Apostila fisica 3 L4 Potencial

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Potencial Elétrico
Física 3
Sylvio Quezado
Tópicos Abordados Nesta Aula
Trabalho
Diferença de Energia Potencial e Definição de Potencial Elétrico
Potencial de uma Carga Pontual
Potencial de uma Distribuição Discreta de Cargas
Potencial de uma Distribuição Contínua de Cargas
Trabalho
Força Colombiana é conservativa e, assim,
W é independente do caminho
f
if
i
W F ds= ⋅ =∫ r r
0 .
r
R
q E ds =∫ r r 0 2
0
.
4
r
R
qq r ds
rπε∫ r)
Energia Potencial e Potencial
ds dr=r
( ) ( )V r V R− = 2
0
.
4
r
R
q r ds
rπε− =∫ r)
2 2
0 04 4
r r
R R
q ds qdr
r rπε πε= − = −∫ ∫
r
RrU W∆ = −
0
J
C
UV
q
∆  ∆ =   
.
f
i
V E ds∆ = −∫ r r
2 2
0 0 0
1( ) ( )
4 4 4
r rqdr q dr qV r V
r r rπε πε πε∞ ∞
 − ∞ = − = − =  ∫ ∫
r
qrV
04
)( πε= , onde arbitramos que o potencial é nulo no infinito
CJV =Potencial
Energia
Campo Elétrico 
mNJ ⋅=
mV
mN
J
J
CV
C
NCN =



=
.
.
( ) ( )( ) JCJCVeeV 1919 106.11106.111 −− ×=×==Elétron-Volt
Sistema de Cargas Pontuais
A energia potencial é igual ao trabalho realizado
por uma força externa para formar a distribuição de 
cargas a partir de uma separação infinita entre elas 
1
N
i
i
U U
=
= ∑ 1
1 1 04
N i
i j
i j ij
q q
rπε
−
= =
= ∑∑
1 1 0
1
2 4
N N
j
i
i j ij
q
q
rπε= == ∑ ∑ 1 0( ) 4
N
j
i
j ij
q
V r
rπε== ∑
r
ir
r
é o potencial em ( )iV r
r
Onde
devido a outras cargas q1, q2, ... qN... excluindo-se qi
Energia Potencial Elétrica de um 
Sistema de Cargas
q1 q2 U= +U12 +U13+U23q3
r
qV 1
0
1 4
1
πε=1212 VqU =
23
32
013
31
012
21
0 4
1
4
1
4
1
r
qq
r
qq
r
qqU πεπεπε ++=
A energia potencial elétrica de um sistema de 
cargas fixas é igual ao trabalho necessário para 
junta-las uma a uma.
2
0
cos
4
1
r
pV θπε=
0
1 1
4
qV
r rπε + −
 = −  
04
r rqV
r rπε
− +
+ −
 −=   
0
cos
4
q dV
r r
θ
πε + −
 ≅   
2r r r+ − ≅
Exemplo – Dipolo Elétrico
r
zkr == θcos.))








+
−
−
=+= −+
kdrkdr
qVVV )r)r
2
1
2
1
4 0πε










++
−
+−
=
2
2
2
2
0
4
cos1
1
4
cos1
1
4
)(
r
d
r
d
r
d
r
dr
qrV
θθπε
r
Exemplo – Dipolo Elétrico










++
−
+−
=
2
2
2
2
0
4
cos1
1
4
cos1
1
4
)(
r
d
r
d
r
d
r
dr
qrV
θθπε
r
...
2
11
1
1 +−=+ xxPara r >> d, e sabendo que (para x<<1)
obtemos:
3
04
.)(
r
rprV πε
rrr =
Fica como exercício fazer esta demonstração!!!!
Potencial Devido a uma Distribuição
Contínua de Cargas
Considere um 
elemento infinitesimal 
de carga, dq.
∫= rdqV 04
1
πε
r
dqdV
04
1
πε=
Integre em toda a 
distribuição de cargas
Exemplo – Linha de Cargas
Densidade λ , comprimento L
dxdq λ=
0
1
4
dqdV
rπε= =
∫= dVV
( )



 ++=
d
dLLV
2122
0
ln
4πε
λ
( )1 22 20
1
4
dx
x d
λ
πε +
Exercício - semicírculo
θπθπλ d
QRd
R
Qdxdq
2
3
32
−=


 −==
θππεπε dR
Q
R
dqdV
2
3
4
1
4
1
00
−==
∫∫ −==
π
θππε
3
2
0 0 2
3
4
1 d
R
QdVV
R
Q
R
QV
00 4
1
3
2
2
3
4
1
πεπππε −=−=
φλλ Rddsdq ==
∫=
anel r
dqzV
04
1),0,0( πε
Anel de Cargas
22
000 4
2
44
1),0,0(
zR
R
r
Qdq
r
zV
anel +
=== ∫ πε
λπ
πεπε
2 2 2 2
0 0
2 ' '
4 ' 4 '
dq R dRdV
R z R z
σ π
πε πε= =+ +
2 ' 'dq R dRσ π=
2 2
0
( ) , para um anel de carga Q e 
4
QV z r z R
rπε= = +
Disco com densidade σ
( )zzRzV −+= 22
02
),0,0( ε
σ
Superfícies Equipotenciais
Família de superfícies, cada uma tendo o mesmo 
potencial elétrico
As linhas de campo são ⊥ às equipotenciais e não se cruzam
Equipotenciais
Equipotencial
Linhas de campo
( , , ) ( ).( )x y zdV x y z E i E j E k dxi dyj dzk= + + + +
) )) ) ) )
.dV E ds= − r r
sEds
dV −=
cos sEds θ=
cos S SE Eθ =
Duas superfícies equipotenciais
E a partir de V
x y zE dx E dy E dz= + +
y
VEy ∂
∂−=
x
VEx ∂
∂−=
z
VEz ∂
∂−=
( , , )V i j k V x y z
x y z
 ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ 
r )) )
V V Vi j k
x y z
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
)) )
E V= −∇rr
Campo de um dipolo, a partir do potencial
2
3222
0
3
0 )(44
.),,(
zyx
pz
r
rpzyxV
++
==
πεπε
rr
x
r
pz
x
VEx 5
04
3
πε=∂
∂−=
y
r
pz
y
VEy 5
04
3
πε=∂
∂−= z
r
pzp
z
VEz 5
00 4
3
4 πεπε +
−=∂
∂−=
3
0
5
0 44
).(3)(
r
p
r
rrprE πεπε
rrrrrv +=
Casca Esférica Carregada
2
0
1 ( )
4
r
r
QV E dr V
rπε∞
= − = + ∞∫rr
QE )
r
2
04
1
πε=
Problema 14
( ) ( )( )
3 3
12
0 int 3 3
2 1
4
r r
E r q Q
r r
ε π −= = −
∫ ′−=− r
r
sr rEdVV
2
( )313234 rr
Q
−= πρ
( )( )3132
3
1
3
2
04 rr
rr
r
QE −
−= πε
( )
( )2
3 3
1
2 3 3
0 2 0 2 1
1
4 4 '
r
r
r
r rQ QV dr
r r r rπε πε
 ′ − ′− = −  −  ∫


 −−=
r
rrrVr
3
1
2
2
2
0 22
3
3ε
ρ
Q
r1 r2
r1 < r < r2
r < r1 0=E
( )2122
01
3
1
2
12
2
0 222
3
3
rr
r
rrrVr −=

 −−= ε
ρ
ε
ρ
r
QV
04
1
πε=
Esfera Carregada
r
QRrV
04
1)( πε=> 30
1( )
4
QE r R r
rπε> =
r r
3
0
1( )
4
QE r R r
Rπε< =
r r
Para determinar o potencial fazemos uma integral ao longo do caminho até o 
ponto r dentro da distribuição de cargas. Como o campo é diferente dentro e 
fora da distribuição de cargas, dividimos a integral em duas partes:
r R r
r f d
R
V E dr E dr E dr
∞ ∞
= − = − −∫ ∫ ∫
3
0
1
4
r
s
R
QV rdr
Rπε= − =∫
2
3
0
1
4 2s
Q rV
Rπε−
04
R
s f
qV E dr
Rπε∞
= − =∫Vs = potencial na superfície
r
s d
R
V V E dr− = −∫ 3
04
r
s
R
qV V rdr
Rπε= − ∫
2
3
0 08 8
s
qr qV V
R Rπε πε= − +
2
3
0
1 1
4 2 2
q r
R R Rπε
 = − +  
2 2
3
0
3
8
q R r
Rπε  = − 
0
3
8c
qV
Rπε= −No centro da esfera r = 0
2
3
08
c
qrV V
Rπε− = −
Considere dois condutores esféricos cada um 
com uma carga líquida Q. As esferas têm raios
a e b, onde b > a. Qual das esferas tem o 
maior potencial?
Linha de Carga Infinita
r
Er
04
2
πε
λ=
0 0
2 2 ln( )
4 4r
V E dr dr r C
r
λ λ
πε πε= − = − = − +∫ ∫
)ln(
4
2
0 r
aV πε
λ=
Potencial de um Condutor Carregado e 
Isolado
∫ ⋅−=−
f
i
if sdEVV
vvE = 0
i
f
if VV =
As cargas em um condutor carregado e isolado se 
distribuem de modo que todos os seus pontos 
fiquem em um mesmo potencial. 
	Potencial de um Condutor Carregado e Isolado