Lista 1

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 Lista 1 1.◦/2018
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Uma bonita aplicac¸a˜o do produto escalar esta´ no ca´lculo da a´rea A do paralelogramo
gerado pelos vetores P = (a, b) e Q = (c, d). Para esse ca´lculo deve-se multiplicar o com-
primento da base pela altura h do paralelogramo, altura que depende do aˆngulo θ entre os
vetores. Veja a figura.
C E a) A altura h pode ser expressa em termos
de Q e do cos(θ).
C E b) A a´rea A pode ser expressa em termos
de P , Q e do cos(θ)
C E c) A a´rea A pode ser expressa em termos das
coordenadas dos pontos P e Q.
P
Q
‖P‖
‖Q
‖
h
θ
C E d) A a´rea A pode ser expressa em termos de um determinante.
C E e) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices P =(0, 2), Q=(2, 1) e R=(3, 3) e´ maior que 3.
2) O paraboloide P de foco F = (0, 0, 1) e plano diretor z = −1 e´ o gra´fico da func¸a˜o
f : R2 → R dada por f(x, y) = (1/4)(x2 + y2). Uma propriedade importante do paraboloide
e´ que o ponto P0 = (x0, y0, z0) ∈ P e´ equidistante do foco F e do ponto Q0, em que
Q0 = (x0, y0,−1) e´ a projec¸a˜o ortogonal de P0 sobre o plano diretor, conforme ilustra a
figura abaixo. Pode-se mostrar que o plano tangente a P no ponto P0 ∈ P tem equac¸a˜o
z = f(x0, y0) + (x0/2)(x− x0) + (y0/2)(y − y0).
a) Verifique a afirmac¸a˜o de que P0 e´ equidistante de F e Q0.
Resposta:
b) Conclua que os aˆngulos P0Q̂0F e P0F̂Q0 sa˜o iguais.
Resposta:
c) Determine a equac¸a˜o da reta N que e´ ortogonal a P em P0.
Resposta:
d) Justifique a afirmac¸a˜o de que N e´ paralela a` reta pelos pontos F e Q0.
Resposta:
e) Justifique o fato de os aˆngulos a e b indicados na figura serem iguais.
Resposta:
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3) Indique por P0 = (0, 0) a origem do plano Oxy e por P = (x, y) um ponto gene´rico.
Indique ainda por f : R2 → R a func¸a˜o f(x, y) =
√
|xy|, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo.
a) Esboce as curvas de n´ıvel de f nos n´ıveis 0, 1 e 2.
b) Esboce os gra´ficos das func¸o˜es g(x) = f(x, x) e h(x) = f(x,−x).
c) Use a desigualdade (|x| − |y|)2 ≥ 0 para estimar o valor de
f(x, y) em termos da distaˆncia
√
x2 + y2.
d) Enuncie a definic¸a˜o do limite limP→P0 f(P ) = L.
e) Use os itens anteriores para verificar se f e´ cont´ınua em P0.
4) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido no sentido positivo por uma cor-
rente ele´trica estaciona´ria. Em um ponto P = (x, y) do plano Oxy, a corrente gera um campo
magne´tico B(P ) que tem a direc¸a˜o e o sentido ilustrados na figura abaixo. Pode-se mostrar
que, no domı´nio D = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, o campo e´ dado por B(P ) = (fx(P ), fy(P )), em
que f(x, y) = K arctan(x/y) e K > 0 e´ uma constante apropriada.
P
B
a) Esboce as curvas equipotenciais do campo B, isto e´, as
curvas de n´ıvel da func¸a˜o f .
b) Para y fixo, calcule a derivada parcial fx(x, y) =
d
dx
K arctan(x/y). Calcule fy(x, y) de maneira ana´loga.
c) Use as expresso˜es acima para verificar que, como esperado
da simetria da situac¸a˜o, a intensidade de B e´ constante ao
longo de c´ırculos com centro no eixo Oz.
d) Obtenha o vetor unita´rio U(x, y) que determina a direc¸a˜o
e o sentido do campo.
e) Verifique que, como ilustrado na figura, o campo B e´ tangente aos c´ırculos com centro
no eixo Oz.
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