aula fetrans 11

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MECANISMOS DE TRANSFEREˆNCIA DE CALOR
1. Mecanismos de Transfereˆncia de Energia
• E´ importante conhecermos os mecanismos que atuam na transfereˆn-
cia de energia entre um sistema e sua vizinhanc¸a, bem como a taxa
de transfereˆncia de energia.
• Existem treˆs mecanismos ba´sicos de transfereˆncia de calor que po-
dem resultar em uma variac¸a˜o da energia interna do sistema: convec-
c¸a˜o, radiac¸a˜o e conduc¸a˜o te´rmica.
• Convecc¸a˜o: e´ o mecanismo no qual a energia e´ transferida pelo movi-
mento de uma substaˆncia aquecida. Quando o movimento resulta de
diferenc¸as de densidade encontradas dentro de um mesmo sistema,
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a convecc¸a˜o e´ chamada de natural. Ja´ quando a substaˆncia aquecida
e´ forc¸ada a se mover, a convec¸a˜o e´ chamada de forc¸ada.
• Radiac¸a˜o: todos os objetos irradiam energia continuamente na forma
de ondas eletromagne´ticas produzidas pelas vibrac¸o˜es te´rmicas das
mole´culas.
• Conduc¸a˜o Te´rmica: e´ o processo de transfereˆncia de calor que mais
claramente esta´ associado com diferenc¸a de temperatura. Neste pro-
cesso a transfereˆncia de energia pode ser descrita em escala atoˆmica
como uma troca de energia cine´tica entre as partı´culas microsco´picas
(mole´culas, a´tomos e ele´trons), com as partı´culas menos energe´ticas
ganhando energia em coliso˜es com as mais energe´ticas.
2. Conduc¸a˜o Te´rmica
• A taxa de conduc¸a˜o te´rmica de energia depende das propriedades
da substaˆncia atrave´s da qual a energia esta´ sendo transportada.
Os metais, por exemplo, sa˜o bons condutores te´rmicos, pois neste
caso o calor e´ transportado atrave´s da vibrac¸a˜o dos a´tomos e tambe´m
atrave´s do movimento dos ele´trons livres.
• A conduc¸a˜o ocorre somente quando existe uma diferenc¸a de tempera-
tura entre duas partes do meio condutor. Considere uma camada de
espessura ∆x e a´rea de sec¸a˜o transversa A, com uma das faces
da camada mantida a temperatura T1 e a outra face mantida a uma
temperatura T2 (T2 > T1; figura abaixo).
• A energiaQ transferida em um intervalo de tempo ∆t flui da face mais
quente para a face mais fria a uma taxa
P ≡ Q
∆t
∝ A(T2 − T1)
∆x
= −A∆T
∆x
, (1)
onde ∆T = T1 − T2. Para uma camada com espessura infinites-
imal dx e submetida a uma diferenc¸a de temperatura dT , podemos
escrever a lei de conduc¸a˜o te´rmica da seguinte forma:
P = −κA dT
dx
, (2)
onde κ e´ a condutividade te´rmica do material e dT/dx e´ o gradiente
de temperatura (variac¸a˜o da temperatura com a posic¸a˜o).
• Suponha que uma barra longa, uniforme e de comprimento L, esteja
termicamente isolada de modo que calor na˜o possa fluir atrave´s das
suas laterais (figura abaixo). Se as terminac¸o˜es da barra esta˜o em
contato te´rmico com reservato´rios a temperaturas T1 e T2, com T2 >
T1, o calor flui ao longo da barra. Quando o estado estaciona´rio e´
atingido, a temperatura em cada ponto da barra sera´ enta˜o constante
no tempo. Neste caso, dT/dx = (T1 − T2)/L e enta˜o
P ≡ Q
∆t
= −κA(T1 − T2)
L
= κA
(T2 − T1)
L
. (3)
Exemplo 1: Duas camadas com espessuras L1 e L2 e condutividades
te´rmicas κ1 e κ2 esta˜o em contato te´rmico uma com a outra (figura
abaixo). As temperaturas das suas superfı´cies externas sa˜o T1 e T2,
respectivamente, com T2 > T1. Determine a temperatura na interface
e a taxa de transfereˆncia de energia atrave´s das camadas quando o
estado estaciona´rio e´ atingido.
Chamando de T a temperatura na interface entre as duas camadas,
enta˜o
P1 =
κ1A (T − T1)
L1
,
e´ a taxa de transfereˆncia atrave´s da camada 1 e
P2 =
κ2A (T2 − T )
L2
,
e´ a taxa de transfereˆncia de energia atrave´s da camada 2. No es-
tado estaciona´rio as taxas de transfereˆncia de energia se igualam, e
portanto
κ1A (T − T1)
L1
=
κ2A (T2 − T )
L2
.
Resolvendo a equac¸a˜o acima para T ,
κ1AT
L1
− κ1AT1
L1
=
κ2AT2
L2
− κ2AT
L2(
κ1
L1
+
κ2
L2
)
AT =
(
κ1T1
L1
+
κ2T2
L2
)
A
(κ1L2 + κ2L1)
L1L2
T =
(κ1T1L2 + κ2T2L1)
L1L2
,
e enta˜o
T =
(κ1T1L2 + κ2T2L1)
(κ1L2 + κ2L1)
.
Substituindo o resultado acima na expressa˜o de P1 ou P2 teremos
P ≡ P1 ≡ P2 =
A (T2 − T1)(
L1
κ1
)
+
(
L2
κ2
).
• Generalizando o resultado do exemplo acima para va´rias camadas,
P =
A (T2 − T1)∑
i
(
Li
κi
) , (4)
onde T1 e T2 sa˜o as temperaturas nas superfı´cies externas.
• A quantidade L/κ e´ definida como a resisteˆncia te´rmica do material,
R =
L
κ
. (5)
• A tabela abaixo mostra algumas condutividades te´rmicas.
Exemplo 2: Uma parede e´ construı´da com uma camada interna de
madeira, de espessura La, uma camada externa de tijolos, de espes-
sura Ld (Ld = 2,0La), e duas camadas intermedia´rias de espessura
e composic¸a˜o desconhecidas. A condutividade te´rmica da madeira e´
κa e a dos tijolos e´ κd = 5,0κa. A a´rea A da parede tambe´m e´ des-
conhecida. A conduc¸a˜o te´rmica atrave´s da parede atingiu o regime
estaciona´rio; as u´nicas temperaturas conhecidas sa˜o T1 = 25◦ C,
T2 = 20
◦ C e T5 = −10◦ C. Qual e´ a temperatura T4 ?
Regime de escoamento estaciona´rio indica:
– taxa de conduc¸a˜o de calor constante (Q/∆t = constante);
– temperaturas na˜o mudam com o tempo (T1, T2, T3, T4 e T5 na˜o
variam com o tempo).
Podemos obter T4 considerando a equac¸a˜o de conduc¸a˜o de calor
para a camada externa de tijolos, ou seja
Q
∆t
= κdA
(T4 − T5)
Ld
.
No entanto, na˜o conhecemos A ou Ld, temos apenas Ld = 2La.
Como o fluxo de calor e´ estaciona´rio, a taxa de transfereˆncia de calor
e´ a mesma para todas as camadas, logo:
Q
∆t
= κaA
(T1 − T2)
La
.
Igualando as equac¸o˜es acima:
κdA
(T4 − T5)
Ld
= κaA
(T1 − T2)
La
→ 5κa(T4 − T5)
2La
= κa
(T1 − T2)
La
,
5
(T4 − T5)
2
= (T1 − T2)→ T4 − T5 =
2
5
(T1 − T2),
T4 = T5 +
2
5
(T1 − T2).
Substituindo os valores de T1, T2 e T5 na expressa˜o acima obtemos
T4 = −8◦ C.
Refereˆncias:
• Chaves, A. Fı´sica Ba´sica, vol. II. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
• Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Fı´sica, Vol. II, 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
• Livi, C.P. Fundamentos de Fenoˆmenos de Transporte. Rio de Janeiro: LTC, 2008.