Apostila Engenharia de confiabilidade Anexo3 Weibull

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ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
ANEXO 3 - DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. III.1 
 
 
Expressão semi-empírica desenvolvida por Ernest Hjalmar Wallodi Weibull, físico 
sueco, que em 1939 apresentou o modelo de planejamento estatístico sobre fadiga de 
materiais. Sua utilidade decorre do fato, de permitir: 
 
• Representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil), falhas aleatórias e 
falhas devido a desgaste. 
• Obter parâmetros significativos da configuração das falhas. 
• Representação gráfica simples. 
 
1- Expressões matemáticas simples 
 
1.1- Probabilidade de falhas de um item, num dado período de tempo “t” de ope-
ração. 
F t e
t t
t t
( ) exp= − = − − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
− −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟1 1
0
0η
β β
η 
 
F(t) ⇒ Função Distribuição Cumulativa 
 
1.2- Probabilidade que o equipamento não irá falhar para um dado período de 
tempo “t” de operação (Confiabilidade). 
 
R t F t
t t
( ) ( ) exp= − = − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
0
η
β
 
 
1.3- Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) ou Tempo Médio para Falhar (TMPF). 
 
TMEF ou TMPF = + ⋅ + −t0 11η βΓ( ) 
 
1.4- Desvio Padrão (σ) 
[ ]σ η β β= + ⋅ − +− −Γ Γ( ) ( )1 2 11 2 1 12 
 
2- Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull 
 
• t0 ⇒ Vida Mínima ou Confiabilidade Intrínseca (tempo de operação a qual o 
equipamento passa a apresentar falhas, ou seja, intervalo de tempo que o equi-
pamento não apresenta falhas). 
• η ⇒ Vida Característica ou Parâmetro de Escala (intervalo de tempo entre “t0” 
e “t” no qual ocorrem 63,2% das falhas, restando portanto 36,8% de itens so-
breviventes). 
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ANEXO 3 - DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. III.2 
 
 
• β ⇒ Fator de Forma (indica a forma da curva e a característica das falhas). 
 
β<1 mortalidade infantil (função hiper-exponencial) 
β=1 falhas aleatórias (função exponencial negativa) 
β>1 
falhas por desgaste 
β=2 (função de Rayleigh) 
β=3,42 (função aproximadamente normal) 
 
3- Utilização da Tabela da Função Gama (Γ) para cálculo do TMEF ou TMPF 
A função Gama é dada por: Γ( )x t e dt x t= ⋅ ⇒ ≤ ≤− −∫ 1 para: 1 x 2. Para outros va-
lores utilizar a fórmula: Γ Γ( ) ( )1+ = ⋅x x x (observar que na tabela da Função Gama 
os valores de “x” variam entre “1” e “2” inclusive). 
 
Exemplo: Dado os seguintes parâmetros da Distribuição de Weibull (t0 = 1000 horas ; 
β=0,8 e η = 3500 horas). Determine o TMEF (Tempo Médio Entre Falhas). 
 
TMEF t= + ⋅ + −0 11η βΓ( ) 
 
= + ⋅ +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = = +
= ⋅
= ⋅
=
= + ⋅
=
1000 3500 1
1
0 8
1
1
0 8
2 25 1 1 25
1 25 1 25
1 25 0 9064
11330
1000 3500 11330
4 965 50
Γ
Γ Γ Γ
Γ
,
,
( , ) ( , )
, ( , )
, ,
,
,
. ,
onde:
 
 
 
logo: T
 horas
MEF
 
 
Observação: Para calcularmos a Γ(6,33), utilizando a tabela da Função Gama, deve-
mos utilizar a expressão: Γ Γ( ) ( )1+ = ⋅x x x , pois “6,33” não satisfaz “1 2≤ ≤x ”, lo-
go: 
 
Γ Γ Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
( , ) ( , ) , ( , )
, ( , )
, , ( , )
, , ( , )
, , , ( , )
, , , , ( , )
, , , , ,
6 33 1 5 33 5 33 5 33
5 33 1 4 33
5 33 4 33 4 33
5 33 4 33 1 3 33
5 33 4 33 3 33 1 2 33
5 33 4 33 3 33 2 33 1 1 33
5 33 4 33 3 33 2 33 1 33
= + = ⋅
= ⋅ +
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 
 
 
 ( , )
( , )
( , ) , , , , , , ,
1 33
1 33
6 33 5 33 4 33 3 33 2 33 1 33 0 89338 212 77
Γ
Γ
 da tabela, temos: 0,89338
logo: 
⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 
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ANEXO 3 - DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. III.3 
 
 
4- Observações relativas ao Fator de Forma (β) 
 
A escolha apropriada de “t0”, “β“ e “η“ da Distribuição de Weibull podem ser usadas 
para representar uma larga faixa de distribuições, incluindo tanto distribuições ran-
dômicas (exponencial negativa) quanto distribuições aproximadamente normal. 
Embora a experiência tenha mostrado que a Distribuição de Weibull possa ser usada 
para uma grande maioria de modelos de falha, é essencial notar que é uma função 
semi-empírica, e pode não ser capaz de representar algumas distribuições particulares 
encontradas na prática. 
 
Com relação ao Fator de Forma (β), temos: 
 
• Se “β“ = 1 (taxa de falhas constante), pode ser uma indicação que modos de falhas 
múltiplos estão presentes ou que os dados coletados dos tempos para falhar são 
suspeitos. Este é freqüentemente o caso dos sistemas os quais diferentes compo-
nentes têm diferentes idades, e o tempo individual de operação dos componentes 
não estão disponíveis. Uma taxa de falhas constante pode também indicar que as 
falhas são provocadas por agentes externos, tais como: uso inadequado dos equi-
pamentos ou técnicas inadequadas de manutenção. 
 
• O modo de falhas por desgaste é caracterizado por “β“>1, mas pode ocorrer situa-
ções as quais as falhas por desgaste ocorram depois de um tempo finito livre de 
falhas, e um valor de “β“<1 é obtido. Isto pode ocorrer quando uma amostragem 
contém uma proporção de itens imperfeitos, acarretando em falhas antes de um 
tempo finito livre de falhas. Os parâmetros da Distribuição de Weibull dos modos 
de falhas por desgaste podem ser deduzidos se forem eliminados os itens imperfei-
tos e analisados os seus dados separadamente.