6 PB C rculo de Mohn1

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Círculo de Mohr
Introduzido por Otto Mohr em 1882, Círculo de Mohr ilustra o stress e tensões principais transformações através de um formato gráfico.
As duas tensões principais são mostradas em vermelho, e a tensão máxima de cisalhamento é cor de laranja. Lembre-se que o stress normal igual a tensões principais quando o elemento esforço está alinhado com as direções principais, e a tensão de cisalhamento é igual à tensão máxima de cisalhamento, quando o elemento esforço é girado 45 ° afastado das direções principais.
Como o elemento esforço é girado longe do principal (ou cisalhamento máximo) as direções, os componentes de tensão normal e de cisalhamento será sempre mentira no Círculo de Mohr.
O Círculo de Mohr foi à principal ferramenta utilizada para visualizar as relações entre tensões normais e de cisalhamento, e para estimar as tensões máximas, antes de calculadoras de mão se tornaram populares. Ainda hoje, Círculo de Mohr ainda é amplamente utilizado por engenheiros em todo o mundo.
Derivação de Círculo de Mohr
Para estabelecer Círculo de Mohr, podemos recordar as primeiras fórmulas de esforço de transformação para o plano de estresse em um determinado local.
Usando uma relação básica trigonométricas (cos 2 2 q + sen 2 2 q = 1) para combinar as duas equações acima temos,
Esta é a equação de um círculo, em um gráfico onde a abscissa é a tensão normal e a coordenação é a tensão de cisalhamento. Isto é mais fácil para ver se nós interpretamos s x e s y como sendo as duas tensões principais, e xy t como sendo a tensão máxima de cisalhamento. Então, podemos definir o estresse médio, s avg, e um raio "R (que é apenas igual à tensão máxima de cisalhamento),
 
A equação acima círculo agora assume uma forma mais familiar. 
 
O círculo está centrado no valor médio de estresse, e tem um raio R igual à tensão máxima de cisalhamento, como mostrado na figura abaixo:
Construção do círculo de Mohr para 
o estado plano de tensões
Estabelecer um sistema de coordenadas do tipo:
- eixo horizontal
- eixo vertical sem circulação
Colocar no sistema de eixo , os pontos Tx e Ty cujas coordenadas são os valores (x ,), (y, ) da seguinte maneira:
a) Percorrendo-se o elemento no sentido de encontraremos o primeiro par (x , xy) e marca-se a abscissa de x de acordo com o seu sinal (> 0 tração, < 0 compressão). A ordenada xy deve ser alocada para cima ou para baixo conforme orientação no elemento.
Temos então Tx:
b) Percorrendo o elemento no sentido de giro de ordenada xy deve ser alocado para cima ou para baixo conforme orientação no elemento.
Temos então Tx:
c) Percorrendo o elemento no sentido de giro de  vamos encontrar outro par. (y, xy ) ou seja o ponto Ty. Aloca-se y de acordo com seu sinal e xy será alocado em posição oposta a xy do ponto Tx em relação ao eixo .
Com Tx e Ty acham-se o centro da circunferência e a desenha.
Esquematicamente:
Posição do Polo
Polo é um ponto P do círculo de Mohr, que se por este ponto se traçar uma reta paralela a direção de um plano qualquer no elemento em questão, onde se deseja saber as tensões atuantes. Esta reta cortará o círculo num ponto, que representa e  atuante naquele referido plano. A localização de P é simétrica a Tx ou Ty, se este ou aquele for o primeiro par.
Regra Prática
Escolhe-se um eixo  paralelo a uma das bordas do elemento e percorre-se, no sentido do eixo deste eixo, o desenho do elemento. O primeiro  encontrado indica a ordenada  a ser colocado para se obter T, o polo P está em posição oposto.
No esquema precedente podem-se determinar as direções principais através do ponto P. Uma explicação geométrica desta teoria se baseia no seguinte desenho.
Pode-se colocar os elementos importantes do estado plano da tensão no desenho construído, ficando então.
Obs: Considerações a respeito do Polo.
Adota-se  sem sinal ou sentido. Para x < 0 (compressão) pode-se adotar um eixo  com um determinado sentido.
Coloca-se o ponto Tx (-x; ) seguindo a orientação do  desta face(1). Coloca-se então o Polo P em posição simétrica com relação ao eixo . A seguir coloca-se o ponto Ty de tal maneira que a distância Tx - Ty seja o diâmetro do círculo.
Traça-se o círculo. Por P traça-se retas até os pontos de interseção com do círculo com o eixo . Nestes pontos tem-se  1  2 e os planos das direções principais.
O ângulo  1 é tirado no sentido anti-horário da vertical por  1 até a reta P- 1.
As tensões  1 e  1 são normais a estas respectivas retas.
Face 2 - O eixo tem sentido de x < 0.
Face 3 - t em sentido para cima pois x >0(tração).
Face 4 - tem sentido para baixo pois y > 0 (tração).
Notar que qualquer sentido de entrada para se desenhar o círculo de Mohr (qualquer face) nas direções das retas P-1 e P-2 são sempre paralelas.
Para o elemento de chapa tem-se, desse modo, o seguinte desenho:
Sob esta ótica, basta escolher um sentido de entrada no elemento, geralmente aquele em que se conhece as tensões normal e tangencial, e desenha-se o círculo de Mohr.