Aritmética Computacional

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Introdução aos Sistemas 
Computacionais 
Disciplina: 113468 
 
Prof. Marcus Vinicius Lamar 
 
Aritmética Computacional 
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Dispomos de apenas N bits! 
UnB/CIC 113468– Introdução aos Sistemas Computacionais 
Todos os tipos de dados são armazenados nos dispositivos de 
memória do computador (Registradores, RAM, HD, etc.) e operados 
no processador (ULA) na forma de bits. 
 
Portanto 
o Não temos precisão infinita 
o Não temos os símbolos ‘+‘ ou ‘-’ para representar o sinal 
o Nem os símbolos ‘,’ ou ‘.’ para representar o ponto fracionário 
 
Veremos aqui apenas os conjuntos numéricos mais comuns: 
• Números Naturais (ℕ) 
• Números Inteiros (ℤ) 
• Números Reais (ℝ) 
Aritmética Computacional 
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•Números Naturais (ℕ) 
 
Os números naturais são representados naturalmente utilizando o sistema de 
numeração binário. 
 
As operações aritméticas de +, -, × e ÷ já foram estudadas. 
 
O computador consegue processar apenas dados representados com um 
número finito de bits. 
 
Ex.: 
Tipo em C tamanho faixa dinâmica 
(unsigned char) 8 bits 0 a 255 
(unsigned short) 16 bits 0 a 65.535 
(unsigned int) 32 bits 0 a 4.294.967.295 
(unsigned long long int) 64 bits 0 a 18.446.744.073.709.551.615 
Aritmética Computacional 
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 Adição e Subtração: 
 
 0011 0111 1100 0111 0110 
 + 0010 +1010 +1111 - 0110 - 0101 
 0101 10001 11011 0001 0001 
 
Overflow (resultado muito grande para a word finita do computador): 
 Somar dois números de n bits pode produzir um número de n+1 bits. 
 
 Multiplicação e Divisão: 
 
 0011 0111 10001001 |_110_ 
 x 0010 x 1110 - 110 10110 
 0000 0000 001010 
 0011 0111 - 110 
 0000 0111 1000 
 +0000___ + 0111___ - 110 
 00000110 01100010 0101 
Número de bits do resultado 2n - 0 
 101 
 
 
 
• Realização das operações matemáticas usando o sistema binário. 
Aritmética Computacional Natural 
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•Números Inteiros (ℤ) 
 
Existem várias formas de representação de números inteiros com sinal em binário. 
As convenções mais comuns são: 
 
Sinal e magnitude : 
 Usa-se um símbolo específico para representar o sinal (-) ou 
 O dígito mais significativo indica apenas o sinal (1 negativo, 0 positivo) 
 
Complemento de 1 : 
 A representação do número negativo é o inverso do positivo, isto é, troca-se 0 ⇒ 1 
e 1 ⇒ 0 
 
Complemento de 2 : 
 A representação do número negativo pode ser obtida de maneira simples pelo 
inverso do positivo + 1 
 Interpretação alternativa: O MSB possui ponderação negativa na soma ponderada. 
Aritmética Computacional 
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 Sinal e magnitude Complemento de um Complemento de dois 
 
 0000 = +0 0000 = +0 0000 = +0 
0001 = +1 0001 = +1 0001 = +1 
0010 = +2 0010 = +2 0010 = +2 
0011 = +3 0011 = +3 0011 = +3 
 0100 = +4 0100 = +4 0100 = +4 
 0101 = +5 0101 = +5 0101 = +5 
 0110 = +6 0110 = +6 0110 = +6 
 0111 = +7 0111 = +7 0111 = +7 
1000 = -0 1000 = -7 1000 = -8 
1001 = -1 1001 = -6 1001 = -7 
1010 = -2 1010 = -5 1010 = -6 
1011 = -3 1011 = -4 1011 = -5 
 1100 = -4 1100 = -3 1100 = -4 
 1101 = -5 1101 = -2 1101 = -3 
 1110 =-6 1110 = -1 1110 = -2 
 1111 =-7 1111 = -0 1111 = -1 
Exemplos para números com 4 bits: 
Aritmética Computacional 
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Ex.: Em complemento de 2 
Tipo em C tamanho faixa dinâmica 
(char) 8 bits -128 a 127 
(short) 16 bits -32.768 a 32.767 
(int) 32 bits -2.147.483.648 a 2.147.483.647 
(long long int) 64 bits -9.223.372.036.854.775.808 a 
 9.223.372.036.854.775.807 
Aritmética Computacional 
Ex.: 
Em binário sem sinal de 8 bits: 
10011011 = 1x27+0x26+0x25+1x24+1x23+0x22+1x21+1x20 = 
 = 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155 
 
Em complemento de 2 de 8 bits 
10011011 = - 1x27+0x26+0x25+1x24+1x23+0x22+1x21+1x20 = 
 = -128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = -101 
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Realização das operações usando o sistema binário complemento de 2 
Exatamente como base decimal (emprestar/vai 1s) descartando o transbordo 
 
 0011 0111 1100 0111 0110 0010 
 + 0010 +1010 +1111 - 0110 - 0101 -0100 
 0101 10001 11011 0001 0001 1110 
 
 
 Obs.: Overflow 
 0101 = +5 1001 = -7 0110 = 6 
 + 0100 = +4 + 1010 = -6 - 1000 = -8 
 1001 ≠ 9 10011 ≠ -13 1110 ≠ 14 
 
O termo overflow em complemento de 2 não significa que houve um transbordo. 
Mas sim que o resultado não “cabe” na faixa dinâmica de n bits!!! 
Aritmética Computacional Inteira 
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 Multiplicação e Divisão inteira em complemento de 2 
Os algoritmos clássicos apenas funcionam com números sinal e magnitude. 
Devemos operar com os módulos dos operandos e ajustar o sinal do(s) resultado(s). 
 
 Ajuste do sinal do resultado da multiplicação: 
 Basta verificar se os sinais do multiplicando e do multiplicador são iguais ou 
diferentes, definindo assim o sinal do produto. 
 
 Ajuste dos resultados da divisão: 
 Precisamos definir o sinal do quociente e do resto. 
Dividendo = Quociente x Divisor + Resto 
 7÷2 → 7 = 3 x 2 + 1 
 (-7) ÷ 2 → -7 = (-3) x 2 + (-1) 
 7 ÷ (-2) → 7 = (-3) x (-2) + 1 
 (-7) ÷ (-2) → -7 = 3 x (-2) + (-1) 
 
Regra: Quociente: Mesma regra da multiplicação . 
 Resto: Mesmo sinal do Dividendo. 
Aritmética Computacional Inteira 
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•Números Reais (ℝ) 
 
Já estudamos a forma de representar números reais utilizando o símbolo ‘,’ 
para indicar a parte fracionária. 
Ex.: 0101,102 = 5,510 
No entanto no computador não temos como representar a ‘,’ como um bit 
 
Assim, temos duas formas básicas de representar um número real em bits no 
computador: 
o Ponto Fixo 
o Ponto Flutuante 
Aritmética Computacional Fracionária 
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Na representação em Ponto Fixo, a posição da virgula binária deve ser 
previamente definida, assim como o número de bits. 
 
Ex.: Dado um número de 8 bits, define-se Q número de casas fracionárias 
 
Q3 : -24 23 22 21 20 , 2-1 2-2 2-3 
 Menor valor: 10000000 = -24 = -16 
 Maior valor: 01111111 = 23+22 +21 +20+2-1 +2-2 +2-3 = 15,875 
 
Q1: -26 25 24 23 22 21 20, 2-1 
 Menor valor: 10000000 = -26 = -64 
 Maior valor: 01111111 = 25+24 +23 +22+21 +20 +2-1 = 63,5 
 
Q7: -20 , 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 
 Menor valor: 10000000 = -20 = -1 
 Maior valor: 01111111 = 2-1+2-2 +2-3 +2-4+2-5 +2-6 +2-7 = 0,9921875 
 
 
Aritmética Computacional Fracionária 
Ponto Fixo 
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 Exemplo:Considere 8 bits, calcule a representação em Q7 
 
 0.75 = 
 -0.75 = 
 0.3 = 
Truncamento? Arredondamento? 
 
 Considerando 16 bits, calcule a representação em Q15 
 0.75 = 
 -0.75 = 
 0.3 = 
 
Aritmética Computacional Fracionária 
Ponto Fixo 
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Operações Matemáticas: da mesma forma que inteiros usando mesmo Q. 
 Soma: 
 Subtração 
 Multiplicação: 
 Divisão Fracionária (ex.: 5/8) <= sem resto! Seguir dividindo até o número 
de bits necessário ser atingido. 
Ex.: 8 bits 
 Q0 Q2 Q7 
 01010001 81 20.25 0.6328125 
+ 10111001 -71 -17.75 -0.5546875 
 00001010 10 2.50 0.0781250 
 
 00000110 6 1.5 0.046875 
 x 00001010 x 10 x 2.5 x 0.078125 
 00000000 00111100 60 3.75 0.003662109375 
Aritmética Computacional Fracionária 
Ponto Fixo 
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 Vantagens: 
 Aritmética é simples e rápida 
(Processador menor, mais rápido e mais barato) 
 
 Problemas: 
 Pequena faixa dinâmica 
 Precisão depende da faixa dinâmica 
Aritmética Computacional Fracionária 
Ponto Fixo 
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 Precisamos de uma maneira de representar grande faixa dinâmica 
 - números muito pequenos: 0,000000000000001182721226716 
 - números muito grandes: 167283876351200000000000000000 
 
 Notação Científica (base 10): Mantissa ou Significando 
 Característica ou Expoente 
 
 Ex.: 1.182721226716x10-15 e 1.672838763512x1029 
 
 Sempre normalizado, isto é, apenas 1 dígito não decimal (diferente de zero). 
 
 
 Notação Científica (base 2) 
 
 Ex.: 1.010x2-2 = 0.010102 = 0.312510 = (1+0.25)x2-2 
 Sempre normalizado, isto é, apenas 1 dígito não binário (diferente de zero). 
 
Aritmética Computacional Fracionária 
Ponto Flutuante 
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 Representação: 
 - sinal(S), mantissa(M), expoente(E): (–1)S × M× 2E 
 - mais bits para a mantissa fornece mais precisão 
 - mais bits para o expoente aumenta a faixa dinâmica 
 
 Padrão de representação em ponto flutuante IEEE 754: 
 
- precisão simples: (1+8+23) 32 bits Tipo em C (float) 
 
 
 
 
- precisão dupla: (1+11+52) 64 bits Tipo em C (double) 
 
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 
s expoente Fração 
1 bit 8 bits 23 bits 
 
 
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 
s expoente Fração 
1 bit 11 bits 20 bits 
Fração (continuação) 
32 bits 
Aritmética Computacional Fracionária 
Ponto Flutuante IEEE 754 
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 O bit “1” inicial do significando está implícito (aumenta a precisão) 
 
 O expoente possui um off-set para facilitar a ordenação 
 - Off-set de 127 para precisão simples 
 e de 1023 para precisão dupla 
 - Formato: 
 (–1)sinal × (1 + fração) × 2(expoente – offset) 
 
 Exemplo: 
 Converter o número decimal N = -5,0 para IEE754 precisão simples 
 Colocar no formato: N = (-1)S x M x 2E onde 1 ≤ M < 2 
 S = 1 
 E = floor(log2(N)) = floor(log2(5,0)) = floor(2,3219) = 2 => expoente=129 
 M = N / 2E = 5,0 / 22 = 5,0/4 = 1,25 => 1,012 
 
 Assim: -5,0 = (-1)1 (1,012) x 2 (129-127) 
 precisão simples IEEE: 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 00002 
 0xC0A00000 
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Ponto Flutuante IEEE 754 
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 Dado o número em Ponto Flutuante IEEE754: 0xC1100000 
 qual o número decimal representado? 
 
 1100 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 
1 10000010 00100000000000000000000 
 
Expoente = 130 - 127 = 3 
Mantissa: 1,001 
 
Logo: (-1)1 x 1,001 x 23 = - (1001,0) = -9,0 
 
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Ponto Flutuante IEEE 754 
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 Como representar 0? 
Precisão Simples Precisão Dupla 
Objeto 
Expoente Fração Expoente Fração 
0 0 0 0 0 
0 ≠0 0 ≠0 ±Número 
desnormalizado 
1-254 ∀ 1-2046 ∀ ±Número 
Ponto Flutuante 
255 0 2047 0 ±∞ 
255 ≠0 2047 ≠0 NaN 
Qual a faixa dinâmica dos números representáveis em precisão simples e dupla? 
 
MAX_single: MIN_single: 
MAX_double: MIN_double: 
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 Soma e subtração: 
 Procedimento idêntico às operações em Notação Científica base 10. 
- Converte-se o número com menor expoente para igualar ao expoente do maior 
e soma-se (subtrai-se) as mantissas 
 
Ex.: Decimal 
 5,25x102 + 1,5x10-1 = 5,25x102 + 0,0015x102 = 5,2515x102 
 (4 dígitos) = 5,251x102 
 
Ex.: Binário 
 1,01x22 + 1,1x2-1 = 1,01x22 + 0,0011x22 = 1,0111x22 
 (4 bits) = 1,011x22 
 
Note 5 + 0,75 resulta em 5,5 devido à precisão limitada em 4 bits 
 
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 Multiplicação e Divisão: 
 Procedimento idêntico às operações em Notação Científica base 10: 
- Multiplica-se as mantissas e soma-se os expoentes ou 
- Divide-se as mantissas e subtrai-se os expoentes 
 
Ex.: Decimal 
 3,23x102 x 3,415x10-1 = 11,03045 x 101 
 (4 dígitos) = 1,103x102 
 
 Ex.: Binário 
 1,000x2-1 x (-1,110x2-2) =- 1,110000x2-3 
 (4 bits) = -1,110x2-3 
 
Overflow: |resultado| > MAX : |resultado|=infinito 
Underflow: |resultado| < MIN : |resultado|=0,0 
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