fisica 3 ufrj PF Fisica III Completo 2015.1 2010.1

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Coletânea 
Provas Antigas 
 
P1 - P2 - PF
P1
P2
PF
Física III 
 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versa˜o: A
Formula´rio
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 , C = Q/V , ~J = nq~v , |~J| = I
A
, R =
ρL
A
,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~B =
µ0I
2πs
ϕˆ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2µ0
B2 ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Qual e´ o trabalho necessa´rio para trazermos 3
part´ıculas do infinito, de cargas q1 = q2 = q, q3 = 3q, e
as colocarmos nos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero
de lado L?
(a) 3q2/(4πǫ0L)
(b) 4q2/(4πǫ0L)
(c) 5q2/(4πǫ0L)
(d) 6q2/(4πǫ0L)
(e) 7q2/(4πǫ0L)
2. Seja uma regia˜o R delimitada por uma superf´ıcie fe-
chada S. Tal regia˜o possui uma densidade volumar
de carga na˜o-uniforme ρ(~r) e uma carga total Q. A
partir da lei de Gauss, pode-se dizer que
(a) Se Q = 0, o campo ele´trico e´ nulo no exterior
de R.
(b) Ale´m de Q = 0, e´ necessa´rio que ρ(~r) = 0 para
que o campo ele´trico seja nulo no exterior de
R.
(c) Se Q = 0, o fluxo de campo ele´trico sobre S e´
nulo.
(d) Ale´m de Q = 0, e´ necessa´rio que ρ(~r) = 0 para
que o fluxo de campo ele´trico seja nulo em S.
(e) Nenhuma das opc¸o˜es anteriores.
1
3. Uma part´ıcula alfa com carga 2e e massa 4m esta´
se movendo com velocidade ~v quando entra em um
campo magne´tico uniforme ~B fazendo um aˆngulo reto
com a sua direc¸a˜o de movimento. Um deˆuteron de
carga e e massa 2m tambe´m entra no campo na mesma
direc¸a˜o e com a mesma velocidade. Calcule a dife-
renc¸a entre os raios das trajeto´rias da part´ıcula alfa e
do deˆuteron na regia˜o do campo magne´tico (sabendo-
se que v = |~v| e B = | ~B|)
(a) mv/eB
(b) 0
(c) 2mv/eB
(d) mv/2eB
(e) mv/4eB
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) Quanto maior
e´ o fluxo de campo magne´tico atrave´s da superf´ıcie
delimitada por uma espira, maior sera´ a f.e.m. indu-
zida nesta espira; (II) A f.e.m. induzida numa espira
depende se esta e´ feita de um material condutor ou
diele´trico; (III) A existeˆncia de f.e.m. induzida indica
que forc¸as magne´ticas, desde que dependam do tempo,
sa˜o capazes de realizar trabalho.
(a) Nenhuma afirmativa esta´ correta.
(b) Apenas a afirmativa I esta´ correta.
(c) Apenas a afirmativa II esta´ correta.
(d) Apenas a afirmativa III esta´ correta.
(e) As afirmativas I e II esta˜o corretas.
(f) As afirmativas I e III esta˜o corretas.
(g) As afirmativas II e III esta˜o corretas.
(h) Todas as afirmativas esta˜o corretas.
5. O mostrador de um relo´gio analo´gico, circular tem
part´ıculas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posic¸o˜es da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relo´gio
na˜o perturbam o campo eletrosta´tico criado por tais
part´ıculas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direc¸a˜o e sentido do campo ele´trico no cen-
tro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
6. Treˆs resistores cil´ındricos circulares oˆhmicos, 1, 2 e 3,
sa˜o constru´ıdos com o mesmo material, de resistivi-
dade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L e
a´rea de sec¸a˜o reta A, o resistor 2 tem comprimento L e
a´rea de sec¸a˜o reta 2A, enquanto o resistor 3 tem com-
primento 2L e a´rea de sec¸a˜o reta 2A. Se cada um des-
ses resistores for submetido a uma mesma diferenc¸a
de potencial entre suas extremidades, podemos afir-
mar, sobre os mo´dulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades
de corrente que fluem ao longo deles, que
(a) J1 = J2 = J3.
(b) J1 = J2/2 = J3.
(c) J1 = J2 = J3/2.
(d) J1 = 2J2 = J3.
(e) J1 = J2 = 2J3.
7. Um ele´tron com velocidade ~v e massam entra num ca-
pacitor plano atrave´s de um pequeno orif´ıcio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem a´rea infinita. Qual a
trajeto´ria seguida pelo ele´tron no interior do capaci-
tor?
v
(a) Um segmento de reta.
(b) Um arco de c´ırculo.
(c) Um arco de para´bola.
(d) Um arco de elipse.
(e) Um arco de hipe´rbole.
(f) Nenhuma das opc¸oes acima.
8. A lei de Ampe`re-Maxwell e´ va´lida
(a) quando existe um alto grau de simetria na ge-
ometria da situac¸a˜o.
(b) quando na˜o ha´ simetria.
(c) quando existe corrente de deslocamento.
(d) quando o campo magne´tico e´ constante.
(e) em todas as situac¸o˜es anteriores.
2
Figura 1: Plano condutor e placa diee´trica
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Um plano diele´trico P1 possui densidade superficial de carga constante (estaciona´ria e uniforme) σ > 0.
Coloca-se enta˜o, a uma distaˆncia 2d desse plano, uma placa condutora neutra P2, de espessura d e transversalmente
infinita, conforme mostra a figura 1. Determine (com justificativas!):
(a) o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do campo ele´trico ~E1 produzido apenas pelo plano P1, para x > 0. [1,2 pontos]
(b) o campo no interior da placa condutora. [0,4 ponto]
(c) as densidades de carga induzidas σ1 e σ2 na placa condutora. [0,8 ponto]
(d) o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do campo ele´trico ~E0 na regia˜o 0 < x < 2d. [0,8 ponto]
2. [2 pontos] A Figura 2 mostra um fio a, que consiste de dois segmentos retil´ıneos, semi-infinitos, ligados a um outro
semi-circular, de raio R, transportanto uma corrente I.
xˆ
yˆ
zˆ
I R
O
fio a
fio b
L
Figura 2: Figura 2.
(a) Calcule o vetor campo magne´tico, gerado pelo fio a, no ponto O, centro do semi-c´ırculo. Justifique cuidadosa-
mente. [1,2 ponto]
3
(b) Sabendo que um outro fio retil´ıneo infinito, b, esta´ situado a uma distaˆncia L do fio a, paralelo a esse, quais
devem ser o valor e o sentido da corrente I0 no fio b para que o campo magne´tico resultante seja nulo em O? [0,8
ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (c)
3. (b)
4. (a)
5. (b)
6. (e)
7. (c)
8. (e)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) O campo de um plano com densidade (superficial) de carga constante pode ser obtido a partir de suas simetrias
e da lei de Gauss. Devido a simetria plana, o campo ele´trico em todo o espac¸o so´ depende da coordenada
x, e devido a simetria axial ele necessariamente aponta na direc¸a˜o x, ou seja, o campo ele´trico do plano tem
a forma ~E1 = E1xˆ para x > d e ~E1 = −E1xˆ para x < 0, com E > 0. Trac¸ando-se enta˜o uma superf´ıcie
gaussiana cil´ındrica S1 que cruza o plano e perpendicular a ele, temos, da lei de Gauss∮
S1
~E1 · d~A = Qint
ǫ0
⇒
∫
Slat
1
~E1 · d~A
︸ ︷︷ ︸
=0,pois ~E⊥d~A
+
∫
S
tampas
1
~E1 · d~A = 2
∫
E1dA = 2E1A =
σA
ǫ0
(1)
donde
E1 =
σ
2ǫ0
⇒ ~E1 = σ
2ǫ0
xˆ(x > 0) (2)
(b) Como a carga no plano diele´trico e´ constante, a placa condutora ficara´ em equil´ıbrio eletrosta´tico na sua
presenc¸a, e portanto o campo e´ nulo.
(c) Como um condutor so´ pode ter cargas em sua superf´ıcie, a introduc¸a˜o da placa P2 gera efetivamente treˆs
planos de carga com simetria plana. Pela neutralidade da placa, segue imediatamente que σ1 = −σ2. Pelo
princ´ıpio da superposic¸a˜o , temos
~E1 + ~E2 + ~E3 =
[
σ
2ǫ0
+
σ1
2ǫ0
− σ2
2ǫ0
]
xˆ = 0 ⇒ σ
2ǫ0
+
2σ1
2ǫ0
= 0 ⇒ σ1 = −σ
2
, (3)
e portanto
σ1 = −σ2 = σ
2
.
(d)Sabendo-se todas as densidades superficiais, para encontrar o campo precisamos apenas do princ´ıpio da su-
perposic¸a˜o
~E1 + ~E2 + ~E3 =
[
σ1
2ǫ0
− σ1
4ǫ0
+
σ1
4ǫ0
]
xˆ =
σ1
2ǫ0
xˆ , (4)
ou seja, e´ o mesmo campo do plano sozinho.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) O fio a pode ser dividio em treˆs partes: dois fios semi-infinitos, e um semi-c´ırculo. Pela lei de Biot-Savart,
vemos que os fios semi-infinitos na˜o contribuem para o campo no ponto O, pois d~ℓ ‖ ~R. Ja´ o campo gerado pelo
semi-c´ırculo da´ (tomando O como a nossa origem, ou seja, ~r = ~0 e ~r − ~r′ = −~r′ = −Rrˆ)
~B =
µ0I
4π
d~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 =
µ0I
4π
∫
d~ℓ× (−Rrˆ)
R3
=
µ0I
4πR2
∫ π
0
Rdθ (−θˆ × rˆ)︸ ︷︷ ︸
=−zˆ
= − µ0I
4πR
zˆ
∫ π
0
dθ = −µ0I
4R
zˆ . (5)
(b) Bom, como o campo do fio a esta´ ”entrando”no papel, corrente I0 deve estar no sentido positivo do eixo X ,
pois so´ assim o fio b produzira´ um campo ”saindo”do papel, e portanto capaz de anular o do fio (a). Sabendo-se
enta˜o o campo do fio, temos, no ponto O
~Ba = − ~Bb ⇒ µ0I
4R
=
µ0I0
2πL
, (6)
2
ou seja
I0 =
IπL
2R
. (7)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versa˜o: B
Formula´rio
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 , C = Q/V , ~J = nq~v , |~J| = I
A
, R =
ρL
A
,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~B =
µ0I
2πs
ϕˆ
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2µ0
B2 ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. O mostrador de um relo´gio analo´gico, circular tem
part´ıculas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posic¸o˜es da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relo´gio
na˜o perturbam o campo eletrosta´tico criado por tais
part´ıculas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direc¸a˜o e sentido do campo ele´trico no cen-
tro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
2. Um ele´tron com velocidade ~v e massam entra num ca-
pacitor plano atrave´s de um pequeno orif´ıcio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem a´rea infinita. Qual a
trajeto´ria seguida pelo ele´tron no interior do capaci-
tor?
v
(a) Um segmento de reta.
(b) Um arco de c´ırculo.
(c) Um arco de para´bola.
(d) Um arco de elipse.
(e) Um arco de hipe´rbole.
(f) Nenhuma das opc¸oes acima.
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Prova Final: 26/05/2014
Versa˜o: A
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E =
1
4πε0
q
r2
rˆ (ε0 = 8,85× 10−12 F/m),
∮
S
~E ·d~A = Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B = µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦ~E
dt
, Eind = −dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Pro´ximo a um plano (infinito) P, com densidade su-
perficial de carga σ = const 6= 0, temos treˆs siste-
mas, todos com a mesma carga ele´trica (na˜o nula):
(I) uma part´ıcula (pontual), (II) um so´lido uniforme-
mente carregado, e (III) uma chapa bi-dimensional,
tambe´m uniformemente carregada. Assinale a opc¸a˜o
que melhor indica a relac¸a˜o entre os mo´dulos das
forc¸as ele´tricas devidas ao plano sobre cada um dos
sistemas.
(a) FI = FII = FIII .
(b) FI > FII > FIII .
(c) FII > FIII > FI .
(d) FI > FII > FIII .
(e) FI > FIII > FII .
2. Cada um de dois longos soleno´ides coaxiais e´ percor-
rido por uma corrente ele´trica estaciona´ria, de mesma
intensidade I, pore´m com sentidos contra´rios. Ambos
os soleno´ide teˆm o mesmo comprimento L, sendo que
o interno possui raio Ri e Ni voltas, ao passo que o ex-
terno possui raio Re e Ne voltas, sendo L≫ Re > Ri
e Ni, Ne ≫ 1. Sendo r a distaˆncia ate´ o eixo comum
dos soleno´ides, e considerando o campo magne´tico
fora dos dois soleno´ides igual a 0, podemos expres-
sar o campo magne´tico dentro do soleno´ide interno
(0 ≤ r < Ri) e entre os dois soleno´ides (Ri < r < Re),
respectivamente, como
(a) µ0 (Ne −Ni) Izˆ/L; µ0NeIzˆ/L .
(b) µ0 (Ni −Ne) Izˆ/L; −µ0NeIzˆ/L .
(c) µ0NeIzˆ/L; µ0 (Ne −Ni) Izˆ/L .
(d) −µ0NeIzˆ/L; µ0 (Ni −Ne) Izˆ/L .
(e) µ0 (Ne −Ni) Izˆ/r; µ0NeIzˆ/r .
1
3. Um fio de cobre, cuja resistividade ele´trica e´
2,0×10−8 Ω·m e constante diele´trica praticamente
igual a 1, tem a´rea de sec¸a˜o reta uniforme igual a
4 mm2. Num dado instante, a corrente que passa pelo
fio e´ de 20 A, mas esta´ crescendo a` taxa de 5,0×103
A/s. O nu´mero que melhor se aproxima da raza˜o entre
a corrente de deslocamento dentro do fio e a corrente
de conduc¸a˜o, nesse instante, e´
(a) 10−5 .
(b) 10−10 .
(c) 10−16 .
(d) 1 .
(e) 105 .
(f) 1010 .
(g) 1016 .
4. Analise as seguintes afirmativas: (I) As linhas de
campo ele´trico nunca se iniciam em um ponto no
espac¸o; (II) As linhas de campo ele´trico nunca se cru-
zam em um ponto do espac¸o; e (III) As linhas de
campo ele´trico nunca sa˜o fechadas. Qual(is) e´(sa˜o)
verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
5. Analise as seguintes afirmativas: (I) Em uma certa
regia˜o do espac¸o, a carga ele´trica total e´ zero; logo,
em qualquer ponto de sua superf´ıcie fronteiric¸a, o
campo ele´trico tambe´m e´ zero; (II) Em equil´ıbrio ele-
trosta´tico, o campo ele´trico no interior de um material
isolante, e´, necessariamente, zero; e (III) Se um condu-
tor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ neutro, enta˜o a den-
sidade superficial de carga em qualquer ponto de sua
superf´ıcie e´ nula. Qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
6. Qual das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira?
(a) A capacitaˆncia de um capacitor, por definic¸a˜o,
e´ a quantidade total de carga que ele pode acu-
mular.
(b) Ao variarmos a diferenc¸a de potencial entre as
placas de um capacitor dado, fixo, de placas
paralelas, variamos a sua capacitaˆncia.
(c) Para um capacitor dado, fixo, de placas pa-
ralelas, ao dobrarmos a carga em cada placa,
dobramos a sua capacitaˆncia.
(d) A capacitaˆncia de um capacitor dado, fixo, au-
menta, quando inserimos algum material iso-
lante entre suas placas, todo o resto mantendo-
se inalterado.
(e) Ao dobrarmos a carga armazenada em um
dado capacitor, tambe´m dobramos a energia
armazenada nele.
2
7. Dois fios retil´ıneos muito longos, paralelos, a uma
distaˆncia de 1 m entre si, transportam, cada um,
uma corrente ele´trica estaciona´ria de 1 A. O mo´dulo
da forc¸a magne´tica por unidade de comprimento que
cada um exerce sobre o outro e´
(a) 4πµ0 A
2/m .
(b) 2πµ0 A
2/m .
(c) πµ0 A
2/m .
(d) µ0/π A
2/m .
(e) µ0/(2π) A
2/m .
(f) µ0/(4π) A
2/m .
8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) Em uma dada
regia˜o, existe, originalmente, um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) e uma superf´ıcie
aberta plana. Se o mo´dulo de talcampo for dobrado
e a a´rea da superf´ıcie for quadruplicada, mantendo-
se plana e com a mesma orientac¸a˜o, enta˜o o fluxo de
campo magne´tico, atrave´s da nova superf´ıcie, cresce
por um fator quatro, em comparac¸a˜o com a antiga
superf´ıcie; (II) De acordo com a lei de Faraday, a
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que uma forc¸a
eletromotriz seja induzida em um circuito fechado e´ a
presenc¸a no circuito de um campo magne´tico que varia
com o tempo; e (III) Se uma espira condutora pro´xima
a um ı´ma˜ comec¸a a afastar-se desse, enta˜o surge uma
forc¸a repulsiva entre o ı´ma˜ e a espira. Qual(is) e´(sa˜o)
a(s) afirmativa(s) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas esta˜o corretas.
(h) Nenhuma esta´ correta.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cilindro circular, muito longo, possui uma densidade
volumar de carga ele´trica estaciona´ria, mas na˜o uniforme ρ(r) = A/r,
onde A = const e r e´ a usual coordenada radial, medida a partir do
eixo de simetria do cilindro. Envolvendo tal cilindro, temos uma casca
cil´ındrica circular espessa, coaxial, tambe´m muito longa, de raios in-
terno b e externo c, condutora e neutra.
(a) Determine a carga por unidade de comprimento axial, no cilindro
interno. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico em um ponto gene´rico dentro do ci-
lindro interno, com coordenada radial 0 ≤ r ≤ a. [0,7 ponto]
(c) Determine o campo ele´trico em um ponto gene´rico na regia˜o entre
os dois cilindros, com coordenada radial a ≤ r < b. [0,5 ponto]
(d) Determine o campo ele´trico em um ponto gene´rico dentro da casca
condutora, com coordenada radial b < r < c. [0,4 ponto]
(e) Determine o campo ele´trico em um ponto gene´rico na regia˜o ex-
terior aos dois cilindros, com coordenada radial c < r < ∞. [0,5
ponto]
2.
3
[2,6 pontos] A figura mostra uma barra retil´ınea condu-
tora, de massa m, comprimento L e resisteˆncia ele´trica R,
movendo-se com uma velocidade constante ~v ao longo de
trilhos condutores, retil´ıneos horizontais, fixos. Tal cir-
cuito esta´ sob ac¸a˜o de um campo magne´tico gerado por
uma corrente ele´trica estaciona´ria i fluindo por um fio
retil´ıneo longo, paralelo a` barra e no mesmo plano do cir-
cuito. A resisteˆncia dos trilhos, assim como a capacitaˆncia
e a auto-indutaˆncia do circuito e a indutaˆncia mu´tua entre
o circuito e o fio retil´ıneo (de corrente i) podem e devem
ser desprezadas.
(a) Obtenha uma expressa˜o para a corrente ele´trica no
circuito, I, como func¸a˜o da distaˆncia x da barra ao fio, ex-
plicitando, ademais, o sentido de tal corrente. [Sugesta˜o:
na˜o precisa deduzir o campo magne´tico de uma corrente
retil´ınea estaciona´ria, muito longa.] [1,2 ponto]
(b) Obtenha uma expressa˜o para a taxa temporal de
dissipac¸a˜o de energia, pelo efeito Joule, na barra, como
func¸a˜o de x. [0,6 ponto]
(c) Obtenha uma expressa˜o para a forc¸a externa que pre-
cisa ser aplicada a` barra para manter a sua velocidade
constante. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (a)
3. (c)
4. (b)
5. (h)
6. (d)
7. (e)
8. (h)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) [0,5]
No (sub-)cilindro sombreado, de raio a, com altura ou espessura infinitesimal dz, coaxial com o cilindro interno,
teremos a seguinte quantidade infinitesimal de carga ele´trica:
dq =
∫ a
r=0
ρ(r) 2πr dr dz
=
∫ a
r=0
A
r
2πr dr dz
= 2πA
∫ a
r=0
dr dz
= 2πAa dz .
Logo, a quantidade de carga por unidade de comprimento axial sera´
λ :=
dq
dz
= 2πAa .
1
�
(b) [0,7]
• 0 ≤ r ≤ a:
Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o de carga, o campo ele´trico deve ter somente componente radial, sendo
esta func¸a˜o apenas da coordenada radial r:
~E = Er(r) rˆ .
Isso sugere, pois, aplicar a lei de Gauss para determinar tal campo ele´trico, escolhendo como superf´ıcie gaussiana,
S, uma superf´ıcie cil´ındrica circular, coaxial com o cilindro interno e a casca externa. Suporemos que o raio gene´rico
de tal gaussiana e´ justamente r e que sua altura e´ L, de modo que a expressa˜o do fluxo do campo ele´trico reduz-se
a
Φ~E :=
∮
S
~E · d~A
=
∮
S
Er(r) rˆ · d~A
=
∫
Slat
Er(r) dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrL .
Por sua vez, a carga total encerrada por tal gaussiana e´ [cf. item (a)]
Q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 2πr′ dr′L
= 2πArL .
Logo, pela lei de Gauss,
~E =
A
ε0
rˆ .
�
(c) [0,5]
• a ≤ r < b:
A expressa˜o gene´rica do fluxo continua como dada acima, no item (b), e a carga encerrada agora e´
Q(r) = λL .
Logo,
~E =
λ
2πε0r
rˆ =
Aa
ε0r
rˆ .
�
(d) [0,4]
• b < r < c:
Como o sistema em geral e a casca condutora em particular esta˜o em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico
(macrosco´pico) dentro da casca e´, por definic¸a˜o de condutor e de equil´ıbrio eletrosta´tico, nulo:
~E = ~0 .
�
2
(e) [0,5]
• c < r < +∞:
A expressa˜o gene´rica do fluxo continua como dada acima, no item (b), e a carga encerrada mais uma vez e´
Q(r) = λL .
Logo,
~E =
λ
2πε0r
rˆ =
Aa
ε0r
rˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) [1,2 ponto]
Isto e´ um problema t´ıpico de forc¸a eletromotriz de movimento. Como a superf´ıcie (plana), S, delimitada pelos
trilhos e a barra deslizante tem a´rea progressivamente maior e o campo magne´tico gerado pelo fio longo aponta,
atrave´s da referida superf´ıcie S, para fora do papel, o campo magne´tico induzido tera´ de ter a direc¸a˜o perpendicular
a` folha de papel e o sentido para dentro; logo, a corrente induzida tera´ o sentido hora´rio.
No que concerne sua intensidade, raciocinamos da seguinte forma. O campo da corrente estaciona´ria ao longo do
fio retil´ıneo, a uma distaˆncia x, e´
~B =
µ0i
2πx
ϕˆ .
Destarte, o fluxo, quando a barra esta´ na posic¸a˜o x, e´
Φ~B :=
∫
S
~B · d~A
=
∫ x
x′=a
µ0i
2πx′
Ldx′
=
µ0iL
2π
∫ x
x′=a
1
x′
dx′
=
µ0iL
2π
ln
(x
a
)
.
Pela lei de Faraday, a correspondente fem induzida sera´, pois,
Eind = −dΦ~B
dt
= −µ0iLv
2πx
.
Finalmente, ja´ que a capacitaˆncia e auto-indutaˆncia do circuito, assim como a indutaˆncia mu´tua entre ele e o fio
longo sa˜o desprez´ıveis, a intensidade da corrente ele´trica induzida sera´, enta˜o
I =
µ0iLv
2πxR
.
�
(b) [0,6 ponto]
Atrave´s de um fio condutor oˆhmico, com resisteˆncia R e corrente I, sujeito a uma fem E, ha´ uma poteˆncia dissipada
dada por
P = EI = RI2 = E2/R .
3
Logo,
P =
µ20i
2L2v2
4π2x2R
.
�
(c) [0,8 ponto]
Para que a velocidade da barra se mantenha constante, uma forc¸a externa, ~F ext, deve ser aplicada para contraba-
lanc¸ar a forc¸a magne´tica, ~Fm, sobre a barra, devida ao fio longo. Logo,
Fext = Fm
= ILB .
Enta˜o, usando I e B do item (a), vem
~F ext =
µ20i
2L2v
4π2x2R
xˆ ,
onde o vetor unita´rio xˆ aponta, no caso, da direita para a esquerda.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/2 – Prova Final: 04/12/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦ~E
dt
, Eind = −dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
;
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha(8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Treˆs part´ıculas de cargas ele´tricas iguais a q esta˜o dis-
postas em uma reta e a distaˆncia entre cada uma e
a vizinha e´ dada por r. Qual e´ a energia poten-
cial ele´trica do sistema, supondo-a zero quando as
part´ıculas esta˜o infinitamente afastadas umas das ou-
tras?
(a)
1
4πε0
q2
r
.
(b)
3
4πε0
q2
r
.
(c)
3
8πε0
q2
r
.
(d)
5
8πε0
q2
r
.
(e)
1
2πε0
q2
r
.
2. Sobre a lei de Ampe`re, indique a alternativa cor-
reta.
(a) So´ e´ va´lida quando existe um alto grau de si-
metria.
(b) So´ e´ va´lida quando na˜o existe nenhuma sime-
tria.
(c) So´ e´ va´lida quando a corrente ele´trica for esta-
ciona´ria.
(d) So´ e´ va´lida quando o campo magne´tico for
constante, ou seja, estaciona´rio e uniforme.
(e) So´ e´ va´lida quando o campo ele´trico for cons-
tante, ou seja, estaciona´rio e uniforme.
3. Dois fios retil´ıneos paralelos, muito longos, transpor-
tam correntes ele´tricas estaciona´rias de intensidades
I1 = I e I2 = 2I, no mesmo sentido. Os mo´dulos F1 e
F2 das forc¸as magne´ticas sobre os correspondents fios
esta˜o relacionados por
(a) F1 = 2F2 .
(b) F1 = F2 .
(c) F2 = 2F1 .
(d) F1 = 4F2 .
(e) F2 = 4F1 .
1
4. Quando uma part´ıcula carregada esta´ na proximidade
de um condutor neutro, qual das seguintes afirmativas
e´ correta?
(a) Independentemente do sinal de sua carga
ele´trica, a part´ıcula nunca sofre uma forc¸a ele-
trosta´tica, devida ao condutor.
(b) Independentemente do sinal de sua carga
ele´trica, a part´ıcula sempre sofre uma forc¸a ele-
trosta´tica atrativa, devida ao condutor.
(c) Independentemente do sinal de sua carga
ele´trica, a part´ıcula sempre sofre uma forc¸a ele-
trosta´tica repulsiva, devida ao condutor.
(d) Se a sua carga ele´trica for positiva, a part´ıcula
sempre sofre uma forc¸a eletrosta´tica repulsiva,
devida ao condutor, ao passo que, se a sua
carga ele´trica for negativa, a part´ıcula sempre
sofre uma forc¸a atrativa, devida ao condutor.
(e) Se a sua carga ele´trica for negativa, a part´ıcula
sempre sofre uma forc¸a eletrosta´tica repulsiva,
devida ao condutor, ao passo que, se a sua
carga ele´trica for positiva, a part´ıcula sempre
sofre uma forc¸a atrativa, devida ao condutor.
5. Considere as seguintes treˆs afirmativas: (I) se o fluxo
do campo ele´trico atrave´s de uma superf´ıcie fechada
for nulo, o campo ele´trico em todos os pontos da su-
perf´ıcie e´ zero; (II) se o fluxo do campo ele´trico atrave´s
de uma superf´ıcie fechada for nulo, a carga total no in-
terior da superf´ıcie e´ zero, e (III) se o fluxo do campo
ele´trico atrave´s de uma superf´ıcie fechada for positivo,
aumentando-se a a´rea de tal superf´ıcie (sem que novas
cargas sejam adicionadas), o fluxo diminui. Qual(is)
delas esta´(a˜o) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas esta˜o corretas.
(h) Nenhuma esta´ correta.
6. Duas part´ıculas, com cargas ele´tricas q e Q (q 6= Q),
separadas por uma distaˆncia d, produzem, em um
ponto P, um potencial eletrosta´tico nulo: V (P) = 0,
supondo-o zero no infinito. Isso significa que
(a) a particula de carga q na˜o exerce forc¸a ele-
trosta´tica sobre a part´ıcula de carga Q.
(b) q e Q devem ter o mesmo sinal.
(c) o campo eletrosta´tico deve ser zero em P.
(d) o trabalho total para trazer a part´ıcula de
carga Q, a partir do infinito, ate´ uma distaˆncia
d da part´ıcula de carga q, e´ zero.
(e) o trabalho total para trazer uma part´ıcula car-
regada de teste do infinito para o ponto P e´
zero.
7. Uma corrente ele´trica na˜o estaciona´ria, da forma
i(t) = I0 cos(ωt) (onde I0 e ω sa˜o constantes), passa
por um soleno´ide de auto-indutaˆncia L. Para essa
situac¸a˜o, qual das alternativas abaixo e´ correta?
(a) A energia magne´tica armazenada no indutor e´
estaciona´ria e proporcional ao quadrado de I0.
(b) Surge um campo magne´tico, estaciona´rio e uni-
forme, no interior do soleno´ide, paralelo a seu
eixo de simetria.
(c) Surge um campo ele´trico induzido, no in-
terior do soleno´ide, perpendicular ao campo
magne´tico gerado pela corrente i(t).
(d) A auto-indutaˆncia do soleno´ide varia no
tempo, seguindo a variac¸a˜o da corrente i(t).
(e) O soleno´ide induz, nele mesmo, uma forc¸a ele-
tromotriz E que, para qualquer instante de
tempo, e´ contra´ria ao sentido da corrente i(t).
2
8. Uma bobina quadrada, de lado a, possui N espiras
e esta´ livre para girar em torno de um eixo para-
lelo a dois de seus lados e que passa pelo seu centro.
Tal bobina esta´ completamente imersa em um campo
magne´tico ~B constante (estaciona´rio e uniforme). Su-
pondo que o aˆngulo que o plano da bobina faz com
o campo magne´tico e´ dado por θ = θ(t), quais sa˜o o
fluxo do campo magne´tico atrave´s da bobina e a fem
induzida ao longo dela?
(a) 4NBa sen θ e −4NBaθ˙ cos θ .
(b) 4NBa cos θ e 4NBaθ˙ sen θ .
(c) NBa2 sen θ e −NBa2θ˙ cos θ .
(d) NBa2 cos θ e NBa2θ˙ sen θ .
(e) NBa2 e 0, pois a a´rea e o campo teˆm mo´dulos
constantes (no tempo).
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Uma esfera so´lida, isolante, de raio a e carga Q, estaciona´ria e uniformemente distribu´ıda por todo o
seu interior, e´ conceˆntrica com uma casca, tambe´m esfe´rica, condutora, neutra, de raios interno b e externo c, em
equil´ıbrio eletrosta´tico.
(a) Determine o vetor campo ele´trico no interior da esfera so´lida: 0 ≤ r ≤ a. Considere a constante diele´trica igual
a 1. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico na regia˜o entre a esfera so´lida e a casca: a ≤ r ≤ b. [0,6 ponto]
(c) Determine a diferenc¸a de potencial entre um ponto da superf´ıcie externa da casca (r = c) e um ponto da
superf´ıcie da esfera so´lida (r = a), ou seja, V (c)− V (a). [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] A densidade de corrente ele´trica estaciona´ria atrave´s do interior de um fio cil´ındrico, circular, longo,
de raio R, coaxial com o eixo Z, e´ dada por
~J =


3J0r
2R
zˆ , se 0 ≤ r ≤ R ;
~0 , se R < r <∞ ,
onde r e´ a tradicional coordenada cil´ındrica radial (distaˆncia ao eixo do fio).
(a) Determine a intensidade de corrente ele´trica I(r) que flui atrave´s de uma “sec¸a˜o reta” circular de raio r < R,
centrada no eixo do fio. [0,6 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico dentro do fio: 0 ≤ r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico fora do fio: R ≤ r <∞. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (c)
3. (b)
4. (b)
5. (b)
6. (e)
7. (c)
8. (c)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) 0 ≤ r ≤ a:
Devido a` simetria esfe´rica da distribuic¸a˜o de carga, resolveremos os itens (a) e (b) usando a lei de Gauss. Para cada
uma das regio˜es mencionadas em tais itens, vale, pela supracitada simetria que o campo ele´trico, a ser descoberto,
e´ puramente radial, sendo sua componente func¸a˜o so´ da distaˆncia ao centro, r, ou seja,
~E = Er(r) rˆ .
Isso sugere, pois, usarmos, em ambos os itens (a) e (b), uma superf´ıcie gaussiana esfe´rica, centrada no centro da
distribuic¸a˜o de carga, de raio t´ıpico r. Nela, o fluxo sera´ dado por
Φ~E [S] :=
∫
S
~E · d~A
=
∫
S
Er(r)rˆ · rˆdA
=
∫
SEr(r) dA
= Er(r)
∫
S
dA ,
ou seja,
Φ~E = 4πr
2Er(r) . (1)
O que vai diferir, nos itens (a) e (b) e´ a carga no interior da gaussiana. No caso presente (0 ≤ r ≤ R), a carga
encerrada no interior da gaussiana sera´:
Qint = Q(r)
=
∫ r
r′=0
ρ dV
= ρ
∫ r
r′=0
dV
=ρV(r)
= ρ
4
3
πr3 ,
1
ou seja,
Qint =
Q
R3
r3 . (2)
Pela lei de Gauss, isso deve ser igual ao fluxo ele´trico (1) vezes ε0, ou seja,
Er(r)4πr
2 =
Q
ε0
r3
R3
.
Portanto, finalmente,
~E =
Q
4πε0R3
r rˆ .
�
(b) a ≤ r ≤ b:
Neste caso, a carga encerrada no interior da gaussiana sera´ toda a carga da esfera so´lida, ou seja,
Qint = Q .
Logo, pela lei de Gauss, agora vale
Er4πr
2 =
Q
ε0
,
ou
~E =
1
4πε0
Q
r2
rˆ . (3)
�
(c) Naturalmente, a relac¸a˜o ba´sica em questa˜o e´:
dV = −~E · d~ℓ .
Temos de integrar isso de r = a ate´ r = c, para obtermos:∫ c
r=a
dV = −
∫ c
r=a
~E · d~ℓ
V (c)− V (a) = −
∫ b
r=a
~E · d~ℓ−
∫ c
b
~E · d~ℓ
= −
∫ b
r=a
~E · d~ℓ− ~0 ,
pois, no interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico e´ zero. Logo, continuando, ao levar
em conta (3), obtemos
V (c)− V (a) = −
∫ c
r=a
1
4πε0
Q
r2
rˆ · d~ℓ
= − Q
4πε0
∫ c
r=a
dr
r2
,
ou seja,
V (c)− V (a) = Q
4πε0
(
1
b
− 1
a
)
.
�
2
2. Resoluc¸a˜o:
(a) A intensidade de corrente ele´trica que cruza a “sec¸a˜o reta” circular S, de raio r < R, e´ dada por
I[r] =
∫
S
~J · d~A
=
∫ r
r′=0
3J0r
′
2R
zˆ · zˆdA
=
∫ r
r′=0
3J0r
′
2R
2πr′ dr′
=
3πJ0
R
∫ r
r′=0
r′2 dr′ ,
ou seja,
I[r] =
πJ0
R
r3 . (4)
�
(b) 0 ≤ r ≤ R:
Visto que a fonte de corrente estaciona´ria goza de simetria cil´ındrica, conve´m utilizarmos a lei de Ampe`re, a partir
da expressa˜o do campo magne´tico como
~B = Bϕ(r) ϕˆ(ϕ) ,
onde, naturalmente, estamos usando coordenadas cil´ındricas (r, ϕ, z). Tal simetria sugere escolher, como curva
ampe`riana, uma circunfereˆncia de c´ırculo C, de raio t´ıpico r, conceˆntrica com o eixo da distribuic¸a˜o de corrente e
com o seu plano perpendicular a tal eixo. Destarte, a circulac¸a˜o ao longo de C sera´
Γ~B[C] =
∮
C
~B · d~ℓ
=
∮
C
Bϕ(r) ϕˆ(ϕ) · d~ℓ
= Bϕ(r)
∮
C
dℓ ,
ou seja,
Γ~B[C] = 2πrBϕ(r) . (5)
Ora, igualando isso com a corrente encerrada dada por (4), vezes µ0, obtemos
2πrBϕ(r) = µ0
πJ0
R
r3 ,
ou, finalmente,
~B =
µ0J0
2R
r2 ϕˆ .
�
(c) r ≤ r <∞:
Agora, a corrente encerrada e´ um caso particular de (4) quando r = R, ou seja,
Ienc = πJ0R
2 .
3
Portanto, tendo em mente que ainda vale a expressa˜o gene´rica para a circulac¸a˜o dada por (5), a lei de Ampe`re
fornece
2πrBϕ(r) = µ0πJ0R
2 ,
ou seja,
~B = µ0
J0R
2
2r
ϕˆ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/1 – Prova Final: 19/07/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
;
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Temos dois fios retil´ıneos, finos, paralelos. Um deles
e´ muito longo (supostamente infinito) e o outro tem
comprimento L. O fio infinito tem uma densidade li-
near de carga λ, ao passo que o fio finito tem uma den-
sidade linear de carga λ′, ambas constantes. Sabendo
que o campo ele´trico do fio muito longo, em um ponto
qualquer a uma distaˆncia s dele, e´ ~E = λ/(2πε0s) sˆ,
qual e´ a forc¸a ele´trica do fio infinito sobre o finito?
(a)
1
4πε0
λλ′L2
s2
sˆ.
(b)
1
4πε0
λλ′L
s
sˆ.
(c)
1
2πε0
λλ′
sL
sˆ.
(d)
1
2πε0
λλ′L
s
sˆ.
(e)
1
2πε0
λλ′L2
s2
sˆ.
2. Em um intervalo de tempo 0 < t1 < t < t2, com
t1 e t2 constantes, um anel circular tem seu raio
variando como: R(t) = At, onde A e´ uma cons-
tante positiva. Perpendicular ao plano do anel, existe
um campo magne´tico estaciona´rio, mas na˜o uniforme,
cujo mo´dulo, no plano do anel, varia como: B(r) =
Cr, onde C e´ uma constante positiva e r e´ a distaˆncia
ate´ o centro do anel. Qual e´ o mo´dulo da forc¸a eletro-
motriz induzida ao longo do anel, durante o intervalo
de tempo acima mencionado?
(a) 2πCA3t2.
(b) 3πCA3t2.
(c) CA3t3.
(d) 2CA3t2.
(e) 3CA3t2.
1
3. Um anel circular, de raio R, possui carga total Q, uni-
formemente distribu´ıda. Tal anel e´ colocado para gi-
rar, com velocidade angular ~ω constante, orientada ao
longo do eixo de simetria perpendicular ao seu plano.
Qual e´, enta˜o, o campo magne´tico no centro do anel?
(a)
µ0Q
2πR
~ω.
(b)
µ0Q
2R
~ω.
(c)
µ0Q
4R
~ω.
(d)
µ0Q
R
~ω.
(e)
µ0Q
πR
~ω.
(f)
µ0Q
4πR
~ω.
4. Considere um capacitor ideal de placas quadradas,
planas e paralelas. Mantendo-se a carga de cada placa
constante, uma chapa espessa de isolante, e´ inserida
na regia˜o entre as placas do capacitor original. Sendo
E0 o mo´dulo do campo ele´trico entre as placas do ca-
pacitor original, e Ei (i = 1, 2) os mo´dulos do campo
ele´trico, nos pontos Pi (i = 1, 2), apo´s a introduc¸a˜o do
isolante, o que pode ser afirmado sobre tais mo´dulos?
(a) E0 < E1 < E2.
(b) E0 > E1 > E2.
(c) E0 > E2 > E1.
(d) E0 < E2 < E2.
(e) E0 = E2 < E1.
(f) E0 = E2 > E1.
(g) E0 = E1 > E2.
(h) E0 = E1 < E2.
2
5. Um circuito retangular ABCD, de comprimento a e
largura b, e´ percorrido por uma corrente ele´trica es-
taciona´ria, de intensidade I. Os seus lados paralelos
AB e CD esta˜o sujeitos a campos magne´ticos cons-
tantes (estaciona´rios e uniformes) iguais a, respecti-
vamente, ~BAB = B0 zˆ (B0 = const) e ~BCD = −~BAB.
Qual e´ a forc¸a magne´tica resultante sobre o circuito?
(a) 2IB0a yˆ.
(b) −2IB0a yˆ.
(c) −2IB0b yˆ.
(d) 2IB0b yˆ.
(e) IB0(a + b) yˆ.
(f) ~0.
6. Considere o trabalho realizado pelas forc¸as ele´tricas
nas seguintes treˆs situac¸o˜es: (I) duas part´ıculas, de
mesma carga ele´trica Q, sa˜o trazidas de uma distaˆncia
infinita ate´ uma distaˆncia R (entre si); (II) uma
casca esfe´rica (superficial), de raio R, com carga Q
uniformemente distribu´ıda, e´ montada a partir de
part´ıculas, com carga infinitesimal, trazidas do infi-
nito, e (III) uma esfera (so´lida), de raio R, com carga
Q uniformemente distribu´ıda em seu volume, e´ mon-
tada a partir de part´ıculas, com carga infinitesimal,
trazidas do infinito. O que se pode afirmar sobre tais
trabalhos, Wi (i = I, II, III)?
(a) WII < WIII < WI.
(b) WII > WIII > WI.
(c) WI > WII > WIII.
(d) WI < WII < WIII.
(e) WIII > WI > WII.
(f) WIII < WI < WII.
7. Duas part´ıculas, de cargas Q e q (Q 6= q), sepa-
radas por uma distancia d, produzem um potencial
V (P) = 0 no ponto P, sendo o potencial tambe´m
igual a zero no infinito. Isso significa necessariamente
que:
(a) na˜o ha´ forc¸a ele´trica atuando em uma part´ıcula
de teste carregada situada no ponto P.
(b) Q e q devem ter o mesmo sinal.
(c) o campo ele´trico tem que ser nulo no ponto P.
(d) o trabalho para trazer a part´ıcula de cargaQdo
infinito para uma distaˆncia d da part´ıcula de
carga q e´ zero.
(e) o trabalho realizado pela forc¸a ele´trica ao tra-
zer uma part´ıcula de teste carregada do infinito
para o ponto P e´ zero.
8. Um pro´ton e um ele´tron se movem, paralelamente,
com velocidades (vetoriais) constantes iguais e de
mo´dulo muito pequeno. A forc¸a ele´trica entre eles
e´ atrativa ou repulsiva? E a forc¸a magne´tica?
E a forc¸a eletromagne´tica resultante (ele´trica +
magne´tica)?
(a) Atrativa. Atrativa. Atrativa.
(b) Atrativa. Atrativa. Repulsiva.
(c) Atrativa. Repulsiva. Atrativa.
(d) Atrativa. Repulsiva. Repulsiva.
(e) Repulsiva. Repulsiva. Repulsiva.(f) Atrativa. Nula. Atrativa.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Uma esfera (so´lida), de raio R e carga total Q, possui densidade volumar de carga dada por
ρ(r) = ρ0
(
1−
r
R
)
,
onde ρ0 e´ uma constante e r e´ a usual coordenada radial, medida a partir do centro da esfera.
(a) Deduza uma expressa˜o para Q como func¸a˜o de ρ0 e R. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico nas duas regio˜es t´ıpicas do espac¸o: 0 ≤ r ≤ R e R ≤ r <∞. [1,0 ponto]
(c) Determine a diferenc¸a de potencial, V (P2)−V (P1), entre os pontos P1 = (2R, θ1, ϕ1) e P2 = (R/2, θ2, ϕ2). [1,0
ponto]
2. [2,6 pontos] Um fio retil´ıneo, fino, muito longo, transporta uma corrente estaciona´ria, de intensidade I. A uma
distaˆncia b do fio, ha´ um circuito composto por fios condutores ideais (sem resisteˆncia) e uma barra deslizante, de
comprimento a, tambe´m condutora, com resisteˆncia R. No instante t = 0, a barra se encontra no in´ıcio do circuito
(portanto, a` distaˆncia b do fio), e e´, enta˜o, puxada para a direita, com uma velocidade constante v0sˆ.
(a) Deduza o campo magne´tico ~B, devido ao fio retil´ıneo, em um ponto arbitra´rio, de coordenadas cil´ındricas
(s, ϕ, z). [0,6 ponto]
(b) Determine o fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito como func¸a˜o do tempo. [1,0 ponto]
(c) Determine o mo´dulo e o sentido da corrente induzida no circuito. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (a)
3. (f)
4. (g)
5. (b)
6. (a)
7. (e)
8. (c)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Por definic¸a˜o,
dQ(r) = ρ(r)dV ,
onde
ρ = ρ0 (1− r/R) .
Devido a` simetria esfe´rica (da distribuic¸a˜o de carga), podemos escolher de trabalhar direto com a carga dentro de
uma casca esfe´rica, de raio interno r e espessura (infinitesimal) dr, cujo volume (infinitesimal) e´, pois,
dV = 4πr2dr .
Logo, a carga (infinitesimal) correspondente e´
dQ = 4πρ0
(
r2 − r3/R
)
dr ,
de modo que a carga total na esfera e´
Q = 4πρ0
∫ R
r=0
(
r2 − r3/R
)
dr
= 4πρ0
(
1
3
r3 −
1
4
r4
R
)∣∣∣∣
R
r=0
,
ou seja,
Q =
1
3
πρ0R
3 .
�
(b) Devido a` simetria esfe´rica (da distribuic¸a˜o de carga), conve´m utilizar coordenadas esfe´ricas (r, θ, ϕ) e o campo
ele´trico so´ tera´ componente radial Er, sendo esta dependente unicamente da coordenada r, ou seja,
1
~E(r, θ, ϕ) = Er(r) rˆ(θ, ϕ) .
Usaremos, agora, a lei de Gauss. Como o mo´dulo do campo ele´trico so´ depende da distaˆncia ate´ o centro da
distribuic¸a˜o e a sua direc¸a˜o e´ radial, somos levados a escolher como superf´ıcie gaussiana a superf´ıcie S de uma
1Note, en passant, que o campo em si depende das treˆs coordenadas: de r, por interme´dio da componente Er, e de θ e ϕ, por interme´dio
do versor rˆ.
1
esfera gene´rica, de raio r, que passa pelo ponto gene´rico P onde queremos calcular o campo. Com isso, por definic¸a˜o
de fluxo, temos
Φ~E[S] :=
∮
S
~E · d~A
=
∮
S
Er(r)rˆ · rˆdA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Por outro lado, devemos calcular a carga Qint, no interior da gaussiana, para as duas regio˜es t´ıpicas do espac¸o.
• R ≤ r <∞:
Aqui, obviamente, a carga encerrada e´ a carga total da esfera:
Qint = Q .
Logo, pela lei de Gauss,
Er(r) =
1
4πε0
Q
r2
,
ou seja,
~E =
1
4πε0
Q
r2
rˆ .
• 0 ≤ r ≤ R:
Aqui, a carga encerrada e´ aquela dada por uma integral definida semelhante a` do item (a), exceto pelo limite
superior, que agora vale r < R e na˜o R (pois estamos dentro da distribuic¸a˜o de carga). Logo,
Qint = 4πρ0
∫ r
r′=0
(
r′2 − r′3/R
)
dr′
= 4πρ0
(
1
3
r3 −
1
4
r4
R
)
.
Logo, pela lei de Gauss,
Er(r) =
ρ0
ε0
(
1
3
r −
1
4
r2
R
)
ou seja,
~E =
ρ0
ε0
(
1
3
−
1
4
r
R
)
r rˆ ,
ou
~E =
Q
4πε0
(
4− 3
r
R
) r
R3
rˆ .
Coligindo os resultados, temos, ainda, equivalentemente,
~E =


1
4πε0
Q
R3
(
4− 3
r
R
)
r rˆ
1
4πε0
Q
r2
rˆ .
�
2
(c) Por definic¸a˜o,
dV = −~E · d~ℓ .
Logo, integrando desde P1 ate´ P2, temos
V (P2)− V (P1) = −
∫
P2
P1
~E · d~ℓ
= −
∫ R
r=2R
~E · d~ℓ−
∫ R/2
r=R
~E · d~ℓ
= −
∫ R
r=2R
1
4πε0
Q
r2
dr −
∫ R/2
r=R
1
4πε0
Q
R3
(
4− 3
r
R
)
r dr
=
Q
4πε0
(
1
r
)∣∣∣∣
R
r=2R
−
Q
4πε0R3
(
2r2 −
r3
R
)∣∣∣∣
R/2
r=R
,
ou seja,
V (P2)− V (P1) =
9Q
32πε0R
.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o de corrente estaciona´ria, suplementada pela lei de Gauss do mag-
netismo e condic¸o˜es de contorno apropriadas, temos que
~B(s, ϕ) = Bϕ(s) ϕˆ(ϕ) .
Isso sugere que, na aplicac¸a˜o da lei de Ampe`re para determinac¸a˜o do campo magne´tico, escolhamos como curva
ampe`riana uma circunfereˆncia de c´ırculo C, de raio s, coaxial com o eixo da corrente. Ao longo dela, a circulac¸a˜o
do campo magne´tico e´, pois,
Γ~B[C] :=
∮
C
~B · d~ℓ
=
∮
C
Bϕ(s)dℓϕ
= Bϕ
∮
C
dℓϕ
= 2πsBϕ(s) .
Por outro lado, a corrente encerrada e´
Ienc = I .
Logo, pela lei de Ampe`re, temos
Bϕ(s) =
µ0I
2πs
,
ou
~B =
µ0I
2πs
ϕˆ .
�
(b) Em um determinado instante t, a barra se encontra na posic¸a˜o radial
s(t) = b+ v0t .
3
Nesse instante, o circuito completo encontra-se imerso no campo magne´tico na˜o uniforme, devido ao fio retil´ıneo
infinito, de modo que o correspondente fluxo atrave´s da superf´ıcie retangular S definida pelo circuito envolve uma
integral de superf´ıcie na˜o trivial, dada por
Φ~B[S] :=
∫
S
~B · d~A
=
∫
S
µ0I
2πs′
ϕˆ · d~A .
Qual e´ o vetor d~A? Naturalmente, pode ser tomado como aquele associado a um retaˆngulo infinitesimal, paralelo
ao fio retil´ıneo de fonte, em uma posic¸a˜o gene´rica s′ e com uma espessura infinitesimal ds′, ou seja,
d~A = a ds′ .
Logo, o fluxo fica
Φ~B[S] =
∫ s(t)
s′=b
µ0I
2πs′
a ds′
=
µ0Ia
2π
∫ s(t)
s′=b
ds′
s′
=
µ0Ia
2π
ln
[
s(t)
b
]
.
ou seja,
Φ~B[S] =
µ0Ia
2π
ln
[
b+ v0t
b
]
.
�
(c) Comec¸aremos, de fato, com o sentido da corrente induzida. Como, nitidamente, o mo´dulo do fluxo magne´tico
cresce, com o movimento da barra, e´ o´bvio, pela lei de Lenz, que devera´ surgir um campo magne´tico induzido
de sentido o mais oposto poss´ıvel a`quele ja´ pre´-existente, devido ao fio infinito retil´ıneo. Concretamente, pois, o
sentido da corrente induzida deve ser o anti-hora´rio.
Quanto ao mo´dulo, basta calcularmos a derivada temporal do fluxo do item (b) e dividirmos pela resisteˆncia R da
barra; ou seja,
Iind =
E
R
=
|dΦ~B/dt|
R
=
µ0Ia
2πR
s˙
s
,
ou seja,
Iind =
µ0Ia
2πR
v0
b+ v0t
.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica
III – 2012/2
Prova Final: 25/02/2013
Versa˜o: A
Formula´rio
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× rˆ
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
;
sen2 θ =
1− cos (2θ)
2
, cos2 θ =
1 + cos (2θ)
2
, sen θ cos θ =
sen (2θ)
2
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Em um dado instante, uma espira de cobre encontra-
se em repouso, com uma parte dentro de uma regia˜o
com campo magne´tico e a outra fora,conforme mos-
tra a figura. Suponha que, nesse instante, o campo
magne´tico comece a aumentar em intensidade. Qual
das opc¸o˜es melhor descreve o que ocorrera´ com a es-
pira?
(a) A tensa˜o nos fios aumentara´, mas a espira na˜o
saira´ do repouso.
(b) A espira sera´ empurrada para cima, no sentido
do topo da pa´gina.
(c) A espira sera´ empurrada para baixo, no sentido
da base da pa´gina.
(d) A espira sera´ empurrada para a esquerda, para
a regia˜o com campo magne´tico.
(e) A espira sera´ empurrada para a direita, para a
regia˜o sem campo magne´tico.
2. Considere dois pequenos dipolos ele´tricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O, e
e´ formado por part´ıculas (pontuais) de cargas q > 0
e −q, enquanto o segundo encontra-se no eixo X e e´
formado por part´ıculas (pontuais) de cargas q′ > 0 e
−q′ (cf. figura). Seja ~F 1→2 a forc¸a eletrosta´tica exer-
cida pelo dipolo 1 sobre o diplo 2. Podemos afirmar
que:
(a) ~F 1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
a gira´-lo no sentido hora´rio.
(b) ~F 1→2 e´ nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(c) ~F 1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido hora´rio.
(d) ~F 1→2 tem o sentido de yˆ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
(e) ~F 1→2 tem o sentido de −yˆ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a gira´-lo no sentido anti-hora´rio.
1
3. Considere um dipolo magne´tico no centro de um cubo
de lado L1, que, por sua vez, esta´ inscrito em uma su-
perf´ıcie esfe´rica de raio R. Considere, ainda, no lado
de fora da esfera, uma superf´ıcie tetrae´drica regular,
de lado L2. Designando o fluxo do campo magne´tico
resultante atrave´s das superf´ıcies cu´bica, esfe´rica e te-
trae´drica por ΦC ,ΦE e ΦT , respectivamente, temos
(a) ΦC < ΦE < ΦT .
(b) ΦC > ΦE > ΦT .
(c) ΦC = ΦE = ΦT .
(d) ΦC = ΦE > ΦT .
(e) ΦC = ΦE < ΦT .
4. Considere uma part´ıcula (pontual) de carga q > 0,
circundada por uma casca (espessa) condutora, com
carga 3q. O sistema encontra-se em equil´ıbrio ele-
trosta´tico. Em relac¸a˜o aos fluxos Φi (i = 1, 2, 3),
do campo ele´trico resultante, atrave´s das superf´ıcies
gaussianas tracejadas Si (i = 1, 2, 3), podemos afirmar
que
(a) Φ3 > Φ1 > Φ2 .
(b) Φ2 > Φ1 > Φ3 .
(c) Φ3 > Φ2 > Φ1 .
(d) Φ3 > Φ1 = Φ2 .
(e) Φ2 = Φ3 > Φ1 .
5. Uma corrente estaciona´ria, retil´ınea, de intensidade I,
bifurca-se em duas iguais, que percorrem os lados de
um losango, juntando-se novamente no ve´rtice oposto,
conforme mostra a figura. Qual e´ o mo´dulo do campo
magne´tico resultante no centro do losango?
(a)
2µ0I
πL
(cos θ1 + cos θ2) .
(b)
2µ0I
πL
(sen θ1 + sen θ2) .
(c) 0 .
(d)
2µ0I
πL
.
(e)
2µ0I
πL
| cos θ1 − cos θ2| .
6. Considere um sistema constitu´ıdo por um soleno´ide
ideal, de N voltas, comprimento ℓ muito grande e
sec¸a˜o reta circular, de raio R, junto com um anel
circular de raio a. Tal anel encontra-se totalmente
dentro do soleno´ide e a perpendicular ao seu plano
faz um aˆngulo θ com o eixo do soleno´ide. Qual e´ a
indutaˆncia mu´tua entre o soleno´ide e o anel?
(a) µ0πNa
2 sen θ/ℓ .
(b) µ0πNa
2/ℓ .
(c) µ0πNa
2/(ℓ cos θ) .
(d) µ0πNa
2 cos θ/ℓ .
(e) µ0πNa
2/(ℓ sen θ) .
7. Uma barra de cobre retil´ınea, de comprimento L e
resisteˆncia R, desliza, sobre trilhos tambe´m conduto-
res (de resisteˆncias desprez´ıveis), em uma regia˜o de
campo magne´tico ~B constante (estaciona´rio e uni-
forme), sendo sua velocidade ~v mantida constante a`s
custas da ac¸a˜o de uma forc¸a externa. Qual e´ a ex-
pressa˜o para tal forc¸a externa?
(a)
B2L2v
R
xˆ .
(b) −
B2L2v
R
xˆ .
(c)
B2L2v
R
yˆ .
(d) −
B2L2v
R
yˆ .
(e)
B2L2v
R
zˆ .
2
8. A figura ilustra o corte transversal de um capaci-
tor de placas planas e paralelas, cuja regia˜o interna
esta´ preenchida por treˆs meios isolantes de constantes
diele´tricas todas diferentes. Pensando tal capacitor
como uma associac¸a˜o de treˆs “sub-capacitores”, qual
das opc¸o˜es melhor representa o capacitor equivalente?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere uma esfera (so´lida), de raio R, com uma
densidade de carga estaciona´ria, mas na˜o uniforme,
dada por ρ = C/r, com C constante, onde r e´ a
distaˆncia ate´ o centro da esfera. Qual e´ o traba-
lho realizado pela forc¸a ele´trica, ao deslocarmos uma
part´ıcula de teste, com carga q, desde um ponto com
r = a > R ate´ um outro com r = b > R?
(a)
qCR2
2ǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(b)
qCR2
2ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
(c)
qCR2
ǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(d)
qCR2
ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
(e)
qCR2
3ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
10. Uma esfera so´lida, condutora, neutra e´ colocada entre
as placas condutoras, planas e paralelas, que consti-
tuem um capacitor. O capacitor esta´ carregado e, na
situac¸a˜o de equil´ıbrio eletrosta´tico, a distribuic¸a˜o de
cargas na superf´ıcie da esfera e´ na˜o uniforme, como
mostra a figura. Sobre o potencial eletrosta´tico nos
pontos a, b, c e d, indicados na figura, e´ correto afir-
mar que
(a) V (a) > V (b) > V (c) > V (d) .
(b) V (a) < V (b) < V (c) < V (d) .
(c) V (a) > V (b) = V (c) > V (d) .
(d) V (a) < V (b) = V (c) < V (d) .
(e) V (a) = V (d) > V (c) = V (b) .
(f) Na˜o e´ poss´ıvel especificar a relac¸a˜o entre os po-
tenciais sem que seja definida a posic¸a˜o onde
V = 0 .
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
[2,5 pontos] Considere uma semicircunfereˆncia de raio R.
Escolhemos os eixos cartesianos retangulares de forma que
tal semicircunfereˆncia esteja no plano XY e o seu centro O
coincida com a origem dos eixos. Ale´m disso, a semicircun-
fereˆncia esta´ carregada com uma distribuic¸a˜o na˜o uniforme,
cuja densidade (linear) e´ dada por λ(θ) = λ0 sen θ, onde
λ0 = const e θ e´ o usual aˆngulo polar.
(a) Determine a carga total da semicircunfereˆncia. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo ele´trico devido a tal semicircunfereˆncia
na origem O. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico devido a tal semicircun-
fereˆncia na origem O, supondo-o nulo em pontos infinitamente
afastados. [1,0 ponto]
2. [2,5 pontos] Temos um fio de cobre de comprimento total
L, a´rea de sec¸a˜o reta e resistividade uniformes, tal que sua
resisteˆncia ele´trica total seja R. Esse fio apresenta dois trechos
retil´ıneos (com extremidades livres) paralelos ao eixo X e uma
dobra circular. As extremidades do fio sa˜o movimentadas de
forma a ter o raio da dobra circular variando no tempo atrave´s
da func¸a˜o r(t) = ae−bt
2
, onde a e b sa˜o constantes positivas,
enquanto o tempo e´ tomado no intervalo −∞ < t <∞ . Sabe-
se, ademais, que a dobra no fio mante´m em contato ele´trico o
ponto 2 onde a parte circular se completa e que, ortogonal ao
plano da figura, existe um campo magne´tico externo constante
(estaciona´rio e uniforme) ~B = −Bzˆ (B > 0), no qual o aparato
esta´ imerso.
(a) Determine o fluxo Φ~B(t) do campo magne´tico externo
atrave´s da dobra circular. [0,5 ponto]
(b) Desprezando a auto-indutaˆncia e capacitaˆncia do fio,
determine a intensidade da corrente ele´trica induzida Iind(t) no
fio, levando em conta a resisteˆncia ele´trica efetiva do trecho por
onde passa corrente, e indique, explicitamente, o sentido de tal
corrente na dobra circular, para t < 0 e t > 0. [1,0 ponto]
(c) Indique, nos quatro pontos assinalados na figura, a direc¸a˜o
e o sentido da forc¸a magne´tica sobre o fio, para t < 0 e para
t > 0. [1,0 ponto]
3 5
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (e)
3. (c)
4. (a)
5. (c)
6. (d)
7. (b)
8. (a)
9. (b)
10. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas(2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Tendo a semicircunfereˆncia uma densidade linear de carga λ, a carga de um elemento infinitesimal de arco dl
sera´:
dQ = λdl = λ0 sen θRdθ .
Portanto, a carga total armazenada na semicircunfereˆncia sera´:
Q =
∫ π
0
Rλ0 sen θdθ = Rλ0 [− cos θ|
π
0 ] ,
ou seja,
Q = 2Rλ0 .
�
(b) Cada elemento infinitesimal de arco dl, produz um campo ele´trico
d~E = −
1
4πǫ0
λdl
R2
rˆ .
onde o vetor unita´rio rˆ e´ o que vai da origem dos eixos ao elemento infinitesimal. Analisando a simetria do problema,
verifica-se que um elemento infinitesimal de aˆngulo θ e um outro de aˆngulo π − θ va˜o produzir um campo ele´trico
de mesma componente dEy e de componentes opostas dEx. Dessa forma, as componentes dEx se cancelam e o
campo resultante sera´ na direc¸a˜o Y , ~E = Ey yˆ. A partir da componente infinitesimal dEy = −|d~E| sen θ calcula-se
a componente resultante Ey:
Ey =
∫
dEy = −
1
4πǫ0
∫ π
0
Rλ0 sen
2θdθ
R2
⇒ Ey = −
λ0
4πǫ0R
∫ π
0
sen2θdθ .
Utilizando a relac¸a˜o trigonome´trica
sen2θ =
1− cos (2θ)
2
,
resolve-se a integral:
Ey = −
λ0
4πǫ0R
(∫ π
0
dθ
2
−
∫ π
0
cos (2θ)dθ
2
)
= −
λ0
8πǫ0R
(
[θ|π0 ]−
[
sen (2θ)
2
∣∣∣∣
π
0
])
.
1
Finalmente
Ey = −
λ0
8ǫ0R
,
ou seja,
~E(O) = −
λ0
8ǫ0R
yˆ .
�
(c) Ja´ considerando que o potencial e´ 0 em pontos infinitamente afastados da semicircunfereˆncia, cada elemento
infinitesimal dl, gera um potencial eletrosta´tico de:
dV =
1
4πǫ0
dQ
R
.
Uma vez que a distaˆncia R e´ sempre a mesma, todos os elementos contribuem com o mesmo potencial. Portanto,
o potencial resultante e´
V (O) =
∫
dV =
1
4πǫ0
Q
R
.
Utilizando o resultado do item (a):
V (O) =
λ0
2πǫ0
.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Sendo o fluxo do campo magne´tico ~B atrave´s de uma superf´ıcie S fornecido pela integral
Φ~B =
∫
S
~B · d~A
onde o vetor d~A e´ ortogonal a superf´ıcie S em cada ponto, enta˜o no caso da dobra circular existente no fio, ao
escolhermos d~A = −dA zˆ e considerarmos que o campo magne´tico e´ uniforme, encontraremos que
Φ~B =
∫
S
B(−zˆ) · dA(−zˆ) =
∫
S
B dA (zˆ · zˆ) = B
∫
S
dA = BA = πr2B.
Contudo no caso da dobra circular no fio temos que, devido a` ac¸a˜o de um agente externo, o seu raio varia no tempo
como r(t) = ae−bt
2
. Esta variac¸a˜o, quando considerada na expressa˜o obtida acima, faz com que o fluxo do campo
magne´tico atrave´s da dobra circular assuma a forma
Φ~B(t) = πa
2B e−2bt
2
.
�
(b) Segundo a lei de Faraday temos que a forc¸a eletromotriz induzida esta´ relacionada a` variac¸a˜o do fluxo do campo
magne´tico atrave´s de
Eind = −
dΦ~B(t)
dt
.
Portanto, ao considerarmos a forc¸a eletromotriz que sera´ induzida na dobra circular devido a` variac¸a˜o do fluxo do
campo magne´tico atrave´s da a´rea definida por ela, encontraremos que
Eind = −
d
dt
(
πa2B e−2bt
2
)
= −πa2B
[
deu
du
]
u=−2bt2
[
d(−2bt2)
dt
]
= −πa2Be−2bt
2
(−4bt)
2
ou seja
Eind(t) = 4πa
2bBte−2bt
2
.
Observando que, sendo o fio de comprimento finito e estando as suas extremidadas livres, enta˜o so´ circulara´ corrente
ele´trica induzida atrave´s da dobra circular que, neste caso, sera´ obtida pela raza˜o
Iind =
Eind
Ref
.
A resisteˆncia ele´trica efetiva da dobra circular Ref pode ser obtida ao considerarmos que, sendo o fio de sec¸a˜o reta
A e a resistividade ρ constantes, enta˜o
Ref = ρ
(
Lef
A
)
onde Lef = 2πr.
Neste ponto, se levarmos em conta que a resisteˆncia ele´trica total R do fio esta´ relacionada ao seu comprimento L
por
R = ρ
(
L
A
)
=⇒
ρ
A
=
R
L
,
e usarmos este resultado na expressa˜o para a resisteˆncia ele´trica efetiva concluiremos que
Ref =
(
2πr
L
)
R
ou seja,
Ref(t) =
(
2πa
L
)
Re−bt
2
.
Para finalizar devemos usar as expresso˜es obtidas para Eind(t) e Ref(t) na expressa˜o que fornece a corrente induzida
e assim concluirmos que
Iind(t) =
4πa2bBte−2bt
2
(
2πa
L
)
Re−bt2
,
ou seja,
Iind(t) =
(
2abLB
R
)
te−bt
2
.
Para determinarmos o sentido da corrente ele´trica devemos observar que, conforme o tempo t evolui de −∞ para
0, o raio r(t) da dobra circular (e por consequ¨eˆncia a sua a´rea) cresce ate´ chegar ao seu valor ma´ximo rmax = a
quando t = 0. A partir desse instante, conforme o tempo passa o raio r(t) decresce ate´ tender a zero quando
t→ +∞. Considerando este comportamento e o que diz a lei de Lenz, conclu´ımos que a corrente induzida Iind(t)
deve se opor a esta variac¸a˜o do fluxo do campo ele´trico: (i) circulando pela dobra no sentido anti-hora´rio quando
t < 0 e a sua a´rea esta´ aumentando; (ii) circulando pela dobra no sentido hora´rio quando t > 0 e a sua a´rea
esta´ diminuindo.
3
�
(c) A forc¸a magne´tica d~F~B sobre qualquer elemento de comprimento d~ℓ do fio sera´ dada por
d~F ~B = Iind d~ℓ× ~B.
Portanto, tendo em vista que Iind so´ circula pela dobra, conclu´ımos que a forc¸a magne´tica nos trechos retil´ıneos do
fio [neste caso, nos pontos (1) e (4)] sera´ nula. Como para pontos na dobra circular d~ℓ = r dθ θˆ, onde o unita´rio
θˆ aponta no sentido do crescimento da coordenada angular θ, enta˜o a forc¸a magne´tica sobre qualquer elemento da
dobra circular do fio sera´ dada por
d~F ~B = −Iind rB dθ (θˆ × zˆ)
ou seja,
d~F ~B = −Iind rB dθ rˆ
onde o unita´rio rˆ aponta no sentido do crescimento do raio r. Esta expressa˜o implica que o sentido da corrente
ele´trica induzida na dobra circular Iind definira´ a natureza radial da forc¸a magne´tica sobre qualquer um de seus
pontos. Portanto quando Iind circular no sentido anti-hora´rio (para t < 0), d~F ~B em qualquer ponto da dobra
circular [pontos (2) e (3), no nosso caso] apontara´ radialmente para o seu centro. Por sua vez, quando Iind
circular no sentido hora´rio (para t > 0), d~F ~B em qualquer ponto da dobra circular [pontos (2) e (3), no nosso
caso] apontara´ radialmente para fora do seu centro.
3 5 3 5
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III
– 2012/1
Prova Final (PF): 02/07/2012
Versa˜o: A
Formula´rio
F e = qE , E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
, E = −∇V , V = k0 q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
J · nˆ dA , J = nqv , V = RI ,
Fm = qv ×B , dFm = Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , dB = µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um anel circular condutor de raio R, ao longo
do qual passa uma corrente estaciona´ria de intensidade I.
Um fio retil´ıneo, de comprimento L muito grande, per-
corrido por uma corrente estaciona´ria de intensidade 2I,
cruza o centro do anel, perpendicularmente ao seu plano.
Qual o mo´dulo da forc¸a magne´tica entre a espira e o fio?
(a) µ0I
2.
(b) 2µ0I
2.
(c) µ0LI
2/R.
(d) µ0LI
2/(2R).
(e) 0.
2. Uma corrente estaciona´ria, de intensidade I, percorre o
circuito constitu´ıdo por dois arcos circulares de raios a e
2a e dois segmentos radiais de comprimento a. Qual e´ a
raza˜o Ba/B2a entre os mo´dulos campos magne´ticos gera-
dos pelos arcos circulares de raio a e de raio 2a no ponto
central P?
(a)
√
2.
(b) 1/
√
2.
(c) 1/2.
(d) 2.
(e) 1.
(f) θ/2.
3. Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga
constante (estaciona´ria e uniforme). Na figura, esta˜o re-
presentadas quatro superf´ıcies fechadas Si (i = 1, 2, 3, 4),
com disposic¸o˜es particularmente sime´tricas com respeito
ao planocarregado. Dentre elas, qual(is) exatamente
aquela(s) que e´(sa˜o) apropriada(s) para a determinac¸a˜o
de uma expressa˜o geral para o campo ele´trico num ponto
gene´rico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?
(a) S1.
(b) S2.
(c) S3.
(d) S4.
(e) S1 e S2.
(f) S2 e S3.
(g) S2 e S4.
(h) S3 e S4.
1
4. Considere a distribuic¸a˜o de cargas da figura. Sa˜o oito seg-
mentos retil´ıneos de mesmo comprimento, uniformemente
carregados com densidade linear de mesmo mo´dulo λ > 0.
O aˆngulo entre segmentos vizinhos e´ o mesmo (45◦). Qual
das alternativas melhor representa o campo ele´trico resul-
tante na origem O?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) E = 0.
5. Para aumentar a auto-indutaˆncia de um soleno´ide com
N espiras compactadas, de sec¸a˜o reta circular de raio R,
comprimento (ou altura) h, percorrido por uma corrente I,
qual das modificac¸o˜es a seguir devemos efetuar, mantido
todo o resto inalterado?
(a) Aumentar a corrente que passa em suas espiras.
(b) Diminuir o seu raio.
(c) Aumentar o seu comprimento (ou altura).
(d) Aumentar o nu´mero de espiras.
(e) Rechear seu interior com um material isolante.
6. Entre as placas circulares, de raio R, de um capacitor
plano-paralelo, o vetor campo ele´trico E tem mo´dulo vari-
ando na forma E = E0 [1− exp(−bt)], sendo b uma cons-
tante positiva. Podemos afirmar que uma corrente de des-
locamento ID aparece no interior do capacitor cujo mo´dulo
ma´ximo e´ dado por
(a) ǫ0E0bπR
2.
(b) µ0ǫ0E0bπR
2.
(c) ǫ0E0bR
2.
(d) ǫ0E0πR
2.
(e) ǫ0E0πR
2/µ0.
7. Um fio cil´ındrico, de sec¸a˜o reta circular, e´ constitu´ıdo por
um material condutor oˆhmico homogeˆneo. Se dobrarmos
tanto o seu comprimento quanto o seu raio, mantendo-o
ligado a uma mesma bateria, a corrente que passara´ no
fio
(a) tera´ a mesma intensidade que antes.
(b) tera´ intensidade 2 vezes menor que antes.
(c) tera´ intensidade 2 vezes maior que antes.
(d) tera´ intensidade 4 vezes menor que antes.
(e) tera´ intensidade 4 vezes maior que antes.
8. Um capacitor de placas em forma de discos circulares,
ideˆnticas e de raio R, separadas por uma distaˆncia D, esta´
conectado a uma fonte de voltagem V constante. Ao in-
troduzir um meio diele´trico entre as placas do capacitor,
preenchendo totalmente a regia˜o entre as placas, pode-
mos afirmar, com respeito ao mo´dulo Q da carga em cada
placa, a` capacitaˆncia C e ao mo´dulo do campo ele´trico E
entre as placas, que, respectivamente:
(a) permanece o mesmo, diminui e aumenta.
(b) diminui, aumenta e aumenta.
(c) aumenta, aumenta e permanece o mesmo.
(d) aumenta, aumenta e diminui.
(e) aumenta, permanece a mesma e permanece o
mesmo.
(f) diminui, diminui e diminui.
(g) permanece o mesmo, diminui e diminui.
2
9. Uma espira condutora circular esta´ em repouso, com seu
plano perpendicular a um campo magne´tico constante (es-
taciona´rio e uniforme). No instante t = 0, a espira comec¸a
a girar em torno de um eixo de simetria que passa pelo
seu centro e pertence a seu plano. Dentre as opc¸o˜es a
seguir, indique aquela que melhor representa o fluxo co
campo magne´tico ΦB (curva cont´ınua) e a corrente in-
duzida Iind (curva pontilhada) na espira condutora, em
func¸a˜o do aˆngulo θ = ωt entre o vetor campo magne´tico
B e o vetor unita´rio normal a` espira nˆ.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10. Um campo eletrosta´tico possui superf´ıcies equipotenciais
planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista de
perfil, pelas treˆs retas tracejadas, igualmente espac¸adas de
uma distaˆncia L, com V1 = 2V2 = 3V3 > 0. Ale´m disso,
sa˜o mostradas quatro trajeto´rias orientadas, por curvas
cont´ınuas, que partem da equipotencial V1 e passam pelas
demais equipotenciais. Considere as afirmac¸o˜es: (I) o ve-
tor campo ele´trico (me´dio) E12 entre as equipotenciais V1
e V2 e´ dado por −(V2/L)yˆ ; (II) o trabalho realizado pela
forc¸a eletrosta´tica ao deslocar-se uma part´ıcula carregada
e´ o mesmo em todas as trajeto´rias mostradas; (III) o tra-
balho realizado pela forc¸a eletrosta´tica ao deslocar-se uma
part´ıcula carregada positiva na trajeto´ria de g para h e´ ne-
gativo. Qual(is) de tais afirmativas esta´(a˜o) correta(s)?
(a) Nenhuma.
(b) I.
(c) II.
(d) III.
(e) I e II.
(f) I e III.
(g) II e III.
(h) Todas.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
[2,5 pontos] A Fig. 1 mostra uma placa fina e muito grande que possui uma
densidade superficial de carga constante σ. A placa e´ recoberta lateralmente
por duas laˆminas de espessura D e densidade volumar de carga constante ρ.
(a) Utilizando a lei de Gauss, obtenha o vetor campo ele´trico E(z) produzido
pela distribuic¸a˜o de cargas a uma distaˆncia |z| da placa central para os casos
em que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Fac¸a um gra´fico esboc¸ando o
comportamento da componente Ez versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para
o caso em que σ e ρ sa˜o positivos. [1,7 ponto]
(b) Usando a expressa˜o para o vetor E(z) e tomando como refereˆncia o potencial
ele´trico V
D
≡ V (z = D) na superf´ıcie externa da laˆmina lateral (a` direita),
obtenha a expressa˜o para o potencial ele´trico V (z) produzido pela distribuic¸a˜o
de cargas a uma distaˆncia |z| considerando os mesmos casos acima, ou seja, em
que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Fac¸a um gra´fico esboc¸ando o
comportamento de V versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para o caso em que
σ e ρ sa˜o positivos. [1,8 ponto]
2. [2,5 pontos] A Fig. 2a mostra um cabo coaxial muito longo constitu´ıdo de um condutor cil´ındrico, so´lido, de raio a envolvido
por uma casca cil´ındrica condutora, muito fina, de raio b. Sabe-se que essas duas partes constituintes do cabo sa˜o percorridas
por correntes ele´tricas estaciona´rias de mesmo mo´dulo i e sentidos contra´rios, uniformemente distribu´ıdas ao longo de suas
sec¸o˜es transversais.
(a) Utilizando a lei de Ampe`re, obtenha o campo magne´tico B(r) nas treˆs regio˜es definidas por: (i) 0 ≤ r ≤ a ; (ii) a ≤ r < b ;
e (iii) b < r <∞, sendo r a distaˆncia ate´ o eixo do cabo. [1,5 ponto]
(b) Calcule o fluxo do campo magne´tico Φ
B
produzido pelo cabo coaxial atrave´s do retaˆngulo, de altura h e largura b,
indicado na Fig. 2b. [0,5 ponto]
(c) Calcule a energia armazenada, por unidade de comprimento ao longo do eixo de simetria, no campo magne´tico entre o
eixo de simetria r = 0 e a casca cil´ındrica r = b. [0,5 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (d)
3. (e)
4.
(b)
5. (d)
6. (a)
7. (c)
8. (c)
9. (a)
10. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria plana da distribuic¸a˜o de carga, e´ conveniente aplicarmos a lei de Gauss para a determinac¸a˜o do campo
ele´trico. De fato, tal simetria exige que
• das 3 componentes cartesianas que o campo ele´trico possui, 2 sa˜o nulas, a saber:
Ex(r) ≡ 0 (1)
Ey(r) ≡ 0 . (2)
• a componente na˜o nula restante e´ func¸a˜o somente da coordenada cartesiana z:
Ez(r) = Ez(z) . (3)
• essa mesma componente satisfaz uma simetria de reflexa˜o (ou especular):
Ez(−z) = −Ez(z) . (4)
O campo ele´trico a ser determinado possui, portanto, linhas de campo retil´ıneas paralelas ao eixo Z. Isso tudo nos motiva
a tomar como superf´ıcie gaussiana aquela mostrada na Fig. 1a, ou seja, uma superf´ıcie cil´ındrica circular, constitu´ıda pela
unia˜o de treˆs superf´ıcies disjuntas: (i) uma base Be a` esquerda da placa fina (bidimensional), no plano z = −|z|; (ii) outra
base Bd a` direita da placa fina (bidimensional), no plano z = |z|, e (iii) uma superf´ıcie lateral Slat.
1
Calcularemos, primeiro, o fluxo, pela sua pro´pria definic¸a˜o, atrave´s da gaussiana. Temos
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆ dA
=
∫
Be
E · nˆ dA+
∫
Bd
E ·nˆ dA+
∫
Slat
E · nˆ dA
=
∫
Be
E · nˆ dA+
∫
Bd
E · nˆ dA [usamos que E ⊥ nˆ em Slat]
=
∫
Be(z′=−|z|<0)
Ez(−|z|)zˆ · (−zˆ) dA+
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|)zˆ · zˆ dA
=
∫
Be(z′=−|z|<0)
−Ez(|z|)(−1) dA +
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|) dA [usamos (4)]
= 2
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|) dA
= 2Ez(|z|)A . (5)
Naturalmente, tal expressa˜o vale para qualquer valor de |z|, ou seja, tanto para 0 < |z| ≤ D, quanto para D ≤ |z| < ∞,
apesar da Fig. 1a so´ sugerir uma gaussiana dentro da distribuic¸a˜o de carga.
A segunda etapa preparato´ria para a aplicac¸a˜o da lei de Gauss implica em determinar a carga no interior da correspondente
gaussiana e, enta˜o, teremos duas possibilidades:
• 0 < |z| ≤ D:
Qint[S] = σA+ ρ2|z|A
= (σ + 2ρ|z|)A . (6)
• D ≤ |z| <∞:
Qint[S] = σA+ ρ2DA
= (σ + 2ρD)A . (7)
2
Comparando (5) e (6) ou (7), via a lei de Gauss, obtemos, finalmente, para o campo ele´trico as expresso˜es:
E(z) =
1
2ǫ0
.


−(σ + 2ρD) zˆ , se −∞ < z ≤ −D ;
(−σ + 2ρz) zˆ , se −D ≤ z < 0 ;
(σ + 2ρz) zˆ , se 0 < z ≤ D ;
(σ + 2ρD) zˆ , se D ≤ z <∞ .
(8)
Devemos observar que o campo ele´trico na˜o e´ definido para z = 0. Contudo, para pontos muit´ıssimo pro´ximos da placa
fina, Ez tende ao valor E0 := σ/(2ǫ0) pela direita e −E0 pela esquerda. Ja´ na regia˜o externa a`s laˆminas, Ez tem o valor
constante ED := (σ + 2ρD)/(2ǫ0) pela direita e −ED pela esquerda.
O gra´fico correspondente para a componente Ez versus a coordenada z e´ mostrado na Fig. 1b.
�
(b) Na avaliac¸a˜o do potencial ele´trico, novamente considerando a simetria do sistema, tomemos como caminho de integrac¸a˜o
C linhas ortogonais a` placa central. Deste modo, para a regia˜o interna a` laˆmina do lado positivo do eixo Z (0 < z ≤ D) ,
teremos
V
in
(z)− V
D
= −
∫
Ci
~E
in
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ z
D
(σ + 2ρ z) zˆ.dz zˆ
ou seja,
V
in
(z) = V
D
+
1
2ǫo
[σ(D − z) + ρ(D2 − z2)] .
3
Nestas condic¸o˜es o potencial ele´trico na placa central sera´ dado por Vo = V (0) = VD + (σD + ρD
2)/(2ǫo). Procedendo da
mesma forma para a regia˜o externa a` laˆmina do lado positivo do eixo Z (z ≥ D) , teremos
V
ex
(z)− V
D
= −
∫
Ce
~E
ex
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ z
D
(σ + 2ρD) zˆ.dz zˆ =⇒ V
ex
(z) = V
D
−
[
σ + 2ρD
2ǫo
]
(z −D) .
Na regia˜o −D ≤ z ≤ 0 teremos
V
in
(z)− V (0) = −
∫
Ci
~E
in
.d~ℓ =
1
2ǫo
∫ 0
z
(−σ + 2ρ z) zˆ.dz zˆ = 1
2ǫo
(σz − ρz2)
que, usando o valor de V (0), podemos escrever como
Vin(z) = VD +
1
2ǫo
[σ(D + z) + ρ(D2 − z2)].
Este resultado mostra que, em particular, V (−D) = VD. Por fim, na regia˜o z ≤ −D temos
V
ex
(z)− V
D
= −
∫
Ce
~E
ex
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ −D
z
(σ + 2ρD) zˆ.dz zˆ =⇒ V
ex
(z) = V
D
+
[
σ + 2ρD
2ǫo
]
(D + z) .
Portanto, ao considerarmos os resultados teremos que
V (z) = V
D
+
1
2ǫ0
.
{ [
σ(D − |z|) + ρ(D2 − z2)] , se 0 ≤ |z| ≤ D ;
(σ + 2ρD)(D − |z|) , se D ≤ |z| <∞ .
e sera´ nulo quando |z| = |zo| =
√
[D + σ/(2ρ)]2 + 2ǫoVD/ρ − σ/(2ρ). O gra´fico apresentado na figura 1c ilustra o
comportamento de V (z) em geral.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Segundo a lei de Ampe`re temos que ∮
B · dℓ = µ0i,
onde i e´ a soma alge´brica das correntes englobadas pelo percurso de integrac¸a˜o.
Ou justificativa extensa: Levando em conta a simetria axial apresentada pelo sistema enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re
assumindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cabo e contidos em um plano ortogonal a ele. Neste
caso dℓ = r dφ φˆ e pela simetria do sistema devemos ter B = Bφ(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma
maneira geral considerando i = i(r) .
Ou justificativa compacta: Considerando a simetria cil´ındrica do sistema e tomando como contorno de integrac¸a˜o c´ırculos
de raio r a partir do eixo do cilindro, temos
∮
B · dℓ = 2πrBφ(r).
Enta˜o, ∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
Bφ(r) φˆ · r dφ φˆ = Bφ(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πr Bφ(r).
Aplicando a lei de Ampe`re,
B(r) =
µ0 i(r)
2πr
φˆ .
Podemos agora particularizar este resultado geral para as treˆs regio˜es de nosso sistema.
4
• r < a:
i(r) =
∫
S
1
j
1
.dS =
∫ r
0
(
i
πa2
)
2πr dr =
( r
a
)
2
i.
Ou:
Densidade de corrente atrave´s da a´rea A da sec¸a˜o reta do cilindro de raio a: j = i/A = i/πa2.
Densidade de corrente atrave´s da a´rea A′ < A definida pela curva amperiana de raio r < a: j = i(r)/A′ = i(r)/πr2.
Como essas densidades sa˜o iguais, tem-se que i(r) = (r/a)2i.
Enta˜o,
B(r) =
µ0 i r
2πa2
φˆ .
• a < r < b :
i(r) = i .
Logo,
B(r) =
µ0 i
2πr
φˆ .
• r > b :
i(r) = i− i = 0 .
Logo,
B(r) = 0 .
Considerac¸o˜es sobre o campo B(r): (i) apresenta o seu maior valor B(a) = µoi/(2πa) na superf´ıcie do cilindro macic¸o
interno; (ii) na˜o e´ definido para r = b. Contudo para pontos internos muit´ıssimo pro´ximos a` casca cil´ındrica ele tende ao
valor B(b) = µoi/(2πb).
5
�
(b) Considere a figura acima.
A partir dos resultados encontrados para o campo magne´tico e tomando como elementos de a´rea tiras longitudinais (figura
acima) com d~S = hdr φˆ , enta˜o teremos que
Φ
B
=
∫ a
0
~B
1
.d~S +
∫ b
a
~B
2
.d~S =
µoih
2π
{
1
a2
∫ a
0
r dr +
∫ b
a
dr
r
}
,
ou seja,
Φ
B
=
µoih
4π
[
1 + 2 ln
(
b
a
)]
.
�
(c) No caso da energia acumulada no campo magne´tico, devemos lembrar que a densidade de energia u
B
e´ dada por
u
B
=
B2
2µo .
Por sua vez,
u
B
=
dU
B
dV ,
onde dV e´ o elemento de volume: dV = 2πhrdr, com h sendo o comprimento de um pedac¸o do cabo coaxial. Portanto,
dU
B
= u
B
dV =
B2
2µo
2πhrdr.
Como
U
B
=
∫ b
r=0
u
B
dV =
∫ a
r=0
u
B
dV +
∫ b
r=a
u
B
dV ,
temos que
U
B
=
πh
µo
∫ a
0
B2rdr +
πh
µo
∫ b
a
B2rdr.
Usando os resultados obtidos para B no item (a) acima, determina-se que a energia magne´tica armazenada por unidade de
comprimento e´:
U
B
h
=
µoi
2
16π
[
1 + 4 ln
(
b
a
)]
.
�
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III – 2011/2
PROVA FINAL (PF) – 05/12/2011
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno
de resoluc¸a˜o, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·dA =
Qint
ǫ0∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U =
1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
I =
∫
S
J · nˆ dA , J = nqv , F = qE + qv ×B , dF = Idℓ×B
B =
∮
C
dB =
∮
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
S
B · nˆ dA = 0
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0