Lista4 Calculo II Eng. Comp

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IFSP - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DE SA˜O PAULO
CAMPUS BIRIGUI
Curso: Engenharia da Computac¸a˜o.
Componente Curricular: Ca´lculo Diferencial e Integral II
Docente Responsa´vel: Prof. Dr. Re´gis Leandro Braguim Sta´bile.
Lista 4
1) Calcule a integral dupla identificando-a antes como o volume de um so´lido
a)
∫∫
R
3 dA, onde R = {(x, y)| − 2 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 6}
b)
∫∫
R
(4− 2y) dA, onde R = [0, 1]× [0, 1].
2) A integral
∫∫
R
√
9− y2 dA, onde R = [0, 4] × [0, 2], representa o volume de um so´lido. Esboce o desenho
deste so´lido.
3) Se R = [0, 1]× [0, 1], mostre que
0 ≤
∫∫
R
sin(x+ y) dA ≤ 1
4) Calcule as integrais iteradas abaixo
a)
∫ 3
1
∫ 1
0
(1 + 4xy) dxdy
b)
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
sinx cos y dydx
c)
∫ 3
0
∫ 1
0
√
x+ y dxdy
d)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y +
y
x
)
dydx
e)
∫ ln 2
0
∫ ln 5
0
e2x−y dxdy
5) Calcule as integrais duplas abaixo escolhendo a ordem de integrac¸a˜o mais conveniente
a)
∫∫
R
(6x2y3 − 5y4) dA, onde R = [0, 3]× [0, 1]
b)
∫∫
R
xy2
x2+1 dA, onde R = [0, 1]× [−3, 3]
c)
∫∫
R
x sin(x+ y) dA, onde R = [0, pi/6]× [0, pi/3]
d)
∫∫
R
1
x+y dA, onde R = [1, 2]× [0, 1]
e)
∫∫
R
xexy dA, onde R = [0, 1]× [0, 1]
6) Esboce o so´lido cujo volume e´ dado pela integral iterada∫ 1
0
∫ 1
0
(2− x2 − y2) dydx.
2
7) Determine o volume do so´lido contido abaixo do parabolo´ide circular z = x2 + y2 e acima do retaˆngulo
[−2, 2]× [−3, 3].
8) Determine o volume do so´lido limitado pela superf´ıcie z = x
√
x2 + y e pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1
e z = 0.
9) Determine o volume do so´lido contido no primeiro octante limitado pela superf´ıcie z = 9 − y2 e pelo plano
x = 2, fac¸a um esboc¸o do so´lido.
10) Calcule as integrais duplas abaixo e esboce a regia˜o de integrac¸a˜o
a)
∫∫
D
x3y2 dA, D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x}
b)
∫∫
D
2y
x2+1 dA, D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤
√
x}
c)
∫∫
D
ey
2
dA, D = {(x, y)| 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
d)
∫∫
D
ex/y dA, D = {(x, y)| 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}
e)
∫∫
D
x
√
y2 − x2 dA, D = {(x, y)| 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
f)
∫∫
D
(x+ y)dA, onde D e´ a regia˜o do plano limitada por y =
√
x e y = x2.
g)
∫∫
D
y3dA, onde D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 2), (1, 1) e (3, 2)
11) Determine o volume do so´lido
a) Compreendido abaixo do parabolo´ide z = x2 + y2 e acima da regia˜o limitada por y = x2 e x = y2.
b) Compreendido abaixo do parabolo´ide z = 3x2 + y2 e acima da regia˜o limitada por y = x e x = y2 − y.
c) Limitado pelo cilindro x2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ 2y = 2 no primeiro octante.
d) Limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0, z = 0, no primeiro octante.
12) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e fac¸a a mudanc¸a da ordem de integrac¸a˜o.
a)
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y) dydx
b)
∫ 2
1
∫ ln x
0
f(x, y) dydx
c)
∫ 1
0
∫ 2−y
y2
f(x, y) dxdy
d)
∫ 4
0
∫ 2
y/2
f(x, y) dxdy
e)
∫ 3
0
∫√9−y
0
f(x, y) dxdy
13) Calcule a integral trocando a ordem de integrac¸a˜o
a)
∫ 1
0
∫ 3
3y
ex
2
dxdy
b)
∫ 1
0
∫ 1
x
ex/y dydx
3
14) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares
a)
∫∫
D
xy dA, onde D e´ o disco de centro na origem e raio 3.
b)
∫∫
D
cos(x2 + y2), onde D e´ a regia˜o acima do eixo x e no interior da circunfereˆncia x2 + y2 = 9.
c)
∫∫
D
yex, onde D e´ a regia˜o do primeiro quadrante delimitada pelo c´ırculo x2 + y2 = 25.
d)
∫∫
D
e−x
2−y2 , onde D e´ a regia˜o delimitada pelo semic´ırculo x =
√
4− y2 e o eixo y.
15) Uma piscina circular tem 10m de diaˆmetro, a profundidade e´ constante ao longo das retas de leste para
oeste e cresce linearmente de 1m na extremidade sul para 2m na extremidade norte. Calcule o volume da
piscina.
16) Calcule as integrais iteradas, convertendo-as antes para coordenadas polares.
a)
∫ 3
−3
∫√9−x2
0
sin(x2 + y2) dydx
b)
∫ 1
0
∫√2−y2
y
(x+ y) dxdy