Lista 07 - Produto Interno

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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Matemática
MA71B - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
Professora Aura R. Belzarez Guedez
Lista de Exerćıcios 07 - Produto Interno
1. Considere os vetores u = (1, 2, 4), v = (2,−3, 5) e w = (4, 2,−3) do R3 e o produto
interno usual (produto escalar). Encontre:
(a) 〈u, v〉
(b) 〈u,w〉
(c) 〈v, w〉
(d) 〈u+ v, w〉
(e) ‖u‖
(f) ‖v‖
2. Verifique que
〈u, v〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2
onde u = (x1, x2) e v = (y1, y2) define um produto interno no R2.
3. Verifique que 〈A,B〉 = tr(A>B) é um produto interno em M3×3(R) conjunto de todas as
matrizes de ordem 3.
4. Considere os vetores u = (1, 5) e v = (3, 4) do R2. Encontre:
(a) 〈u, v〉 com respeito ao produto interno usual do R2.
(b) 〈u, v〉 com respeito ao produto interno definido no exerćıcio 2.
(c) ‖v‖ usando o produto interno usual do R2.
(d) ‖v‖ usando o produto interno definido no exerćıcio 2.
5. Encontre o cos θ onde θ é o ângulo entre:
(a) u = (1, 3,−5, 4) e v = (2,−43, 4, 1) no R4 em relação ao produto interno usual.
(b) A =
[
9 8 7
6 5 4
]
e B =
[
1 2 3
4 5 6
]
, com 〈A,B〉 = tr(A>B).
6. Verifique que:
(a) ‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2. (Regra do Paralelogramo)
(b) 〈u, v〉 = 1
4
(‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2).
7. Encontre k de modo que u = (1, 2, k, 3) e v = (3, k, 7,−5) do R4 são ortogonais, referente
ao produto interno usual.
8. Considere o conjunto B ⊂ R4 formado pelos seguintes vetores:
u1 = (1, 1, 0,−1), u2 = (1, 2, 1, 3), u3 = (1, 1,−9, 2), u4 = (16,−13, 1, 3).
(a) Mostre que B é um conjunto de vetores ortogonais e uma base do R4.
(b) Encontre as coordenadas de um vetor v = (x, y, z, w) ∈ R4 relativo a base B.
9. Sejam x = (1, 1,−2) e y = (a,−1, 2). Para quais valores de a, os vetores x e y são
ortogonais?
10. Encontre uma base B′′ ortonormal para o plano x+ y + z = 0.
11. Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma baseB′ ortogonal
para o subespaço de R4 que tem como base B = {(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.
12. Considere o subespaço U do R4 gerado pelos vetores:
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2, 4), v3 = (1, 2,−4,−3) e v4 = (3, 4,−1, 2).
Encontre:
(a) uma base de U .
(b) uma base ortogonal de U .
(c) uma base ortonormal de U .
13. Considere no R3 o produto interno
〈(x, y, z), (x′, y′, z′)〉 = xx′ + 5yy′ + 2zz′.
(a) Verifique se realmente é um produto interno.
(b) A partir da base B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, encontre uma base B′′ ortonormal.
14. Seja W um subespaço do R5 gerado por u = (1, 2, 3,−1, 2) e v = (2, 4, 7, 2,−1). Encontre
uma base para o complemento ortogonal W⊥.
Respostas
1.
(a) 16 (b) −4 (c) −13 (d) −17 (e)
√
21 (f)
√
38
2. Lembre-se que x21 − 2x1x2 + 3x22 = (x1 − x2)2 + 2x22.
3. Lembre-se que
(i) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
(ii) tr(cA) = ctr(A)
(iii) tr(AB) = tr(BA)
(iv) tr(A>) = tr(A)
4.
(a) 23 (b) 44 (c) 5 (d)
√
33
5.
(a)
−23
3
√
170
(b)
119
24661
7. k = 4
3
8.
(b) [v]B =

x+ y − w
3
x+ 2y + z + 3w
15
x+ y − 9z + 2w
87
16x− 13y + z + 3w
435

9. a = 5.
10. B′′ = {( 1√
2
, 0,− 1√
2
), (−
√
3
3
√
2
, 2
√
3
3
√
2
,−
√
3
3
√
2
)}.
11. B′ = {(1, 1,−1, 0), (−2
3
, 4
3
, 2
3
, 1), (− 4
11
,− 3
11
,− 7
11
, 6
11
)}.
12.
(a) B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 4), (1, 1,−4,−3)}
(b) B′ = {(1, 1, 1, 1), (−1,−1, 0, 2), (1, 3,−6, 2)}
(c) B′′ =
{(
1
2
, 1
2
, 1
2
, 1
2
)
,
(
− 1√
6
,− 1√
6
, 0, 2√
6
)
,
(
1
5
√
2
, 3
5
√
2
,− 6
5
√
2
, 2
5
√
2
)}
13.
(b) B′′ = {( 1, 0, 0 ), ( 0, 1√
5
, 0 ), ( 0, 0, 1√
2
)}
14. B = {(−2, 1, 0, 0, 0), (13, 0,−4, 1, 0), (−17, 0, 5, 0, 1)}