9ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I

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9ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I – Taxas Relacionadas
01. O modelo N = 
1
1
2
2


t
tt mede a percentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o
tempo em semanas, após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa de variação
de N em relação a t quando: a) t = 0,5 b) t = 8. 
02. Determine a taxa de variação do volume V(r) = 3.r
3
4 de uma esfera em relação ao seu
raio r para: a) r arbitrário b) r = 1 m
03. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura,
em graus centígrados, é dada por T(t) = 30 – 5t + ,
1
4
t
 0 ≤ t ≤ 5. Qual a velocidade de
redução de sua temperatura após 2 horas?
04. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm 3 e volume v em
cm3 estão relacionadas pela igualdade v.p = c, onde c é constante. Achar a razão de variação do
volume em relação à pressão quando esta vale 10kgf/cm3.
05. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação de r em realão a x
quando x for igual a 8.
06. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio da base e 10 m de altura.
No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25m3/h. Com que velocidade o nível
de água sobe? (Obs: volume do cilindro: V = πr2.h)
07. Os lados de um triângulo eqüilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s. Lembrando que a área de
um triângulo eqüilátero de lada l é A = 
4
32l e o seu perímetro é p = 3l:
a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando l = 12 cm?
b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando l = 10 cm?
08. Suponhamos que x e y são funções de uma terceira variável t.
a) Se y
x
 = 10 e 5
dt
dx
, calcule 
dt
dy
.
b) Se x2 + y2 = 25 e 5
dt
dx
, calcule 
dt
dy
 quando y = 4.
c) Se y.(tg(x) + 1) = 4 e 
dt
dy
 = -4, calcule 
dt
dx
 quando x = π.
09. Uma pipa está voando a uma altura de 40 m. Uma criança está empinando-a de tal forma que
ela se mova horizontalmente, a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com que
velocidade a linha estará sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50
m?
10. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8
cm3/min. Acha a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 2 cm de
raio. (Obs.: V = 3
3
4 R ).
11. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do
tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de
aumento de sua área naquele instante? (Obs.: A = 4πr2)
12. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando o
automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s atravessa o
cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que
velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um do outro, 2 s após o caminhão ter
passado pelo cruzamento?
13. Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for
empurrado horizontalmente em direção à parede a 1,5 m/s, com que velocidade o topo da escada
será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da parede? 
14. Uma viga com 30 m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo está se
deslocando para baixo a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual será a taxa de variação da medida do
ângulo agudo formado pela viga e pelo chão quando o topo da viga estiver a 18 m do chão?
15. Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de 3000 m sobre uma linha
reta que irá passar diretamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o
observador nota que o ângulo de elevação do avião é de π/3 rad e está aumentando a uma taxa
de 1/60 rad/s. Calcule a velocidade do avião.
16. A voltagem V (volts), a corrente I (ampéres) e a resistência R(ohms) de um circuito elétrico,
estão relacionados pela equação V = R.I. Suponha que V aumente a uma taxa de 1 volt/s,
enquanto I diminui a uma taxa de 1/3 A/s.
a) Qual a equação que relaciona dR/dt a dV/dt e dI/dt?
b) Determine a taxa de variação de R quando V = 12V e I = 2A. R aumenta ou diminui?
17. Um balão está a 60m acima do solo e se eleva verticalmente à razão de 5m/s. Um automóvel
passa por baixo do balão viajando à 12m/s. Com que velocidade varia, um segundo depois, a
distância entre o balão e o automóvel? 
18. Um trem, que partiu às 11 horas, viaja para o leste a 45km/h enquanto um outro trem, que
partiu ao meio dia do mesmo ponto, viaja para o sul a 60km/h. A que taxa eles estão se
afastando às 15 horas? 
19. Um balão sobe verticalmente com velocidade � e um observador a certa distância � do ponto
onde partiu o balão, vê o balão sob um ângulo de elevação  . Achar uma expressão para a taxa
��/�� de variação  em função de �, e �. A que velocidade sobe o balão se � = 500 m e �� �� =
0,02��/�, quando � = �/4 ���? 
20. Dois automóveis movem – se, um dirigindo-se para o leste à razão de 72 km/h e o outro para
o sul à razão de 54 km/h. A que razão os carros aproximam-se um do outro no instante em que o
primeiro estiver a 400 m e o segundo a 300 m de interseção. 
Gabarito
01. a) -12/25 b) 3/25 02. a) 4πr2 b) 4π 03. -5,444...ºC/hora 
04. –c/100 kgf/cm3 05. 1/12 06. 1/π m/h 07. a) 15 3 cm2/s b) 7,5
cm/s
08. a) -1/2 b) -15/4 c) -4 09. 9/5 cm/s 10. 1/2π cm/s 11. 0,001π cm3/dia
12. 14 m/s 13. 
33
336 14. decrescente a taxa de 1/48 rad/s 15. 200/3 m/s
16. a) 




 
dt
dI
I
V
dt
dV
Idt
dR 1
 b) 3/2 ohms, R é crescente 17. 0,601m/s
18. 105/√2 km/h 19. ��/�� = � cos2 � /� e � = 20�/ �. 20. 25�/�.