Distribuiçao Conjunta

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Distribuic¸a˜o Comjumta Varia´veis Aleato´rias Independentes
Distribuic¸a˜o Comjumta de Varia´veis Aleato´rias
Definic¸a˜o: Sejam X e Y varia´veis aleato´rias discretas. A func¸a˜o
densidade de massa conjunta de X e Y e´ dada por
p(x , y) = P (X = x ,Y = y) ·
Obs.: Note que,
pX (x) = P (X = x)
=
∑
x :p(x,y)>0
p(x , y)·
Analogamente,
pY (y) =
∑
y :p(x,y)>0
p(x , y)·
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Distribuic¸a˜o Comjumta Varia´veis Aleato´rias Independentes
Distribuic¸a˜o Comjumta de Varia´veis Aleato´rias
Exerc´ıcio: Suponha que treˆs bolas sa˜o selecionadas aleatoriamente
de uma urna que conte´m treˆs bolas vermelhas, quatro brancas e
cinco azuis. Deixe X e Y denotarem, respectivamente, o nu´mero de
bolas vermelhas e brancas escolhidas. Determine a func¸a˜o densidade
de masssa conjunta de X e Y .
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Distribuic¸a˜o Comjumta Varia´veis Aleato´rias Independentes
Varia´veis Aleato´rias Independentes
Definic¸a˜o: As varia´veis aleato´rias X e Y sa˜o ditas independentes se
P (X ∈ A,Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B) , (1)
para quaisquer conjuntos de nu´meros reais A e B.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Distribuic¸a˜o Comjumta Varia´veis Aleato´rias Independentes
Varia´veis Aleato´rias Independentes
Quando X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias discretas, a condic¸a˜o de
independeˆncia (1) e´ equivalente a
p(x , y) = pX (x)pY (y), ∀ x , y ·
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Distribuic¸a˜o Comjumta Varia´veis Aleato´rias Independentes
Varia´veis Aleato´rias Independentes
Exerc´ıcio: Suponhamos que n + m experimentos independentes,
possuindo probabilidade de sucesso comum p, sa˜o realizados. Se X
denota o nu´mero de sucessos nos n primeiros ensaios, e Y e´ o
nu´meros de sucessos nos u´ltimos m ensaios, enta˜o mostre que X e
Y sa˜o independentes.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
	Distribuição Comjumta
	Variáveis Aleatórias Independentes