Lista 7 IAL

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Lista de Exerc´ıcios 7 - IAL
Produto Interno
Questa˜o 1. Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2). Mostre que as expresso˜es a seguir sa˜o
produtos internos em R2 verificando que valem os axiomas de produtos internos.
(a) 〈u, v〉 = 3u1v1 + 5u2v2
(b) 〈u, v〉 = 4u1v1 + u2v1 + u1v2 + 4u2v2
Questa˜o 2. Verifique se 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = 2x1x1 +y1y2 e´ um produto interno no plano
R2.
Questa˜o 3. Suponha que P2 tenha o produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
−1
p(x)q(x)dx.
(a) Encontre ‖p‖ para p = 1, p = x e p = x2.
(b) Encontre 〈p, q〉 para p = x e p = x− 3x2.
(c) Encontre o cosseno do aˆngulo entre p e q.
Questa˜o 4. Esboce o c´ırculo unita´rio em R2 usando o produto interno
〈u, v〉 = 1
4
u1v1 +
1
16
u2v2.
Questa˜o 5. Mostre que vale a seguinte identidade para vetores de qualquer espac¸o com
produto interno.
‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2
1
Questa˜o 6. Determine se os vetores dados sa˜o ortogonais em relac¸a˜o ao produto interno
euclidiano.
(a) u = (−1, 3, 2), v = (4, 2,−1).
(b) u = (0, 3,−2, 1), v = (5, 2,−1, 0).
Questa˜o 7. Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale para os vetores dados
usando o produto interno euclidiano.
(a) u = (3, 2), v = (4,−1)
(b) u = (−3, 1, 0), (2,−1, 3)
Questa˜o 8. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos dados.
(a) P (4,−1, 1), Q(−2, 0, 1), R(−1,−2,−3).
(b) P (5, 4, 3), Q(4, 3, 1), R(1, 5, 4).
Questa˜o 9. Escreva a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (2, 0, 0) e e´ perpendicular
ao vetor n = (0, 0, 2).
Questa˜o 10. Mostre que os vetores v1 = (0,−1, 3) e v2 = (1, 0,−2) pertencem ao plano
2x+ 3y + z = 0. Ache o aˆngulo entre esses vetores.
Questa˜o 11. Encontre as equac¸o˜es parame´tricas para a reta passando pelo ponto (3,−1, 2)
e paralela ao vetor n = (2, 1, 3).
Questa˜o 12. Encontre as equac¸o˜es parame´tricas para a reta passando pelos pontos (5,−2, 4)
e (7, 2,−4).
Questa˜o 13. Determine se os plano sa˜o perpendiculares.
(a) 3x− y + z − 4 = 0, x+ 2y = −1
(b) x− 2y + 3z = 4, −2x+ 5y + 4z = −1
2
Questa˜o 14. Suponha que R2 tem o produto interno euclidiano. Use o processo de
Gram-Schmidt para transformar a base {u1, u2} em uma base ortonormal.
(a) u1 = (1, 3), u2 = (2, 2)
(b) u1 = (1, 0), u2 = (3,−5)
Questa˜o 15. Se α, β e γ sa˜o os aˆngulos entre o vetor posic¸a˜o r e os eixos x, y e z,
respectivamente (conforme a figura), mostre que
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.
 
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