Integrais Impróprias Lista 1

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ
Instituto de Ciências Exatas - ICE
Departamento de Matemática - DEMAT
Professor: Renan Teixeira
Cálculo II - Lista 2 - Integrais Impróprias
1. Calcule as Integrais
a)
∫ +∞
1
1
x3
dx
b)
∫ 2
0
1
t3
dt
c)
∫ 0
−∞
eydy
d)
∫ +∞
−∞
e−ydy
e)
∫ 1
−4
1
3
√
x+ 2
dx
f)
∫ 1
0
[lnx]2 dx
g)
∫ +∞
0
lnx√
x5
dx
h)
∫ 5
0
x
x+ 10
dx
2. Determine p tal que a integral imprópria
∫ ∞
1
1
xp
dx converge.
3. Determine p tal que a integral imprópria
∫ 1
0
1
xp
dx converge.
4. Determine p tal que a integral imprópria
∫ ∞
e
1
(lnx)p
dx converge.
5. Determine p tal que a integral imprópria
∫ 1
0
xp lnx dx converge.
6. Sejam α e s, s > 0, reais dados. Verifique que:
a)
∫ +∞
0
e−stsen (αt) dt =
α
s2 + α2
com α 6= 0
b)
∫ +∞
0
e−st cos(αt) dt =
α
s2 + α2
c)
∫ +∞
0
e−steαt dt =
α
s− α com s > α
d)
∫ +∞
0
e−st dt =
1
s
7. Esboce o gráfico de F (x) =
∫ x
−∞ f(t) dt onde
a) f(t) =
2, se |t| ≤ 10, se |t| > 1 b) f(t) =

1
t
, se |t| ≥ 1
0, se |t| < 1
1
c) f(t) =
0, se |t| > 11− t2, se |t| ≤ 1 d) f(t) =
0, se t ≤ 0e−t, se t > 0
8. Calcule as integrais impróprias:
a)
∫ 1
0
1√
1− x2 dx
b)
∫ 2
0
1√
2− x dx
c)
∫ 2
−1
1
4− x2 dx
d)
∫ 1
0
x√
1− x2 dx
e)
∫ 3
−2
1
x4
dx
f)
∫ 1
−1
1√
x
dx
9. Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:
a)
∫ ∞
1
2 + e−x
x
dx
b)
∫ ∞
0
arctan x
2 + ex
dx
c)
∫ pi
0
sen
2x√
x
10. Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso
contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
a) Se f é contínua em [0,∞) e
∫ ∞
1
f(x) dx é convergente, então
∫ ∞
0
f(x) dx é convergente.
b) Se f é uma função contínua, decrescente em [1,∞) e lim
x→∞
f(x) = 0, então
∫ ∞
1
f(x) dx é
convergente.
c) Se
∫ ∞
a
f(x) dx e
∫ ∞
a
g(x) dx são ambas convergentes, então
∫ ∞
a
[f(x) + g(x)] dx é conver-
gente.
d) Se
∫ ∞
a
f(x) dx e
∫ ∞
a
g(x) dx são ambas divergentes, então
∫ ∞
a
[f(x)+g(x)] dx é divergente.
e) Se f(x) ≤ g(x) e
∫ ∞
0
g(x) dx diverge, então
∫ ∞
0
f(x) dx também diverge.
11. Se uma firma de negócios espera um lucro de R$ P (t) reais por ano cada ano t, com t medido a
partir do iníco do funcionamento da empresa, então o valor atual de todo o lucro futuro, quando
juro é composto continuamente com taxa de k% ao ano, é definido pela integral imprópria∫ ∞
0
e−kt/100P (t) dt.
Calcule o valor atual de todo o lucro futuro se P (t) = At + B, onde A e B são constantes
não-negativas.
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