Matematica Financeira mais de 600 exercicios resolvidos e propostos

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Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição
Capítulo 1
JUROS
SIMPLES
Mathias
Gomes
Juro e Consumo
• Existe juro porque os recursos são 
escassos.
• As pessoas têm preferência temporal: 
preferem consumir a poupar.
• O prêmio para quem poupa é o juro.
Mathias
Gomes
Juro e Capital
• O Capital também é
escasso.
• O Juro é a remuneração 
pelo uso do capital.
• O Juro é a remuneração 
pelo custo do crédito.
Mathias
Gomes
Taxa de Juros
• Juro e tempo andam juntos.
• O juro é determinado através de um coefi-
ciente referido a um dado intervalo de tem-
po.
• O coeficiente corresponde à remuneração 
da unidade de capital empregado por um 
prazo igual àquele da taxa.
Ex.: 12 % ao ano.
Mathias
Gomes
Taxa de Juros
FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do
capital.
Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITFORMA UNITÁÁRIARIA
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do
capital.
Ex.: 0,12 ao ano.
Mathias
Gomes
CÁLCULO DO JURO
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial 
(o principal) é diretamente proporcional:
Mathias
Gomes
CÁLCULO DO JURO
• FÓRMULA BÁSICA:
J = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . n
onde:
J = Juro
C = Capital inicial (Principal)
i = Taxa de Juros (na forma unitária)
n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00
pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor
a ser pago como juro ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a. 
Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te-
mos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
No segundo ano, teremos:
J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
Mathias
Gomes
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano
(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
J = J1 + J2
J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou então, podemos resolver o problema diretamente:
J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1
J = 1.000,00 X 0,10 X 2
J = $ 200,00
Exemplo
Mathias
Gomes
CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
• Variações da fórmula básica.
J = C.i.n
in
JC =
Cn
Ji =
Ci
Jn =
Mathias
Gomes
MONTANTE
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capital
aplicado.
N = C + J
onde:
C= principal
n= prazo de aplicação
i = taxa de juros
N = C(1 + in)
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. 
Número de períodos (n) = 2 anos
E sendo:
N = C(1+in) 
Substituindo-se os valores, tem-se:
N = 1.000(1+0,10 x 2)
N = 1.000(1+0,20)
N = 1.000 x 1,20
N = $ 1.200,00
Mathias
Gomes
Exemplo
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por
montante:
a) Calculando o juro devido:
J = Cin
J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00
b) Somando-se o juro com o principal:
N = C + J
N = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00
Mathias
Gomes
MONTANTE
N = C(1 + in)
in
NC += 1 n
C
N
i
1−=
i
C
N
n
1−=
JURO SIMPLES
Mathias
Gomes
TAXA PROPORCIONAL
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao 
período n2) se:
2
1
2
1
i
i
n
n=
ii11.n.n22 = i= i22.n.n11
Ou, do mesmo modo, se:
Ou ainda:
2
2
1
1
n
i
n
i=
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são 
proporcionais.
Resolução: 
Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.
n1 = 3 meses
n2 = 12 meses
Como: 
2
1
2
1
n
n
i
i =
Substituindo-se os valores:
12
3
20,0
05,0 =
que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios
(0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, 
as taxas dadas são proporcionais.Mathias
Gomes
Exemplo
Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa
proporcional mensal.
Resolução: 
Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
n1 = 12 meses
i2 = ?
n2 = 1 mês
E, como: 
2
1
2
1
n
n
i
i = tem-se:
1
1224,0
2
=
i
0,24 x 1 = i2 x 12 ..02,012
24,0
2 mai ==∴ ou i = 2% a.m.
Mathias
Gomes
TAXA EQUIVALENTE
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
No regime de juros simples, as taxas de juros 
proporcionais são igualmente equivalentes.
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-
mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de
aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.
Resolução: 
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2
anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a-
nos, teremos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00
Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi-
póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. 
é equivalente à taxa de 24% a.a.
Mathias
Gomes
PERÍODOS NÃO-INTEIROS
Quando o prazo de aplicação não é um número in-
teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o 
seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe-
ríodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que
resta e o juro correspondente.
O juro total é a soma do juro referente à parte in-
teira com o juro da parte fracionária.
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é
aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo 
de 5 anos e 9 meses ?
Resolução: 
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:
5 x 2 semestres = 10 semestres
9 meses = 1 semestre e 3 meses
Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3
meses.
a) Cálculo do juro:
1ª etapa:
J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00
Mathias
Gomes
Exemplo
2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00
Logo, o total de juros é:
J = J1 + J2
J = 1.320,00 + 60,00
J = =$ 1.320,00 ?====== CORRIGIR
Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran-
do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições,
5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:
..06,0
2
12,0 ta
m
iim ===
Mathias
Gomes
Exemplo
J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00 
b) Montante:
O montante é:
N = C + J
N = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00
Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra-
ciocinando por etapas para obter o montante.
∴
Mathias
Gomes
JURO EXATO
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em 
dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
365
CinJe =
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado
por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?
Resolução: 
365
CinJe =
52,394$
365
4036,0000.10 == xxJe
Mathias
Gomes
JURO COMERCIAL
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial:
360
CinJe =
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
Calcular o juro comercial correspondenteao exercício do item an-
terior.
Resolução: 
360
CinJc =
00,400$
360
4036,0000.10 == xxJc
Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer-
cial é maior que o juro exato.
Mathias
Gomes
DIAGRAMAS DE CAPITAL 
NO TEMPO
• Representam o fluxo de dinheiro no tempo;
• Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di-
nheiro;
• Graficamente:
(PERÍODOS)
Entradas (+)
Saídas (-)
1 20
1000
500
2000
Mathias
Gomes
VALOR NOMINAL
É quanto vale um compromisso na data do seu
vencimento.
Exemplo:
Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e
vai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me-
ses.
20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.
20.000
120
(meses)
Mathias
Gomes
VALOR ATUAL
É o valor que um compromisso tem em uma data
que antecede ao seu vencimento.
6 120
c
20.000
¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6.
=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de
juros.
(meses)
Mathias
Gomes
VALOR FUTURO
Corresponde ao valor do título em qualquer data
posterior à que estamos considerando no momento.
Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.
60
10.000
c
(meses)
¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6.
=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de
juros.
EXEMPLO
Mathias
Gomes
Exemplo
1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e 
que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no
mês 12.
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00.
Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica-
ção, do seguinte modo:
Resolução: 
N = C (1+in)
N = 24.000,00
C = 15.000,00
i = ?
n = 12 meses
Mathias
Gomes
Exemplo
Nestas condições:
24.000 = 15.000 (1+ i.12)
Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma 
não se altera:
000.15
)12.1(000.15
000.15
000.24 i+=
Logo: 1,6 = 1 + i.12
Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se 
altera:
1,6 -1 = 1 -1 + i.12
0,6 = i.12
Mathias
Gomes
Exemplo
E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-
mos:
12
12.
12
6,0 i=
Logo: i = 0,05
Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o
“mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem-
po.
Ou seja:
i = 0,05 ao mês
Ou, o que dá no mesmo:
i = 5% ao mês.
Mathias
Gomes
Exemplo
b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas
que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste 
caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon-
de ao próprio valor aplicado:
N = C (1 + i.n)
Onde: N = 24.000,00
C = ?
i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa
deve ser colocada na forma unitária)
n = 12 meses
Então:
24.000 = C (1 + 0,06 x 12)
24.000 = C (1 + 0,72)
24.000 = C.1,72
Mathias
Gomes
Exemplo
Ou seja: C = 13.953,49
que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa
aplicou hoje.
Logo:
72,1
72,1.
72,1
000.24 C=
Mathias
Gomes
Exemplo
2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.
Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa
de 5% ao mês, daqui a 3 meses ?
Temos: N = C (1 + i.n)
Onde: N = ?
C = 10.000,00
i = 0,05
n = 3 meses
Logo:
N = 10.000 (1 + 0,05 x 3)
N = 10.000 (1,15)
N = 11.500,00
O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.
Mathias
Gomes