Método das forças

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Prof.: Danielle Malvaris 1
AULA 1
Itens que serão abordados na disciplina:
 Determinação do grau de hiperestaticidade;
 Métodos e Processos:
• Método das Forças
• Método dos Deslocamentos
• Processo de Cross
 Linhas de Influência
 Modelagem e Análise de Problemas com Software Educacional
2
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
 ANDRE, Joao Cyro, BUCALEM, Miguel Luiz, MAZZILI, Carlos Eduardo Nigro. Lições em Mecânica 
das Estruturas. 1. ed., OFICINA DE TEXTOS, 2011.
 MARTHA, Luiz Fernando. Conceitos e Métodos Básicos de Análise de Estruturas. Ed. Elsevier. Rio 
de Janeiro, 2010.
 SORIANO, Humberto Lima; LIMA, Silvio de Souza. Análise de estruturas: método das forças e 
método dos deslocamentos. 2. ed. atual. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
 CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1985.
 FILGUEIRAS, M. V. M. Problemas de teoria das estruturas. Rio de janeiro: UGF, 1992. 
 SOUZA, J. C. A. O. Introdução a análise matricial de estruturas. São Carlos: Escola de Engenharia 
de São Carlos, 1994. 
 SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. Porto Alegre: Globo, 1994, v.1, v.2 e v.3. 
 SOUZA, J.C.A.O., ANTUNES, H.M.C.C. Processos gerais da hiperestática clássica. São Carlos, EESC-
USP, 1990.
AULA 1
3
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Estruturas Isostáticas são aquelas que apresentam o número exato de
reações necessárias para impedir o movimento desta estrutura. Ou seja, a estrutura
ficará estática e conseguiremos determinar exatamente o valor destas reações
somente utilizando as equações de equilíbrio (forças e momentos).
Caso você inclua mais reações (redundâncias) essa viga continuará estável,
mas se tornará hiperestática. Para resolver precisaremos de mais equações do que as
de equilíbrio.
4
AULA 1
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Existem basicamente 3 outros métodos para resolver estruturas hiperestáticas:
 Método das Forças
 Método dos Deslocamentos
 Processo de Cross
Existem ainda métodos computacionais mas ainda derivados das técnicas acima
descritas, tal com o utilizado em Análise Matricial das Estruturas.
5
AULA 1
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
O Método das Forças é um dos métodos básicos para análise dos problemas
hiperestáticos que utiliza incógnitas principais forças e momentos e é também
chamado Método da Compatibilidade visto que as equações finais são equações de
compatibilidade.
O Método dos Deslocamentos é um segundo método de análise para
estruturas que utiliza como incógnitas principais do problema deslocamentos e
rotações, podendo ser utilizado para resolver problemas isostáticos e hiperestáticos. O
método também é chamado de Método do Equilíbrio, pois as equações finais, são
equações de equilíbrio.
6
AULA 1
• MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL
Considerações:
 Condições de equilíbrio;
 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
 Condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais.
7
AULA 1
• CLASSIFICAÇÃO DA ESTRUTURA
 ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS:
 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS:
 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS:
Nº DE INCÓGNITAS < Nº DE EQUAÇÕES 
Nº DE INCÓGNITAS = Nº DE EQUAÇÕES 
Nº DE INCÓGNITAS > Nº DE EQUAÇÕES 
AULA 1
É aquela cujos vínculos não são suficientes
para manter o equilíbrio estático, assim
sendo, são inadequadas às construções.
É aquela que possui o nº de vínculos
estritamente necessário para manter o
equilíbrio estático.
É aquela que possui mais vínculos que o
necessário para manter o equilíbrio estático.
8
GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA
g = gi +ge
1. Estruturas externamente hiperestáticas
ge = r – e - nr
r – número de ações
e – número de equações de estática
nr – número de equações provenientes de rótula
nr = b - 1
b – número de barras ligadas à rótula
9
AULA 1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II__________________________________________________________________Prof.: Danielle Malvaris
GRAU DE HIPERESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA
2. Estruturas internamente hiperestáticas
gi = número de esforços internos necessários ao traçado do diagrama, conhecidas as
reações
EXEMPLOS:
10
AULA 1
O MÉTODO DAS FORÇAS tem como objetivo determinar um conjunto de
reações e/ou esforços solicitantes superabundantes ao equilíbrio estático de uma
estrutura hiperestática, permitindo que outras reações e/ou esforços sejam calculados
com as equações da estática.
Em resumo, devemos somar uma série de soluções básicas que satisfazem as
condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da
estrutura original, para que, na superposição, restabeleçam as condições de
compatibilidade.
11
AULA 1
1. MÉTODO DAS FORÇAS
ROTEIRO PARA O MÉTODO DAS FORÇAS
1. Escolher um sistema estrutural isostático, que vamos chamar de sistema principal do
método das forças, por retirada de um conjunto de redundantes estáticas da
estrutura hiperestática. Essas redundantes serão as incógnitas primárias que vamos
determinar.
2. Calcular os coeficientes de flexibilidade e de carga.
3. Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade de
deslocamentos para obtenção das redundantes;
4. Obtenção dos esforços finais.
12
AULA 1
SISTEMAS PRINCIPAIS - CONCEITO
13
AULA 1
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Estrutura e sua deformada Reações de apoio
14
AULA 1
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Reações de apoio Sistema Principal: estrutura isostática
15
AULA 1
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Reações de apoio Sistema Principal: estrutura isostática
O número de vínculos que devem ser eliminados para
transformar as estrutura hiperestática original em uma
estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade.
16
AULA 1
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Sistema Principal: estrutura isostática
X1 = MA → reação momento associada ao vínculo de apoio θA = 0; 
X2 = HB → reação horizontal associada ao vínculo de apoio ∆HB =0. 
A solução do problema pelo Método das Forças recai em encontrar os
valores que X1 e X2 devem ter para, juntamente com o carregamento
aplicado, recompor os vínculos de apoio eliminados. Isto é, procuram-se os
valores dos hiperestáticos que fazem com que as condições de
compatibilidade violadas na criação do SP, θA = 0 e ∆
H
B =0, sejam
restabelecidas.
17
AULA 1
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
A determinação de X1 e X2 é feita através da superposição de casos básicos, utilizando o SP como
estrutura para as soluções básicas. O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade mais
um (g + 1).
No exemplo, isso resulta nos casos (0), (1) e (2) que são mostrados a seguir.
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP
O caso básico 0 isola o efeito da solicitação externa (carregamento aplicado) no SP. A rotação δ10 e o
deslocamento horizontal δ20, nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, são chamados de
termos de carga. Um termo de carga é definido formalmente como:
δ i0→termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi
quando atua a solicitação externa isoladamente no SP (com hiperestáticos com valores nulos).
18
AULA 1
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
O sinal negativo da rotação δ10 indica que
a rotação tem o sentido contrário do que é
considerado para o hiperestático X1 no
caso (1) a seguir. Analogamente, o sinal
positivo de δ20 indica que este
deslocamento tem o mesmo sentido que é
considerado para o hiperestático X2 no
caso (2) a seguir.
19
AULA 1
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado
no SP
O hiperestático X1 é colocado em
evidência, já que ele é uma incógnita do
problema. Considera-se um valor unitário para
X1, sendo o efeito de X1 = 1 multiplicado pelo
valor final que X1 deverá ter. A rotação δ11 e o
deslocamento horizontal δ21 provocados por X1
= 1, nas direções dos vínculos eliminados para
a criação do SP, são chamados de coeficientes
de flexibilidade.
Formalmente, um coeficiente de flexibilidade é
definido como:
δij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao
hiperestático Xi devido a um valor unitário do hiperestático Xj atuando isoladamente no SP.
20
AULA 1
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP
De maneira análoga ao caso (1), o
hiperestático X2 é colocado em evidência,
considerando-se um valor unitário
multiplicado pelo seu valor final. A rotação δ12
e o deslocamento horizontal δ22 provocados
por X2 = 1, nas direções dos vínculos
eliminados para a criação do SP, também são
coeficientes de flexibilidade. As unidades
destes coeficientes, por definição, são
unidades de deslocamento ou rotação
divididas pela unidade do hiperestático X2.
21
AULA 1
APLICAÇÃO:
RESTABELECIMENTO DAS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE
22
AULA 1
APLICAÇÃO:
VALORES E SENTIDOS HIPERESTÁTICOS DA ESTRUTURA
23
AULA 1
APLICAÇÃO:
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS
Utiliza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos (ou 
deslocamentos) finais. 
24
AULA 1
APLICAÇÃO:
MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DE TERMOS DE CARGA
O sistema de equações de compatibilidade da solução do Método das Forças do exemplo anterior pode ser 
escrito da seguinte forma:
Visto isso, no caso geral de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g , podemos ter:
25
AULA 1