GabaritoGB 22 04 2017 MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO (1)prova

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060465 Matemática para Administração 1/4 
GABARITO DO GRAU B – MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO – 22/04/2017 
 
Questão 1 (1,0 ponto) 
Uma fábrica de cosméticos está colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo 
fixo para iniciar a nova produção é de 500 mil reais e o custo variável para produzir cada unidade é de 61 
reais. Se durante o primeiro ano o preço de venda é de 110 reais por unidade, assinale a alternativa 
incorreta. 
(a) O custo para a produção de 2000 unidades do cosmético é de 622 mil reais. 
(b) A receita obtida na venda de 5000 unidades do cosmético é de 550 mil reais. 
(c) Se forem vendidas menos de 10204 unidades do cosmético a fábrica terá prejuízo. 
(d) O lucro obtido na venda de 16000 unidades do cosmético é de 264 mil reais. 
(e) Para que a fábrica tenha lucro devem ser vendidas mais de 10204 unidades do cosmético. 
 
Solução: A alternativa incorreta é a (D). 
A função custo é dada pelo custo fixo mais custo variável, ou seja, 
 𝐶(𝑥) = 500000 + 61 ⋅ 𝑥 
Ainda, a função receita é dada por 
𝑅(𝑥) = 110 ⋅ 𝑥 
Como o lucro é expresso por 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) → 𝐿(𝑥) = 49 ⋅ 𝑥 − 500000 
a única alternativa incorreta é a d) já que 
𝐿(16000) = 49 ⋅ 16000 − 500000 = 284000 
 
 
Questão 2 (1,0 ponto) 
O custo para se produzir x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 3,5x2 – 118x +3811,5. Nessas 
condições, é possível afirmar em relação ao custo médio por unidade que: 
(a) o custo médio é mínimo se forem produzidas 36 unidades deste produto. 
(b) o custo médio mínimo está acima de 28 reais e não mais do que 38 reais por unidade produzida. 
(c) o custo médio mínimo está acima de 95 reais e não mais do que 105 reais por unidade produzida. 
(d) o custo médio é mínimo se forem produzidas 33 unidades deste produto. 
(e) o custo médio mínimo é de 108,50 reais por unidade produzida. 
 
A alternativa correta é a (D). 
O custo médio é o custo total dividido pela quantidade x, isto é, 
𝐶𝑚𝑒 =
𝐶(𝑥)
𝑥
=
3,5𝑥2 − 118𝑥 + 3811,5
𝑥
= 3,5𝑥 − 118 +
3811,5
𝑥
. 
O custo médio será mínimo quando sua derivada (custo médio marginal) for zero. Porém, antes de derivarmos 
o custo médio, escrevemos a função do custo médio da seguinte forma: 
𝐶𝑚𝑒 = 3,5𝑥 − 118 + 3811,5 ∙ 𝑥
−1. 
Derivando, obtemos: 
(𝐶𝑚𝑒)′ = 3,5 − 0 + 3811,5 ∙ (−1)𝑥
−2 = 3,5 −
3811,5
𝑥2
. 
Igualando a zero, temos: 
(𝐶𝑚𝑒)′ = 3,5 −
3811,5
𝑥2
= 0 → 3,5 =
3811,5
𝑥2
→ 𝑥2 =
3811,5
3,5
→ 𝑥2 = 1089 → 𝑥 = √1089 = 33. 
Devem ser produzidas 33 unidades para se ter um custo médio mínimo, que será por unidade de: 
 
 
 
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𝐶𝑚𝑒(33) =
𝐶(33)
33
= 3,5(33) − 118 +
3811,5
33
= 115,5 − 118 + 115,5 = 113 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
 
 
Questão 3 (1,0 ponto) 
Um automóvel tem seu valor para compra em torno de R$ 42000,00. Tal valor é depreciado em 3,8 % a 
cada ano. Considerando que a depreciação do valor do automóvel é exponencial, podemos afirmar que o 
valor contábil desse automóvel terá tido uma desvalorização de 65% do valor de compra a partir de 
(a) 23 anos de uso. 
(b) 25 anos de uso. 
(c) 27 anos de uso. 
(d) 29 anos de uso. 
(e) 30 anos de uso. 
 
 
Solução: A alternativa correta é a (C). 
Se o valor do automóvel era 42000 e é depreciado exponencialmente em 3,8% a cada ano, então após x 
anos, o valor do automóvel será dado por 42000. (1 − 0,038)𝑥 = 42000. (0,962)𝑥 . O automóvel terá tido 
uma desvalorização de 65% quando estiver valendo apenas 35% do valor original, ou seja, apenas 
0,35x42000 = 14700. Logo, isto vai acontecer quando: 
42000. (0,962)𝑥 = 14700 → (0,962)𝑥 =
14700
42000
→ (0,962)𝑥 = 0,35 → 𝑥 =
log(0,35)
log(0,962) 
=
−0,4559
−0,0168
 
Quando 𝑥 ≈ 27,09. Ou seja, após 27 anos de uso. 
 
Questão 4 (1,0 ponto) 
 
Um funcionário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente 
proporcional ao número de horas trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, 
o salário é de 840 reais, e em um mês em que são feitas 20 horas extras, o salário é de 1000 reais. Então a 
relação que dá o salário y em função das horas extras x é dada por 
(a) 𝑦 = 8 ⋅ 𝑥 + 160 
(b) 𝑦 = 20 ⋅ 𝑥 + 600 
(c) 𝑦 = 20 ⋅ 𝑥 + 840 
(d) 𝑦 = 8 ⋅ 𝑥 + 840 
(e) 𝑦 = 12 ⋅ 𝑥 + 840 
 
Solução: A alternativa correta é a (B). 
A função pode ser obtida pela expressão 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, substituindo x por 12 e 𝑦 por 840 na equação obtemos: 
 840 = 𝑎(12) + 𝑏 → 12 𝑎 + 𝑏 = 840. 
Substituindo x por 20 e 𝑦 por 1000 na equação obtemos: 
 1000 = 𝑎(20) + 𝑏 → 20 𝑎 + 𝑏 = 1000 
Assim, temos o seguinte sistema: 
 {
 12𝑎 + 𝑏 = 840
20𝑎 + 𝑏 = 1000
 
 
 
 
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Subtraindo uma equação da outra, vamos ter: 
 −8𝑎 + 0 = −160 → 𝑎 =
160
8
= 20. 
Substituindo 𝑎 = 20 em qualquer uma das duas equações, por exemplo, 12𝑎 + 𝑏 = 840, vamos ter: 
 240 + 𝑏 = 840 → 𝑏 = 840 − 240 = 600. 
Logo, 𝑦 = 20𝑥 + 600 e a alternativa correta é a (B). 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
 
O lucro de uma empresa de doces é dado segundo a função 
𝐿(𝑥) = 𝑥3 − 105 𝑥2 + 3243𝑥 + 50000 
em que 𝑥 é o número de unidades comercializadas (𝑥 > 0). Determine exatamente em quais intervalos (abertos) 
de 𝑥 temos que 
)(xL
 é crescente e em quais intervalos 
)(xL
 é decrescente. 
 
Solução: Para saber onde a função é crescente ou decrescente, vamos derivar a função do lucro: 
𝐿′ = 3𝑥2 − 105(2𝑥) + 3243. (1) − 50000. (0) 
𝐿′ = 3𝑥2 − 210 𝑥 + 3243 
Igualamos a derivada a zero, pois são os pontos de máximo ou mínimo da função. 
3𝑥2 − 210 𝑥 + 3243 = 0 → 𝑥 =
 −(−210) ± √(210)2 − 4. (3). (3243)
2. (3)
 
𝑥 =
 210 ± √44100 − 38916
6
=
 210 ± √5184
6
=
 210 ± 72
6
→ 𝑥1 =
282
6
= 47; 𝑥2 =
138
6
= 23. 
Assim, os pontos críticos da função são 23 e 47. Para saber onde a derivada é positiva ou negativa, substituímos 
pontos de teste entre os pontos acima. Vamos usar 15, 35 e 55. 
𝐿′(15) = 3. (15)2 − 210(15) + 3243 = 768 > 0 
𝐿′(35) = 3. (35)2 − 210(35) + 3243 = −432 < 0 
𝐿′(55) = 3. (55)2 − 210(55) + 3243 = 768 > 0 
Veja que antes de x=23, deu derivada positiva (crescente), depois de x=23 e antes de x=47, deu derivada negativa 
(decrescente), e depois de x=47, deu derivada positiva (crescente). 
 
Logo, a função é crescente para x< 23 ou x > 47, ou seja, nos intervalos (−∞, 23) ∪ (47, +∞). 
E a função é decrescente para valores de x tais que 23 < x <47, ou seja, no intervalo (23, 47). 
 
Questão 6 (2,0 pontos) 
 
Um comerciante estima que a demanda por um artigo de sua loja é dada por 
36064,0  qp
, onde 𝑝 é 
preço de demanda e 𝑞 é a quantidade demanda, 
5000  q
. A função receita é obtida da multiplicação do 
preço de demanda pela quantidade demandada. 
(a) Obtenha a função receita. 
Solução: A função receita será o preço vezes o número de unidades vendidas, ou seja, 
𝑅 = 𝑝. 𝑞 = (−0,64𝑞 + 36). 𝑞 = −0,64𝑞2 + 360𝑞 
(b) Obtenha a função receita marginal. 
Solução: A receita marginal é a derivada da receita, logo: 
𝑅𝑀 = −1,28𝑞 + 360 
 
 
(c) Obtenha a receita marginal no nível 𝑞 = 185, interpretando o que este resultado representa. 
 
 
 
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Solução: 𝑅𝑀(185) = −1,28. (185) + 360 = 123,20. Ou seja, a receita total irá aumentar em 123 reais 
ao vender a 186º unidade. 
 
(d) Encontre a taxa real de variação da receita total de venda de 185 para 186 unidades, explicando 
qual a relação entre a receita marginal no nível 𝑞 = 185 indica e o valor encontrado neste item.Solução: 𝑅(185) = −0,64(185)2 + 360. (185) = 44696; 𝑅(186) = −0,64(186)2 + 360. (186) = 44818,56. 
Logo, 𝑅(186) − 𝑅(185) = 44818,56 − 444696 = 122,56 que é, aproximadamente, o valor de 123 reais 
da Receita Marginal ao nível 185 obtida no item anterior. 
 
Questão 7 (2,0 pontos) 
Supondo que o custo (em reais) de importação de 𝑞 unidades de relógios de pulso é dado por: 
𝐶(𝑞) = 441 + 83𝑞 + 0,25𝑞2 
 
(a) Determine a expressão do custo médio e o custo médio de importação de 18 unidades de relógios 
de pulso. 
 
O custo médio é o custo total dividido pela quantidade q produzida, isto é, 
𝐶𝑚𝑒 =
𝐶(𝑞)
𝑞
=
441 + 83𝑞 + 0,25𝑞2
𝑞
=
441
𝑞
+ 83 + 0,25𝑞. 
Para q=18 unidades, temos: 
𝐶𝑚𝑒(18) =
441
18
+ 83 + 0,25(18) = 24,5 + 83 + 4,5 = 112,00 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒. 
 
(b) Determine o valor do custo médio mínimo. 
 
O custo médio será mínimo quando sua derivada (custo médio marginal) for zero. Porém, antes de derivarmos o 
custo médio, escrevemos a função do custo médio da seguinte forma: 
𝐶𝑚𝑒 = 441 ∙ 𝑞
−1 + 83 + 0,25𝑞 
Derivando, obtemos: 
(𝐶𝑚𝑒)′ = 441 ∙ (−1)𝑞
−2 + 0,25 = −
441
𝑞2
+ 0,25. 
Igualando a zero, temos: 
(𝐶𝑚𝑒)′ = −
441
𝑞2
+ 0,25 = 0 → 0,25 =
441
𝑞2
→ 𝑞2 =
441
0,25
→ 𝑞2 = 1764 → 𝑞 = √1764 = 42. 
Devem ser importadas 42 unidades para se ter um custo médio mínimo, que será por unidade de: 
𝐶𝑚𝑒(42) =
𝐶(42)
42
=
441
42
+ 83 + 0,25(42) = 10,5 + 83 + 10,5 = 104 𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒