RELATÓRIO DA PRÁTICA 3 - Pêndulos Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL PARA ENGENHARIA 
SEMESTRE 2020.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁTICA 03 – PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: DOUGLAS SOUSA CAVALCANTE 
MATRÍCULA: 497631 
CURSO: ENGENHARIA DE ENERGIAS RENOVÁVEIS 
TURMA: 26 
PROFESSOR: THIAGO SANTIAGO 
 
Fortaleza - Ce 
02 de agosto de 2020 
2 
SUMÁRIO 
1.0 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 3 
2.0 MATERIAIS ....................................................................................................................... 3 
3.0 INTRUDUÇÃO TEÓRICA ................................................................................................ 4 
4.0 PROCEDIMENTO ............................................................................................................. 6 
 4.1 Procedimento 1................................................................................ 6 
 4.2 Procedimento 2 .................. ............................................................. 6 
 4.3 Procedimento 3 ............................................................................... 6 
 4.4 Procedimento 4 .......................................................... ........... .......... 7 
 5.0 QUESTIONÁRIO ................................................................................... 9 
 6.0 CONCLUSÃO ................................................................................................................ 11 
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.0 OBJETIVOS 
- Verificar as leis do pêndulo; 
- Determinar a aceleração da gravidade local. 
2.0 MATERIAIS 
- Prego fixado numa parede; 
- Desenho indicando 15 e 10 graus; 
- Massas m1 (uma pilha palito) e em 2 (três pilhas palito); 
- Cronômetro (alternativamente pode ser usado a função cronômetro de um celular); 
- Fita métrica; 
- Fio (linha comum); 
- Filme “Pêndulo Simples”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.0 INTRODUÇÃO TEÓRICA 
Infopédia [1] define pêndulo como qualquer corpo rígido que gira em torno de um 
ponto fixo. Foi o astrónomo, matemático e físico italiano Galileu Galilei o primeiro a observar 
que o período de oscilação de um pêndulo só depende do comprimento do referido pêndulo e é 
independente da sua massa. O pêndulo simples é um sistema mecânico que consiste em uma 
massa puntiforme, ou seja, um corpo de dimensões insignificantes, presa a um fio de massa 
desprezível e inextensível capaz de oscilar em torno de uma posição fixa, descrevendo sobre 
ela um movimento periódico em forma de arco de circunferência (trajetória em linha pontilhada 
na Figura 3.1 abaixo). 
[2] Figura 3.1: Pêndulo simples e as forças atuantes consideradas. 
 
 Fonte: Scielo com modificações. 
 No momento em que o pêndulo se desloca de sua posição mais baixa (θ = 0), 
passa a oscilar periodicamente perante a ação da gravidade. Em um ponto qualquer com θ ≠ 0 
as forças atuantes sobre a massa (m) são: mg (peso) e T (tração no fio). A força peso pode ser 
decomposta em componentes tangencial e trajetória, de módulo mgsenθ que representa a força 
restauradora que é proporcional a senθ, e a componente radial de módulo mgcosθ que 
corresponde a aceleração centrípeta. 
 Equação 3.1: Equação da força restauradora. 
 F= -mgsenθ 
 A fim de que o movimento seja harmônico simples (Oscilação periódica em um 
espaço limitado) é crucial que a força restauradora (Equação 3.1) seja proporcional ao 
deslocamento e orientada no sentido oposto. 
Aplicando-se uma regra de três simples para descobrir o comprimento do arco 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ temos: 
5 
 Equação 3.2: regra de três simples. 
 
𝜃
2𝜋
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
2𝜋𝐿
 
Onde L representa o raio da circunferência (comprimento do fio). Resolvendo essa 
regra de três temos: 
Equação 3.3: Resolução da regra de três simples. 
 𝜃𝐿 = 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ 
 
 𝜃 =
𝐶𝐵
𝐿
̅
 
 
E como, quando θ < 15º (em radianos), senθ = θ é possível reescrever a Equação 3.1 da 
seguinte forma: 
 Equação 3.4: Equação da força restauradora reescrita. 
 𝐹 = −𝑚𝑔 (
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐿
) 
Sendo massa(m), gravidade(g) e o comprimento do fio(L) constantes, é viável 
definir uma constante K tal que: 
 Equação 1.5: Equação com as constantes escritas. 
 𝑘 =
𝑚𝑔
𝐿
 
 
Logo tem-se: 
 Equação 2.6: Equação final da força restauradora. 
 𝐹 = −𝑘𝑥 
 
Sabendo-se que o período T, de um movimento harmônico simples para pequenas amplitudes é 
dado por: 
 Equação 3.7: Equação do período de um movimento harmônico simples. 
 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
 
Como o valor de K já é conhecido, pois obteve-se ele através da Equação 3.5, substitui o valor 
de K na equação acima pelo encontrado naquela. Então obtêm-se: 
 
 Equação 3.8: Equação final do período de um movimento harmônico simples. 
 𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 
3.1 Determinação experimental da aceleração da gravidade (g) 
 
Elevando ao quadrado a Equação 3.8, surge: 
 
 
 Equação 4.1.1: Equação 3.8 ao quadrado. 
 𝑇2 = 4𝜋2
𝐿
𝑔
 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑇2 = (
4𝜋2
𝑔
) 𝐿 
A equação acima é do tipo y = ax então confeccionado o gráfico de T²L obtêm-se uma reta cujo 
coeficiente angular é dado por: 
6 
 Equação 5.1.2: Coeficiente angular de T²L. 
 
 
𝜟(𝑻𝟐)
𝜟𝑳
=
𝟒𝝅𝟐
𝒈
 𝒐𝒖: 𝒈 =
𝟒𝝅𝟐
(
𝜟(𝑻𝟐)
𝜟𝑳
)
 
4.0 PROCEDIMENTO 
 O professor disponibilizou o vídeo da prática do pêndulo, e com ele, solicitou a 
cronometragem dos períodos de oscilações, eu, particularmente, optei por utilizar um software 
de edição de vídeos (Sony Vegas) a fim de obter uma maior exatidão na obtenção dos dados 
referentes a essas oscilações e por utilizar desse software os resultados da tabela Tabela 4.1.1 
foram exatamente os mesmo. 
4.1 Procedimento 1. 
 1- Anote a massa dos corpos: 
 
 Tabela 4.2.1: Massa dos corpos. 
m1 (massa menor) = 12,5 
m2 (massa maior) = 37,5 
 
4.2 Procedimento 2 
 
 2- Determine o tempo necessário para o pêndulo executar 10 (dez) oscilações completas 
para os comprimentos 20 cm, 40 cm, 60 cm, 80 cm, 100 cm, 120 cm e 140 cm. Repita 3 (três) 
vezes e determine o T médio (em s). Use somente uma massa (m1), como indicado na tabela 
4.1.2 abaixo. 
 
4.3 Procedimento 3 
 
 3-Mantenha o comprimento em 100 cm e estude a influência da massa e da amplitude 
sobre o período. O aluno deve comparar com o resultado obtido na Tabela 3.1 quando foi usada 
uma amplitude de 15 graus e um comprimento de 100 cm. Proceda como indicado na Tabela 
4.1.3 (próxima página). 
 Tabela 4.1.3: Resultados experimentais para o pêndulo simples. 
L(cm) θ(graus) m(gramas) 10T(s) T(s) T²(s²) 
L1=20 θ1=15 m1= 12,5 10T1=9 10T1=9 10T1=9 T1=0.9 T1²=0.8 
L2=40 θ2=15 m2= 12,5 10T2=12.9 10T2=12.9 10T2=12.9 T2=1.3 T2²=1.6 
L3=60 θ3=15 m3= 12,5 10T3=15.9 10T3=15.9 10T3=15.9 T3=1.6 T3²=2.2 
L4=80 θ4=15 m4= 12,5 10T4=17 10T4=18 10T4=18 T4=1.8 T4²=3.2 
L5=100 θ5=15 m5= 12,5 10T5=20.1 10T5=20.1 10T5=20.1 T5=2 T5²=4 
L6=120 θ6=15 m6= 12,5 10T6=22.1 10T6=22.1 10T6=22.1 T6=2.2 T6²=4.8 
L7=140 θ7=15 m7= 12,5 10T7=23.8 10T7=23.8 10T7=23.8 T7=2.4 T7²=5.8 
 
7 
Tabela 4.1.3: Resultados experimentais para o estudo da influência da amplitude sobre o. 
L(cm) θ(graus) m(gramas) 10T(s) T(s) T²(s²) 
L1=100 θ1=15 m1= 20.1 10T8=20.1 10T8=20.1 10T8=20.1 T8=2 T8²=4 
L2=100 θ2=10 m1= 12,5 10T9=20.1 10T9=20.1 10T9=20.1 T8=2 T9²=4 
 
Tabela 4.1.4: Resultados experimentais para o estudo da influência da massa sobre o período 
do pêndulo simples. 
L(cm) θ(graus) m(gramas) 10T(s) T(s) T²(s²) 
L1=100 θ1=10 m1=12,5 10T8=20.1 10T8=20.1 10T8=20.1 T8=2 T8²=4 
L2=100 θ2=10 m2=37,5 10T9=20.1 10T9=20.1 10T9=20.1 T9=2 T9²=4 
 
4.4 Procedimento4 
 4-Trace o gráfico de T em função de L (para os dados experimentais da Tabela 4.1.4). 
 [4] Gráfico 4.1.1: Relação do período(s) pelo comprimento(cm). 
 
 Font [4]e: Qtiplot com dados do autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
4-Trace o gráfico de T² em função de L (para os dados experimentais da Tabela 4.1.5). 
 [4] Gráfico 4.1.2: Relação do período (s²) elevado ao quadrado pelo 
comprimento (cm). 
 
 Fonte[4]: Qtiplot com dados do autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.0 QUESTIONÁRIO 
 
1- Dos resultados experimentais é possível concluir-se que os períodos independem das massas? 
Justifique. 
Sim, pois, como observado na tabela 4.3.1, mesmo tendo uma diferença de 25 gramas entre m1 
e m2 a diferença de tempo foi i inexistente. Ratificando que o período independe da massa. 
 
2- Dos resultados experimentais o que se pode concluir sobre os períodos quando a amplitude 
passa de 10º para 15? Justifique. 
O período se manteve inalterado como se pode comprovar na tabela 4.1.4, em que as massas 
e o comprimento do fio são iguais, e a amplitude é distinta, e mesmo assim o período foi o 
mesmo para ambas. Comprovando que ele independe da amplitude, se o ângulo de lançamento 
for θ tal que: θ ≤ 15º. 
 
 
3- Qual a representação gráfica que se obtém quando se representa T x L? Explique. 
Como se pode verificar no gráfico 4.1.1 a trajetória descreve uma parábola horizontal, pois, 
como demonstrado na introdução, T = 2π√𝐿/𝑔 , logo: T = [2π√1/𝑔 ] x √𝐿 , então, fazendo-
se T X L, a equação é do tipo y = a√𝑥 , onde a = 2π√1/𝑔 o que representa uma função de 
grau ½. 
 
4- Idem para T²x L. Explique. 
Verificando-se o gráfico 4.1.2 é possível perceber que trata-se de um trajeto retilíneo , pois, 
como demonstrado na introdução, T² = (4π²/g)L, então, fazendo-se T² X L, a equação acima é 
do tipo y = ax, onde a = (4π²/g), o que representa uma função do primeiro grau. O gráfico não 
apresentou uma reta perfeitamente alinhada por quê o sistema considerado ocorre não em um 
cenário ideal e está sujeito a forças que não seriam considerados no cenário ideal. 
 
5- Determine o valor de “g” a partir do gráfico T²x L (indique os valores numéricos utilizados 
nos cálculos). 
Utilizando da fórmula: 𝒈 =
𝟒𝝅𝟐
(
𝜟(𝑻𝟐)
𝜟𝑳
)
 
No gráfico T² X L, a equação acima é do tipo y = ax, onde a = (4π²/g), só que a é o coeficiente 
angular da reta o qual é calculado por: a = (Δy/Δx), que no caso da função T² = (4π²/g)L é 
dado por: a = (ΔT²/ΔL), logo: (4π²/g) = (ΔT²/ΔL), desenvolvendo temos: g = 4π²(ΔL/ΔT²), 
usando dois pontos, (0,40 m ; 1,6 s) e (0,60 m ; 3,2 s), do gráfico T² X L para calcular g: g 
= 4x(3,142)²x(0,60 – 0,40/2,5 – 1,6) = 9, 86 m/s² 
 
 
6- Qual o peso de uma pessoa de massa 72,00 kg no local onde foi realizada a experiência? 
Peso = massa x gravidade = 
Peso = 72 x 9.86 = 
709.9 
 
7- Qual o peso da pessoa da questão anterior na lua? 
Peso = massa x gravidade (g = 1,62) 
Peso = 72 x 1,62 
Peso = 116,6 
 
10 
8- Compare o valor médio de T obtido experimentalmente para L = 100 cm com o seu valor 
calculado pela fórmula 𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 (use g = 9,81m/s²). Comente 
 T= (2.3,142).√
1.0
9.81
 
 T= 6,284 . √0.101936799 
 T= 6,284 . 0,319275428 
 T= 2,0006 s 
O valor encontrado foi muito próximo do encontrado na tabela pois como mencionei no 
procedimento, utilizei um software de edição de vídeos que aumentou significativamente a 
exatidão na cronometragem, por isso o valor encontrado na questão foi tão próximo da 
realidade. 
 
9- Discuta as transformações de energia que ocorrem durante o período do pêndulo. 
Quando o pêndulo está situado na altura máxima, ele possui, momentaneamente, velocidade 
nula e apenas energia potencial gravitacional. Quando o pêndulo começa a descer, ele vai 
ganhando velocidade até situar-se no ponto mais baixo, onde a energia potencial gravitacional 
é mínima e sua velocidade e, consequentemente, sua energia cinética são máximas. E quando 
o pêndulo está subindo, sua velocidade vai diminuindo e sua energia potencial gravitacional 
aumentando até ele atingir a altura máxima 
 
10- De acordo com o valor de g encontrado experimentalmente nesta prática, qual seria o 
comprimento para um período de 1,8 s? 
Utilizando a fórmula do período 𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 temos:1,8=2x3.142x√
𝐿
9.86
 L≅ 0.8m ou 80 cm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
6.0 CONCLUSÃO 
 Com a prática do pêndulo pôde-se perceber que o resultado que os dados reais foram 
muito próximos do esperado pela equação: T = 2π√L/g . com uma diferença irrelevante 
presente somente após a quarta casa dos algarismos depois da “,” (vírgula). De modo que essa 
diferença foi irrelevante, e ao utilizar a regras de algarismos significativos os resultados foram 
iguais. Esse grau elevado de exatidão foi devido, em grande parte, ao método que utilizei para 
cronometrar o tempo das oscilações, onde utilizei um software de edição de vídeos (Sony 
Vegas). 
 Calculou-se ainda a aceleração da gravidade local por meio da equação: g = 
4π²(ΔL/ΔT²), no qual mediu-se, experimentalmente, o período de dois pêndulos de mesma 
massa puntiforme (12,5 g), de deslocamento angular igual (15º) e comprimento do fio 
diferentes como pode ser observado na tabela 4.1.2 . O valor obtido foi muito pouco diferente 
do ideal, porque, o fator exatidão foi presente e todas as medições, de modo que todas as elas 
deram os mesmo valores, e ao dividi-la por 30 obteve-se o valor mais próximo do ideal, o 
mesmo aplica-se ao elevar o valor ao quadrado, onde a diferença deu-se apenas na hora do 
arredondamento. Pode-se comprovar ainda que, como o esperado, a mudança tanto na 
angulação par (θ ≥ 15º) quanto na massa, não interfere. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
Apostila didática [ROTEIRO DE AULAS PRÁTIAS DE FÍSICA]: Laboratório de Física 
experimental, 2020. 
 
pêndulo in Infopédia [1]. Porto: Porto Editora, 2003-2020. Disponível em: 
https://www.infopedia.pt/$pendulo. Acesso em: 04 ago. 2020. 
 
Figura 3.1 [2]: Rev. Bras. Ensino Fís., São Paulo, v. 33, n. 4, p. 4311, Dez. 2011. Disponível 
em: http://www.scielo.br/scielo. Accesso em: 07 ago. 2020. 
 
Gráfico [4]4.2.1 e 4.3.2 Qtiplot ™. Disponível em https://www.qtiplot.com. Acesso em 07 ago. 
2020.