capitulo 2 secao 2.2

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2.2 Transformada de Fourier e Espectro Contínuo
Analisam-se a seguir, sinais não periódicos, concentrados ao longo de um curto intervalo de tempo.
Definição: sinal estritamente limitado no tempo
Dado um sinal não periódico v(t), diz-se que ele é estritamente limitado no tempo, ao longo de um 
intervalo τ, se for identicamente nulo fora do seu intervalo de duração. 
Exemplo:
Definição: sinal assintoticamente limitado no tempo
Dado um sinal não periódico v(t), diz-se que ele é assintoticamente limitado no tempo, se v(t)→0 
quando t→±∞. 
Ambos os sinais anteriores podem ser informalmente denominados como pulsos.
Ao se calcular a média de v(t) [ou de |v(t)|2] para todos os tempos (Eq. 2.1.9):
sempre resulta em zero !
Em vez de utilizar a potência média é melhor usar a energia.
v(t)
Se v(t) é a tensão através de uma resistência R, a energia total liberada é determinada integrando-se 
a potência instantânea p(t)=v2(t)/R (watts = J/s) no tempo.
Definição: energia de sinal normalizada (R = 1 Ω):
sendo equivalente a área total sob a curva de |v(t)|2 .
Definição: sinal não periódico de energia é um sinal v(t) tal que a integral (2.2-1) exista e resulte 
em 0 < E < ∞ (seja finito).
Quase todos os sinais limitados no tempo e de interesse prático se enquadram nesta categoria.
Ser um sinal não periódico de energia é a condição essencial da análise espectral usando a 
transformada de Fourier.
(J = joule)
Transformada de Fourier (TF):
Será relembrada a análise apresentada no final da seção 2.1, introduzindo-se a TF a partir da 
representação de um sinal periódico de potência e sua série de Fourier (2.1-2):
De acordo com o teorema de Fourier, existe uma representação similar a (2.1-2) para um sinal não 
periódico de energia, obtida como a forma limite da série de Fourier do sinal quando o período 
tende ao infinito.
As linhas espectrais, espaçadas por f0= 1/T0, tornam-se cada vez mais próximas entre si, à medida 
que o período aumenta. 
Contudo, se a largura τ do pulso ficar constante, a forma da envoltória do espectro permanece 
inalterada.
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No limite, quando T0 e n em (2.1-2) tendem ao infinito, o espaçamento em frequência 1/T0 = f0
aproxima-se de zero, sendo representado por df , o produto nf0 aproxima-se da frequência contínua f, 
e o somatório aproxima-se da integral:
O termo entre colchetes está relacionado com os coeficientes das linhas espectrais [c(nf0) de (2.1-2), 
mas que agora têm espaçamento nulo, formando um espectro contínuo] e constitui a transformada 
de Fourier (TF) de v(t):
A função v(t) em (2.2-3) é recuperada a partir do seu espectro [outrora, a soma de fasores discretos 
em (2.1-2)] por meio da transformada de Fourier inversa (TFI):
fasores discretos, espectro
espectro
Par de transformadas de Fourier:
TF: 
TFI:
Como estudado no caso da série de Fourier, converge na média para v(t), com o 
fenômeno de Gibbs ocorrendo nas descontinuidades. 
Contudo, considera-se válida a operação de igualdade em (2.2-5) na maioria dos casos.
i) A TF, V(f), é uma função complexa, tal que |V(f)| é o espectro de amplitudes e arg V(f) é o 
espectro de fases de v(t), 
ii) O valor de V(f) em f=0 é igual a área líquida de v(t), pois
iii) Se v(t) for real em (2.2-4), então, o espectro exibe simetria hermitiana:
e assim, e 
Exemplo 2.2-1: Pulso retangular de largura τ, amplitude unitária e centrado na origem:
__________________________
Portanto, um pulso retangular de largura τ e amplitude A pode ser representado por:
Inserindo v(t) na integral da TF resulta:
tal que V(f=0)=Aτ, a área sob o pulso (obviamente!).
(continua...)
multiplicar e dividir por τ
)sinc()( ττ fAfV =
A figura revela que a porção significativa do espectro está na faixa | f | < 1/τ , pois |V(f )|<< |V(0)|
para |f | >1/τ.
Por causa disto, costuma-se adotar 1/τ como a largura espectral (ou largura de banda) de V(f).
Se a duração do pulso, τ, for reduzida, esta largura espectral aumenta, e vice-versa: pulsos curtos têm 
espectros largos e pulsos largos têm espectros estreitos.
Isto corresponde ao fenômeno de espalhamento recíproco (válido para todos os sinais), qual seja: 
componentes de alta frequência são causadas por variações temporais rápidas, enquanto variações 
temporais suaves ou lentas demandam baixo conteúdo de alta frequência. #
Espectro de v(t):
↔
ftjfte ftj πππ 2sen2cos2 −=−
______________________________________________
Sinais simétricos e causalidade:
Quando um sinal possui simetria em relação ao eixo dos tempos, sua TF pode ser simplificada.
a) Como escreve-se:
onde:
são as porções par [Ve(−f) = Ve (f)] e ímpar [Vo(−f) = −Vo (f)] de V(f).
Observe-se que: e
a1) Se v(t) for real, Ve(f) e Vo(f) são reais, e então: 
como discutido anteriormente (simetria hermitiana). 
Obs:
Par - Even:
Ímpar - Odd:
V(−f)=Ve(−f)+jVo(−f)
____________________________________________________________________
b) Se um sinal w(t) tem simetria, são válidas as relações:
as quais se aplicam tanto a w(t) = v(t) cosωt quanto a w(t) = v(t) senωt.
b1) Se v(t) tem simetria par, tal que: 
então w(t) =v(t) cosωt também é par, enquanto w(t) =v(t) senωt é ímpar.
Com isso, Vo(f )=0, 
e
)()()( fjVfVfV oe += w(t)
w(t)
ambos os casos são analizadoa a seguir
ímpar = par × ímparpar = par × par
_______________________________________________________________
b2) Se v(t) tem simetria ímpar, tal que: 
então w(t) =v(t) cosωt também é ímpar, enquanto w(t) =v(t) senωt é par.
Com isso, Ve(f )=0, 
e
_____________________________
Conclusão de (2.2-12 a-b) e (2.2-13 a-b): 
Um sinal real e par no tempo tem espectro real e par em frequência, e, 
Um sinal real e ímpar no tempo tem espectro imaginário e ímpar em frequência.
)()()( fjVfVfV oe +=
Um sinal v(t) é causal se:
Como a causalidade impede qualquer simetria temporal, o espectro consiste de ambas as partes real e 
imaginária, sendo calculado a partir de:
Esta integral apresenta uma semelhança com a transformada de Laplace (TL):
com s=σ + jω, e que implica em que v(t)=0 para t <0.
Portanto, se v(t)= for causal, pode-se obter V(f) a partir de tabelas de TL fazendo-se s = jω = j2πf (ou 
seja, σ = 0).
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Obs: a) Tabelas de TL incluem muitos sinais que não são de energia, cujas TL’s existem somente com 
σ>0, tal que |v(t)e-st| = |v(t)e-σt |→0 quando t→∞. Tais sinais não têm TF, pois s=σ +jω cai fora 
do domínio (eixo) da frequência quando σ≠0. (Neste caso, a TL não serve para calcular TF.)
b) Existem TFs de sinais de energia não causais e que, portanto, não possuem TL.
Causalidade:
)()( fjVfV oe +=
Exemplo 2.2-2: Pulso exponencial causal, com constante de tempo 1/b.
O espectro pode ser obtido a partir da 
definição de TF, ou então, de tabelas de TL:
fazendo s = jω = j2πf, obtém-se a TF:
(15b)
Como discutido, sendo v(t) causal, resultou-se 
num espectro complexo:
V(f)=|V(f)| e j arg V(f)
Como v(t) é real, o espectro tem simetria 
hermitiana.
fjb
AfV
π2)( +=
(continua...)
Ver próxima página
___________________________________________________________________________
A TF (2.2-15b) é uma função complexa, que pode ser rescrita como:
onde se observa que
Relembrando (2.2-10a):
realiza-se a conversão de V(f) para a forma polar:
cujos gráficos foram plotados na Fig. 2.2-3 anterior. #
Teorema de Rayleigh da Energia:
Teorema de Rayleigh: a energia E de um sinal v(t) se relacionadacom seu espectro V(f) por:
o qual é um caso particular da relação mais geral:
________________________________________________________________
Prova: sabendo-se que
então:
no qual a ordem das integrações em t e f foram permutadas. 
O termo entre colchetes corresponde a V(f), completando-se a prova.
(integra em f depois em t)
(integra em t depois em f )
Obs:
Interpretação:
Integrando-se o quadrado do espectro de amplitudes em todas as frequências obtém-se a energia total.
A função |V(f)|2 (em J.s) fornece a distribuição de energia no domínio da frequência, podendo ser 
designada de densidade espectral de energia: Gv(f) = |V(f)|2 .
A energia contida numa banda diferencial em frequência df é: |V(f)|2 df (medida em J).
__________________
Exemplo: Já foi visto que a TF do pulso v(t) é:
e assim, a densidade espectral de energia do 
pulso é dada por
)sinc()( ττ fAfV =
)(sinc)()( 222 ττ fAfV =
(continua...)
J=V2(f)/s → V2(f)=J.s
___________________________________________________
A maior parte da energia está na faixa |f |<1/τ.
A energia nesta banda é a área hachurada:
Obviamente, a energia total de um pulso com largura τ e amplitude A é:
= A2τ.
a qual corresponde à área total sob a curva de |v(t)|2 .
Portanto, a largura espectral 1/τ engloba mais de 90% da energia total do pulso.
)(sinc)()( 222 ττ fAfV =
(só tem solução numérica!)
Teorema da dualidade:
Se v(t) ↔ V(f), então, dado
ocorre
Prova: ver o livro do Carlson.
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Exemplo 2.2-3: Pulso sinc com largura 2× 1/2W = 1/W:
Z(f )=?
t
(continua...)
___________________________________________________
Já foi estudado que:
Assim, reescrevendo-se (2.2-19a) como:
e fazendo-se z(t)=V(t), tem-se B=A/2W e τ=2W. 
A dualidade diz que: 
ou seja:
↔
Espectro limitado em banda.Sinal temporal eterno.
t
=ℑ= )]([)()( tVtVtz
porta com largura 2W
espectro com largura de banda Wpulso com largura 1/W
Cálculos de transformadas:
i) Calcular a integral pela definição da TF (‘força bruta’) (ver Exemplo 2.2-1);
ii) Consultar tabelas de transformadas de Fourier (ver adiante);
iii) Consultar tabelas de transformadas de Laplace (ver Exemplo 2.2-2);;
iv) Usar teoremas da transformada de Fourier (dualidade, etc.) (ver Exemplo 2.2-3).
v) Formas de ondas aproximadas
Se se aproxima de z(t) e o erro quadrático é pequeno, e também, se
e , então, aplicando-se o teorema de Rayleigh à diferença 
resulta:
Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do 
tempo, pode-se utilizar como boa aproximação para Z(f). 
Exemplo: será usado adiante que, se 
vi) Cálculo de séries de Fourier a partir da transformada de Fourier
)(~ tz
)(~ fZ
(continua...)
)()(~)()()(lim)(~
0
fZfZtztttz ≅=≅= ∈
∈→
δδ
erro no tempoerro em frequência
vi) Cálculo de séries de Fourier a partir da transformada de Fourier
Seja v(t) um sinal periódico e z(t)=v(t) Π(t/T0) um sinal não periódico consistindo de apenas um 
período de v(t). 
Calcula-se Z(f) como: 
Então, recordando-se da Eq. (2.1-14) da seção 2.1, qual seja (coeficiente de função periódica):
então, por comparação, conclui-se que os coeficientes da série de v(t) periódica são dados por:
 −+∞
∞−
−
=Π=
0
22
0 )()/()()( T
ftjftj dtetvdteTttvfZ ππ
Π(t/T0)
[uma vez conhecido Z(f), calculam-se os coeficientes cn de v(t) !! ]