4LISTA AUTOALORES 2012 2

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Escola Politécnica de Pernambuco – POLI
Álgebra Linear Prof. Cláudio Maciel
4ª Lista de Exercícios: Polinômios de Matrizes, Polinômios Característicos, Autovalores, Autovetores, Diagonalização
Aluno:__________________________________________ Turma G6 
1- Polinômios de Matrizes.
Considere um polinômio f (t) = an tn + ... + a1 t + a0 e A uma matriz quadrada qualquer então f (A) = an An + ... + a1 A + a0 I, onde I é a matriz identidade. 
Se f (A) = 0 ( matriz nula) dizemos que A é a raiz de f (t).
Exemplo: Se 
 e f (t) = 2t2 – 3t + 5 então.
 f (A) = 2A2 – 3 A + 5 I 
 para 
 tem-se 
2 - Polinômios Característicos de uma matrizes de ordem n.
 Seja A uma matriz de ordem n. O 
 é o polinômio característico da matriz A em t , In matriz identidade de ordem n. 
 I) Matriz de ordem 2 
 Considere 
 Então 
 
= t2 – (a11 + a22) t + det (A) = t2 – tr (A) t + det (A).
onde tr (A) traço de A, isto é, a soma dos elementos diagonais de A.
 II) Matriz de ordem 3.
 Considere 
 . Então
 
= t3 – tr (A) t2 + (A11+A22+A33) t – det (A).
Onde
que são os cofatores de a11, a22 e a33. 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então o seu polinômio característico é
= tn – S1t n -1+S2 t n – 2 + ... + ( – 1)n Sn . Onde Sk é a soma dos menores principais de ordem k. 
3- Autovetores ( vetores próprios, vetores característicos) e Autovalores ( valores próprios , valore característicos).
Seja 
, um operador linear. Um vetor 
, é um autovetor de T se existir 
 tal que 
, onde 
 é chamado de autovalor associado ao autovalor v.
.
Determinação dos autovalores e autovetores. 
As raízes do polinômio característico, 
 são os autovalores da matriz A e os autovetores são as soluções X do sistema homogêneo 
.
3 - Diagonalização.
D é uma matriz diagonal que representa a matriz A.
Uma matriz quadrada de ordem n é semelhante a uma matriz diagonal D se e só se A possui n autovetores linearmente independentes. Nesse caso, os elementos diagonais de D são os outovalores correspondentes e D = P-1AP onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores. 
Sendo A uma matriz diagonalizada como A = P-1AP = D, onde D é diagonal. Então A possui a fatoração diagonal A = PDP-1.
OBS: 
 Seja P uma matriz cujas colunas sejam os autovetores v1 e v2..
 Do exemplo anterior temos: 
 tal que 
Exercícios.
1) Seja 
 . Calcule f (A), para.
 a) f (t) = t2 – 3t + 7 b) f (t) = t2 – 6t + 13
2) Determine o polinômio característico de cada uma das matrizes:
 
3) Seja 
. 
 a) Determine o polinômio característico 
 de A 
 b) Obter os autovalores de A ( raízes de 
)
4) Determine o polinômio característico 
do operador linear
 
.
5) Seja 
 
Determine todos os autovetores e os autovalores correspondentes.
Determine matrizes P e D tais que P não é singular e D = P – 1AP é diagonal.
OBS: Uma matriz quadrada A é chamada de inversível ou não singular se existe uma matriz B tal que AB = BA = I ( I matriz identidade).
6) Cada uma das matrizes reais abaixo determina uma transformação linear em R2:
 
 
 Determine, para cada matriz, todos os autovalores, autovetores. Quais desses operadores lineares são diagonalizáveis?
_1193202106.unknown
_1382510871.unknown
_1382511012.unknown
_1382940135.unknown
_1382940443.unknown
_1382940074.unknown
_1382510902.unknown
_1382510647.unknown
_1382510696.unknown
_1193202653.unknown
_1193203156.unknown
_1193203516.unknown
_1193203033.unknown
_1193202173.unknown
_1193201443.unknown
_1193201511.unknown
_1193201903.unknown
_1193201476.unknown
_1193201493.unknown
_1193201461.unknown
_1193201386.unknown
_1193201422.unknown
_1193201406.unknown
_1178374964.unknown