aula fetrans 6

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DINAˆMICA DOS FLUIDOS
1. Viscosidade
• Sujeito a forc¸as de cisalhamento, um fluido viscoso escoa, e pode
fazer isso indefinidamente.
• A viscosidade e´ a resisteˆncia que um fluido oferece ao escoamento.
• A figura abaixo mostra uma fina camada de um fluido que preenche
o espac¸o entre duas placas planas e paralelas. Quando sujeitas a
forc¸as tangenciais de igual intensidade e opostas, o fluido fica enta˜o
sujeito a forc¸as de cisalhamento.
1
• A experieˆncia mostra que as duas placas se movera˜o uma em relac¸a˜o
a` outra com velocidade v0 constante. Esta velocidade e´ proporcional a`
tensa˜o de cisalhamento aplicada, ou seja, a` forc¸a por unidade de a´rea
da placa, F/A, e tambe´m a` distaˆncia d entre as placas. Experimentos
mostram tambe´m que a velocidade do fluido varia de forma linear com
a coordenada x na direc¸a˜o perpendicular a`s placas, de modo que
as camadas em contato com as placas acompanham o movimento
destas. A figura mostra o movimento do sistema no referencial em
que a placa de baixo esta´ parada.
• A componente horizontal da velocidade varia linearmente com a posi-
c¸a˜o x, de modo que
∂v
∂x
=
v0
d
, (1)
com
v0
d
=
1
µ
× F
A
→ µ = d
v0
× F
A
, (2)
onde µ e´ a viscosidade do fluido.
• No SI a unidade de viscosidade e´ Pa.s.
• A viscosidade dos gases aumenta com a temperatura, enquanto nos
lı´quidos a viscosidade decresce com o aquecimento (ver tabela).
• Um fluido de viscosidade nula e´ denominado fluido perfeito ou super-
fluido. Na pra´tica so´ se conhece um superfluido, o he´lio lı´quido. No
entanto, para muitos efeitos pra´ticos, a a´gua e o ar podem ser tratados
como fluidos perfeitos.
• A diferenc¸a entre fluido real e fluido perfeito so´ se manifesta durante
o escoamento.
Exemplo 1: Uma placa de vidro plano de densidade ρ = 2,2 g/cm3
esta´ “colada” a uma parede vertical tambe´m de vidro por uma fina
camada de glicerina, cuja espessura e´ 0,010 mm. A viscosidade da
glicerina e´ 1,5 N.s/m2. Com que velocidade a placa, cuja espessura
e´ de 3,0 mm, desliza sob a ac¸a˜o da gravidade?
A forc¸a que provoca o deslizamento da placa e´ seu pro´prio peso, logo
F = mg = ρV g = ρsAg, onde A e´ a a´rea da placa e s = 3× 10−3
m e´ a espessura da placa. A velocidade de deslocamento da placa e´
dada enta˜o por
v0 =
d
µ
× F
A
=
0,010× 10−3
1,5
× ρsAg
A
=
= (6,67×10−6)(2,2×103×3×10−3×10) = 4,4×10−4m/s,
ou 0,44 mm/s.
2. Escoamento de fluidos viscosos - lei de Poiseuille
• Se na˜o fosse o efeito da viscosidade, a a´gua poderia fluir nos en-
canamentos sem nenhum gasto de energia, exceto para leva´-la ate´
alturas mais elevadas, quando fosse o caso. O sangue poderia fluir
muito mais livremente em nossas arte´rias e veias, o que eliminaria
quase todos os problemas circulato´rios. No entanto, nem sempre a
viscosidade de um fluido pode ser ignorada.
• A lei que determina o fluxo laminar de um fluido viscoso e incom-
pressı´vel em um tubo de sec¸a˜o cilı´ndrica uniforme foi descoberta em-
piricamente em 1840 pelo me´dico e fisiologista Jean Louis Poiseuille.
• A figura abaixo mostra um seguimento de comprimento L de um tubo
no qual escoa um fluido viscoso incompressı´vel, em regime esta-
ciona´rio e laminar. Nas adjaceˆncias da parede do tubo a velocidade
do fluido e´ nula, enquanto no eixo do tubo ela e´ ma´xima. Se desig-
narmos por r a distaˆncia ao eixo do tubo, a velocidade do fluido segue
a lei
v =
∆p
4µL
(
R2 − r2
)
, (3)
onde ∆p = p1 − p2, e o fluxo do fluido e´ dado pela equac¸a˜o
Φ =
piR4
8µ
∆p
L
, (4)
conhecida como lei de Poiseuille.
Exemplo 2: Um cano leva a´gua de um ac¸ude para uma lavoura ir-
rigada. O cano tem diaˆmetro interno de 50 mm e comprimento de 2,0
km. A vaza˜o do cano e´ de 80 litros/s. Qual e´ a diferenc¸a de pressa˜o
entre as suas extremidades? Ignore o desnı´vel entre o ac¸ude e a
lavoura.
Pela equac¸a˜o (3) verificamos que
∆p =
8µLΦ
piR4
,
lembrando que Φ = 80 L/s= 80× 10−3 m3/s. Logo:
∆p =
8× 10−3 × 2× 103 × 80× 10−3
pi(25× 10−3)4 =
1,28
(1,23× 10−6) =
= 10,4× 105Pa.
3. Escoamento turbulento
• Em geral, um fluido escoa laminarmente quando sua velocidade na˜o
e´ muito grande e o tubo e´ liso (sem rugosidades).
• Entretanto, se a velocidade de escoamento atingir valores acima de
um certo limite (que depende de diversos fatores, como a natureza do
fluido e sua temperatura), o fluido pode escoar de maneira irregular
com a formac¸a˜o de redemoinhos, resultado da mistura entre camadas
adjacentes de fluido. A esse tipo de escoamento da´-se o nome de
turbulento.
• Osborne Reynolds (1842-1912) mostrou que, de modo geral, um es-
coamento atrave´s de um tubo regular e retilı´neo de diaˆmetro D deixa
de ser laminar quando o nu´mero de Reynolds, definido por
Re =
ρvD
µ
, (5)
for maior que um valor crı´tico, que depende basicamente da natureza
do fluido, do formato e da superfı´cie interna do tubo de escoamento.
• Para um grande nu´mero de fluidos, seu escoamento por um tubo de
sec¸a˜o circular torna-se turbulento para Re > 2000.
Figuras:
• http://www.cvphysiology.com/Hemodynamics/H007.htm
• http://boojum.as.arizona.edu/ jill/NS102 2006/Lectures/Lecture12/turbulent.html
• https://www.cora.nwra.com/ werne/eos/text/turbulence.html
Refereˆncias:
• Chaves, A. Fı´sica Ba´sica, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
• Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. II, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009
(verso˜es em portugueˆs e ingleˆs).
• Livi, C.P. Fundamentos de Fenoˆmenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC, 2008.