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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 2 – Turma F – 2o/2017 Lista de Exerc´ıcios no1 1. (a) O que e´ uma sequeˆncia? (b) O que significa dizer que limn→∞ an = 8? (c) O que e´ uma sequeˆncia convergente? Deˆ dois exemplos. (d) O que e´ uma sequeˆncia divergente? Deˆ dois exemplos. 2. Liste os cinco primeiros termos da sequeˆncia: (a) an = 2n n2+1 ; (b) an = (−1)n−1 5n ; (c) an = 3(−1)n n! ; (d) a1 = 1, an+1 = 5an − 3; (e) a1 = 2, an+1 = an 1+an . 3. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. (a) an = 1− (0, 2)n; (h) an = {n2e−n}; (b) an = 3+5n2 n+n2 ; (i) an = cos2 n 2n ; (c) an = e 1/n; (j) an = nsen(1/n); (d) an = tg ( 2npi 1+8n ) ; (k) an = ( 1 + 2 n )n ; (e) an = (−1)n−1n n2+1 ; (l) an = ln(2n 2 + 1)− ln(n2 + 1); (f) an = [ (2n−1)! (2n+1)! ] ; (m) an = n! 2n . (g) an = ( en+e−n e2n−1 ) ; 4. Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente ou na˜o mono´tona. A sequeˆncia e´ limitada? (a) an = 1 2n+3 ; (b) an = n(−1)n; (c) an = n n2+1 . 5. Calcule o limite da sequeˆncia{√ 2, √ 2 √ 2, √ 2 √ 2 √ 2, . . . } . 6. Mostre que a sequeˆncia definida por a1 = 1 an+1 = 3− 1 an e´ crescente e an < 3 para todo n. Deduza que {an} e´ convergente e encontre seu limite. 7. (a) Fibonacci colocou o seguinte problema: suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada meˆs cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com dois meses de idade. Se comec¸armos com um par rece´m-nascido, quantos pares de coelhos teremos no n-e´simo meˆs? Mostre que a resposta e´ fn, onde {fn} e´ a sequeˆncia de Fibonacci definida recursivamente pelas condic¸o˜es f1 = 1 f2 = 1 fn = fn−1 + fn−2 n ≥ 3. (b) Seja an = fn+1/fn e mostre que an−1 = 1 + 1/an−2. Supondo que {an} seja convergente, encontre seu limite. Respostas: 3. (a)Converge para 1, (b)Converge para 5, (c)Converge para 1 (d)Converge para 1 (e)Converge para 0 (f)Converge para 0 (g)Converge para 0 (h)Converge para 0 (i)Converge para 0 (j)Converge para 1 (k)Converge para e2 (l)Converge para ln 2 (m)Diverge 4. (a) decrescente, limitada (b) na˜o e´ mono´tona nem limitada (c) decrescente, limitada 5. 2 6. 3 + √ 5 2 7. (b) 1 + √ 5 2
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