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Lista de Exerc´ıcios 4 - IAL
Transformac¸o˜es Lineares
Questa˜o 1. Quais das func¸o˜es abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares? Justifique as respostas
dadas.
(a) T : R3 → R3, onde T (x, y, z) = (x + y, x− y, 0);
(b) T : R2 → R3, onde T (x, y) = (x2, x, y);
(c) T : R2 →M(2, 2), onde T (x, y) =
 2x x− y
x + y 2y
;
(d) T : R2 → R, onde T (x, y) = xy;
(e) T : R[x]2 → R[x]2, onde T (ax + b) = ax2 + bx.
Questa˜o 2. Determine n e m e a transformac¸a˜o linear T : Rn → Rm, onde T (1, 2) =
(3, 1, 1) e T (1, 1) = (1,−1, 0).
Questa˜o 3. Mostre que T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x+ y − 3z, 4x− 5y + 6z)
e´ uma transformac¸a˜o linear.
Questa˜o 4. Mostre que T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x + 1, y + z) na˜o e´ uma
transformac¸a˜o linear.
Questa˜o 5. Considere a base S = {v1, v2} de R2, onde v1 = (−2, 1) e v2 = (1, 3) e
seja T : R2 → R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (v1) = (−1, 2, 0) e T (v2) = (0,−3, 5).
Encontre uma fo´rmula para T (x, y) e use essa fo´rmula para obter T (2,−3).
Questa˜o 6. Determine o nu´cleo e a imagem das seguintes transformac¸o˜es lineares. Em
seguida, determine quais sa˜o injetivas e quais sa˜o sobrejetivas. Determine tambe´m a
dimensa˜o da imagem e do nu´cleo.
(a) T : R3 → R2, onde T (x, y, z) = (x− y, x− z);
(b) T : R4 → R3, onde T (x, y, z, w) = (2x + y − z + w, x + 2y − w, 6x + 2z − 3w);
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(c) T : M(2, 2)→M(2, 2), onde T (A) = MA, sendo M =
 1 −1
−4 4
.
Questa˜o 7. Seja T : R2 → R2 a transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y) = (x + ky,−y).
Prove que T e´ injetora e que T−1 = T , para cada valor real de k.
Questa˜o 8. Seja T : R2 → R2 e S : R2 → R2 transformac¸o˜es lineares dadas por T (x, y) =
(x + y, 0) e S(x, y) = (−y, x). Encontre expresso˜es para definir:
(a) T ◦ S;
(b) S ◦ T .
Questa˜o 9. Encontre a representac¸a˜o matricial de cada uma das transformac¸o˜es lineares
em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas dos Rn.
(a) T : R3 → R2, onde T (x, y, z) = (2x− 4y + 9z, 5x + 3y − 2z);
(b) T : R2 → R4, onde T (x, y) = (3x + 4y, 5x− 2y, x + 7y, 4x).
Questa˜o 10. Seja H : R2 → R2 definida por H(x, y) = (2x + 7y, x − 3y) e considere as
bases de R2 a seguir.
S = {(1, 1), (1, 2)}
e
S′ = {(1, 4), (1, 5)}.
(a) Encontre a matriz A que representa H em relac¸a˜o a`s bases S e S′.
(b) Encontre a matriz B que representa H em relac¸a˜o a`s bases S′ e S.
Questa˜o 11. Seja F : R3 → R2 definida por F (x, y) = (2x + y − z, 3x− 2y + 4z).
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(a) Encontre a matriz A que representa F em relac¸a˜o a`s bases
S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
e
S′ = {(1, 3), (1, 4)}.
(b) Verifique A[v]S′ = [F (v)]S , para qualquer v = (a, b, c) de R3.
Questa˜o 12. Determine:
(a) A matriz associada a` transformac¸a˜o linear que ao ser aplicada na fig. (A) tem como
resultado a fig.(B)
(b) A forma fechada da transformac¸a˜o, ou seja, T (x, y).
 
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