aula fetrans 9

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TEMPERATURA, CALOR E AS LEIS DA TERMODINAˆMICA
1. A Primeira Lei da Termodinaˆmica e Algumas Aplicac¸o˜es
• A Primeira Lei da Termodinaˆmica e´ uma generalizac¸a˜o da lei de con-
servac¸a˜o de energia que inclui as variac¸o˜es na energia interna de um
sistema.
• A Primeira Lei e´ universalmente va´lida e pode ser aplicada a uma
variedade de processos. Ale´m disso, ela permite estabelecer uma
conexa˜o entre o mundo macrosco´pico e o microsco´pico.
• Ja´ vimos que a energia pode ser trocada entre um sistema e sua
vizinhanc¸a de duas maneiras:
1
– atrave´s da realizac¸a˜o de trabalho pelo sistema, o que requer o
deslocamento macrosco´pico do ponto de aplicac¸a˜o de uma forc¸a
(ou pressa˜o);
– atrave´s de calor, o que se da´ atrave´s de coliso˜es aleato´rias entre
as mole´culas do sistema (no caso da conduc¸a˜o).
Ambos os mecanismos resultam em variac¸o˜es da energia interna do
sistema, e portanto produzem variac¸o˜es mensura´veis nas varia´veis
macrosco´picas, como pressa˜o, temperatura e volume.
• Vamos supor enta˜o que um sistema passa de um estado inicial i para
um estado final f . Suponha tambe´m que, durante a transformac¸a˜o,
energia Q seja transferida para o sistema por calor, e que trabalho W
seja realizado pelo sistema. Se a quantidade Q−W for medida para
va´rios caminhos conectando os estados inicial e final de equilı´brio,
encontraremos o mesmo valor para todas as trajeto´rias. Portanto a
quantidade Q −W , definida como a variac¸a˜o da energia interna do
sistema, e´ determinada completamente pelos estados inicial e final.
• Apesar de Q e W dependerem da trajeto´ria seguida pelo sistema ao
passar de i para f , a quantidade
∆Eint = Q−W, (1)
na˜o depende.
• A equac¸a˜o acima e´ a formulac¸a˜o matema´tica da Primeira Lei da Ter-
modinaˆmica:
Primeira Lei da Termodinaˆmica: ∆Eint = Q−W.
• Lembrando:
– Q e´ positivo quando o sistema ganha energia por calor;
– Q e´ negativo quando o sistema perde energia por calor;
– W e´ positivo quando o sistema realiza trabalho e perde energia;
– W e´ negativo quando trabalho e´ realizado sobre o sistema e o
mesmo ganha energia.
• A equac¸a˜o da Primeira Lei e´ uma equac¸a˜o de conservac¸a˜o de energia
que especifica que o u´nico tipo de energia que varia no sistema e´ a
sua energia interna Eint. Vamos enta˜o analisar algumas situac¸o˜es
especiais que obedecem tal condic¸a˜o.
Sistema isolado: neste caso o sistema na˜o interage com sua vizinhan-
c¸a, i.e., o sistema na˜o troca calor com a vizinhanc¸a e na˜o ha´ realizac¸a˜o
de trabalho, logo Q = W = 0 e
∆Eint = 0→ Eint,f = Eint,i, (2)
portanto, a energia interna Eint de um sistema isolado permanece
constante.
Sistema sofrendo processo cı´clico: aqui o sistema passa por um pro-
cesso que comec¸a e termina no mesmo estado, logo
∆Eint = Eint,f − Eint,i = 0, (3)
pois Eint,f = Eint,i, e enta˜o
Q = W. (4)
Em um diagrama pV , um processo cı´clico e´ representado por uma
curva fechada. Neste caso, o trabalho lı´quido realizado pelo sistema
durante um ciclo e´ igual a` a´rea delimitada pela trajeto´ria que repre-
senta o processo no diagrama pV .
• Se o trabalho realizado pelo sistema durante algum processo e´ zero,
W = 0 e ∆Eint = Q. Para um ga´s, esse aumento de energia interna
pode ser associado a um aumento da energia cine´tica das mole´culas.
• Por outro lado, se durante um determinado processo na˜o ocorre troca
de energia por calor mas trabalho e´ realizado pelo sistema, enta˜o
Q = 0 e ∆Eint = −W . Por exemplo, se um cilindro termicamente
isolado (Q = 0) contendo ga´s tem seu volume reduzido por conta do
movimento de um pista˜o, o ga´s e´ comprimido e W < 0. Ocorre enta˜o
aumento da energia interna do ga´s (aumento da energia cine´tica das
mole´culas).
• Em uma escala microsco´pica, na˜o ha´ distinc¸a˜o entre o resultado da
transfereˆncia de energia por calor ou por realizac¸a˜o de trabalho: am-
bos produzem uma variac¸a˜o na energia interna do sistema. O valor
da energia interna e´ determinado pelo estado do sistema.
Exemplo 1: A figura mostra quatro trajeto´rias em um diagrama pV ao
longo das quais um ga´s pode ser levado de um estado i para um
estado f . Ordene as trajeto´rias de acordo com (a) a variac¸a˜o ∆Eint
da energia interna do ga´s, (b) o trabalho W realizado pelo ga´s, (c) o
valor absoluto da energia transferida em forma de calor entre o ga´s e
o ambiente, em ordem decrescente.
(a) A variac¸a˜o de energia interna depende apenas dos estados inicial
e final e, portanto, ∆Eint e´ a mesma para as trajeto´rias 1, 2, 3 e 4.
(b) O trabalho e´ igual a` a´rea sob a curva que define o processo atrave´s
do qual o ga´s esta´ se expandindo. Neste caso W > 0 para todas as
trajeto´rias, com W4 > W3 > W2 > W1.
(c) Temos Q = ∆Eint + W , com W > 0 para todas as trajeto´rias.
Logo Q4 > Q3 > Q2 > Q1.
• Antes de aplicarmos a Primeira Lei a sistemas especı´ficos, e´ u´til defi-
nirmos alguns processos termodinaˆmicos ba´sicos.
• Processo adiaba´tico: e´ um processo durante o qual na˜o ocorre troca
de calor entre o sistema e sua vizinhanc¸a, i.e., Q = 0. Um processo
adiaba´tico pode ocorrer quando o sistema encontra-se termicamente
isolado, ou quando o processo ocorre de forma ra´pida, de modo que
na˜o haja tempo suficiente para a troca de calor com o meio. Neste
caso
∆Eint = −W. (5)
Portanto, se um ga´s ideal sofre uma expansa˜o adiaba´tica, W > 0
e ∆Eint < 0, e a temperatura do ga´s diminui. Por outro lado, a
temperatura do ga´s aumenta quando o mesmo sofre uma compressa˜o
adiaba´tica.
Figura: expansa˜o adiaba´tica livre.
Na figura acima temos uma expansa˜o adiaba´tica livre, um processo
u´nico. Aqui o ga´s esta´ termicamente isolado e se expande livremente
para o va´cuo apo´s o rompimento da membrana, na˜o exercendo forc¸a
sobre um pista˜o e na˜o realizando trabalho. Portanto, para este pro-
cesso, Q = W = 0 e ∆Eint = 0. Assim, na˜o ocorre variac¸a˜o
de energia interna durante uma expansa˜o adiaba´tica livre. Para um
ga´s ideal, a Eint depende apenas da temperatura, e portanto na˜o
terı´amos a variac¸a˜o de temperatura do ga´s neste caso particular.
• Processo isoba´rico: e´ um processo que ocorre a pressa˜o constante.
Neste caso, o trabalho realizado pelo ga´s e´ simplesmente
W = p(Vf − Vi), (6)
uma vez que p permanece constante.
• Processo isovolume´trico: neste caso o volume do sistema na˜o varia
durante a ocorreˆncia do processo e portanto
W = 0 e ∆Eint = Q. (7)
A expressa˜o acima nos diz que se energia e´ transferida por calor
para um sistema mantido a volume constante, enta˜o toda energia per-
manece no sistema na forma de energia interna.
• Processo isote´rmico: e´ um processo que ocorre a temperatura cons-
tante. No caso de um ga´s ideal, a energia interna do ga´s e´ func¸a˜o
da temperatura somente; portanto, em um processo isote´rmico envol-
vendo um ga´s ideal, ∆Eint = 0 e Q = W − toda energia que entra
no sistema por troca de calor e´ transferida para fora do sistema por
realizac¸a˜o de trabalho. O diagrama pV a temperatura constante para
um ga´s ideal apresenta uma curva hiperbo´lica denominada isoterma.
Expansa˜o isote´rmica de um ga´s ideal: suponha que um ga´s ideal
sofra uma expansa˜o quase-esta´tica a temperatura constante, como
mostrado no diagrama pV da figura acima. A equac¸a˜o de estado
para um ga´s ideal a temperatura constante indica que a equac¸a˜o da
curva mostrada e´ pV =constante, pois pV = nRT =constante. A
expansa˜o isote´rmica de um ga´s pode ser alcanc¸ada colocando o ga´s
em contato te´rmico com um reservato´rio de energia a mesma temper-
atura, como na figura abaixo.
Calculamos agora o trabalho realizado pelo ga´s durante a expansa˜o,
quando o sistema passa do estado i para o estado f . Como o ga´s e´
ideal e o processo e´ quase-esta´tico, a equac¸a˜o pV = nRT e´ va´lida
para cada ponto da trajeto´ria e enta˜oW =
∫ Vf
Vi
pdV =
∫ Vf
Vi
(
nRT
V
)
dV = nRT
∫ Vf
Vi
dV
V
= (8)
nRT (lnV )
Vf
Vi
= nRT
(
lnVf − lnVi
)
, (9)
logo
W = nRT ln
(
Vf
Vi
)
. (10)
Pela equac¸a˜o acima verificamos que, para o caso de uma expansa˜o,
Vf > Vi eW > 0; se o ga´s sofre uma compressa˜o, Vf < Vi eW < 0.
Exemplo 2: Identifique as trajeto´rias abaixo como isoba´rica, isovolume´-
trica, isote´rmica, ou adiaba´tica. Observe que Q = 0 para a trajeto´ria
B.
Isoba´rica: p =constante; Isovolume´trica: V =constante; Isote´rmica:
T =constante (hipe´rbole); Adiaba´tica: Q = 0.
A : Isovolume´trico;
B : Adiaba´tico;
C : Isote´rmico;
D : Isoba´rico.
Exemplo 3: Suponha que 1,00 kg de a´gua a 100◦C seja convertido
em vapor a 100◦C a` pressa˜o atmosfe´rica padra˜o (1,01 × 105 Pa).
O volume de a´gua varia de um valor inicial de 1,00 × 10−3 m3 do
lı´quido para 1,671 m3 do vapor. (a) Qual e´ o trabalho realizado pelo
sistema durante o processo? (b) Qual a energia transferida em forma
de calor durante o processo? (c) Qual a variac¸a˜o de energia interna
do sistema durante o processo?
(a) Temos uma substaˆncia (a a´gua) sofrendo uma transic¸a˜o de fase
durante a qual a temperatura e a pressa˜o sa˜o mantidas constantes.
Para um processo isoba´rico, temos
W =
∫ Vf
Vi
pdV = p(Vf − Vi) = (1,01× 105)(1,671− 0,001) =
= (1,01× 105)(1,670) = 1,69× 105J,
ou 169 kJ (W > 0, o que indica que a substaˆncia esta´ perdendo
energia).
(b) Como o calor fornecido ao sistema provoca apenas uma mudanc¸a
de fase (e na˜o o aumento de temperatura), ele e´ dado integralmente
pela expressa˜o Q = Lvm, onde Lv e´ o calor latente de vaporizac¸a˜o
da a´gua (Lv = 2256 kJ/kg). Logo,
Q = (2256× 103)(1) = 2,256× 106J,
ou 2256 kJ (≈ 2260 kJ).
(c) Usando a primeira lei,
∆Eint = Q−W = 2256− 169 = 2087kJ ≈ 2090kJ,
ou 2,09 MJ.
Exemplo 4: Uma amostra de um ga´s ideal com 1 mol de ga´s e´ mantida
a 0◦C durante uma expansa˜o de 3 L para 10 L. (a) Qual o trabalho re-
alizado pelo ga´s durante a expansa˜o? (b) Qual a quantidade de ener-
gia transferida por calor durante o processo? (c) Se o ga´s retorna ao
seu volume inicial atrave´s de um processo isoba´rico, qual o trabalho
realizado pelo ga´s?
(a) Para um ga´s ideal sofrendo uma expansa˜o isote´rmica (T = 0◦C):
W = nRT ln
(
Vf
Vi
)
= (1)(8,315)(0 + 273) ln
(
10
3
)
=
= (2,27× 103)(1,20) = 2,72× 103J,
ou 2,7 kJ.
(b) Para um ga´s ideal, ∆Eint = 0 se T =constante. Logo,
∆Eint = Q−W → Q = W = 2,72× 103J.
(c) Se o ga´s retorna ao seu volume inicial atrave´s de um processo
isoba´rico (p =constante), enta˜o
W =
∫ Vf
Vi
pdV = p
(
Vf − Vi
)
,
onde p foi mantida constante a partir do momento inicial do processo
de retorno, i.e., pi = nRTi/Vi, com Ti = 273 K e Vi = 10 L= 10−2
m3 (Vf = 3 L= 3× 10−3 m3). Enta˜o,
W = p
(
Vf − Vi
)
=
nRTi
Vi
(
Vf − Vi
)
=
=
(1)(8,315)(273)
(10−2)
(
0,3× 10−2 − 10−2
)
=
=
(2,27× 103)
(10−2)
(
−0,7× 10−2
)
= −1,59× 103,
i.e., W = −1,6× 103 J.
2. Descric¸a˜o Microsco´pica de um Ga´s Ideal - Teoria Cine´tica
• Ja´ discutimos as propriedades dos gases ideais usando varia´veis ma-
crosco´picas como pressa˜o, temperatura e volume. No entanto, e´
possı´vel descrever tais quantidades em uma escala microsco´pica, on-
de a mate´ria e´ tratada como um conjunto de mole´culas.
• Em nosso estudo da teoria cine´tica dos gases, vamos considerar que
as mole´culas do ga´s movem-se de maneira aleato´ria, colidindo umas
com as outras e tambe´m com as paredes do container onde esta´ o
ga´s.
• Talvez a mais importante caracterı´stica da teoria cine´tica seja demons-
trar que a energia cine´tica associada ao movimento das mole´culas e
a energia interna do ga´s sa˜o equivalentes. Ale´m disso, ela tambe´m
nos fornece uma base fı´sica para a compreensa˜o do conceito de tem-
peratura.
• Em nosso modelo simplificado de um ga´s, cada mole´cula e´ considera-
da uma esfera so´lida que colide elasticamente com outras mole´culas
e com as paredes do container. Ale´m disso, as mole´culas na˜o intera-
gem umas com as outras, exceto durante as coliso˜es. Esta descric¸a˜o
e´ adequada somente para gases monoatoˆmicos, para os quais a ener-
gia e´ inteiramente cine´tica (translacional).
• A ideia e´ utilizar esse modelo microsco´pico do ga´s ideal para mostrar
que a pressa˜o que um ga´s exerce sobre as paredes do recipiente que
o conte´m e´ consequeˆncia das coliso˜es das mole´culas do ga´s com as
paredes.
• Outras considerac¸o˜es do modelo:
– O nu´mero de mole´culas e´ grande, assim como a separac¸a˜o me´dia
entre elas (comparada com o tamanho das mole´culas);
– A distribuic¸a˜o de velocidades das mole´culas na˜o varia com o tempo;
– As coliso˜es sa˜o ela´sticas, e portanto energia cine´tica e momento
se conservam;
– As interac¸o˜es entre as mole´culas sa˜o desprezı´veis, exceto durante
as coliso˜es;
– O ga´s considerado e´ uma substaˆncia pura, i.e., todas as suas
mole´culas sa˜o ideˆnticas.
• Apesar de estarmos considerando um ga´s ideal monoatoˆmico, o com-
portamento dos gases diatoˆmicos e moleculares em geral se apro-
xima bastante do que estudaremos aqui quando os mesmos esta˜o
submetidos a baixas presso˜es.
• Vamos agora derivar uma expressa˜o para a pressa˜o de um ga´s ideal
com N mole´culas contido em um container na forma de um cubo de
arestas d (figura abaixo).
• Considere a colisa˜o de uma mole´cula de massam e velocidade ~v com
uma das faces do cubo (paralela ao eixo y). O vetor velocidade tem
componentes vx, vy e vz .
• Uma vez que a mole´cula colide elasticamente com a parede do con-
tainer (situac¸a˜o representada acima), a compenente x da sua veloci-
dade sera´ revertida, enquanto as outras componentes permanecem
inalteradas. A variac¸a˜o do momento da mole´cula sera´ enta˜o
∆p = ∆px = −mvx − (mvx) = −2mvx. (11)
• O intervalo de tempo ∆t entre duas coliso˜es consecutivas com a
mesma parede e´ o tempo que a mole´cula leva para se deslocar ate´ a
parede oposta e voltar, logo
∆t =
2d
vx
, (12)
e a taxa me´dia com a qual o momento e´ transmitido para a parede em
questa˜o e´ dada enta˜o por
∆px
∆t
=
−2mvx
(2d/vx)
=
−mv2x
d
→ Fm = ∆p
∆t
=
−mv2x
d
, (13)
onde Fm e´ a forc¸a me´dia exercida pela parede sobre a mole´cula.
• Pela terceira Lei de Newton, a forc¸a me´dia exercida pela mole´cula
sobre a parede do conatiner sera´ enta˜o
Fp =
mv2x
d
. (14)
• Ja´ a forc¸a exercida sobre a parede por todas as mole´culas do ga´s
sera´ dada por
F =
m
d
(v2x1 + v
2
x2 + . . .+ v
2
xN) =
Nm
d
v¯2x, (15)
onde v¯2x =
(v2x1+v
2
x2+...+v
2
xN)
N e´ o valor me´dio do quadrado da veloci-
dade na direc¸a˜o x.
• Se considerarmos as treˆs componentes da velocidade, temos v2 =
v2x + v
2
y + v
2
z e v¯2 = v¯2x + v¯2y + v¯2z .
• Uma vez que o movimento e´ completamente aleato´rio, temos v¯2x =
v¯2y = v¯2z e v¯2 = 3v¯2x, logo
F =
Nm
3d
v¯2. (16)
• Calculando agora a pressa˜o exercida sobre a parede,
p =
F
A
=
F
d2
=
Nm
3d
v¯2
d2
=
Nm
3d3
v¯2 =
Nm
3V
v¯2, (17)
e
p =
2
3
N
V
(
mv¯2
2
)
. (18)
A expressa˜o acima relaciona uma quantidade macrosco´pica, a pres-
sa˜o, com uma quantidade microsco´pica, o valor me´dio do quadrado
da velocidade molecular.
• Interpretac¸a˜o molecular da temperatura: podemos aprender mais so-
bre o significado da temperatura escrevendo a equac¸a˜o acima da
seguinte forma,
pV =
2
3
N
(
1
2
mv¯2
)
. (19)
• Comparando a equac¸a˜o acima com a equac¸a˜o de estado para o ga´s
ideal (equac¸a˜o experimental),
pV = NkBT, (20)
temos
kBT =
2
3
(
mv¯2
2
)
→ T = 2
3kB
(
mv¯2
2
)
, (21)
i.e., a temperatura e´ uma medida direta daenergia cine´tica molecular
me´dia.
• Relacionando a energia cine´tica translacional me´dia por mole´cula com
a temperatura,
1
2
mv¯2 =
3
2
kBT, (22)
logo a energia cine´tica total de um ga´s ideal monoatoˆmico com N
mole´culas pode ser escrita como
K = N
(
1
2
mv¯2
)
=
3
2
NkBT =
3
2
nRT, (23)
lembrando que kB = R/NA e n = N/NA.
• Para um ga´s ideal monoatoˆmico, as mole´culas possuem apenas ener-
gia cine´tica translacional, logo Eint = K e
Eint =
3
2
NkBT =
3
2
nRT. (24)
• O resultado acima tambe´m pode ser compreendido como uma con-
sequeˆncia do teorema da equipartic¸a˜o da energia, que estabelece o
seguinte: cada grau de liberdade translacional contribui com kBT/2
para a energia do sistema.
• Logo, para um ga´s ideal molecular qualquer, teremos
Eint =
ng
2
NkBT =
ng
2
nRT, (25)
onde ng e´ o nu´mero de graus de liberdade de cada mole´cula do ga´s,
i.e., o nu´mero de possibilidades diferentes de movimento (indepen-
dentes) que cada mole´cula possui.
Exemplo 5: Um cilindro conte´m 3,00 mol de ga´s he´lio a temperatura
de 300 K. (a) Se o ga´s e´ aquecido a volume constante, qual a energia
que deve ser transferida por calor ao ga´s para que sua temperatura
aumente para 500 K? (b) Qual a energia que deve ser transferida por
calor ao ga´s, a pressa˜o constante, para que sua temperatura aumente
para 500 K? (c) Qual e´ o trabalho realizado pelo ga´s durante o pro-
cesso isoba´rico? (Dados: CV = 12,5 J/mol.K e Cp = 20,8 J/mol.K)
(a) Para um processo isovolume´trico, temos
Q = nCV ∆T = (3)(12,5)(500− 300) = 7,50× 103J.
Observe que, para V constante, ∆Eint = Q, pois W = 0. Logo,
∆Eint = Q→
3
2
nR∆T = nCV ∆T → CV =
3
2
R. (26)
(b) Para um processo isoba´rico, temos
Q = nCp∆T = (3)(20,8)(500− 300) = 1,25× 104J.
(c) Pela primeira lei, ∆Eint = Q −W , logo W = Q −∆Eint, onde
Q foi obtido na letra (b). Determinando ∆Eint:
∆Eint =
3
2
nR∆T = 7,50× 103J,
logo W = 12,5× 103 − 7,50× 103 = 5,00× 103 J.
• Expansa˜o adiaba´tica de um ga´s ideal: um processo adiaba´tico e´
aquele durante o qual na˜o ocorre troca de calor entre o sistema e sua
vizinhanc¸a. Vamos enta˜o supor que um ga´s ideal sofre uma expansa˜o
adiaba´tica. Consideramos que a cada instante durante o processo o
ga´s esta´ em equilı´brio, i.e, a equac¸a˜o pV = nRT e´ va´lida. E´ possı´vel
mostrar que durante, um processo adiaba´tico, a pressa˜o e o volume a
cada instante esta˜o relacionados pela expressa˜o
pV γ = constante, (27)
onde γ = Cp/CV e´ constante durante o processo (γ > 1). Durante
a expansa˜o adiaba´tica, todas as varia´veis termodinaˆmicas (p, V e T )
mudam.
O diagrama pV para uma expansa˜o adiaba´tica e´ mostrado na figura
abaixo. Como o processo e´ adiaba´tico, Q = 0 e ∆Eint = −W , i.e.,
o sistema perde energia interna (W > 0 para a expansa˜o) e a tem-
peratura do ga´s diminui. Do mesmo modo, se um ga´s e´ comprimido
adiabaticamente, sua temperatura aumenta.
Para os estados inicial e final do ga´s temos enta˜o,
piV
γ
i = pfV
γ
f . (28)
Utilizando a lei dos gases ideais para eliminar p,
TiV
γ−1
i = TfV
γ−1
f . (29)
Exemplo 6: Ar a 20,0◦ localizado no cilindro de um motor a diesel
e´ comprimido a partir de uma pressa˜o inicial de 1 atm e volume de
800,0 cm3 ate´ um volume final de 60,0 cm3. Considere que o ar se
comporta como um ga´s ideal com γ = 1,40 e que a compressa˜o e´
adiaba´tica. Encontre a pressa˜o e a temperatura final do ar.
Temos Ti = 20+273 = 293 K, pi = 1 atm = 1,01×105 Pa, Vi =
800 cm3=8 × 10−4 m3, Vf = 60 cm3=6 × 10−5 m3 e γ = 1,40.
Primeiro calculamos a pressa˜o final. Como a expansa˜o e´ adiaba´tica,
piV
γ
i = pfV
γ
f → pf = pi
(
Vi
Vf
)γ
= (1,01× 105)
[
(800)
(60)
]1,4
=
= 3,8× 106Pa = 37,6atm.
Calculando agora a temperatura final,
TiV
γ−1
i = TfV
γ−1
f → Tf = Ti
(
Vi
Vf
)(γ−1)
=
(293)
[
(800)
(60)
]0,4
= (293)(2,82) = 826K,
i.e., Tf = 553◦ C. A alta compressa˜o em um motor a diesel aumenta
a temperatura do combustı´vel o suficiente para causar sua combusta˜o.
Refereˆncias:
• Chaves, A. Fı´sica Ba´sica, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
• Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. II, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2009.(Verso˜es em portugueˆs e ingleˆs.)