Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Integrac¸a˜o por subtituic¸a˜o Vimos que, para determinar o valor da integral ∫ f(x)dx, o que precisamos e´ encontrar uma primitiva para f . Isto pode ser feito com facilidade em alguns casos. Pore´m, as ideias que desenvolvemos ate´ aqui na˜o nos permitem calular, por exemplo, a integral ∫ 2x sen(x2)dx. A te´cnica que vamos desenvolver para considerar esta e outras integrais esta´ baseada na regra da cadeia. Suponha que f seja uma func¸a˜o com uma primitiva F , e que g seja uma func¸a˜o deriva´vel tal que a composic¸a˜o f(g(x)) esteja bem definida. Neste caso, temos que d dx F (g(x)) = F ′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x). Integrando, obtemos ∫ f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) +K. (1) Voltando ao exemplo do in´ıcio do texto, observe que se denotarmos g(x) = x2, enta˜o g′(x) = 2x. Assim, a integral fica ∫ 2x sen(x2)dx = ∫ sen(g(x))g′(x)dx = − cos(x2) +K, uma vez que F (x) = − cos(x) e´ uma primitiva da func¸a˜o seno. A expressa˜o (1) e´ conhecida como fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis. O seu nome pode ser entendido a partir da seguinte te´cnica mnemoˆnica. Se introduzirmos a varia´vel u = g(x), enta˜o du dx = g′(x). Fazendo um abuso de notac¸a˜o, podemos escrever du = g′(x)dx, de modo que a igualdade em (1) fica ∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du = F (u) +K = F (g(x)) +K. A te´cnica e´ tambe´m chamada de substituic¸a˜o. Exemplo 1. Vamos usar uma mudanc¸a de varia´veis para calcular ∫ x √ 1 + x2dx. 1 Se fizermos u = (1 + x2) temos que du dx = 2x, ou ainda dx = 1 2x du. Deste modo, ∫ x √ 1 + x2dx = ∫ x √ u 1 2x du = 1 2 ∫ √ u du = 1 2 · 2 3 u3/2 +K = 1 3 (1 + x2)3/2 +K. Note que, na u´ltima igualdade, voltamos para a varia´vel x. � O ponto chave do me´todo e´ a escolha da nova varia´vel. Ela pode ser feita de maneira arbitra´ria mas, uma vez feita, o termo du fica determinado. Uma escolha boa e´ aquela que nos permite, na nova integral, eliminar completamente a varia´vel original. Ale´m disso, e´ importante que saibamos como calcular a integral resultante, que envolve a varia´vel u. Por exemplo, a substituic¸a˜o u = x2, du = 2x dx na integral ∫ 2x cos(x4)dx, nos leva a ∫ cos(u2)du, que na˜o sabemos calcular. A melhor maneira de identificar uma substituic¸a˜o boa e´ usar a experieˆncia. Vamos enta˜o trabalhar alguns exemplos. Exemplo 2. Na integral ∫ x2(x3 − 2)7dx, podemos fazer u = (x3 − 2), de modo que du dx = 3x2, ou ainda dx = 1 3x2 du. Assim, ∫ x2(x3 − 2)7dx = ∫ x2u7 1 3x2 du = 1 3 ∫ u7du = 1 24 u8 +K = 1 24 (x3 − 2)8 +K. Note que, neste caso, poder´ıamos ter expandido o temo x2(x3 − 2)7 em poteˆncias de x e integrado cada termo. Na˜o ha´ du´vidas que a mudanc¸a de varia´veis fornece o resultado de maneira mais ra´pida. � Exemplo 3. Para calcular a integral definida ∫ 9 1 e √ x√ x dx, escolhemos u = √ x, de modo que dx = 2 √ x du, e a integral indefinida se escreve como ∫ e √ x √ x dx = ∫ 2eu du = 2eu +K = 2e √ x +K. Logo, ∫ 9 1 e √ x √ x dx = 2e √ x ∣∣∣9 x=1 = 2(e3 − e), em que usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo na penu´ltima igualdade. � 2 Usando o TFC, podemos facilmente verificar que, se g′ for cont´ınua em [a, b] e f for cont´ınua na imagem de g pelo intervalo [a, b], enta˜o ∫ b a f(g(x))g′(x)dx = ∫ g(b) g(a) f(u)du. A igualdade acima mostra que a mudanc¸a de varia´veis pode ser feita diretamente na integral definida, desde que tomemos o cuidado de fazer a respectiva mudanc¸a nos extremos de integrac¸a˜o. No u´ltimo exemplo, temos que se x = 1, enta˜o u = √ 1 = 1, enquanto que quando x = 9, u = 3. Logo, ∫ 9 1 e √ x √ x dx = ∫ 3 1 2eu du = 2eu ∣∣∣3 u=1 = 2(e3 − e). Exemplo 4. Para a integral ∫ pi 0 3 cos2(x)sen(x)dx, fazemos u = cos(x) para obter dx = − 1 sen(x) du. Quando x = 0 e x = 1, temos que u = cos(0) = 1 e u = cos(pi) = −1, respectivamente. Logo, ∫ pi 0 3 cos2(x)sen(x)dx = − ∫ −1 1 3u2du = −u3 ∣∣∣−1 u=1 = [−(−1)3]− [−13] = 2. Naturalmente, o processo anterior de mudar varia´veis na indefinida, resolver a integral na varia´vel u, voltar para a varia´vel x a aplica o TFC daria o mesmo resultado. � Exemplo 5. Vamos mostrar que, se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, enta˜o a integral ∫ a −a f(x2)x dx e´ igual a zero, qualquer que seja a ∈ R. De fato, fazendo a mudanc¸a u = x2, obtemos ∫ a −a f(x2)x dx = 1 2 ∫ a2 a2 f(u) du = 0, uma vez que, quando x = ±a, a varia´vel u vale a2. � 3 Exemplo 6. Em alguns casos a substituic¸a˜o pode ser menos o´bvia. Por exemplo, na integral ∫ x2 √ x− 1dx, podemos fazer u = (x − 1) para obter du = dx. Fazendo enta˜o a mudanc¸a de varia´veis, obtemos ∫ x2 √ x− 1dx = ∫ (u+ 1)2 √ u du. Uma vez que (u+ 1)2 √ u = (u2 + 2u+ 1) √ u, podemos fazer a multiplicac¸a˜o e obter ∫ (u+ 1)2 √ u du = 2 7 u7/2 + 4 5 u5/2 + 2 3 u3/2 +K, e portanto ∫ x2 √ x− 1dx = 2 7 (x− 1)7/2 + 4 5 (x− 1)5/2 + 2 3 (x− 1)3/2 +K. A integral acima tambe´m pode ser resolvida com a substituic¸a˜o u = √ x− 1. Deixamos para o leitor esta parte. � Exemplo 7. Para a integral ∫ 1 1 + ex dx, usamos a mudanc¸a x = − ln(u). Com essa escolha, temos ex = (1/u). Como dx du = −(1/u), conclu´ımos que dx = −(1/u)du, e portanto ∫ 1 1 + (1/u) ( −1 u ) du = ∫ −1 1 + u du = − ln |1 + u|+K = − ln |1 + e−x|+K. Observe que, neste caso, como escrevemos x como func¸a˜o da nova varia´vel u, o ca´lculo que fizemos foi de dx du . � Tarefa Suponha que uma a´rvore foi transplantada e, t anos depois, esta´ crescendo a` raza˜o de 1 + (t+1)−2 metros por ano. Sabendo que apo´s 2 anos a a´rvore atingiu uma altura de 5 metros, determine qual era a altura da a´rvore quando ela foi transplantada. 4
Compartilhar