REATÓRIO PENDULO SIMPLES

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
JOADSON DE JESUS OLIVEIRA (201410796) 
THALINE SILVA DE OLIVEIRA (201320148) 
YAN ÁLLEFE MIRANDA RIBEIRO (201410792) 
 
 
 
 
 
ILHÉUS-BAHIA 
2015 
 
JOADSON DE JESUS OLIVEIRA (201410796) 
THALINE SILVA DE OLIVEIRA (201320148) 
YAN ÁLLEFE MIRANDA RIBEIRO (201410792) 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
Relatório apresentado como parte dos 
critérios de avaliação da disciplina CET833 – 
FÍSICA EXPERIMENTAL II. Turma P03. Dia 
da Execução do experimento: 27 de fevereiro 
de 2015. 
Professora: Fabiane de Jesus 
 
 
 
ILHÉUS-BAHIA 
2015 
SUMÁRIO 
 
1. RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................... 1 
CONCLUSÃO ....................................................................................................................... 11 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................... 12 
 
 
USER
Nota
numeração?
1 
 
1. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Inicialmente, pegou-se um pêndulo simples, já montado em um suporte 
universal, composto por um corpo de prova, de massa m, com volume 
pequeno, suspenso por um fio inextensível desprovido de massa, como visto 
na Figura 1 abaixo. 
 
Figura 1 – Determinação de um pêndulo simples em pequenas oscilações. 
 
O corpo de prova escolhido foi um cilindro, porém o ideal seria uma 
esfera homogênea que pudesse ser conhecido o centro de massa. Todavia 
graças ao método de Bessel (eq. 19) foi possível contornar esse problema já 
que não são levados em consideração os centros de massa envolvidos no 
processo. 
 No estado inicial, o pêndulo se encontra na vertical, em repouso. 
Primeiramente, ajustou-se o fio ao seu maior comprimento, e mediu-o cinco 
vezes consecutivas, com o auxílio de uma fita métrica. Escolhido um ângulo de 
pequena amplitude (𝜃 = 5°), medido por um transferidor, afastou-se o fio do 
repouso até esse ângulo, para começo dos movimentos oscilatórios. Dessa 
forma, marcou-se, com o auxílio de um cronômetro, 10 vezes o tempo das 10 
oscilações determinadas, para a estimativa da incerteza. Posteriormente, 
encurtou-se o comprimento do fio em aproximadamente 50% do inicial e 
repetiu-se o processo de medição. 
"Analisando a proposta do experimento do Pêndulo Simples tem-se que 
qualquer sistema real constituído por uma pequena esfera suspensa por um fio 
não é um “pêndulo simples”, mas um pêndulo físico. Isso é explicado, pois a 
massa do pêndulo está distribuída e não localizada em um ponto. Ainda que a 
USER
Nota
itálico
USER
Realce
2 
 
massa do fio seja desprezível e que a esfera possua densidade constante 
demonstra-se que o comprimento do pêndulo simples equivalente (o 
comprimento do pêndulo simples que tem o mesmo período do pêndulo físico) 
é maior do que a distância do ponto de suspensão ao centro de gravidade da 
esfera." 
 
 O período T caracteriza o movimento oscilatório, sendo o tempo 
necessário para se executar uma oscilação completa. 
 
Figura 2 - Determinação de um pêndulo simples. 
Ao analisar a Figura 2, vemos que as grandezas físicas que estão 
atuando sobre a partícula são a força peso, P, a qual é exercida através da 
Terra, a tensão T, que por sua vez é gerada através do fio. Para melhor 
desenvolver os cálculos seguintes, pode-se trocar a força peso pelas duas 
componentes ortogonais, a P1 que tem a sua posição paralela a direção 
definida pelo fio e a componente P2, que por outro lado é perpendicular a essa 
direção. Deste modo obteve-se as eqs. (1) e (2). 
𝑃1 = 𝑚𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1) 
E 
𝑃2 = 𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 (2) 
Portanto, pode-se afirmar que as forças que agem sobre a partícula que 
compõem o pêndulo simples são P1, P2 e T. 
Ao analisar o procedimento, notou-se que como a partícula descreve um 
arco de circunferência, a resultante das forças atua como força centrípeta e se 
USER
Nota
praticamente repetiu a figura anterior
3 
 
mantém na direção definida ao longo do fio, e consequentemente deve ter o 
mesmo sentido que a tensão T. 
Observando através de outra perspectiva, nota-se que na direção 
perpendicular, à qual é definida pelo fio, ou seja, no decorrer do percurso da 
partícula, atua somente a força P2. Especificamente falando, ao longo desta 
direção interage também a força de araste, a qual é exercida pelo ar. Todavia, 
como o módulo da força de araste é muito inferior em relação à força de P2, 
pode então ser desconsiderada. 
Como já foi mencionado acima, a partícula de massa m descreve um 
arco de circunferência. Por outro lado, se a amplitude do movimento é muito 
inferior do que o comprimento do fio, isto é, se A << L, qualquer que seja o 
ângulo θ, ele sempre será pequeno, como pode ser observado na Figura 3 
abaixo. 
 
Figura 3 - Determinação de um pêndulo simples em pequenas oscilações. 
Nesta nova montagem, fica claro que o arco da circunferência que 
compõem o percurso da partícula pode ser aproximado através de um 
seguimento de reta horizontal, que sobre o mesmo fixou-se o eixo X, com a sua 
origem O onde a vertical tirada do ponto de suspensão Q corta esse eixo. 
Portanto, dentro dessa aproximação a posição da partícula e com os pontos O 
e Q que regam um triangulo retângulo, o qual possui um ângulo reto na origem 
O, pode-se então ser como demonstrado na eq. (3). 
sin 𝜃 = 
𝑥
𝐿
 (3) 
4 
 
Desta forma, o módulo e o sentido de P2, que por sua vez é a força 
resultante que age sobre a partícula ao decorrer de toda a trajetória, podem ser 
expressos pela eq. (4). 
𝑃2(𝑥) = − (
𝑚𝑔
𝐿 ̅̅ ̅
) . 𝑥 (4) 
O uso do sinal negativo na força de P2 se fez necessário, pois a força 
possui a mesma direção daquele que foi escolhido como positivo para o eixo X 
quando o crescimento é negativo, e tem sentido oposto quando o crescimento 
é positivo. 
A fórmula descrita anteriormente demonstra que, quanto menor for a 
amplitude do movimento da partícula, a mesma acontece sobre uma linha 
contínua no eixo X, sob a consequência de uma força que possui o módulo 
proporcional à distância da partícula quando observada a partir de um ponto 
fixo sobre a linha reta, que neste caso seria o ponto O. Por fim, se a amplitude 
é pequena, o movimento da partícula que faz parte do pêndulo simples é um 
MHS, Movimento Harmônico Simples. 
Partindo da priori que o módulo e o sentido da força que age sobre uma 
partícula em MHS são dados, genericamente, pela eq. (5) e (6). 
𝐹(𝑥) = −𝐶𝑥 (5) 
Com 
𝐶 = 𝑚. 𝜔2 (6) 
E sabendo-se que o período e a frequência do movimento são dados, 
respectivamente, através das eqs. (7) e (8). 
T = 
2π
ω
 (7) 
E 
𝑓 =
𝜔
2𝜋
 (8) 
Deste modo, analisando a expressão de P2(x) com a expressão F(X), 
pode-se escrever as eqs. (9) e (10). 
5 
 
C = 
mg
L
 (9)E 
𝜔2 = 
𝑔
𝐿
 (10) 
Desta forma, tem-se a eq. (11). 
𝑇 = 2𝜋. √
𝐿
𝑔
 (11) 
Com a obtenção dos valores de L que representa o comprimento do 
pêndulo e g que por sua vez representa o módulo da aceleração gravitacional 
local, mediante a tudo que foi observado, notou-se que se não houver 
nenhuma outra força externa atuando sobre o pêndulo, o mesmo só pode 
oscilar com a frequência obtida por meio da equação descrita acima. 
Observou-se também que para pequenas oscilações, o período independe do 
ângulo (eq. 11). A frequência em questão é denominada frequência própria ou 
natural de oscilação. 
Dando continuidade aos procedimentos, temos que na Tabela 1 
encontram-se as medidas (L1) e (L2), associada a sua incerteza instrumental 
(𝜎𝑓𝑖𝑡𝑎 𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎), esta obtida a partir da divisão da menor medida do instrumento 
dividido por dois, eq. (12). 
𝜎𝑓𝑖𝑡𝑎 𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 =
0,001
2
= 0,05 × 10−2𝑚 (12) 
 
Tabela 1 – 5 medidas do maior e menor comprimento do fio, no SI. 
 
N (𝑳𝟏 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓)𝒎 (𝑳𝟐 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓)𝒎 
1 1, 4201 0, 7099 
2 1, 4253 0, 7067 
3 1, 4259 0, 7071 
4 1, 4265 0, 7083 
5 1, 4257 0, 7075 
 
USER
Nota
índice
6 
 
 A análise da incerteza é adotada devido à alta necessidade de precisão 
nos resultados finais. Logo, cada fórmula utilizada possui um valor final e tal 
valor precisa ter uma incerteza, seja, instrumental, padrão ou propagada. Como 
também adotou-se a escolha de dois algarismos significativos e a conservação 
da quantidade de casas decimais obtidas nos valores das incertezas, com o 
intuito de tornar o mesmo mais claro e objetivo. 
 
A partir dos dados acima pôde-se obter, na Tabela 4, a média das cinco 
medidas (�̅�1) e (�̅�2) obtidas por meio da eq. (13), associadas as suas 
incertezas (𝜎�̅�), calculadas por meio da eq. (16). 
x̅ = 
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
 (13) 
Sendo N o número total de medidas e xi o valor da i-ésima medida. 
 
Para o desvio padrão a seguinte fórmula foi utilizada: 
𝜎 = √
1
𝑁−1
∑ (𝑥𝑖 − 𝑥 ̅
𝑁
𝑖=1 )² (14) 
Sendo N o número total de medidas, xi o valor da i-ésima medida e x̅ 
a média. 
 
Para o desvio padrão do valor médio a seguinte fórmula foi utilizada: 
σ̅ = 
𝜎
√𝑁
 (15) 
Sendo N o número total de medidas e 𝜎 o desvio padrão. 
 
Para a incerteza padrão tem-se a fórmula: 
𝜎�̅� = √𝜎𝑚2 + 𝜎𝑖𝑛𝑠𝑡
2 (16) 
Sendo "𝜎𝑚" o desvio padrão do valor médio e "𝜎𝑖𝑛𝑠𝑡" a incerteza 
instrumental. 
7 
 
Na Tabela 3, encontram-se os tempos das 10 oscilações medidas (t1) e 
(t2) associados as suas incertezas, estas obtidas a partir da medição de 10 
tempos de reação, vista na Tabela 2, e obtenção de sua média final, eq. (13). 
Tabela 2 – 10 tempos de reação, no SI. 
N (𝒕𝟏 ± 𝟎, 𝟐𝟔)𝒔 
1 0,34 
2 0,33 
3 0,24 
4 0,33 
5 0,23 
6 0,25 
7 0,25 
8 0,22 
9 0,21 
10 0,18 
 
Tabela 3 – 10 medidas do tempo de 10 oscilações, no SI. 
N (𝒕𝟏 ± 𝟎, 𝟐𝟔)𝒔 (𝒕𝟐 ± 𝟎, 𝟐𝟔)𝒔 
1 24,66 17,22 
2 24,51 17,30 
3 24,29 17,45 
4 24,37 17,20 
5 24,03 17,12 
6 23,65 17,10 
7 24,29 17,13 
8 24,78 17,50 
9 24,34 17,13 
10 24,19 17,12 
 
Ao se efetuar qualquer tipo de medição é comum encontrar erros de 
diversos tipos, quer seja do instrumento utilizado, do operador ou do processo 
USER
Nota
índice
USER
Nota
o tempo de reação não tem incerteza. você usa essa tabela para calcular a média e essa média é a incerteza do dados medidos - tempo de oscilação.
8 
 
de medida, o ponto em questão é que sempre haverá erros que fazem com que 
a medida real seja diferente da medida obtida. Sendo assim uma das formas 
de minimizar tais erros é repetir o processo várias vezes, pois quanto maior o 
número de medidas obtidas mais o valor médio se aproximará do valor real. 
Observou-se que com o comprimento original, as oscilações foram mais 
lentas comparadas com as oscilações do fio de comprimento menor. Essa 
diferença pode ser notada ao observar a equação do período (eq. 11) onde o 
valor do comprimento (L) é diretamente proporcional ao período (T). 
A partir dos dados acima, pôde-se obter, na Tabela 4, as médias dos 10 
tempos medidos de 10 oscilações cada (𝑡1̅) e (𝑡2̅) por meio da eq. (13), 
associadas as suas incertezas, também determinada pela eq. (13) juntamente 
com a Tabela 2. 
Tabela 4 – Médias e incertezas padrão de L1, L2, t1 e t2. 
(�̅�1 ± 𝜎�̅�1) (1,4242 ± 0,0005)𝑚 
(�̅�2 ± 𝜎�̅�2) (0,7074 ± 0,0005)𝑚 
(𝑡1̅ ± 𝜎�̅�1) (24,31 ± 0,26)𝑠 
(𝑡2̅ ± 𝜎�̅�2) (17,23 ± 0,26)𝑠 
 
 Após obter o valor da média dos 10 tempos medidos pôde-se determinar 
o período T de uma única oscilação, por meio da eq. (17), sendo ela a divisão 
da média pela quantidade de tempo medido. 
𝑇 =
𝑡̅
10
 (17) 
Na eq. (18) encontra-se a incerteza propagada, σT, para o período T. 
 
𝜎𝑇 = √(
1
10
. 𝜎�̅�)
2
 (18) 
 
Na Tabela 5, é visto os valores dos períodos T1 e T2 juntamente com 
suas respectivas incertezas. 
 
USER
Nota
notação científica
USER
Nota
dois algarismos significativosnullacho que aqui você colocou a incerteza instrumental ao invés da incerteza padrão.
USER
Nota
você já pode simplificar a equação cancelando o quadrado com a raiz quadrada.
9 
 
Tabela 5 – Períodos T1 e T2 e suas incertezas padrão, no SI. 
 
(�̅�1 ± 𝜎�̅�1) (2,431 ± 0,028)𝑠 
(�̅�2 ± 𝜎�̅�2) (1,723 ± 0,026)𝑠 
 
 Determinados os valores médios dos comprimentos (L1) e (L2), 
juntamente com os valores dos períodos (T1) e (T2), pôde-se determinar o g, 
aceleração da gravidade, através do método de Bessel, que determina g sem a 
localização do centro de gravidade da esfera, sendo obtido através da eq. (19). 
𝑔 = 4𝜋2
𝑑
(𝑇1
2 − 𝑇2
2)
 (19) 
Para o cálculo de d, temos na eq. (20) que: 
𝑑 = 𝐿1̅̅̅ − 𝐿2̅̅ ̅ (20) 
Na eq. (21) encontra-se a incerteza propagada de 𝑑. 
𝜎𝑑 = √𝜎�̅�1
2 + 𝜎�̅�2
2 (21) 
De tal modo que o valor de d resultou em: 
(d ± 𝜎d) = (7,168 ± 0,014)𝑥10 − ¹𝑚 
Na eq. (22) a seguir encontra-se a incerteza propagada, σg. 
σg = √(
4π2
(T1
2 − T2
2)
σd)
2
+ (−
8π2𝑑𝑇1
(T1
2 − T2
2)
σT1)
2
+ (
8π2𝑑𝑇2
(T1
2 − T2
2)
σT2)
2
 (22) 
Dessa forma, o valor da aceleração da gravidade resultou em: 
(g ± 𝜎g) = (9,62 ± 0,53)𝑚/𝑠² 
Ao comparar o valor alcançado de g com o valor de referência tem-se 
que o valor de g ficou muito próximo do esperado, porém no valor da incerteza 
houve uma diferença significativa, devido à falta de precisão dos instrumentos 
utilizados em laboratório, além dos próprios fatores externos (como o 
USER
Nota
o sinal de menos pode ir embora
USER
Nota
todos os dados em tabelas.
10 
 
manipulador dos instrumentos) que acabaram influenciando na obtenção de 
medidas mais precisas. 
A depender das grandezas envolvidas, o erro absoluto pode não ser 
muito significativo, portanto usa-se o erro relativo, como visto na eq. (23). 
𝑒 =
|𝑉𝑇 − 𝑉𝐸 |
𝑉𝑇× 100% (23) 
De tal modo que o erro relativo dado em porcentagem resultou em: 
 𝑒 = 1,97 % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
CONCLUSÃO 
 
Sobre tudo notou-se que os objetivos iniciais foram devidamente 
alcançados. Os valores de aceleração da gravidade calculados foram 
diferentes, porém todos se apresentaram próximos do valor teórico, estando 
este último dentro da faixa de incerteza dos demais. Os valores obtidos nas 
equações de propagação de incerteza são modificados de forma significativa 
conforme as quantidades de variáveis envolvidas aumentam no decorrer do 
experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
JESUS, F.; SOARES, J.; REMBOLD, S. B. Laboratório de Física II: Material 
de apoio à disciplina de Laboratório de Física II e Experimental II. 
(DCET/UESC); 
 
ABNT/INMETRO. Guia para a Expressão da Incerteza de Medição. (GUM). 
Terceira Edição brasileira em língua portuguesa. Rio de Janeiro: 
ABNT/INMETRO, 2003. 120 p.; 
 
Disponível em: http://www.if.ufrgs.br/~lang/Textos/GRAVIDADE.pdf Acesso em: 
11março2015; 
 
CAMPOS, AGOSTINH. Física Experimental Básica na Universidade. 2ª 
edição revista; 
 
Disponível em: <http://coral.ufsm.br/gef/MHS/mhs05.pdf> Acesso em: 
10março2015; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
USER
Nota
 nullCRITÉRIOS NOTA null nullResultados 2,4 null nullDiscussão 4,0 null nullConclusão 1,0 null nullOrganização 1,8 null nullTotal 9,2 null