equação 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ será chamada de equação diferencial homogênea se M e N forem funções homogêneas de mesmo grau. Exemplos: 1) xy yx dx dy 22 + = Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 23 2) 2 2 ' y xy = 3) = x y arctgy' 2.2.2.1 Resolução: Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 Tem-se: N M dx dy −= Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x. = x yF dx dy (1) É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as variáveis. Dessa forma, substitui-se x y por u. uxy .= (2) Derivando y=x.u em relação ax tem-se dx du xu dx dy += (3) Substituindo (2) e (3) em (1), temos: x dx uuF du uuF dx du x uF dx du xu = − −= =+ )( )( )( Que é uma equação de variáveis separáveis. Em resumo: Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada em uma equação separável. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 24 Exemplo: (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 25 AULA 03 – EXERCÍCIOS Resolva as seguintes equações: 1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 4) (x+ y) dx + (y – x) dy = 0 5) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 6) 044 2 2 2 2 = +−+ dx dyyxy dx dyy 7) Determine a solução de (x2 – 3y2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condição inicial 1)2(y = . 8) Determine a solução de 0xydy6dx)y3x2( 22 =−− sujeita a condição inicial 3 1)1(y = Respostas: 1) y2 + 2xy – x2 = K 2) Kyyxx =−− 22 422 3) y3 + 3xy2 + x3 = k 4) C x y arctgyx ou x y arctgyxC +=+ =+ 22 22 1 ln ln 5) 2 2 2 x y kex = 6) Cxyx =±− 23 22 7) xxy 8 31−= 8) 1xy9x2 23 =− Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 26 AULA 4 2.3 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AS DE VARIÁVEIS SEPARADAS São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. São equações da forma: ++ ++ = 222 111 cybxa cybxa F dx dy onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de eixos. Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: 2.3.1 O DETERMINANTE 22 11 ba ba É DIFERENTE DE ZERO Resolução: Seja o sistema (1) =++ =++ 0 0 222 111 cybxa cybxa cuja solução é dada pelas raízes αx = e βy = . A substituição a ser feita será: =∴+= =∴+= dvdyvy dudxux β α Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 27 Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ( βα , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma vez eu o determinante considerado é diferente de zero. Assim sendo, a equação transformada será: ++++ ++++ = 22222 11111 cbavbua cbavbua F du dv βα βα Como α e β são as raízes do sistema: + + = vbua vbua F du dv 22 11 que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. Exemplo: Resolver a equação 23 132 −+ −− = yx yx dx dy Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 28 2.3.2 O DETERMINANTE 22 11 ba ba É IGUAL A ZERO. Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as retas no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. Como 22 11 ba ba = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode escrever: a1b2= a2b1∴ 1 2 1 2 b b a a = (1) Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: 1 2 1 2 1 2 c c m b b a a ≠== a2 = ma1 b2 = mb1 Assim: ++ ++ = 211 111 )( cybxam cybxa F dx dy Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se: )(1 1 1 xat b y −= Derivando em relação a x: −= 1 1 1 a dx dt bdx dy Equação transformada: + + = − 2 1 1 1 1 cmt ct Fa dx dt b )(11 tGbadx dt =− que é uma equação de variáveis separáveis. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 29 Exemplo: Resolver a equação 136 12 −− +− = yx yx dx dy Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 30 AULA 4 - EXERCÍCIOS 1) 0dy)1yx3(dx)y3x2( =−−−− 2) 0dy)5yx2(dx)4y2x( =−+−−+ 3) 0dy)8y5x(dx)xy3( =−+++ 4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2( =+++−+ 5) yx1 y3x31 dx dy ++ −− = 6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x( =+−−−− 7) 2y4x3 1y3x dx dy −+ −− = Respostas: 1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 3) [ ] k2 12x )4y(5 arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22 = + + − −++−++− 4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K 6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C 7) x 2 - 4y2 - 6xy - 2x + 4y = K Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 31 AULA 5 2.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja diferencial dada por: dy y udx x udu ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2) Então, comparando (1) e (2) teremos: ),( yxM x u = ∂ ∂ (3) e ),( yxN y u = ∂ ∂ (4) Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), em relação à variável x, da qual teremos ∫ += )(),(),( ygdxyxMyxf (5) Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: )(' ),( yg y dxyxM y f + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ (6) Igualando (6) e (4) resulta: ),()(' ),( yxNyg y dxyxM =+ ∂ ∂∫ . Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: 1 ),( ),()( Cdy y dxyxM yxNyg + ∂ ∂ −= ∫ ∫ (7) Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: Cdy y dxyxM yxNdxyxMyxf = ∂ ∂ −+= ∫ ∫ ∫ ),( ),(),(),( Logo, a solução é da forma ∫ ∫ = ∂ ∂ −+= Cdy y PNMdxyxU ),( onde costuma-se denotar ∫= MdxP Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 32 Exemplos: 1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 Equações DiferenciasProfa Paula Francis Benevides 33 2.4.1 FATOR INTEGRANTE Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: x N y M ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ . Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED exata. Se ela é exata, existe u(x,y) = cte e MF dx u .= ∂ e NF dy u .= ∂ e FN x FM yx N y M yx u ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂∂ ∂ 2 Tomando a condição de exatidão FN dx FM y ∂ = ∂ ∂ F x NN x FF y MM y F ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ e achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor então que F(x,y) = F(x) x NFN x F y MF ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ dividindo tudo por FN ≠ 0 e organizando, temos: x N Nx F Fy M N ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ 111 x N Ny M Nx F F ∂ ∂ ⋅− ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ 111 ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅= ∂ ∂ ⋅ x N y M Nx F F 11 reescrevendo: dx x N y M N dF F ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅= 11 integrando: ∫ += CdxxRF )(ln ∫ = dxxR exF )( .)( onde: ∂ ∂ − ∂ ∂ = x N y M N xR 1)( analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: ∫ = dyyR eyF )( .)( onde: Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 34 ∂ ∂ − ∂ ∂ −= x N y M M xR 1)( Em resumo: Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é, x N y M ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ , mostra-se que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. F(x): F(y): ∂ ∂ − ∂ ∂ = x N y M N xR 1)( ∂ ∂ − ∂ ∂ −= x N y M M yR 1)( ∫ = dxxR exF )( )( ∫ = dyyR eyF )( )( Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator integrante. 1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 35 2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 36 AULA 05 – EXERCÍCIOS 1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 2) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 3) 2xy dx + x2 dy = 0 4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 5) 0)( 22 =−− θθ drrdre 6) 2222 yxy xdy y dy yx dx + =+ + 7) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 8) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 9) seny dx + cos y dy = 0 10) Encontre a solução particular de dx)yx(xydy2 22 += para 2)1(y = 11) 0xdy2dx)xy( 2 =+− 12) 0xdylnxdx)yx( =++ Respostas: 1) Ksenyxyx =++ 2 4 4 2) Cyxe y =− 2 3) x 2y = K 4) coshxcosy = K 5) Kre =− 22θ 6) Kyxx =++ 22 7) x 2 cos y + x4 = C 8) Ctgyex = 2 9) Ceseny x =. 10) xxy 32 += 11) k 5 x2 xy2 2 5 =− 12) kxlnyx =+ Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 37 AULA 6 2.5 EQUAÇÕES LINEARES: Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma: )()( xQyxP dx dy =+ (1) Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x) ≠ 0, a equação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber: 2.5.1 FATOR INTEGRANTE: Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de nosso problema: QPy dx dy =+ Vamos reescrever esta última sob a forma 0)( =+− dydxQPy Multiplicando ambos os membrospor ∫ Pdx e (fator integrante) obtemos a expressão ( ) 0=∫+−∫ dyedxQPye PdxPdx . Aqui, identificamos as funções “M” e “N”: ( )QPyeM Pdx −∫= e ∫ = Pdx eN Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: ∫ = ∂ ∂ PdxPe y M e ∫= ∂ ∂ PdxPe x N confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 38 2.5.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE: Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemático francês: 1736-1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) e Z= )(xψ , sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. Derivando em relação a x, tem-se: dx dZ t dx dtZ dx dy += (2) Substituindo (2) em (1) vamos obter: QPZt dx dZ t dx dtZ =++ Q dx dZ tPt dx dtZ =+ + (3) Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber: i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy += ∫ (4) ii) Q = 0, então 0=+ Py dx dy (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de variáveis separáveis. Daí, 0=+ Pdx y dy . Integrando essa última, resulta em ∫−= PdxCyln . Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução ∫=∫= −− PdxCPdxC eeey . Fazendo Cek = , temos ∫= − Pdxkey (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta. Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez que y=Z.t, teremos a solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado a partir desta condição. Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 0=+ Pt dx dt (6), que é da mesma forma já estudada no caso ii. Assim, ∫= − Pdxket . Substituindo este resultado em Q dx dZ t = obtemos Q dx dZke Pdx =∫− . Daí, Qe kdx dZ Pdx∫ = 1 e Qdxe k dZ Pdx∫= 1 . Integrando este último 1(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 39 resultado, temos CQdxe k ZPdx +∫= ∫ 1 (7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo “t” e “Z”: +∫∫= ∫ − CQdxe k key PdxPdx 1 , onde resulta, finalmente em: +∫∫= ∫ − Cdx.Q.eey PdxPdx (8) que é a solução geral da equação (1) Exemplos: Resolver a equação 2−=− x x y dx dy por: a. Fator integrante b. Lagrange Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 40 AULA 6 – EXERCÍCIOS 1) 0cot =−+ x gx x y dx dy 2) arctgxy dx dy x =++ )1( 2 3) xytgx dx dy cos. += 4) x x y dx dy =− 5) 3x x y2 dx dy =+ 6) senxytgx dx dy =− 7) Achar a solução particular para 0)0(y = em xcos 1 tgx.y dx dy =− 8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(y,xxy2 dx dy −==+ Respostas: 1) [ ]Csenx x y += )ln(1 2) arctgxeCarctgxy −+−= .1 3) xCxsenxy sec2 4 1 2 1 1 ++= 4) 2xCxy += 5) 246 1 x C xy += 6) += Cxsenxy 2 sec 2 7) x xy cos = 8) 2xe 2 7 2 1y −−= Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 41 AULA 7 2.6 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de tais equações são: 2.6.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI: Equação da forma: nyxQyxP dx dy )()( =+ (1) para 1≠n e 0≠n , onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli2. Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma EDO linear. Pois, se: n = 0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior n = 1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea Solução: Transformação de variável: Substitui por ty n =−1 Deriva-se em relação a x: dx dt dx dyyn n =− −)1( (2) Substituindo (1), que é: nQyPy dx dy =+ ⇒ PyQy dx dy n −= em (2) temos: ( ) dx dtPyQyyn nn =−− −)1( 2 Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 42 ( )( ) dx dtPyQn n =−− −11 como ty n =−1 , temos: dx dtPtQn =−− ))(1( QntPn dx dt )1(])1[( −=−+ Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. Exemplo: 232 xy x y dx dy =− Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 43 AULA 07 – EXERCÍCIOS 1) 33 yxxy dx dy =+ 2) xyy dx dy x ln2=+ 3) 33 yxy dx dy x =+ 4) yxy xdx dy += 4 5) 02 2 =+− xy dx dy xy 6) 3xyxy2 dx dy =− 7) 2xyy x 1 dx dy =+ Respostas: 1) 2 .1 1 2 xeCx y ++ = 2) Cxex y + = ).ln( 1 3) 1.2 2223 =+− yxCyx 4) 2 4 ln 2 1 += Cxxy 5) x C xy ln.2 = 6) Ke ey x x + −= 2 2 2 2 2 2 7) Cxx 1y 2 +− = Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 44 AULA 8 2.6.2 EQUAÇÃO DE RICATTI A equação de Jacopo Francesco Riccati3é da forma: )()()( 2 xRyxQyxP dx dy ++= (1) onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação linear e, quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Joseph Liouville4 mostrou que a solução da equação de Riccati só é possível quando se conhece uma solução particular y0. Caso contrário, ela só é integrável através de uma função transcendente5. Resolução: Conhecendo-se uma solução particular 0y da equação (1), pode-se resolver facilmente a equação fazendo a seguinte mudança de variável: zyy 0 += (2) onde 0y e z dependem de x . Como 0y é solução, temos: RQyPy dx dy ++= 0 2 0 0 (3) Por outro lado, derivando (2) tem-se: dx dz dx dy dx dy += 0 (4) Substituindo (2) e (4) na equação (1) : RzyQzyP dx dz dx dy ++++=+ )()( 0200 Desenvolvendo e agrupando os termos: RQyPyzQPyPz dx dz dx dy +++++=+ 0 2 00 20 )2( (5) 3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele próprio ajudou a projetar os diques ao longo de vários canais. Considerou diversas classes de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluções em alguns casos especiais. 4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Março de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemático francês. 5 Uma função é chamada de transcendente quando não é algébrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes ou raízes de funções polinomiais). As funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcedentes. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 45 Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em: 2 0 )2( PzzQPydx dz =+− (6) que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida. Em resumo: Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 qualquer de (1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente R(x) transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli. Exemplo: Mostrar que y = - x é solução particular da equação ( ) 0121 223 =++++ yxxy dx dy x e procurar a solução geral. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 46 AULA 08 – EXERCÍCIOS 1) Verificar se y = x é solução particular da equação 32 2 =++ x y xy dx dy . Em caso afirmativo, calcular a solução geral 2) Mostrar que x y 1= é solução particular da equação 2 2 2 x y dx dy −= e calcular a sua solução geral. 3) Sabendo que y = 1 é solução particular da equação 1)12( 2 −=−−+ xxyyx dx dy calcular a sua solução geral. 4) Calcular a solução da equação 11121 2 −+ −−= xy x y xdx dy sabendo que y = x é solução particular. 5) Dar a solução geral da equação 0232 =+++ yy dx dy sabendo que y = - 1 é solução particular. Respostas: 1) 1 3 4 5 − + = Kx xKxy 2) kx x x y + −= 3 231 3) Cxe Cxey x x +− +− = )1( )2( 4) 2 322 xk xxkxy − −+ = 5) 1 2 − − = x x Ce Cey Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 47 AULA 9 3. EQUAÇÕES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 3.1 ENVOLTÓRIAS E SOLUÇÕES SINGULARES 3.1.1 DEFINIÇÕES: � Curvas integrais: Família de curvas que representa a solução geral de uma equação diferencial. � Envolvida: É cada uma das curvas integrais. Representa geometricamente uma solução particular da equação. � Envoltória: Tomando-se como exemplo a família de curvas dependentes de um parâmetro 0)α,y,x(f = , define-se como envoltóriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a família de curvas integrais. Assim sendo, pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltórias para uma mesma família, como também poderá não haver nenhuma. Por exemplo, uma família de circunferências concêntricas não apresenta envoltória. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 48 3.1.2 EQUAÇÃO DA ENVOLTÓRIA Seja 0)α,y,x(f = uma família de curvas dependentes do parâmetro “α ”. Define-se como envoltória a curva que é tangente a toda a linha que constituem a família de curvas. Pode-se existir uma ou mais envoltórias para uma mesma família de curvas, como também poderá não haver nenhuma. As curvas que forma a família são chamadas envolvidas. Geralmente, a envoltória é definida pelo sistema: = ∂ ∂ = 0),,( 0),,( α α α yxf yxf (1) cuja equação pode ser obtida pela eliminação do parâmetro α em (1). Também podemos obter a equação da envoltória sob a forma paramétrica, resolvendo o sistema para x e y. Exemplo: Obter a envoltória de uma família de circunferência com centro sobre o eixo x e raio igual a 5. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 49 3.1.3 SOLUÇÕES SINGULARES Uma equação diferencial não linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa 0,, = dx dyyxF Foi visto que uma equação diferencial pode apresentar três tipos de solução: � geral � particular � singular (eventualmente) A solução geral é do tipo 0)C,y,x(f = , que representa uma família de curvas (curvas integrais), a cada uma das quais está associada uma solução particular da equação dada. A envoltória dessa família de curvas (caso exista) representa a solução singular da equação original. De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas ( )00 y,x da envoltória e da curva integral corresponde a 0 0 dx dy . Além disso, tem-se que os elementos 00 y,x e 0 0 dx dy de cada ponto da envoltória satisfazem à equação acima, pois são elementos de uma curva integral. Portanto, a envoltória é uma solução da equação que não resulta da fixação da constante C , e por esta razão, é uma solução singular. Exemplo: Determinar a solução geral e a solução singular da equação 2 22 x dx dy x dx dyy +− = Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 50 3.1.4 EQUAÇÃO DE CLAIRAUT A Equação de Clairaut6tem a forma += dx dy dx dy xy φ . Resolução: Chamando p dx dy = a equação de Clairaut fica ( )pxpy φ+= (1) Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: dx dppp dx dp x dx dy )('1. φ++= ( ) 0)(' =+ px dx dp φ (2) 0= dx dp ∴ Cp = A solução geral é dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C Assim, )(CCxy φ+= é a solução geral da equação de Clairaut (família de retas) De (2), tem-se: 0)(' =+ px φ (3) xp −=∴ )('φ Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relação F(x,y)=0 que representa a solução singular. Exemplos: Determinar a solução geral e a solução singular da seguinte equações de Clairaut: 0 2 =+− y dx dy x dx dy 6(Paris, 13 de Maio de 1713 — Paris, 17 de Maio de 1765) foi um matemáticofrancês.Precursor da geometria diferencial, realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaço. Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 51 AULA 9 – EXERCÍCIOS 1) Dar a envoltória das seguintes famílias de curvas: a) α α 14 2 += xy b) 0)2(2 222 =++++ αα yyx 2) Obter a solução singular da equação 1y dx dyy 2 2 2 =+ 3) Achar a solução geral e a solução singular da equação: 2 =− dx dy dx dy xy 4) Determinar a solução geral e a solução singular das seguintes equações de Clairaut: a. dx dy dx dy xy ln−= b. 2 3 =− dx dy dx dy xy c. 01 23 =+ − dx dyy dx dy x d. 045 =+ +− y dx dy x dx dy e. 2 4 ++= dx dy dx dy xy Respostas 1) a ) y3 = 27x b) x2 + 4y = 0 2) y = ±1 3) 2CCxy += (solução geral) 4 xy 2 −= (solução singular) 4) a. ClnCxy −= (geral) xln1y += (singular) b. 2C3Cxy += (geral) y12x2 −= (singular) c. 2C 1Cx + (geral) 23 x27y4 = (singular) d. 04)xCy5(C =++− (geral) x16)5y( 2 =− (singular) e. 2C4Cxy ++= (geral) 2 22 2 x1 )x1(4y − ± = (singular) Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 52 AULA 10 3.1.5 EQUAÇÃO DE LAGRANGE: A equações da Lagrange tem a forma + = dx dy dx dy xFy φ (1) Observamos que a equação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange, se dx dy dx dyF = . Resolução: A solução da equação de Lagrange, geralmente é dada sob a forma paramétrica. Chamando p dx dy = a equação de Lagrange fica ( )ppxFy φ+= )( . Derivando a equação anterior em relação a x, teremos: dx dpp dx dppxFpFp )(')(')( φ++= dx dpp dx dppxFpFp
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