Trabalho 5 de algebra II diagonizao de matriz

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Celestino Elias Chandiguera
Diagonização de matrizes 
Universidade Púnguè
Chimoio
2020
	
Celestino Elias Chandiguera
Diagonização de matrizes 
	Trabalho de Álgebra II do curso de licenciatura em ensino de Matemática, a ser apresentado no departamento de Matemática para fins avaliativos.
 Docente: Dr. Valdimir Raiva
Universidade Púnguè
Chimoio
2020
Índice
Introdução	4
Objectivo geral do trabalho	4
Os objectivos específicos.	4
Diabolização de matrizes	5
Definição	5
Caracterização	5
Exemplos	7
Matrizes diagonalizáveis	7
Matrizes que não são diagonalizáveis	8
Conclusão	9
Bibliografia	10
Introdução
 No presente trabalho científico, será abordado de uma forma resumida a diabolização de matrizes, de uma forma geral, dando assim exemplo da sua aplicação.
Objectivo geral do trabalho
· Conhecer a diagonização de matrizes;
Os objectivos específicos.
· Definir a diagonalização de matrizes;
· Caracterizar a diagonalização de matrizes;
· Citar alguns exemplos de diagonalização de matrizes;
Diabolização de matrizes
Definição 
Em álgebra linear, uma matriz quadrada A é chamada de diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existe uma matriz invertível P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal. Se V é um espaço vetorial de dimensão finita n, então um operador linear T : V → V é chamado de diagonalizável se existe uma base ordenada de V, formada por n autovetores, em relação à qual T é representado por uma matriz diagonal. Diagonalização é o processo de encontrar uma matriz diagonal correspondente a uma matriz ou operador diagonalizável.[1] Uma matriz quadrada que não é diagonalizável é chamada defectiva.
Matrizes e operadores diagonalizáveis são de interesse porque matrizes diagonais são especialmente fáceis de manusear; uma vez que seus autovalores e autovetores sejam conhecidos, pode-se elevar uma matriz diagonal a uma certa potência simplesmente elevando as entradas da diagonal à mesma potência, e o determinante de uma matriz diagonal é simplesmente o produto de todas as entradas da diagonal. Geometricamente, uma matriz diagonalizável é uma dilatação não homogênea (ou mudança de escala anisotrópica) — ela muda a escala do espaço, tal como uma dilatação homogênea, mas por um fator diferente, em cada direção, determinados pelos fatores de escala em cada eixo (entradas da diagonal).
Caracterização
O fato fundamental sobre operadores e matrizes diagonalizáveis é expresso pelo seguinte:
· Uma matriz A de ordem n×n sobre o corpo F é diagonalizável se, e só se, a soma das dimensões de seus autoespaços é igual a n, o que é o caso se, e somente se, existe uma base de Fn consistindo de autovetores de A. Se tal base for encontrada, pode-se formar a matriz P que tem esses vetores da base como colunas, e P−1AP será uma matriz diagonal. As entradas da diagonal desta matriz são os autovalores de A.
· Um operador linear T : V → V é diagonalizável se, e só se, a soma das dimensões de seus autoespaços é igual a dim(V), o que é o caso se, e somente se, existe uma base de V consistindo de autovetores de T. Com respeito a esta base, T será representada por uma matriz diagonal. As entradas da diagonal desta matriz são os autovalores de T.
Outra caracterização: Uma matriz ou operador linear é diagonalizável sobre o corpo F se, e somente se, o seu polinômio minimal é um produto de fatores lineares distintos sobre F. (Colocado de outra forma, uma matriz é diagonalizável se e só se todos os seus divisores elementares são lineares.)
A seguinte condição suficiente (mas não necessária) muitas vezes é útil.
· Uma matriz A de ordem n×n é diagonalizável sobre o corpo F se ela tem n autovalores distintos em F, ou seja, se o seu polinômio característico tem n raízes distintas em F; no entanto, a recíproca pode ser falsa. Considere, por exemplo,
que tem autovalores 1, 2, 2 (não todos distintos) e é diagonalizável com forma diagonal (semelhante a A)
e matriz de mudança de base P
· A recíproca falha quando A tem um autoespaço de dimensão maior do que 1. Neste exemplo, o autoespaço de A associado ao autovalor 2 tem dimensão 2.
· Um operador linear T : V → V com n = dim(V) é diagonalizável se ele tem n autovalores distintos, ou seja, se o seu polinômio característico tem n raízes distintas em F.
Seja A uma matriz sobre F. Se A é diagonalizável então o mesmo vale para qualquer potência de A. Por outro lado, se A é invertível, F é algebricamente fechado, e An é diagonalizável para algum n que não seja um múltiplo inteiro da característica de F, então A é diagonalizável. Prova: Se An é diagonalizável, então A é anulada por algum polinômio {\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right),} que não tem raiz múltipla (desde que {\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}) e é dividido pelo polinômio minimal de A.
Como regra geral, sobre C quase toda matriz é diagonalizável. Mais precisamente: o conjunto das matrizes complexas de ordem n×n que não são diagonalizáveis sobre C, considerado como um subconjunto de Cn×n, tem medida de Lebesgue zero. Pode-se dizer também que as matrizes diagonalizáveis formam um subconjunto denso com respeito à topologia de Zariski: o complemento fica no interior do conjunto em que o discriminante do polinômio característico se anula, o que é uma hipersuperfície. Disso também resulta a densidade na topologia normal (forte) dada por uma norma. O mesmo não é verdade sobre R.
A decomposição de Jordan–Chevalley expressa um operador como a soma de suas partes semisimples (i.é., diagonalizável) e nilpotente. Portanto, uma matriz é diagonalizável se e só se a sua parte nilpotente é zero. Colocado de outra forma, uma matriz é diagonalizável se cada bloco em sua forma de Jordan não tem parte nilpotente; isto é, cada "bloco" é uma matriz um por um.
Exemplos
Matrizes diagonalizáveis
· Involuções são diagonalizáveis sobre os reais (e, de fato, sobre qualquer corpo de característica diferente de 2), com ±1 na diagonal.
· Endomorfismos de ordem finita são diagonalizáveis sobre C (ou qualquer corpo algebricamente fechado cuja característica não divida a ordem do endomorfismo) com raízes da unidade na diagonal. Isto segue do fato de o polinômio minimal ser separável, porque as raízes da unidade são distintas.
· As projeções são diagonalizáveis, com 0s e 1s na diagonal.
· Matrizes simétrica reais são diagonalizáveis por matrizes ortogonais, isto é, dada uma matriz simétrica real A, QTAQ é diagonal para alguma matriz ortogonal Q. Mais geralmente, as matrizes são diagonalizável por matrizes unitárias se, e somente se, elas são normais. No caso de matrizes reais simétricas, tem-se que A = AT, então, claramente, vale AAT = ATA. Exemplos de matrizes normais são as matrizes simétricas (ou antissimétricas) reais (por exemplo, matrizes de covariância) e as matrizes Hermitianas (ou anti-Hermitianas). Ver teoremas espectrais para generalizações para espaços vetoriais de dimensão infinita.
Matrizes que não são diagonalizáveis
Em geral, uma matriz de rotação não é diagonalizável sobre os reais, mas todas as matrizes de rotação são diagonalizáveis sobre o corpo dos complexos. Mesmo se uma matriz não é diagonalizável, é sempre possível "fazer o melhor possível", e encontrar uma matriz com as mesmas propriedades consistindo de autovalores na diagonal principal, e uns ou zeros no diagonal imediatamente acima – conhecida como forma normal de Jordan.
Algumas matrizes não são diagonalizáveis sobre qualquer corpo, mais notavelmente as matrizes nilpotentes não nulas. Isso acontece mais geralmente se as multiplicidades algébrica e geométrica de um autovalor não coincidem. Por exemplo, considere
Conclusão
	Na abordagem do trabalho, percebeu-se, que A é uma matriz n \times n real e simétrica e tiver n autovalores distintos, então terá também n autovetores linearmente independentes e daí segue que A é diagonalizável. Agora, ainda que A não tenha n autovalores distintos, a propriedade de simetria de A permite obter uma relaçãodo tipo: AQ = DQ^t, onde a matriz Q tem colunas ortonormais, e cada uma delas é um autovetor de A, e a matriz D é diagonal, com entradas da diagonal formada por autovalores de A.
Espera-se que esse trabalho esteja o cargo do docente e na mesma espera-se por criticas e opiniões do docente e dos de mais leitores que tiverem acesso a esse trabalho cientifoco.
Bibliografia
Horn & Johnson, 1985
Horn & Johnson, 1985, pp. 51-53
Anton, H.; Rorres, C. (22 Feb 2000). Elementary Linear Algebra (Applications Version). [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-471-17052-5 Verifique data em: |data= (ajuda)
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrix Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-521-38632-6
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