Análise Estatística Aula 06 Online

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Aula 6: Probabilidade
Estatística
A maioria dos assuntos de que trata a Estatística tem uma natureza aleatória ou probabilística. É esta a importância do estudo dos conhecimentos fundamentais do cálculo da probabilidade, além de ser fundamental no estudo da Estatística Inferencial ou Indutiva.
Experimento Aleatório
É qualquer processo aleatório capaz de produzir observações e que possa se repetir indefinidamente no futuro sob as mesmas condições. Um experimento aleatório apresenta variações nos resultados, o que faz com que seus resultados a priori não sejam determinados antes que tenham sido realizados. É possível, entretanto, indicar todos os seus resultados possíveis, ou seja, as suas probabilidades. É na verdade qualquer processo capaz de gerar um resultado incerto ou casual.
O experimento aleatório apresenta três características, que possibilitam calcularmos uma probabilidade, são elas:
Característica 1 – Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições, n vezes (n oo);
Característica 2 – Embora não se possa prever a priori que resultados ocorrerão, pode-se descrever o conjunto de resultados possíveis;
Característica 3 – À medida que se aumenta o número de repetições, surgirá certa regularidade dos resultados, isto é, haverá uma estabilidade na ocorrência da frequência relativa de um particular resultado.
Assim, observamos que todo experimento que apresentar resultados diferentes quando repetido nas mesmas condições iniciais é considerado um experimento aleatório, e a variabilidade dos seus resultados deve-se ao acaso. A tudo isto liga-se a incerteza, que é a chance de ocorrência do resultado de interesse.
Temos como exemplo os operários que trabalham no setor de produção de determinada empresa. Sabe-se que neste setor trabalham oito operários. Um experimento ao acaso seria escolher de forma aleatória um dos operários. Pode-se considerar como evento de interesse o sexo do operário escolhido.
Espaço Amostral
Cada experimento aleatório corresponde, normalmente, a inúmeros resultados possíveis. Chamamos de espaço amostral ou conjunto universo o seu conjunto de possibilidades, isto é, o conjunto formado por todos os possíveis resultados do experimento, geralmente denominado S ou Ω (letra grega que se lê: “ômega”). Definimos por n(S) como sendo o número de elementos do conjunto S, ou seja, o número de resultados possíveis do experimento.
Quanto ao número de elementos, pode ser:
Finito – Número Limitado de elementos. Ex.: S = {1,2,3,4,5,6}
Infinito – Número ilimitado de elementos, e pode ser subdividido em:
Enumerável e Não Enumerável.
Enumerável – Quando os possíveis resultados puderem ser postos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais (N) (caso das variáveis aleatórias discretas).
Não Enumerável – Quando os possíveis resultados não puderem ser postos em concordância biunívoca com o conjunto dos números naturais (caso das variáveis aleatórias contínuas).
Eventos
Seja um espaço amostral S de um experimento aleatório qualquer, consideramos evento qualquer subconjunto desse espaço amostral S.
Logo, qualquer que seja E um conjunto de possíveis resultados do experimento, se E C 5, então E é um evento de S.
Se E = 5, chamamos E de evento certo; se E é um conjunto unitário e E C 5, chamamos E de evento elementar; quando E = 0, chamamos de evento impossível.
Probabilidade
Seja S o espaço amostral de um experimento aleatório, se todos os elementos de S possuem a mesma chance de acontecer, então S é um conjunto equiprovável.
Definimos como sendo a probabilidade de um evento A o valor real P(A), tal que:
n(A) = número de elementos de A;
n(S) = número de elementos de S.
A probabilidade de um evento certo é igual a 1: P(S) = 1;
A probabilidade de um evento impossível é igual a 0: P= 0;
A probabilidade de um evento A qualquer (AS) é o valor real P(A), tal que: 
Seja n(S) = n e A um evento elementar qualquer, onde n(A) = 1, Logo a probabilidade de A será:
O valor de uma probabilidade está dentro do intervalo fechado de números reais que vai de 0 a 1, incluindo as extremidades desse intervalo. A probabilidade pode ser da forma decimal do tipo 0,70, ou representada na forma de percentagem onde o mesmo número é multiplicado por 100. Ficando na forma 70%.
Nota: Quanto mais a probabilidade se aproxima de 1, maior é sua possibilidade de ocorrer. Quanto mais se aproxima de 0, o evento se torna mais improvável de ocorrer.
Há três maneiras de estimar ou calcular probabilidades, são elas:
Método Subjetivo – O método subjetivo, que se baseia em estimativas pessoais de probabilidade ou algum tipo de crença.
O método empírico – que leva em consideração a frequência relativa de um Método Empírico determinado evento em cima de um grande número de fatos repetidos.
Método Clássico – No método clássico, o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. Em geral, utiliza-se este último método para o cálculo de probabilidades.
O que não pode acontecer é confundir “chance” com “probabilidade”, pois existe certa diferença entre eles. A chance compara a quantidade de resultados possíveis de A com os resultados possíveis de outro evento (B ou C), enquanto que a probabilidade faz relação entre os resultados possíveis de A com a quantidade total dos resultados possíveis do experimento aleatório.
Em uma caixa com 7 bolas brancas, 3 azuis e 4 pretas, a probabilidade de retirar uma bola branca é:
Enquanto que a chance de retirar uma bola branca é 7:7, ou seja, a chance de retirar uma bola branca é a mesma de retirar uma bola de outra cor.
Eventos Complementares
Todo evento pode ocorrer ou não. Se um evento possui uma probabilidade p de sucesso e uma probabilidade de insucesso q, então para esse mesmo evento existe a relação:
Se P(A) é a probabilidade do evento A, então Pé a probabilidade do evento não A (complemento de A), tal que:
Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando o sucesso ou o insucesso de um dos eventos não afeta a probabilidade de sucesso do outro evento e vice-versa, O resultado obtido por um evento independe do resultado obtido no outro evento. Neste caso de eventos independentes, a probabilidade de que os dois eventos se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de sucesso de cada evento.
Sejam dois eventos A e B, onde P(A) =, logo um terceiro evento C, definido pela ocorrência simultânea dos eventos A e B, terá probabilidade P(C) = p. E a probabilidade do evento C será função das probabilidades individuais de A e B, dada por:
Outra forma de representar a ocorrência simultânea de dois eventos A e B é P (AB):
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando o sucesso de um evento exclui a realização do(s) outro(s).
 Desta forma, no experimento aleatório de lançamento de um dado, o evento tirar o número 3 e o evento tirar o número 6 são mutuamente exclusivos, uma vez que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Quando se deseja calcular a probabilidade de que um evento ou outro se realize, sendo estes eventos mutuamente exclusivos, determinamos a soma das probabilidades de sucesso de cada evento separadamente.
Ou seja:
No caso do dado a probabilidade do evento de tirar 3 ou 6 é: