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5 FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS 
REPRESENTAÇÕES
Observe a tabela com valores reais de “x” e “y” (ou seja, 
infi nitos valores).
x y
... ...
–3 –6 
–2 –4
–1 –2
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
... ...
Por meio da tabela acima, observa-se a seguinte relação: 
y = 2.x 
“y” é o dobro de “x”.
“y” depende de “x”.
“y” está em função de “x”.
Existe uma relação numérica entre “y” e “x”. Portanto, y = 2.x 
é uma função.
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Representa-se, também, tal relação da seguinte maneira:
8
6
4
2
1 2 3 4 0 x
y
Observe a tabela com valores reais de “x” e “y” (ou seja, 
infi nitos valores).
x y
... ...
–3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
... ...
Por meio da tabela acima, pode-se observar a seguinte 
relação: y = x2 
“y” é o quadrado de “x”.
“y” depende de “x”.
“y” está em função de “x”.
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Existe uma relação numérica entre “y” e “x”. Portanto, y = x2 
é uma função.
Representa-se, também, tal relação, da seguinte maneira:
 0 x
y
Generalizando, pode-se afi rmar que uma função 
numérica é uma relação particular que estabelecemos 
entre os elementos de dois conjuntos numéricos, os 
quais expressam grandezas que se relacionam por uma 
determinada lei, modelo ou fórmula.
Resolvendo problema – Exemplo
O custo total de produção de um determinado bem consiste 
em um custo fi xo de R$ 300,00 somado a um custo variável de 
R$ 120,00 por unidade produzida.
a) Observe a tabela que mostra o custo total de produção em 
função do número de bens produzidos.
Número de bens 
produzidos “(x)” Custo total de produção (R$) “(y)”
0 300
1 300 + 120 . (1) = 300 + 120 = 420
2 300 + 120 . (2) = 300 + 240 = 540
3 300 + 120 . (3) = 300 + 360 = 660
4 300 + 120 . (4) = 300 + 480 = 780
10 300 + 120 . (10) = 300 + 1200 = 1500
x 300 + 120 . (x) = 300 + 120.x
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b) Observe a “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a 
relação existente entre o custo total de produção (y) e a 
quantidade de bens produzidos (x).
y = 300 + 120.x
Observação: numa situação cotidiana, por meio de dados reais, 
podemos generalizar ideias e elaborar “modelos matemáticos” 
que facilitam os cálculos, tornando-os mais práticos.
c) Observe o gráfi co correspondente a tal situação.
660
1 2 3 0 Número de bens produzidos (x)
Custo total (y)
540
420
300
6 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função do 1º grau é uma relação de dependência entre 
duas grandezas que pode ser representada da forma: y = a.x + b .,
onde “a” e “b” são números reais quaisquer. Tal função tem as 
seguintes características:
Tem como gráfi co uma reta, semirreta ou segmento de 
reta (dependendo do seu domínio).
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Pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal 
(positivo ou negativo) de “a”.
Domínio de uma função: são valores reais (x) que 
“controlam” a função (y).
Imagem de uma função: são valores reais (y) que resultam 
da aplicação dos valores do domínio (x) na função.
Exemplos
Considere a função: y = 2.x + 6 
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
Função do 1º grau
Gráfi co: uma reta (domínio = reais - imagem = reais).
Para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
A reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal “x” e 
vertical “y”).
Para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), 
consideramos x = 0.
Para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), 
consideramos y = 0.
Veja a tabela:
x y
0
 0
Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6
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Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja:
0 – 6 = 2x + 6 – 6
–6 = 2x
–6 = 2x
 2 2
– 3 = x
Completando a tabela:
x y
0 6
–3 0 
y
6
x
 0
-3
A função é crescente, pois conforme os valores de “x” 
crescem, os valores de “y” crescem também.
Considere a função: y = –3.x 
Domínio da função: todos os números reais (R)
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Observações:
Função do 1º grau
Gráfi co: uma reta (domínio = reais - imagem: reais).
Para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
A reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal “x” e 
vertical “y”).
Para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), 
consideramos x = 0.
Para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), 
consideramos y= 0.
Veja a tabela:
x y
0
 0
Para x = 0 , temos y = –3.(0) = 0
Para y = 0 , temos 0 = –3x , ou seja:
 0 = –3x
–3 –3
0 = x
Completando a tabela:
x y
0 0
0 0 
Observa-se, então, que a reta irá passar pela origem, cruzando 
os dois eixos (horizontal e vertical) no ponto (0;0).
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Portanto, para identifi car a inclinação da reta, basta atribuir 
mais um valor qualquer para “x”.
x y
0 0
0 0 
3
Para x = 3 , temos y = –3.(3) = –9
x y
0 0
0 0 
3 – 9
y
3
x 0
-9
A função é decrescente, pois conforme os valores de “x” 
crescem, os valores de “y” decrescem.
Considere a função: y = x + 2 
Domínio da função: {x ∈ R | –3 < x < 4}
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Observações:
Função do 1º grau
Gráfi co: um segmento de reta (domínio = observar gráfi co 
eixo “x” - imagem = observar gráfi co eixo “y”).
Para traçar a reta precisamos de, no mínimo, 2 pontos.
Atribui-se, na tabela, como valores de “x”: os valores 
“extremos” do domínio dado: –3 e 4. Veja:
x y
–3
4 
Para x = –3, temos y = (–3) + 2 = –1
Para x = 4, temos y = (4) + 2 = 6
Completando a tabela:
x y
–3 –1 
4 6 
y
6
x 0
-1
-3
4
Observe atentamente o gráfi co:
Domínio (eixo horizontal) = {x ∈ R | –3 < x < 4}
Imagem (eixo vertical) = {y ∈ R | –1 < y < 6}
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A função é crescente, pois conforme os valores de “x” 
crescem, os valores de “y” crescem também.
7 FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função do 2º grau é uma relação de dependência 
entre duas grandezas, que pode ser representada da forma: 
 y = a.x2 + b.x + c , onde “a” , “b” e “c” são números reais quaisquer 
e “a” ≠ 0. Tal função tem as seguintes características:
Tem como gráfi co uma parábola;
Pode ter concavidade voltada para baixo ou concavidade 
voltada para cima, dependendo do sinal (positivo ou negativo) 
de “a”.
Dependendo da concavidade, possui um ponto mínimo ou 
máximo (vértice).
Exemplos
Considere a função: y = x2 – 6x + 5 
Domínio da função: todos os números reais (R)
Observações:
Função do 2º grau
Gráfi co: uma parábola (domínio = reais - imagem = observar 
gráfi co eixo “y”).
Concavidade da parábola para cima, pois “a”, neste caso, é 
positivo.
Possui pontomínimo (vértice da parábola).
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Etapas para a representação do gráfi co da função:
1) Considerar y = 0
y = x2 – 6x + 5
0 = x2 – 6x + 5 (resolver a equação do 2º grau para saber 
onde a parábola cruza o eixo horizontal “x”)
∆ = 16
x’ = 1 x” = 5
2) Considerar x = 0 (para saber onde a parábola cruza o eixo 
vertical “y”)
y = x2 – 6x + 5
y = (0)2 – 6.(0) + 5
y = 0 – 0 + 5
y = 5
3) Ponto mínimo – vértice da parábola (xv; yv)
xv = –b = –(–6) = 6 = 3
 2.a 2.(1) 2
yv = –∆� = – (16) = –16 = – 4
 4.a 4.(1) 4
Portanto, o ponto mínimo desta parábola é: (3; –4)
y
 0
5
3
1 5
-4
x
vértice - ponto mínimo
(3;-4)
Observe atentamente o gráfi co:
Domínio (eixo horizontal) = reais
Imagem (eixo vertical) = {y ∈ R | y > -4}
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Considere a função: y = -x2 + 9 
Domínio da função: {x ∈ R| 0 < x < 3}
Observações:
Função do 2º grau
Gráfi co: uma parábola (domínio = {x ∈ R| 0 < x < 3} - 
imagem = observar gráfi co eixo “y”).
Concavidade da parábola para baixo, pois “a”, neste caso, é 
negativo.
Possui ponto máximo (vértice da parábola).
Etapas para a representação do gráfi co da função:
1) Considerar y = 0
y = –x2 + 9
0 = –x2 + 9 (resolver a equação do 2º grau para saber onde 
a parábola cruza o eixo horizontal “x”)
∆ = 36
x’ = 3 x” = – 3
2) Considerar x = 0 (para saber onde a parábola cruza o eixo 
vertical “y”)
y = –x2 + 9
y = –(0)2 + 9
y = 9
3) Ponto máximo – vértice da parábola (xv; yv)
xv = –b = –(0) = 0
 2.a 2.(–1)
yv = –∆� = – (36) = –36 = 9
 4.a 4.(–1) –4
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Portanto, o ponto máximo desta parábola é: (0; 9)
 0-3
vértice - ponto máximo
(0;9)
3
y
9
x
Observe atentamente o gráfi co:
Domínio (eixo horizontal) = {x ∈ R| 0 < x < 3}
Imagem (eixo vertical) = {y ∈ R | 0 < y < 9}
Atenção: neste caso, respeita-se o domínio e a imagem 
da função considerando apenas “parte do gráfi co” que não 
está “tracejado”.
8 SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE 
INTERSECÇÃO)
Veja os exemplos abaixo:
Considere as funções do 1º grau:
y1 = 2x + 4 domínio: reais
y2 = –x – 5 domínio: reais
Cada uma das funções, acima, representa uma reta. O 
objetivo, agora, é encontrar um ponto “comum” pertencente 
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às duas retas, ou seja, o ponto de “intersecção” das duas 
funções.
Este ponto poderá ser encontrado por meio de dois quadros 
de representação distintos: o quadro algébrico ou o quadro 
geométrico.
Determinação do ponto de intersecção por meio do 
quadro algébrico
Condição: y1 = y2 
2x + 4 = –x – 5
2x + 4 – 4 = –x – 5 – 4
2x = –x – 9
2x + x = –x – 9 + x
3x = –9
3x = –9
 3 3
 x = –3 
Escolha de uma das funções: y1 = 2x + 4
y1 = 2x + 4
y1 = 2.(–3) + 4 = –6 + 4 = –2
 y = –2 
Obs.: no caso da escolha de y2 = –x – 5, o resultado também 
seria y = –2
Portanto, o ponto de intersecção das duas funções é: 
(–3; –2)
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Determinação do ponto de intersecção por meio do 
quadro geométrico
Representar grafi camente (no mesmo plano) as duas 
funções:
Obs.: vale relembrar a construção de gráfi cos.
 0
4
-2
x
-5
-3
-5
-2
y y1=2x+4
y2=-x-5
Ponto de 
intersecção
(-3;-2)
Considere as funções do 1º grau:
y1 = x + 3 domínio: {x ∈ R| – 4 < x < 4}
y2 = –2x domínio: {x ∈ R| – 6 < x < 0}
O ponto de intersecção das duas funções é:
Quadro algébrico:
 y1 = y2 
x + 3 = –2x
x + 3 + 2x = – 2x + 2x
3x + 3 = 0
3x + 3 – 3 = 0 – 3
3x = – 3
3x = –3
 3 3
 x = –1 
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Escolha de uma das funções: y2 = –2x
y2 = –2.(–1) = +2
 y = 2 
Obs.: no caso da escolha de y1 = x + 3, o resultado também 
seria y = 2
Portanto, o ponto de intersecção das duas funções é: 
(–1; 2)
Quadro geométrico:
Obs.: vale relembrar a construção de gráfi cos.
 0
y2=-2x
-1
4 x
12
y
7
-4
Ponto de 
intersecção
(-1;2)
-6
y1=x+3
Referências bibliográfi cas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 3 vols. São Paulo: Ática, 2004.
FRANÇA, Elisabeth et al. Matemática na vida e na escola. 4 vols. 
São Paulo: Editora do Brasil, 1999.
SILVA, S. M. ; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos 
superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
___________. Matemática: para os cursos de economia, 
administração, ciências contábeis. vol 1. São Paulo: Atlas, 1999.
5