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Universidade Federal de Vic¸osa Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas Departamento de Matema´tica 1a Prova - MAT 147 - Ca´lculo II DATA: 23/09/2017 NOME: MATRI´CULA: TURMA: Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova! 1a Questa˜o: (35 pontos) Resolva APENAS 3 (treˆs) dentre os itens (a), (b), (c) e (d) abaixo e marque os treˆs itens a serem avaliados (corrigidos). (a) � Decida se a integral ∫ 5 −2 1√|x|dx e´ convergente ou divergente. Caso seja convergente, deter- mine seu valor. (b) � Determine, caso exista, o limite lim x→∞ ( 1− 2 sin ( 1 x ))3x . (c) � A sequeˆncia (an)n∈N, definida por an = n(−1)n n √ n+ 1 converge? Em caso afirmativo, calcule seu limite. (d) � Verifique que a se´rie ∞∑ n=3 1 n (lnn)2 e´ convergente. Soluc¸a˜o: (a) Note que a func¸a˜o integrando, f(x) = 1√|x| , tem uma descontinuidade do tipo infinito em x = 0 ∈ [−2, 5] (isto e´, lim x→0 |f(x)| =∞), logo a integral dada e´ impro´pria e∫ 5 −2 1√|x|dx = ∫ 0 −2 1√|x|dx + ∫ 5 0 1√|x|dx ∗= ∫ 0 −2 1√−xdx + ∫ 5 0 1√ x dx = lim A→0− ∫ A −2 1√−xdx + lim B→0+ ∫ 5 B 1√ x dx = −2 lim A→0− [√−x]A−2+2 limB→0+ [√x]5B = −2 limA→0− (√−A−√2)+2 limB→0+ (√5−√B) = 2 (√ 2 + √ 5 ) . ∗ |x| = −x, x ∈ [−2, 0] e |x| = x, x ∈ [0, 5]. (b) Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 1∞, logo lim x→∞ ( 1− 2 sin ( 1 x ))3x = lim x→∞ e ln (( 1− 2 sin ( 1 x ))3x) = lim x→∞ e 3x ln ( 1− 2 sin ( 1 x )) = = e lim x→∞ 3x ln ( 1− 2 sin ( 1 x )) 1 A u´ltima desigualdade se justifica pela continuidade da func¸a˜o exponencial em R. lim x→∞ 3x ln ( 1− 2 sin ( 1 x )) = 3 lim x→∞ ln ( 1− 2 sin ( 1 x )) 1 x ∗∗ = 3 lim x→∞ −2 cos (1/x) 1− 2 sin (1/x) ( − 1 x2 ) − 1 x2 = = 3 lim x→∞ −2 cos (1/x) 1− 2 sin (1/x) = −6. Logo, limx→∞ ( 1− 2 sin ( 1 x ))3x = e−6. ∗∗ Aplicamos a Regra de L’Hospital (indeterminac¸a˜o do tipo 0 0 ). (c) A sequeˆncia dada converge para 0. De fato, note que lim n→∞ |an| = lim n→∞ ∣∣∣∣ n(−1)nn√n+ 1 ∣∣∣∣ = limn→∞ nn√n+ 1 = limn→∞ nn (√n+ 1 n ) = lim n→∞ 1(√ n+ 1 n ) = 0. Logo, lim n→∞ an = 0. (d) Vamos aplicar o Teste da Integral para verificar a convergeˆncia da se´rie de termo geral an dada. Considere a func¸a˜o contı´nua e positiva f : [3,∞) −→ R, definida por f(x) = 1 x ln2 x . Temos: (i) f(n) = an, para todo natual n; (ii) f e´ decrescente, pois f ′(x) = − [ln 2 x+ 2x lnx] x2 ln4 x < 0, ∀x ≥ 3. A integral impro´pria ∫ ∞ 3 f(x)dx converge, pois∫ ∞ 3 f(x)dx = lim B→∞ ∫ B 3 1 x ln2 x dx ∗ = lim B→∞ [ − 1 lnx ]B 3 = − lim B→∞ ( 1 lnB − 1 ln 3 ) = 1 ln 3 . ∗ Mudanc¸a de varia´vel: u = lnx; du = 1 x dx. Pelo Teste da Integral, a se´rie ∞∑ n=3 1 n (lnn)2 e´ convergente. 2 2a Questa˜o: (20 pontos) Determine se cada se´rie abaixo converge absolutamente, condicional- mente ou diverge. (a) ∞∑ n=1 3 √ n7 2n2 − 4 ; (b) ∞∑ n=1 (−1)n+1 cos (n2) (n+ √ n) 5 . Soluc¸a˜o: (a) Note que lim n→∞ 3 √ n7 2n2 − 4 = limn→∞ n 7 3 2n2 − 4 = limn→∞ n2+ 1 3 2n2 − 4 = limn→∞ n2n 1 3 n2 ( 2− 4 n2 ) = lim n→∞ n 1 3( 2− 4 n2 ) = ∞ 6= 0. Pelo Teste da Divergeˆncia, a se´rie dada diverge. (b) Note que ∞∑ n=1 |an| = ∞∑ n=1 |cos (n2)| (n+ √ n) 5 e 0 ≤ |cos (n 2)| (n+ √ n) 5 ≤ 1 (n+ √ n) 5 ≤ 1 n5 , ∀n ∈ N. Como a se´rie ∞∑ n=1 1 n5 converge (se´rie hiper-harmoˆnica p = 5 > 1), pelo Teste da Comparac¸a˜o a se´rie ∞∑ n=1 |an| converge. Portanto, ∞∑ n=1 an converge absolutamente. 3 3a Questa˜o: (25 pontos) Considere a se´rie ∞∑ n=1 (−1)n 1 n2 + 19 . (a) Usando o Teste da Se´rie Alternada, verifique que a se´rie dada converge. (b) Determine quantos termos da se´rie precisamos somar para encontrar a soma parcial com precisa˜o (erro) menor que 0, 01. Soluc¸a˜o: (a) Seja an = 1 n2 + 19 > 0, para todo natural n. Note que lim n→∞ an = 0 e an+1 = 1 (n+ 1)2 + 19 = 1 n2 + 2n+ 20 ≤ 1 n2 + 19 = an, ∀n ∈ N. Pelo Teste da Se´rie Alternada, a se´rie dada converge. (b) Sabemos, pelo Teorema da Estimativa de Erros para Se´ries Alternadas, que |S − sn| < an+1, sendo S = ∞∑ n=1 (−1)n 1 n2 + 19 e sn a n-e´sima soma parcial. Para que o erro seja inferior a 0, 01, devemos ter an+1 < 0, 01 = 1× 10−2. Assim, an+1 < 1×10−2 ⇔ 1 n2 + 2n+ 20 < 10−2 ⇔ n2+2n+20 > 102 ⇔ n2+2n−80 > 0⇔ n < −10 ou n > 9. Como n deve ser um nu´mero natural, considere n = 10. Portanto, devemos somar, pelo menos, os 10 primeiros termos da se´rie dada para obter um erro inferior a 0, 01. 4 4a Questa˜o: (20 pontos) Classifique as afirmac¸o˜es abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstrac¸a˜o ou um contra-exemplo. (a) ( ) Se an ≤ bn, para todo natural n e a se´rie ∞∑ n=1 bn converge, enta˜o a se´rie ∞∑ n=1 an converge. (b) ( ) Se ∞∑ n=1 an e ∞∑ n=1 bn sa˜o se´ries de termos positivos, ambas convergentes, enta˜o a se´rie ∞∑ n=5 anbn e´ convergente. Soluc¸a˜o: (a) Falso. Considere, por exemplo, an = −n e bn = 1 n2 , para todo natural n. Note que an ≤ bn, ∞∑ n=1 bn = ∞∑ n=1 1 n2 converge e ∞∑ n=1 an = ∞∑ n=1 (−n) diverge, pois lim n→∞ (−n) = −∞ 6= 0. (b) Verdadeiro. Note que an > 0, bn > 0, cn = anbn > 0, para todo natural n e lim n→∞ an = lim n→∞ bn = 0 pois, por hipo´tese, as se´ries ∞∑ n=1 an e ∞∑ n=1 bn sa˜o convergentes. Temos L = lim n→∞ cn an = lim n→∞ anbn an = lim n→∞ bn = 0. Pelo Crite´rio da Comparac¸a˜o por Limites, como L = 0 e ∞∑ n=1 an converge, a se´rie ∞∑ n=1 anbn converge. Portanto, ∞∑ n=5 anbn tambe´m converge. 5
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