Funções básicas

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Objetivos
Módulo 1
Funções de primeiro grau
Reconhecer as propriedades das funções de primeiro grau.
Acessar módulo
Módulo 2
Funções de segundo grau
Reconhecer as propriedades das funções de segundo grau.
Acessar módulo
Módulo 3
Funções exponenciais
Reconhecer as propriedades das funções exponenciais.
Acessar módulo
Módulo 4
Funções logarítmicas
Reconhecer as propriedades das funções logarítmicas.
Acessar módulo
Funções de primeiro grau
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções de
primeiro grau.
Características da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é caracterizada por possuir uma relação entre duas variáveis Y e X, que
podem ser representadas no plano cartesiano, sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo
horizontal. Com esse tipo de equação, estuda-se a variação de Y quando X varia de forma linear, ou
seja, quando X tem expoente 1. Essa função tem como principal finalidade escrever uma fórmula
matemática na qual consigamos atribuir valores à variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Onde:
São as variáveis.
Para que essa função exista, .
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções
de primeiro grau
Existem diferentes aplicações da função de primeiro grau em variadas áreas, inclusive no nosso dia a
dia. Devemos ser capazes de observar se há a possibilidade de escrever uma fórmula matemática que
permita encontrar um valor desejado atribuindo valores para uma dada variável e realizando operações
matemáticas descritas nesse tipo de função.
Analisando essa situação, uma pessoa pode saber quanto gastará assim que souber o peso total dos
alimentos que selecionou, basta transformar essa descrição em uma equação matemática. Se
pensarmos em calcular o valor final a pagar, essa é a variável que queremos calcular, Y; como a
quantidade de comida em quilograma varia de pessoa para pessoa, essa é a variável X, para a qual
serão atribuídos valores diferentes a fim de calcular o resultado final. Sendo assim, a equação
estruturada ficará da seguinte forma:
Onde:
Representa o que queremos saber, o valor final a pagar.
Dessa forma, podemos prever o gasto para pagamento no cartão de crédito da quantidade de comida
selecionada.
Suponha que uma pessoa colocou no prato 0,3kg e outra 0,5kg, quanto cada uma irá pagar?
!
Pessoa 1
!
Pessoa 2
Assim, conseguimos prever os valores a serem pagos para qualquer peso de comida.
É importante observar que a lei de formação da função de primeiro grau possui sempre um valor
constante (coeficiente b) somado ao produto de uma quantidade fixa e um valor variável na forma
linear (coeficiente a), ou seja, com expoente 1.
Vamos analisar outra situação para compreender melhor essa lei de formação.
Suponhamos a importação de vacinas feitas pelo Brasil para o tratamento de uma doença que está
atingindo uma grande parcela da população. Essas vacinas serão transportadas de forma rápida
diretamente da China para o Brasil, em voo direto, a um custo total de US$2 milhões. A negociação foi
feita diretamente com o laboratório produtor e conseguiu-se o preço de US$10 por dose de vacina.
Vamos estruturar e escrever essa lei de formação usando a função de primeiro grau.
Onde:
Representa o custo total que queremos calcular.
Dessa forma, pode-se planejar o gasto final da compra de qualquer quantidade de vacina. Por exemplo,
quanto se gastará caso sejam compradas 50 milhões de doses dessa vacina? Basta resolvermos e
calcularmos a equação da seguinte forma:
Imagine uma pesquisa que avalia o crescimento de uma bactéria no corpo humano. Observou-se que,
no primeiro dia de contato com o ser humano, já surgem 1.000 bactérias na pessoa contaminada e que,
a cada dia que passa sem tratamento médico, há um crescimento de 20 bactérias por dia. Vamos
estruturar a lei de formação da situação descrita na forma de uma equação matemática, partindo dos
seguintes dados: uma parte inicial constante de 1.000 bactérias no primeiro dia de contato com ser
humano e uma parte variável de 20 bactérias por dia nos demais dias. Obtemos a seguinte equação:
Suponha agora que um médico queira saber quantas bactérias tem seu paciente que teve contato com
o microrganismo 15 dias antes da consulta, para assim poder prever a quantidade de medicação que
vai prescrever. Será possível calcular essa quantidade de bactérias nesse período de tempo da seguinte
forma:
Y=1.300 bactérias
Equação de primeiro grau
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison demonstrará como resolver uma equação de primeiro grau.
Construção do gráfico relacionado à função
Também chamada de função afim, a função de primeiro grau pode ser descrita conforme visto
anteriormente:
Nesse caso:
• X e Y são as variáveis.
• a e b são os coeficientes.
Para que essa função exista, .
Essa função descreve uma reta em um plano cartesiano bidimensional, com seus termos identificados
da seguinte forma:
São os valores do par ordenado no eixo Y.
Para a construção de um gráfico de uma reta em um plano cartesiano, resolvemos a equação anterior
atribuindo valores a X e obtendo valores correspondentes para Y. Contudo, antes de iniciarmos a
construção da reta, apresentaremos o plano cartesiano e os pares ordenados, que serão necessários
para a representação da reta.
Gráfico: Representação dos eixos cartesianos X e Y e sua divisão em quadrantes.
Elaborado por Aneuri de Amorim.
O eixo X, também chamado de abscissa, é o eixo horizontal do plano cartesiano; já o eixo Y, conhecido
como ordenada, é o eixo vertical desse plano. Os dois eixos se cruzam em um único ponto que
chamamos de origem dos eixos.
Qualquer ponto a ser representado no plano cartesiano deve possuir um par ordenado da forma (X, Y),
sempre nessa ordem: o primeiro corresponde ao valor do eixo X, o segundo, ao valor do eixo Y. Então,
um ponto qualquer P pode ser identificado e representado no plano cartesiano, como podemos ver a
seguir:
Gráfico: Plano cartesiano em escala com o ponto P (2, 5) representado.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Nessa imagem, vemos o ponto P (2, 5) representado no plano cartesiano: seu valor no eixo X é 2 e seu
valor no eixo Y é 5. Assim, devemos marcar o ponto de interseção entre esses dois valores, que
corresponde ao ponto P (2, 5).
Para representar a função de primeiro grau no plano, que é uma reta, vamos escolher valores para X
(eixo horizontal do plano) e calcular o valor correspondente de Y (eixo vertical do plano), obtendo assim
alguns pares ordenados. Então, ligaremos os pontos e traçaremos a reta formada pelos resultados da
equação da função de primeiro grau.
A título de exemplo, vamos traçar o gráfico da reta dada por esta função de primeiro grau:
Existe ainda uma particularidade: entre dois pontos no plano cartesiano, só é possível traçarmos uma
única reta. Logo, precisamos apenas de dois pares ordenados para traçarmos a reta. Escolheremos,
então, dois valores da variável X para encontrar o valor correspondente da variável Y e assim obter dois
pares ordenados.
Inicialmente, consideraremos X=1, portanto, devemos substituir esse valor na equação da reta anterior.
Então, quando X for 1, Y vale 5, e assim temos o primeiro par ordenado: (1,5).
Consideraremos agora X=-1.
Então, quando X for –1, Y vale 3, e assim temos o segundo par ordenado: (-1,3)
Podemos resumir os cálculos no seguinte quadro:
Elaborado por Aneuri de Amorim.
Finalmente, vamos marcar esses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que os une.
X Y
1 1
-1 3
Funções básicas
Profª. Aneuri Souza de Amorim
Descrição Conceitos iniciais da matemática para a solução de equações de primeiro grau e de segundo
grau, bem como de funções exponenciais e logarítmicas, além de suas representações e
interpretações gráficas.
Propósito A análise e a compreensão de fenômenos e situações do cotidiano na área da saúde demandam
a construção e a interpretação de gráficos por meio da solução de equações de primeiro e
segundograu e das funções exponenciais e logarítmicas, o que torna esses conhecimentos
matemáticos essenciais à sua atuação profissional.
Preparação Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de que tem acesso a uma calculadora científica, e
tenha em mãos papel, caneta e régua para a resolução dos exercícios algébricos e confecção de
gráficos no plano cartesiano.
Na área de saúde, é comum o uso de variadas funções matemáticas para descrever diversos
comportamentos, como o crescimento linear da resposta de um grupo de pacientes a dado
medicamento, por exemplo.
A compreensão dessas funções matemáticas, suas soluções próprias e as particularidades nas
construções de representações gráficas permitem aos profissionais de saúde representar diferentes
fenômenos e interpretar o comportamento de funções pelo uso de gráficos.
Introdução
1
Y =
a
X + b
X e Y a e b
a
≠
0
Exemplo
A título de exemplo, podemos pensar em uma situação do cotidiano: uma pessoa vai almoçar em um
restaurante que serve comida por quilo. O valor do quilograma da comida é R$30, porém, para
pagamentos no cartão de crédito, o restaurante cobra uma taxa fixa de R$5.
"
Y =
30
X +
5
Y 30 X 5
Y
= 30 ⋅ 0, 3 + 5
Y
= 9 + 5 = 14
Y
= 30 ⋅ 0, 5 + 5
Y
= 15 + 5 = 20
Y = 10X + 2.000.000
Y X 10 2.000.000
Y = 10(50.000.000) + 2.000.000
Y =
500
.
000
.
000
+
2
.
000
.
000
Y =
502
.
000
.
000
Y =
20
X +
1
.
000
Y
= 20(15) + 1.000
Y = 300 + 1.000
Resumindo
A função de primeiro grau tem uma parte constante e uma parte variável, descrita por sua variável com
expoente 1, de forma linear.
#
$
Y = aX + b
a ≠ 0
Y X a b
Y = X +
4
Y = (
1
) +
4
Y =
1
+
4
Y =
5
Y = (−1) + 4
Y = −1 +
4
Y = 3
%
Gráfico: Plano cartesiano em escala com os pontos (1, 5) e (–1, 3) e a reta Y=X+4 representados na
imagem.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Gráfico da função de primeiro grau
Agora, o especialista Sandro Davison demonstrará como construir um gráfico da função de primeiro
grau.
Inferências sobre um gráfico e seus coeficientes
Neste estudo, você aprendeu que a função de primeiro grau é descrita pela equação geral:
Vimos também como se constrói um gráfico atribuindo valores para X e calculando valores para Y e,
além disso, sabemos que o gráfico dessa função no plano cartesiano sempre será uma reta. Contudo,
podemos construir esse gráfico e analisar algumas características e particularidades a partir da análise
dos coeficientes a e b da equação.
Coeficiente angular
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular da reta, pois representa a sua inclinação. Temos
duas possibilidades:
Gráfico: Reta , representando o coeficiente angular
crescente a > 0.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e
Thiago Lopes.
Coeficiente angular positivo: a>0
Significa que a inclinação da reta será positiva,
isto é, será uma reta crescente e o ângulo com o
eixo X será menor do que 90°.
A reta apresentada a seguir foi construída
usando a seguinte equação:
Onde a=2 (a>0). Gráfico: Reta , representando o coeficiente
angular crescente a>0.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e
Thiago Lopes.
& 1 de 2 '
Coeficiente linear
Já o coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Ele representa o ponto em que a reta irá
tocar o eixo Y e sempre será o par ordenado (0, b), obtido ao assumir o valor X=0 na equação geral da
reta:
Nos dois gráficos anteriores, podemos ver que os pontos onde as retas tocam o eixo Y podem ser
obtidos por suas equações.
No primeiro gráfico
A equação da reta é dada por: 
b=-3
Podemos ver que a reta toca o eixo Y no ponto (0,-3).
No segundo gráfico
A equação da reta é dada por: 
Temos: b=2
Logo, a reta toca o eixo Y no ponto (0,2).
Há ainda outra propriedade que devemos conhecer: a raiz da reta.
A raiz da reta, é o ponto onde a reta toca o eixo X,
no qual Y=0.
Observando a equação da reta como exemplo:
, para obter sua raiz, sempre
fazemos com que Y=0 e assim teremos:
 
A raiz dessa equação da reta será X=1, logo, a
reta irá tocar o eixo X no ponto (1, 0), conforme
demonstrado no gráfico.
Grafico: Raiz da reta Y=-4X+4.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e
Thiago Lopes.
Aplicações da função de primeiro grau
O especialista Sandro Davison mostrará, neste vídeo, como resolver problemas reais usando a função
de primeiro grau.
Demonstração
Como já vimos, para traçarmos uma reta no plano cartesiano são necessários apenas dois pontos, dois
pares ordenados (X, Y). Sendo assim, podemos escolher um ponto em que a reta toca o eixo Y, dado
pelo coeficiente linear da reta e, um ponto em que a reta toca o eixo X, dado pela raiz da reta.
Utilizaremos, para demonstração, a reta dada pela equação:
Comparando com a equação geral da reta: 
Podemos ver que: a=-1 e b=2
Se a < 0, o coeficiente angular é negativo, logo, a reta é decrescente. Considerando que b=2, a reta
tocará o eixo Y em (0,b)=( 0,2).
Para vermos isso, basta assumir X=0 na equação.
Y=-(0)+2
Y=2
Então, já temos um ponto (0, 2) para traçar a reta. Falta o segundo ponto, que é a raiz, obtida ao
considerar Y=0 na equação e calcular o valor de X.
Resolvendo: X=2
Logo, temos o segundo ponto da reta: (2, 0).
Traçando a reta, teremos a seguinte imagem:
Gráfico da reta Y=-X+2. Estão representados no gráfico o ponto em que a reta toca o eixo Y
(coeficiente linear da reta) e o ponto em que toca o eixo X (raiz da reta).
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Mão na massa
Teoria na prática
As funções de primeiro grau têm grande aplicação no nosso dia a dia e em diferentes áreas do
conhecimento. Sempre que observamos um crescimento ou um decrescimento de forma linear entre
duas variáveis, teremos aí representada uma função de primeiro grau.
Suponha a análise da ação de dado medicamento em um grupo grande de pessoas da população. Foi
observado que o número de pessoas curadas (Y) crescia de forma linear de acordo com a quantidade
de medicação dada (X), seguindo a seguinte equação:
Podemos afirmar que se nenhum medicamento ( ) for dado à população analisada, teremos uma
quantidade pequena de pessoas curadas ( ). Contudo, é possível ver que quanto mais
medicação dada, maior será a quantidade de pessoas curadas.
Pode-se analisar os dados usando os conceitos da equação da reta:
• O coeficiente angular da reta: , logo, a reta é crescente, pois .
• O coeficiente linear da reta: , assim, a reta toca o eixo Y em (0, 100).
• Se nenhum medicamento for dado, 100 pessoas se curam.
Vamos supor que são dados 100 medicamentos ( ):
Quando 100 medicamentos são dados ( ), 600 pessoas são curadas ( ).
O gráfico nos mostra um crescimento linear grande.
Gráfico: O crescimento linear da equação da reta .
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
$
Y = aX + b
Y = 2X − 3
Y
= 2
X
− 3
Y = aX + b
Y =
a
(
0
) + b
Y =
0
Y
= 2
X
− 3
Y
= −2
X
+ 2
Y
= −2
X
+ 2
Y
= 0
Y
= −2
X
+ 2
4
X
= 4
X
=
2
2
= 1
$
Y = −X +
2
Y = aX + b
0 = −X + 2
(_black
Questão 1
Marque a afirmativa correta relacionada à reta da equação Y=-X+1.
A Representa uma reta crescente pois o coeficiente angular é a=-1.
B Representa uma reta decrescente pois o coeficiente angular é a=-1.
C Representa uma reta crescente pois o coeficiente angular é a=1.
D Representa uma reta decrescente pois o coeficiente angular é a=1.
E Representa uma reta constante pois o coeficiente angular é a=1.
Responder
Questão 2
Marque a afirmativa correta com relação à equação da reta .Y = 3X + 2
A Essa reta possui coeficiente linear b=3.
B Essa reta possui coeficiente linear b=-3.
C Essa reta não possui coeficiente linear.
D Essa reta possui coeficiente linear b=2.
E Essa reta possui coeficiente linear b=-2.
Responder
Questão 3
Sobre a equação , é correto afirmar queY = −X +
2
A representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (0,-2).
B representa uma retadecrescente e toca o eixo Y no ponto (2,0).
C representa uma reta crescente e toca o eixo Y no ponto (2,0).
D não representa uma reta.
E representa uma reta decrescente e toca o eixo Y no ponto (0,2).
Responder
Questão 4
Sobre a equação , podemos afirmar que é uma retaY = 2X + 3
A decrescente, pois a=3 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (0, 2).
B crescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (0, 3).
C crescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (3, 0).
D decrescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (3, 0).
E crescente, pois a=2 (a>0), que toca o eixo Y no ponto (0, 0).
Responder
Questão 5
Observando o gráfico a seguir, marque a opção com a resposta correta.
Gráfico Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
A Reta com coeficiente linear 3 e raiz 5.
B Reta com coeficiente linear 5 e raiz 3.
C Reta com coeficiente angular 3 e raiz 5.
D Reta com coeficiente angular 5 e raiz 3.
E Reta com coeficiente linear 3 e coeficiente angular 5.
Responder
Questão 6
Indique o valor da raiz da reta .Y = −2X +
4
A X = 0, 5
B X = −2
C X = 2
D X = −0, 5
E X =
4
Responder
(_black
Y =
5
X +
100
X =
0
Y =
100
a =
5
a >
0
b =
100
X =
100
Y =
5
(
100
) +
100
Y =
500
+
100
Y =
600
X =
100
Y =
600
Y = 5X + 100
/
Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para atingir
seus objetivos.
Questão 1
Dada a função de primeiro grau:
Assinale a opção que apresenta o valor da raiz dessa função.
Y =
4
X −
2
A X =
0
,
5
& '
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Funções de segundo grau
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções de
segundo grau.
Características da função de segundo grau
A função de segundo grau apresenta uma relação entre duas variáveis, Y e X, que podem ser
representadas no plano cartesiano, sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo horizontal.
Estuda-se, com esse tipo de equação, como fica a variação da variável Y quando a variável X varia de
forma quadrática, ou seja, quando X tem expoente 2. Essa função tem como principal finalidade
escrever uma fórmula matemática na qual consigamos atribuir valores à variável X e obtermos o valor
de Y. Sua equação é:
Onde:
São as variáveis.
Para que essa função exista, .
Equações algébricas em situações contextualizadas com funções
de segundo grau
Existem diversas aplicações da função de segundo grau em em diferentes áreas, inclusive no nosso dia
a dia. O importante é saber observar, em cada situação, se há a possibilidade de escrever uma fórmula
matemática que permita encontrar um valor desejado, atribuindo valores para uma dada variável e
realizando operações matemáticas descritas nesse tipo de função.
As aplicações mais conhecidas da função de segundo grau estão na área da física, com a função
horária de movimento retilíneo uniformemente variado, mas existem outras aplicações nas áreas de
negócios e ciências, desde de que se consiga descrever da seguinte forma:
Considere um exemplo hipotético: um médico pesquisa a absorção em miligramas (Y) de dado
medicamento em função do tempo (X). A equação que descreve essa análise é dada por:
Vamos analisar o que ocorre na quantidade de medicação absorvida (Y) com o passar do tempo.
Podemos observar que essa função não tem o mesmo comportamento da função de primeiro
grau, pois ela apresenta um valor inicial que diminuiu e depois cresceu novamente.
Ainda no exemplo da análise de absorção de um medicamento, considere que a equação que descreve
esse processo é:
Essa também é uma função de segundo grau, mas com um sinal negativo no termo .
Vamos analisar o comportamento apresentado acerca da quantidade de medicação absorvida (Y) com
o passar do tempo.
Podemos observar que há um rápido crescimento da absorção da medicação até 1 hora após a
ingestão; após 2 horas, a quantidade absorvida começa a diminuir.
O comportamento apresentado é diverso nas duas situações hipotéticas, e isso ocorre principalmente
em razão do sinal negativo na frente do termo X², que diferencia as duas funções de segundo grau.
Veremos esse aspecto em mais detalhes na sequência.
Equações de segundo grau
A seguir, o especialista Sandro Davison resolverá equações de segundo grau.
Lógica da construção do gráfico relacionado à função de segundo
grau
Também chamada de função quadrática, a função de segundo grau pode ser descrita como visto
anteriormente:
Onde:
São as variáveis.
Para que essa função exista, .
Essa função é representada graficamente por uma parábola em um plano cartesiano bidimensional.
Para a construção do gráfico, precisamos saber:
Primeiro
Ponto em que a parábola
tocará o eixo Y.
Segundo
Ponto ou pontos em que a
parábola tocará o eixo X.
Terceiro
Vértice da parábola, isto é, o
ponto em que ela muda de
direção.
A parábola tocará o eixo Y no ponto em que X=0. Substituindo na equação, teremos:
Portanto, o ponto em que a parábola toca o eixo Y é sempre o par ordenado (0, c).
A parábola pode tocar o eixo X mais de uma vez, diferentemente da reta da função de primeiro grau.
Quando há esse encontro entre parábola e eixo X, chamamos o(s) ponto(s) de raízes da parábola. Para
obter a raiz, consideramos Y=0 e:
Por fim, para a construção do gráfico da parábola, precisaremos do vértice, que é dado por um ponto
com coordenadas (X, Y) que são:
Vamos representar graficamente a função de segundo grau dada pela equação:
Observando a equação geral da função de segundo grau: podemos identificar os
coeficientes a, b e c.
Elaborado por Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Encontrar o ponto onde a parábola toca eixo Y.
Como vimos, esse ponto (X=0) é dado pelo par ordenado (0,c), logo, a parábola toca o eixo Y em (0,-1).
Os pontos encontrados que permitirão desenhar a parábola no plano cartesiano são:
• Ponto em que a parábola tocará o eixo Y: (0,-1).
• Pontos em que a parábola tocará eixo X (raízes da parábola): (1,0) e (-0,5,0).
• Vértice da parábola: (0,25 ,-1,125).
Gráfico: Parábola dada pela equação .
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Gráfico da função do 2º grau
De forma explicativa, o especialista Sandro Davison resolverá passo a passo a construção do gráfico.
Interpretação do gráfico da função de segundo grau — parábola
Como já mencionado, a função de segundo grau, também conhecida como função quadrática, é
descrita pela equação geral:
Você já entendeu como é construído o gráfico da parábola, característico das funções de segundo grau,
então, vamos analisá-lo a partir de alguns pontos notáveis da parábola.
As parábolas possuem algumas características particulares que podem ser observadas mesmo antes
de sua representação gráfica final, como as concavidades e a quantidade de vezes que a parábola pode
tocar o eixo X.
A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. Quando a equação de segundo
grau tem o coeficiente a positivo, , teremos uma parábola com concavidade voltada para cima
(U). Quando o coeficiente é negativo, , teremos uma parábola com concavidade voltada para
baixo ( ).
Gráfico: Parábola de equação com e concavidade para cima.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Gráfico: Parábola de equação com e concavidade para baixo.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Outro ponto notável importante a ser analisado na equação da parábola é o número de encontros com
o eixo X que ela fará. Deve-se observar, antes de representar graficamente, quantas vezes a parábola
tocará o eixo X, ou seja, quantas raízes ela possui. As possibilidades são:
Coeficientes
a 2
b -1
c -1
B X =
2
C X = −
0
,
5
D X = −
2
E X =
4
Responder
Questão 2
Qual o ponto onde a reta dada pela equação a seguir toca o eixo Y?
Y =
2
X −
2
A (0,0)
B (-2,0)
C (2,0)
D (0,-2)
E (0,2)
Responder
00000
2
Y
= a
X
2
+ b
X
+ c
X e Y a, b e c
a ≠ 0
Y = aX
2
+ bX + c
Comentário
A solução dessaequação, quando representada em um gráfico no plano cartesiano, apresenta-se
como uma parábola. Assim, é muito usada para analisar crescimentos e decrescimentos de uma
variável (X) em função de outra variável (Y).
1
Y = X
2
+
2
X +
1
0,5 hora após a ingestão 2
1 hora após a ingestão 2
2 horas após a ingestão 2
Y = −X
2
+
2
X +
1
x
2
0,5 hora após a ingestão 2
1 hora após a ingestão 2
2 horas após a ingestão 2
$
Y =
a
X
2
+ bX +
c
X e Y a, b e c
a ≠ 0
Y
= a(0)
2
+ b(0) + c
Y = c
1 Substituímos na equação geral da parábola: 0 = aX2 + bX + c
1 Ou melhor escrevendo: aX2 + bX + c = 0
1 Essa equação é solucionada pela fórmula de Bhaskara, dada por: X
1,2
=
−
b±
√
Δ
2
a
1 Sendo: Δ = b2 −
4
ac
1 significa que é possível que a parábola tenha duas raízes, devido ao sinal fórmula de Bhaskara.X
1,2
±da
X do vértice 2
Y do vértice 2
Vértice 2
Y = 2X
2
− X − 1
Y = aX
2
+ bX + c
Primeiro passo Segundo passo Terceiro passo
Y = 2X
2
− X − 1
$
Y = aX
2
+ bX + c
a > 0
a
–
–
a < 0
∩
a > 0 a < 0
Parábola com duas raízes 2
Parábola com uma raiz 2
Parábola sem raiz 2
Análise do gráfico da função de segundo grau
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison ensinará a analisar o gráfico da função de segundo grau.
Demonstração
Para exemplificar, veremos a construção do gráfico de uma parábola que não toca o eixo X, isto é, que
não tem nenhuma raiz. Entretanto, a parábola existe e pode ser representada graficamente.
Considere a seguinte função de segundo grau:
Elaborado por Thaiane Andrade.
Em seguida, acompanhando o passo a passo é possível:
Encontrar o ponto em que a parábola toca o eixo Y.
Essa etapa é simples, pois sabemos que esse ponto é definido por (0,c), logo, é (0,2).
Mão na massa
Teoria na prática
Voltando à análise inicial desse módulo, apresentamos uma situação hipotética, na qual era
pesquisada a quantidade de incorporação de um medicamento ao longo do tempo, dada pela equação:
Com os conhecimentos acumulados até aqui, podemos traçar o gráfico e analisá-lo.
Os coeficientes são:
Coeficientes
1
-2
1
Elaborado por Thaiane Andrade.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , só temos uma raiz . Portanto, a parábola toca o eixo X no ponto .
Sabemos que a parábola sempre toca o eixo Y no ponto (0, c), logo, temos o ponto (0, 1).
O vértice da parábola será calculado com base na fórmula já apresentada:
Podemos verificar que o vértice coincide com a raiz.
Com esses pontos, o gráfico já pode ser formado:
Gráfico: Parábola , com concavidade para cima e tocando o eixo X em um único
ponto.
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
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Funções exponenciais
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções
exponenciais.
Características da função exponencial
A função exponencial representa uma relação entre duas variáveis Y e X, que podem ser representadas
no plano cartesiano, sendo Y representado no eixo vertical e X no eixo horizontal. Esse tipo de equação
é utilizado para estudar a variação de Y quando X varia de forma exponencial, ou seja, quando X é o
expoente. A principal finalidade dessa equação é escrever uma fórmula matemática na qual
consigamos atribuir valores à variável X e obtermos o valor de Y. Sua equação é:
Onde:
É chamado de base.
Para que essa função exista, e .
A função exponencial tem uma característica diferente das funções de primeiro e de segundo grau: a
variável X está no expoente de uma base. Sendo assim, para que a função exista no conjunto dos
números reais, a base a deve seguir duas condições: e . Vamos analisá-las:
Coeficientes
a 1
b -2
c 1
Parábola sem raiz 2
$
Y = X
2
− 2X + 2
Primeiro passo Segundo passo Terceiro passo Quarto passo
(_black
Questão 1Questão 1
Marque a afirmativa correta relacionada à concavidade da parábola .Y =
2
X
2
−
2
X +
1
A Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = −2
B Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = 2
C Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = 1
D Representa uma parábola com concavidade para cima, pois .a = −1
E Representa uma parábola sem concavidade, pois .a = 2
Responder
Questão 2Questão 2
Marque a afirmativa correta relacionada à concavidade da parábola .Y = −
2
X
2
+
2
X −
1
A Essa parábola tem concavidade para baixo, pois .a = −
2
B Essa parábola tem concavidade para cima, pois .a =
2
C Essa parábola tem concavidade para cima, pois .a =
1
D Essa parábola tem concavidade para baixo, pois .a = −
1
E Essa parábola não tem concavidade, pois .a =
2
Responder
Questão 3Questão 3
Analisando a equação da parábola a seguir, diga em que ponto a figura irá tocar o eixo Y: Y =
2
X
2
+ X −
1
A A parábola toca o eixo Y no ponto (-1,0).
B A parábola toca o eixo Y no ponto (0,2).
C A parábola toca o eixo Y no ponto (0,1).
D A parábola não toca o eixo Y.
E A parábola toca o eixo Y no ponto (0,-1).
Responder
Questão 4Questão 4
Quando solucionamos a equação de uma parábola e encontramos um valor de , o que isso
representa?
Y = aX
2
+ bX + c
Δ
<
0
A Representa uma parábola que não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B Representa uma parábola que não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C Representa uma parábola que tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
D Representa uma parábola que não tem raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E Representa uma parábola que não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
Responder
Questão 5Questão 5
Dada a equação de segundo grau , qual o valor de e o que ele representa?Y = X2 −
4
X +
3 Δ
A , o que representa que a parábola toca o eixo X em dois pontos.Δ = 4
B , o que representa que a parábola toca o eixo X em dois pontos.Δ = −4
C , o que representa que a parábola não toca o eixo X.Δ = −4
D , o que representa que a parábola toca o eixo X em um ponto.Δ = 0
E , o que representa que a parábola toca o eixo X em um ponto.Δ = 0
Responder
Questão 6Questão 6
Quando solucionamos a equação de uma parábola , encontramos um valor de , o que isso
significa?
Y = aX
2
+ bX + c
Δ
=
0
A Significa que a parábola não tem raiz, logo, não existe a parábola.
B Significa que a parábola não tem raiz, logo, toca o eixo X duas vezes.
C Significa que a parábola tem duas raízes, logo, toca o eixo X duas vezes.
D Significa que a parábola tem uma raiz, logo, toca o eixo X uma vez.
E Significa que a parábola não tem raiz, logo, não toca o eixo X.
Responder
(_black
Y = X
2
−
2
X +
1
a
b
c
X
1
,
2
=
−b
±
√
Δ
2a
Δ = b
2
− 4ac
Δ = (−2)
2
−
4
(1)(1) =
4
−
4
= 0
X
1,2
=
−(−
2
)
±
√
0
2 ⋅ 1
=
2 ± 0
2
=
2
2
=
1
Δ
=
0
X
1
= X
2
=
1
(
1
,
0
)
V =
(
−b
2a
, −
Δ
4a
)
(
−
(
−
2)
2.1
,
−
0
4.1
)
=
(
2
2
, 0)
=
(1, 0)
Y = X
2
− 2X + 1
Saiba mais
Analisando esse gráfico, o eixo Y representa a absorção em mg do medicamento, já o eixo X, o tempo
em horas de absorção. É possível observar que há uma grande absorção assim que a medicação é
administrada, visível pelo ponto em que a parábola toca o eixo Y. Vemos também que a absorção é
nula após 1 hora da administração do medicamento, indicada pelo ponto onde a parábola toca o eixo
X. A sequência da parábola demonstra que a absorção vai aumentando com o passar do tempo.
3
/
Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para atingir
seus objetivos.
Questão 1
Considere a seguinte função de segundo grau:
Marque a opção que apresenta o ponto em que a parábola toca o eixo Y.
Y =
3
X
2
−
2
X +
1
A (0,1).
B (1,0).
C (0,3).
D (0,-2).
E (-2,0).
Responder
Questão 2
Marque a opção correta com relação à parábola da seguinte equação:
Y
= −2
X
2
+ 3
X
− 1
A É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −1
B É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = 3
C É uma parábola com a concavidade para cima, pois .a = −1
D É uma parábola com a concavidade para baixo, pois .a = −2
E É uma parábola com a concavidade parabaixo, pois .a = −3
Responder
00000
3
Y = a
X
a x
a > 0 a ≠ 1
Exemplo
Veja alguns exemplos:
"
Y = 3
x
Y = (0,
4
)
X
Y = (
√
5
)
X
a > 0 a ≠ 1
a
=
0 2
a
=
1 2
a
<
0 2
Gráficos de funções exponenciais
Os gráficos das funções exponenciais nunca tocam o eixo X, pois esse tipo de função não possui raiz.
Desse modo, a construção do gráfico se baseia em atribuir valores para a variável X e calcular o valor
correspondente da variável Y.
As funções exponenciais são categorizadas segundo o valor de sua base, lembrando que há duas
condições para tais valores — ser positiva e diferente de 1.
Função exponencial crescente
Sempre que o valor de , a função exponencial é definida como crescente. Para exemplificar,
representaremos graficamente a seguinte função:
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
Elaborado por Thaiane Andrade.
Podemos perceber que a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0, 1) quando temos X=0,
Y=1, pois qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Gráfico: Função exponencial crescente .
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Ainda, é possível observar por que essa é uma função crescente: conforme o valor de X aumenta, o
valor de Y também cresce. O crescimento inicial é pequeno, mas depois vai aumentando
consideravelmente. Essa é uma característica das funções exponenciais com base .
Função exponencial decrescente
Sempre que o valor de 0 < a>1, a função é classificada como decrescente. Quando a base é maior do
que zero e menor do que 1, seu valor é um número fracionário.
A título de exemplo, representaremos graficamente esta função:
Vamos escolher valores de X e calcular o valor de Y:
Ao calcularmos com os números inteiros subsequentes, obtemos os valores a seguir:
Elaborado por Thaiane Andrade.
Conforme já observado, a função exponencial sempre toca o eixo Y no ponto (0,1).
Gráfico: Função exponencial decrescente .
Extraído de Shutterstock.com, adaptado por Aneuri de Amorim e Thiago Lopes.
Assim, é possível observar por que essa é uma função decrescente: à medida que o valor de X
aumenta, o valor de Y decresce. Os valores iniciais são grandes, depois diminuem bastante. Essa é uma
característica das funções exponenciais com base 01.
Gráfico exponencial
Com a ajuda do especialista Sandro Davison, você aprenderá a construir um gráfico crescente e outro
decrescente.
Problemas com funções exponenciais
As funções exponenciais são muito usadas na área da saúde, pois diversos comportamentos
analisados podem ser explicados e estudados por esse tipo de relação entre variáveis.
Suponhamos que um pesquisador esteja analisando o crescimento de uma bactéria em uma cultura.
Ele observa que a função do crescimento do número de bactérias (Y) com o passar do tempo (X) é
dada pela equação:
Onde X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Conforme já demonstrado, essa função tem a base 2, que é maior do que 1 ($ a >1 $), e sempre que
isso ocorre temos uma função exponencial crescente. A partir da equação, podemos prever o número
de bactérias que estarão presentes na placa em qualquer valor de tempo, lembrando que no tempo
inicial, X=0, teremos como resultado Y=1, isto é, uma bactéria na placa. Veja a resolução da equação:
Analisaremos agora duas situações considerando diferentes períodos de tempo:
1º caso: X=192 horas 2º caso: X=384 horas
Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19 como
funções exponenciais.
Extraído de Shutterstock.com.
Ao final de 2019, uma pandemia da doença covid-
19 surgiu, causada por um novo coronavírus. No
mundo todo, seu comportamento foi semelhante
a um crescimento exponencial, e depois de
implementadas algumas medidas como
distanciamento social, uso de máscaras e
vacinação em massa, iniciou-se uma diminuição
também exponencial. Esse comportamento pode
ser exemplificado no gráfico.
Análise do gráfico exponencial
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison analisa um gráfico exponencial.
Demonstração
Vamos supor que um país esteja fazendo tudo que é possível, com medidas bastante rígidas, para
controlar a covid-19 e diminuir o número de casos graves em seu sistema de hospitalização. A partir da
análise dos dados, delineou-se uma previsão, representada pela função exponencial a seguir:
Como vemos, a base dessa função é do tipo , , logo, é uma função exponencial
decrescente. Sendo X o tempo em meses e Y o número de internações, usaremos essa equação para
calcular a diminuição do número de internações prevista com o passar do tempo em meses.
4
1º caso: X= 1 mês
4
2º caso: X=2 meses
4
3º caso: X= 4 meses
4
4º caso: X= 6 meses
Ao observar esses cálculos, vemos que o tempo está aumentando um pouco, entretanto, o
número de casos diminui muito mais rapidamente, o que é uma característica das funções
exponenciais decrescentes.
Mão na massa
Teoria na prática
Ao observar o gráfico de uma função exponencial, podemos fazer algumas análises com base na forma
dos gráficos, identificando se o que está representado é um comportamento crescente ou decrescente.
A pandemia mundial de covid-19 tem provocado análises de crescimentos e decrescimentos
exponenciais de número de infectados, número de internados ou número de mortos em função do
tempo.
Utilizaremos o gráfico a seguir para uma análise desses comportamentos:
X Y
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
X Y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
aproximadamente aproximadamente
a > 1
Y = 2
X
X = −
3
Y =
2
−3
=
0
,
125
X = −
2
Y =
2
−
2
=
0, 25
Y = 2
X
a > 1
Y = (
1
2
)
x
= (0, 5)
X
X = −3
Y =
(
1
2
)
x
= (
0
,
5
)
X
Y =
(
1
2
)
x
= (
0
,
5
)
X
Y =
(
1
2
)
x
= (
0
,
5
)
X
Y
=
(0, 5)
X
$
Y =
2
X/24
X =
0
Y
= 2
0
/
2
4
= 2
0
= 1
Y = 2
192/24
= 2
8
= 256
5
Y = 2
3
84/24
= 2
16
= 65.536
Atenção
Podemos perceber que o crescimento do número de bactérias é muito maior conforme o tempo passa.
Esse tipo de equação, chamada de função resposta, tem como característica um crescimento muito
acentuado.
6
$
Y = 1.000.000(0, 25)
X
0 < a < 1 a = 0, 25
Y = 1.000.000(0, 25)
1
= 1.000.000(0 Y = 1.000.000(0, 25)
2
= 1.000.000(0
Y = 1.000.000(0, 25)
4
= 1.000.000(0 Y = 1.000.000(0, 25)
6
= 1.000.000(0
(_black
Questão 1Questão 1
Assinale a afirmativa correta sobre função exponencial .Y =
3
x
A É uma função exponencial crescente, pois a base é .a < 0
B É uma função exponencial crescente, pois a base .a = 3 > 1
C É uma função exponencial decrescente, pois a base .a = 3 > 1
D É uma função exponencial crescente, pois a base .a = X
E É uma função exponencial crescente, pois a base é .a > 0
Responder
Questão 2Questão 2
Marque a afirmativa que caracteriza corretamente esta função exponencial: Y = (0, 2)x
A Função exponencial decrescente, pois a base é , logo, .a = 0, 2 0 < a < 1
B Função exponencial crescente, pois a base é , logo, .a = 0, 2 a > 0
C Função exponencial decrescente, pois a base .a = X
D Função exponencial crescente, pois a base .a = X
E Função exponencial constante, pois .0 < a < 1
Responder
Questão 3Questão 3
Assinale a afirmativa correta relacionada ao ponto da função exponencial que toca o eixo X.Y =
4
x
A O ponto (0, 1) toca o eixo X.
B O ponto (0, 0) toca o eixo X.
C O ponto (4, 0) toca o eixo X.
D O ponto (0, 4) toca o eixo X.
E As funções exponenciais não tocam o eixo X, pois esse tipo de função não tem raiz.
Responder
Questão 4Questão 4
Marque a afirmativa correta quanto ao ponto da função exponencial que toca o eixo Y.Y =
4
x
A O ponto (0, 4) toca o eixo Y.
B O ponto (0, 0) toca o eixo Y.
C O ponto (4, 0) toca o eixo Y.
D O ponto (0, 1) toca o eixo Y.
E As funções exponenciais não tocam o eixo Y, pois esse tipo de função não tem raiz.
Responder
Questão 5Questão 5
Considere a equação do . Qual o valor de Y para X=4?Y =
3
x
A Y=81
BY=12
C Y=4/3
D Y=3/4
E Y=1/12
Responder
Questão 6Questão 6
Considere a equação do . Qual o valor de Y quando X=2 e X=4, respectivamente?Y = (0, 5)x
A Y=0,0625 e Y=0,25.
B Y=1 e Y=2.
C Y=2 e Y=1.
D Y=0,25 e Y=0,0625.
E Y=0,5 e Y=0,25.
Responder
(_black
Utilizaremos o gráfico a seguir para uma análise desses comportamentos:
Gráfico: Crescimento e o decrescimento da covid-19 como funções exponenciais.
Extraído de Shutterstock.com.
Nesse gráfico, o eixo vertical representa o número de pessoas infectadas pelo vírus e o eixo horizontal
indica o tempo em meses. Conhecendo o comportamento das funções exponenciais, podemos
observar que no ano de 2020 há um crescimento exponencial do mês 1 até o mês 12, seguindo o
comportamento de uma função exponencial de base . Então, por efeito de alguma ação, o
número de casos começa a diminuir de forma acentuada, seguindo as características de uma função
exponencial com base , como vimos em alguns exemplos numéricos ao longo desse
estudo.
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Funções logarítmicas
Ao final deste módulo, você reconhecerá as propriedades das funções
logarítmicas.
Logaritmo
Sejam a e b números reais positivos e , chamamos logaritmo de a na base b ao expoente X tal
que:
Então:
Onde:
É chamado de logaritmando.
Função logarítmica
A fim de demonstrar a forma como é calculada a função logarítmica, utilizaremos este exemplo:
Em que se lê “logaritmo de 32 na base 2 é igual a X”.
O que queremos calcular é o valor de X e, para isso, usamos a função exponencial, transformando esse
cálculo de forma a encontrar o valor de X que torne a seguinte equação verdadeira: 
Para solucionar esse tipo de equação, devemos encontrar o valor correspondente de 32 na base 2, que
podemos fatorar, encontrando:
Após a fatoração:
A função logarítmica possui algumas propriedades que auxiliam bastante na interpretação e na
solução de equações baseadas neste tipo de função. Vamos ver essas propriedades a seguir.
Temos ainda:
7
Logaritmo da potência
7
Logaritmo do produto
7
Logaritmo do quociente
Logaritmo
Você sabe como calcular uma função logarítmica? É exatamente isso que aprenderemos no vídeo a
seguir.
Gráficos de funções logarítmicas
Para traçarmos um gráfico de uma função logarítmica, devemos selecionar valores de X e calcular o
valor de Y associado, resolvendo a função logarítmica na base desejada, da seguinte forma:
Vamos atribuir valores para a variável X e, sabendo o valor da base a — base 2 ou base 10, por exemplo
—, obtemos o valor de Y correspondente.
A fim de exemplificar a construção de um gráfico que represente a função logarítmica, usaremos um
exemplo numérico. Então, analisaremos algumas particularidades de seus gráficos.
Considere a seguinte função logarítmica:
A base do logaritmo selecionado é 2. Utilizando uma calculadora científica, vamos calcular o logaritmo
com diversos valores para X, conforme apresentado no quadro a seguir:
Elaborado por Aneuri de Amorim.
Ao representar os pares ordenados (X, Y) no plano cartesiano, desenha-se o seguinte gráfico:
Gráfico da função .
Elaborado por Aneuri de Amorim.
A função logarítmica tem algumas características que podemos ver no gráfico anterior.
Esse tipo de função nunca toca o eixo Y, isto é, não há a possibilidade de um par ordenado (0, Y), pois o
X nunca assumirá o valor de zero. Não é possível, por exemplo, . Em síntese, não existe
logaritmo de zero em nenhuma base.
Podemos perceber outra característica importante no gráfico dessa função: ela toca o eixo X (raiz da
função) no ponto (1, 0). Como vimos anteriormente em uma das propriedades, logaritmo de 1 em
qualquer base é igual a zero. Logo, ao assumirmos X=1, teremos:
Portanto, independentemente da base selecionada, toda função logarítmica tem como raiz (1, 0) e
tocará o eixo X nesse ponto.
X=1 e Y=0 t
Ainda, pode-se destacar que, quando a base é maior do que 1, a função é crescente. Nesse caso, os
valores assumidos por X maiores que 1 têm logaritmos positivos; já os valores de X entre 0 e 1 tem
logaritmos negativos.
Quando a base é menor do que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos e aqueles entre
0 e 1 têm logaritmos positivos. Nos casos em que a base do logaritmo é um valor entre 0 e 1, a função
é decrescente, como representaremos a seguir.
Considere a seguinte função:
Ao atribuir os valores de X e calcular o Y usando uma calculadora científica, obtemos estes resultados:
Elaborado por Aneuri de Amorim.
É possível, então, construir o gráfico.
Gráfico da função .
Elaborado por Aneuri de Amorim.
Como a base dessa função logarítmica vale 0,5, logo, está entre 0 e 1, seu gráfico mostra que é uma
função decrescente.
O gráfico logarítmico
Neste vídeo, o especialista Sandro Davison demonstrará como construir o gráfico da função
logarítmica.
Problemas com funções logarítmicas
As funções logarítmicas e suas propriedades podem ser aplicadas em funções exponenciais para
analisarmos o comportamento ou calcularmos a variável X que se encontra no expoente.
Utilizaremos como exemplo a função exponencial, conhecida anteriormente, que descreve o
X Y
0,125 -3
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
X Y
0,125 3
0,25 2
0,5 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
a > 1
0 < a < 1
/
Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para atingir
seus objetivos.
Questão 1
Considere a seguinte função exponencial: .
Assinale a opção que indica corretamente onde a função toca o eixo Y.
Y =
6
X
A A função toca o eixo Y em (0,1).
B A função toca o eixo Y em (1,0).
C A função toca o eixo Y em (0,3).
D A função toca o eixo Y em (0,20).
E A função toca o eixo Y em (20,0).
Responder
Questão 2
Marque a opção que indica o valor de Y para nesta equação: .X = −2 Y = (0, 5)X
A Y=0,5
B Y=-1
C Y=-0,25
D Y=4
E Y=-2
Responder
00000
4
b ≠ 1
b
x
= a
l
og
b
(a) = X
a b
l
og
2
(32)
= X
2
x
−
32
1 Temos que:
32
=
2
5
1 Logo:
log
2
32
= X
2
X
=
32
2
X
=
2
5
1 Como as bases são iguais (2), a única solução possível é quando os expoentes são iguais:
X =
5
1 Então:
log
2
32
=
5
l
og
a
a
=
1 2
l
og
a
1
=
0 2
l
og
a
a
m
=
m 2
l
og
a
b
m
=
m ⋅
l
og
a
b l
og
a
(b
⋅ c
) = l
og
a
b + l
og
a
c
l
og
a
b
c
= l
og
a
b − l
og
a
c
Atenção!
Quando a base do logaritmo é 10, ela não deve ser indicada: .
6
l
og
10
a
= l
og
a
$
Y = l
og
a
X
Y =
log
2
X
log
2
X
log
2
0, 125 =
log
2
0, 25 =
log
2
0, 5 =
log
2
1 =
log
2
2 =
log
2
4 =
log
2
8 =
Y = log
2
X
Y
= log
2
0
Y = log
a
1 = 0
Y = log
0,5
X
Y = l
og
0
,
5
X
l
og
0
,
5
0
,
125
=
l
og
0
,
5
0
,
25
=
l
og
0
,
5
0
,
5
=
l
og
0
,
5
1
=
l
og
0
,
5
2
=
l
og
0
,
5
4
=
l
og
0
,
5
8
=
Y
=
l
og
0
,
5
X
$
Utilizaremos como exemplo a função exponencial, conhecida anteriormente, que descreve o
crescimento do número de bactérias (Y) com o passar do tempo (X), dada pela equação:
Onde X representa o tempo em horas e Y representa o número de bactérias na placa.
Anteriormente, atribuímos valores de tempo a X para encontrarmos a quantidade de bactérias que
estaria presente na placa analisada. Aplicando a função logarítmica, podemos definir valores para a
quantidade de bactérias e calcular, então, o tempo necessário para chegar a esse número.
Matematicamente, aplicamos uma função logarítmica aos dois lados do sinal de igual.
Dessa forma, é possível calcularmos quanto tempo será necessário para obter uma certa quantidade
de bactérias.
Agora, vamos analisar quanto tempo é necessário para termos as seguintes quantidades de bactérias
(Y):
 bactérias
Problemas com funções logarítmicas
Neste momento, o especialista Sandro Davison nos ajudará a resolver um problema real usando a
função logarítmica.
Demonstração
Nesta demonstração, utilizaremos algumas propriedades da função logarítmica para exercitar os
trabalhos algébricos desse tipo de função.
Sabendo que e , vamos calcular o valor de:
O intuito aqui é usar as propriedades para melhoraro raciocínio lógico, logo, não utilizaremos a
calculadora científica.
Podemos resolver usando apenas os valores fornecidos de e . Veja como:
Mão na massa
Teoria na prática
Anteriormente, exemplificamos o uso da função exponencial em uma análise da diminuição dos casos
graves de covid-19 com o passar do tempo. Foi utilizada a função a seguir:
No exemplo, escolhemos um valor de X que representa o tempo em meses e calculamos o número de
casos graves, expresso pela variável Y.
Com a aplicação da função logarítmica, é possível definirmos o número de casos (Y) e calcularmos
quanto tempo (X) levará para alcançar esse valor. Para isso, devemos aplicar a função logarítmica aos
dois lados do sinal de igual da equação anterior. Utilizaremos o logaritmo de base 2, mas poderia ser
qualquer base.
Aplicamos, então, a propriedade do logaritmo do produto. Observe:
Calculando o logaritmo e aplicando a propriedade do logaritmo do expoente, teremos:
 casos
Considerando o resultado, este seria o nosso ponto de partida: um milhão de casos de covid-19 no momento do
início do estudo.
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Considerações finais
Neste conteúdo, você teve acesso a conhecimentos de matemática e agora está mais preparado e
dotado dos recursos necessários para avançar na sua profissão. Foram apresentados conceitos e
aplicações de diferentes funções matemáticas: função de primeiro grau, de segundo grau, exponencial
e logarítmica.
Essas funções são muito utilizadas no dia a dia, bem como na descrição de situações, estudos e
análises na área da saúde, conforme as características dessas funções e dos dados analisados. Neste
estudo, você observou esse uso em crescimentos lineares e exponenciais de bactérias em uma
amostra, por exemplo. Portanto, todos os conceitos aqui apresentados são de grande utilidade para a
sua formação profissional.
Podcast
Neste podcast, o especialista Sandro Davison falará sobra as funções e sobre como aplicá-las no
dia a dia do profissional de saúde.
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Referências
MAIO, W. de (coord.); BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos da matemática: cálculo e análise. Rio
de Janeiro: LTC, 2007.
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases matemáticas para engenharia. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
REGRA DE TRÊS. Matemática Didática. Consultado na internet em: 18 ago. 2021.
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No portal Educa+ Brasil, você pode ler mais sobre as funções logarítmica e exponencial.
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Y =
2
X/24
1 Nesse exemplo, utilizaremos a base 2:
l
og
2
(Y ) = l
og
2
(
2
X/24
)
1 Há uma propriedade que podemos aplicar:
l
og
a
a
m
= m
1 Então:
l
og
2
(Y) =
X
24
1 Para deixarmos o X como variável, resolvemos:
X =
24
l
og
2
(Y )
1º Caso 2º Caso 3º Caso
Y =
256
X =
24
log
2
(
256
) =
24
(
8
) =
192
$
log
10
2 = 0, 301 log
10
3 = 0,
477
log
10
6
4
log
10
12
log
10
2 log
10
3
l
og
10
64 2
l
og
10
12 2
(_black
Questão 1Questão 1
Assinale a afirmativa correta com relação à função logarítmica a seguir: .Y = l
og
10
X
A Representa uma função crescente, pois a base é .a < 0
B Representa uma função crescente, pois a base .a = 10 > 1
C Representa uma função decrescente, pois a base .a = 10 > 1
D Representa uma função crescente, pois esse tipo de função sempre é crescente.
E Representa uma função decrescente, pois esse tipo de função sempre é decrescente.
Responder
Questão 2Questão 2
Marque a afirmativa correta acerca da função logarítmica a seguir: ;Y = log
0,5
X
A Representa uma função decrescente, pois a base é .0 < a < 1
B Representa uma função crescente, pois a base é .0 < a < 1
C Representa uma função decrescente, pois a base a é positiva.
D Representa uma função decrescente pois a base a é negativa.
E Representa uma função crescente pois esse tipo de função sempre é crescente.
Responder
Questão 3Questão 3
Assinale a afirmativa que apresenta o cálculo correto do seguinte logaritmo: .l
og
2
8
= X
A X=4.
B X=8.
C , logo, X=2.22 = 8
D , logo, X=8.22 = 8
E , logo, X=3.22 = 23
Responder
Questão 4Questão 4
Assinale a afirmativa que indica o ponto em que a função a seguir toca o eixo X.
Y = log
2
X
A A função toca o eixo Y no ponto (2, 0).
B A função toca o eixo X no ponto (0, 0).
C A função toca o eixo X no ponto (0, 1).
D A função toca o eixo X no ponto (1, 0).
E Esse tipo de função não toca o eixo X.
Responder
Questão 5Questão 5
Considere a função:
Marque a opção que indica o ponto em que ela toca o eixo Y.
Y = l
og
2
X
A Essa função não toca o eixo Y.
B Essa função não toca o eixo X.
C Essa função toca o eixo Y em (0,1).
D Essa função toca o eixo Y em (1,0).
E Essa função toca o eixo Y em (0,2).
Responder
Questão 6Questão 6
Marque a alternativa que indica a aplicação adequada de uma propriedade para solucionar a equação a seguir: log
10
2
6
A .log
10
2
6
= 6 − log
10
2
B .log
10
2
6
= 2 log
10
6
C .log
10
2
6
= log
10
2 − log
10
6
D .log
10
2
6
= 6 log
10
2
E .log
10
2
6
= log
10
2 + log
10
6
Responder
(_black
Y =
1
.
000
.
000
(
0
,
25
)
x
l
og
2
(Y ) = l
og
2
(
1
.
000
.
000 ⋅
(
0
,
25
)
X
)
log
2
(
Y
)
=
log
2
(1.000.000)
+
log
2
(0, 25)
X
log
2
(Y) = 20 + X log
2
(0, 25)
log
2
(Y) = 20 − 2X
2X = 20 − log
2
(Y)
X =
20
− log
2
(Y)
2
1º Caso 2º Caso 3º Caso
Y =
1
.
000
.
000
X =
20
−
log
2
(1
.
000
.
000)
2
=
20
−
20
2
=
0
/
Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para atingir
seus objetivos.
Questão 1
Considere esta função logarítmica: .
Qual o valor de Y para X=2?
Y
= log
2
X
A Y=1
B Y=2
C Y=0
D Y=-1
E Y=-2
Responder
Questão 2
Considere as duas funções logarítmicas:
• 1ª função: 
• 2ª função: 
É correto afirmar que
Y = lo
g
2
X
Y = lo
g
0
,
5
X
A a primeira é uma função constante e a segunda é uma função decrescente.
B as duas funções são decrescentes.
C as duas funções são crescentes.
D a primeira é uma função crescente e a segunda é uma função decrescente.
E a primeira é uma função decrescente e a segunda é uma função crescente.
Responder
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9
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