Eng. Produção Eng. Economica Cap. 1

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USP-LN

João Ricardo Johnson

25/04/2018

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ENTRO UNIVERSITÁRIO SALESIANO DE SÃO PAULO – UNISAL – LORENA
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
DISCIPLINA: ENGENHARIA ECONÔMICA
Capítulo 1: INTRODUÇÃO
1.1 Conceitos Primários
Os estudos sobre “Engenharia Econômica” foram iniciados nos Estados Unidos da América do Norte – USA – em 1887, quando Arthur Wellington publicou seu livro “The Economic Theory of Railway Location”, cujo texto sintetizava a análise de viabilidade econômica para ferrovias.
Posteriormente este texto comprovou que a “Engenharia Econômica” era importante para todas as oportunidades de tomada de decisão sobre propostas corretas e passíveis de serem implantadas, sendo que seus fundamentos poderiam ser utilizados tanto para empresas estatais quanto para empresas privadas.
A base principal da Engenharia Econômica é a Matemática Financeira que, por sua vez, se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.
Alguns exemplos de tomadas de decisões podem ser:
- efetuar o transporte do material manualmente ou comprar uma esteira transportadora para executá-lo;
- fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou com tubos finos;
- substituição de equipamentos obsoletos;
- comprar carro a prazo ou à vista.
Para se fazer um estudo econômico adequado, alguns princípios básicos devem ser considerados, a saber:
devem haver alternativas de investimento. È infrutífero calcular se é vantajoso comprar um carro à vista, se não existem condições de conseguir dinheiro para tal;
as alternativas devem ser expressas em unidades monetárias. Não é possível comparar diretamente 300 horas mensais de mão de obra com 500Kwh de energia. Convertendo os dados em termos monetários, passa-se a ter um denominador comum muito prático. Alguns dados, entretanto, são difíceis de serem convertidos em unidade monetária. Estes casos são chamados de intangíveis e exemplos que ocorrem, em casos reais são:
- boa vontade de um fornecedor;
- boa imagem da empresa ou status;
c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir sobre o tipo de motor a comprar, não interessa o consumo dos mesmos se estes forem idênticos;
d) sempre serão consideradas as atualizações sobre o capital empregado. Sempre existem oportunidades de empregar o capital de maneira que ele apresente algum retorno. Ao se aplicar o capital em um projeto, deve-se ter a certeza de ser, a alternativa escolhida, a maneira mais rendosa de utilizá-lo;
e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; sempre irá interessar o presente e o futuro.
Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes:
- critérios financeiros: disponibilidade de recursos;
- critérios econômicos: rentabilidade do investimento; e
- critérios imponderáveis: fatores que não podem ser convertidos em unidade monetária.
Fluxo de Caixa
Em algumas vezes serão considerados mais de um montante (recurso financeiro) na situação financeira em discussão. Nestes casos se costuma representar a situação em uma forma gráfica, diferenciando entradas de recursos (ou recursos positivos ou receitas) com setas voltadas para cima; enquanto que, saídas de recursos (ou recursos negativos ou despesas) com setas voltadas para baixo (ou para cima, mas com a indicação do sinal de negativo); tudo em relação à uma linha horizontal que representará a linha do tempo. Esta representação recebe o nome de Fluxo de Caixa ou Linha do Tempo.
$

tempo

Figura 1.1 Fluxo de Caixa ou Linha do Tempo
1.2 Matemática Financeira
A Matemática Financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo (e o passar do tempo). Uma primeira observação, que pode ser considerada a base de toda a teoria da Matemática Financeira, é a seguinte:
“Não se pode operar matematicamente quantias monetárias que não estejam no mesmo momento (mesma data)”
Conseqüentemente existe a necessidade de correção de valores para os momentos definidos no estudo, quer seja no futuro quer seja no presente. Todo e qualquer bem ou serviço gera uma remuneração; por exemplo:
- o trabalho gera o salário;
- a terra ou o imóvel (bem) alugado gera o aluguel;
- a técnica fornecida gera o Royalty;
- o capital disponibilizado gera os juros.
Juros é o valor monetário que é pago pelo custo do Capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital ou bem, indisponível, durante determinado tempo, assumindo o compromisso de saldá-lo com a respectiva quitação do custo citado. Trata-se, portanto, de um juramento por um certo período de tempo, daí, o nome Juro, que evoluiu para Juros.
Assim surge a necessidade de atualização de valores. O fator usado para esta conversão que é denominado de “Juros” e é apresentado inicialmente na forma de porcentagem de variação periódica; que por sua vez pode definir o seu valor em unidade monetária específica. Existe, portanto, uma correspondência muito forte entre o valor dos Juros e o Tempo.
Algumas situações mais comuns, relacionadas com a necessidade de cobrança pelo custo do capital, são:
- compras à crédito;
- cheques especiais;
- prestação da casa própria;
- desconto de duplicata;
- vendas a prazo;
- empréstimos; etc.
Inicialmente os valores de Juros foram calculados na forma simples; isto é; sempre associada a um período único e específico de tempo; porém, mais tarde esta forma evoluiu para a situação composta que passou a envolver vários períodos de tempo, em uma mesma negociação. Assim existem os Juros Simples e os Juros Compostos. A forma mais usada atualmente é a de Juros Compostos.
A representação dos juros na forma de porcentagem é dada pelas letras: i, j ou k; enquanto que a representação do valor dos juros na forma de unidades monetárias é feita pela letra J.
1.3 Juros Simples
Ao se calcular os valores de juros financeiros (rendimentos) pelo caminho simples; serão necessárias as seguintes informações:
- o capital inicial que deu origem à negociação e que é denominado de Principal ou Valor Presente, sendo representado pela letra P ou VP;
- a taxa, em porcentagem, de juros firmada na negociação e que no momento do cálculo será utilizada em valores reais (dividida por 100), sendo indicada por i; j ou k; e que terá a indicação do período de tempo de referência;
- o número de períodos de tempo envolvidos na negociação, que será indicado por n.
A fórmula de calculo do valor monetário (financeiro) de juros será:
J = P.i.n (1)
O valor obtido após o período de capitalização, também chamado de valor futuro, sendo indicado por F ou VF é dado por:
F = P + J
F = P + P.i.n
F = P (1 + i.n) (2)
1.4 Juros Compostos
Esta situação considera a possibilidade do valor Principal corrigido, que é também tratado por F ou VF; e foi definido acima; ser novamente aplicado (reaplicado), gerando um novo rendimento para P e um rendimento para os juros do primeiro período (anterior) que foi incorporado ao principal inicial P.i.n, sendo que n passa a ser igual a um período (n=1). Uma expressão genérica pode ser deduzida da seguinte forma:
- No primeiro período:
F1 = P + (P . i) = P . (1 + i)
- No segundo período:
F2 = F1 + (F1 . i) = F1 . (1 + i) = P . (1 + i) . (1 + i) = P . (1 + i)2
- No terceiro período:
F3 = F2 + (F2 . i) = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2 . (1 + i) = P . (1 + i)3
Surge, então, uma generalização para um
número de períodos maior, por exemplo n, definindo a expressão geral abaixo para cálculo de juros compostos, dada por:
Fn = P . (1 + i)n (3)
Esta fórmula somente poderá ser usada quando a taxa de juros for igual em cada período e os períodos forem de mesmo tamanho (iguais). A fórmula também resolve a situação de juros simples, quando considera um período apenas; isto é; n = 1, passando a ser expressa por:
F1 = P . (1 + i)1 = P . (1 + i)
Exemplo 1.1 Para um capital de R$100.000,00, aplicado a uma taxa de juros anuais de 10%; durante 3 anos seguidos; qual será o valor futuro se forem considerados os dois caminhos: juros simples e juros compostos?
Fim do Ano
Juros Simples
Juros Compostos
0
100.000
100.000
1
110.000
110.000
2
120.000
121.000
3
130.000
133.100
Juros Totais
30%
33,1%

O Mercado Financeiro segue integralmente a Lei dos Juros Compostos. Assim todos os Papéis de Renda fixa (Letras de Câmbio, Certificados de Depósitos, etc) o Sistema de Habitação, as Prestações de Crediários, os Descontos de Duplicatas e outros vários exemplos do Mercado Financeiro seguem a Lei dos Juros Compostos e não a dos Juros Simples.
1.5 Conversão de Taxas de Juros
Considerando um mesmo valor futuro (F ou VF); um mesmo valor presente (P ou VP); uma taxa de juros pelo período total (iP); um período de tempo total (n); e uma taxa de juros diária (iD); é possível indicar:
F = P (1 + iP)n onde n = período total = 1; que determina: F = P (1 + iP)1 (4)
F = P (1 + iD)n onde n = número de dias do período total considerado (5)
Igualando-se tem-se:
P (1 + iP)1 = P (1 + iD)n que simplificado determina: (1 + iP)1 = (1 + iD)n e que indica a relação entre taxas de períodos e taxas diárias.
Exemplo 1.2 Efetuar a comparação entre uma aplicação do tipo CDB (certificado de depósito bancário) no valor de R$ 30.000,00 a uma taxa bruta de 5%, por um período de 35 dias; e uma aplicação do mesmo valor em uma poupança com taxa de rendimento mensal de 3,5%. Calcule a rentabilidade líquida da aplicação em CDB, considerando uma taxa de imposto sobre a renda de 10%; e indique qual é a forma de aplicação mais interessante. (Observar que a taxa de aplicação em poupança já considera a dedução do imposto de renda).
Na aplicação em CDB:
- rentabilidade bruta = 0,05 x 30.000 = 1.500
- imposto de renda sobre o ganho = 0,10 x 1.500 = 150
- rentabilidade líquida = 1.500 – 150 = 1.350
- valor futuro bruto = F = P (1 + iP)n = 30.000 (1 + 0,05)1 = 31.500 (para informação)
- valor futuro líquido = 30.000 + 1.350 = 31.350
- utilizando a fórmula do valor futuro: FL = P(1 + kP)1, onde kP = taxa líquida do período
FL = valor futuro líquido

31.350 = 30.000(1 + kP)1

(1 + kP) = (31.350 / 30.000)
(1 + kP) = 1,045
kP = 0,045 ou 4,5%

- A rentabilidade líquida do CDB é de 4,5% e deverá ser comparada com a da poupança
- Levando ambas para a mesma referência de tempo (30 dias), tem-se:
CDB
Levando primeiramente para diária a rentabilidade do CDB
(1 + kP)1 = (1 + iD)35
(1 + 0,045) = (1 + iD)35
(1 + iD)35 = 1,045 → (1 + iD) = (1,045)1/35 = 1,001258 → iD = 0,00126
Levando finalmente para mensal (30 dias) a rentabilidade do CDB
(1 + iM)1 = (1 + 0,00126)30 = 1,0385 → iM = 0,0385 ou 3,85%

- Donde se conclui que a aplicação no CDB é mais vantajosa do que a aplicação na poupança.
1.6 A Linha de Tempo (Fluxo de Caixa)
A linha de tempo pode ser usada para descrever os fluxos de caixa associados a um dado investimento. Ela é uma linha horizontal na qual o tempo zero aparece no início dela, à esquerda, e os períodos futuros são marcados da esquerda para a direita. Uma linha de tempo cobrindo cinco períodos (neste caso, anos) é dada na figura 1.2
O fluxo de caixa ocorre no tempo zero e ao final de cada ano é mostrado acima da linha; os valores negativos representam fluxos de saída de caixa ($10 mil no tempo zero) e os valores positivos representam fluxos de entrada de caixa ($3 mil de fluxo de entrada ao final do ano 1; $5 mil de fluxo de entrada de caixa ao final do ano 2 e assim por diante).
- $10.000 $3.000 $5.000 $4.000 $3.000 $2.000

0 1 2 3 4 5
Fim do ano
Figura 1.2: Linha de Tempo. Linha de tempo descrevendo os fluxos de caixa de um investimento.
Tendo em vista que o dinheiro tem um valor no tempo, todos os fluxos de caixa associados a um investimento, tais como os descritos na figura 1.2, devem ser mensurados no mesmo ponto no tempo. Tipicamente, esse ponto é o final ou o início da vida de um investimento. As técnicas do valor futuro usam capitalização para achar o valor futuro de cada fluxo de caixa ao final da vida do investimento e então somam esses valores para achar o valor futuro do investimento. Alternativamente, a técnica de valor presente usa taxas de desconto para encontrar o valor presente para cada fluxo de caixa no tempo zero e então soma esses valores para encontrar o valor do investimento hoje. As aplicações dessas abordagens são indicadas abaixo na linha do tempo, na figura 1.3.
Capitalização

- $10.000 $3.000 $5.000 $4.000 $3.000 $2.000

0 1 2 3 4 5
Fim do ano

Taxas de desconto
Figura 1. 3: Capitalização e taxas de desconto. Linha de tempo mostrando capitalização
para achar o valor futuro e as taxas de desconto para achar o valor presente.
O significado e o mecanismo da capitalização para achar o valor futuro e as taxas de desconto para achar o valor presente são indicados a seguir, neste capítulo. Apesar de o valor presente e o valor futuro resultarem nas mesmas decisões, mas, devido ao fato de tomarem decisões no tempo zero – tendem a se basear principalmente em técnicas de valor presente.
1.7 Auxílio da Computação
Cálculos demorados estão muitas vezes envolvidos na procura de valores presentes e futuros. Apesar de se entender os conceitos e os fundamentos matemáticos que estão por trás desses cálculos, a aplicação prática
dessas importantes técnicas de valor no tempo pode ser agilizada. Nosso enfoque está no uso de tabelas financeiras e calculadoras financeiras como auxílio da computação. Computadores pessoais também podem ser usados para simplificar cálculos de valor no tempo.
1.8 Tabelas Financeiras
Tabelas financeiras, facilmente desenvolvidas a partir de fórmulas, incluem vários fatores de juros de valor presente e futuro que simplificam cálculos de valor no tempo. Apesar de o grau de precisão decimal (arredondamento) variar, as tabelas são tipicamente indexadas pela taxa de juros (em colunas) e o número de períodos (em linhas). A figura 1.4 mostra esse esquema geral. Ao se usar esta tabela para encontrar a taxa de juros a um índice de 20% em 10 anos, seu valor seria achado na intercessão da coluna de 20% com a linha de 10 anos, como mostrado no quadro branco. Um conjunto completo das quatro tabelas financeiras básicas está incluído no conteúdo deste capítulo. Essas tabelas são descritas de forma mais completa no desenvolvimento deste capítulo e são usadas para demonstrar a aplicação de técnicas de valor no tempo.

Taxa de juros (
Período
1%
2%
(
10%
(
20%
(
50%
1

(

(
(
(

(

(
(
(

(

(
(
(

(
(
(
(
(
(
(
(
:
(10

(
(
(
x.xxx
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
:
20

(

(
(
(
(
(
(
(
(
:
50

(

Figura 1.4: Tabelas financeiras. Esquema e uso de uma tabela financeira
1.9 Calculadoras Financeiras
Durante os últimos 15 anos, o poder da calculadora financeira melhorou dramaticamente e seu custo caiu. Hoje, uma calculadora financeira poderosa pode ser comprada por R$ 80,00 a R$120,00. Geralmente, calculadoras financeiras incluem numerosas rotinas financeiras pré-programadas, muitas vezes orientadas por menu. Este capítulo e os seguintes mostram como calcular taxas de juros e fazer outros cálculos financeiros. Por conveniência, usa-se as teclas financeiras importantes, denominadas de uma forma consistente na maioria das principais calculadoras financeiras.
Dá-se uma atenção especial para as teclas desenhadas e caracterizadas na figura 1.5. Usa-se geralmente a tecla (CPT) e apenas quatro das cinco teclas na segunda linha, com uma das quatro teclas representando o valor desconhecido sendo calculado (Ocasionalmente, todas as cinco teclas são usadas, sendo uma representando o valor desconhecido).
Na calculadora financeira HP 12C, a mais utilizada no Brasil, a utilização da tecla CPT deve ser suprimida.
CPT

N
I
PV
PMT
FV
CPT- Tecla usada para iniciar cálculos financeiros uma vez que todos os valores tenham sido inseridos
N – Número de períodos
I – Taxa de juros por período
PV – Valor presente
PMT – Montante do pagamento, usado apenas para anuidades
FV – Valor futuro
Figura 1.5: Teclas da calculadora. Teclas financeiras importantes em uma calculadora típica.
As teclas em algumas das mais sofisticadas calculadoras são orientadas por menu, de forma que depois que é selecionada a rotina apropriada, a calculadora induz o usuário a inserir cada valor; nessas calculadoras uma tecla não é necessária para obter uma solução. De qualquer forma, qualquer calculadora com as funções básicas de valor presente e futuro pode ser usada no lugar de tabelas financeiras. As teclas de outras calculadoras financeiras são explicadas nos guias de referência que as acompanham.
Apesar deste texto demonstrar o uso tanto de tabelas financeiras quanto de calculadoras financeiras, é fortemente recomendável que se use a calculadora para agilizar cálculos financeiros rotineiros uma vez que se entenda os conceitos básicos fundamentais. Com um pouco de prática, tanto a velocidade quanto a precisão de cálculos financeiros, usando uma calculadora, podem ser bastante melhorados. Repare que devido a uma precisão maior da calculadora, pequenas diferenças poderão existir entre os valores calculados usando tabelas financeiras e aqueles achados com uma calculadora financeira. Lembre, o objetivo é um entendimento conceitual do assunto. A capacidade de resolver problemas com a ajuda de uma calculadora não reflete necessariamente esse entendimento, portanto, não se deve acomodar apenas com respostas. Deve ser trabalhado o material até que se entenda também os conceitos.
1.10 O Papel do Valor do Dinheiro no Tempo
Empresas sempre se defrontam com oportunidades de conseguir taxas de retorno positivas sobre seus fundos, através do investimento em projetos atraentes, em títulos ou depósitos com juros. Portanto, o timing dos fluxos de caixa – tanto fluxos de caixa de entrada quanto de saída – tem importantes conseqüências econômicas, as quais administradores financeiros explicitamente reconhecem como o valor do dinheiro no tempo. Valor no tempo é baseado na idéia de que uma unidade monetária hoje em dia vale mais do que uma unidade monetária que será recebida em uma data futura. Nosso estudo do valor do dinheiro no tempo começará considerando dois pontos de vista de valor no tempo – valor futuro e valor presente – e o auxílio da computação, usada para acelerar os cálculos de valor no tempo.
1.10.1 Valor Futuro Versus Presente
Valores financeiros de decisões podem ser avaliados através do uso tanto de técnicas de valor futuro quanto de valor presente. Apesar de essas técnicas resultarem nas mesmas decisões, elas vêem a decisão de forma diferente. Técnicas de valor futuro tipicamente mensuram fluxos de caixa ao final da vida de um projeto; técnicas de valor presente mensuram fluxos de caixa no início da vida de um projeto (tempo zero). Valor futuro é um dinheiro que se vai receber em uma data futura qualquer e valor presente é como dinheiro na mão hoje.
1.10.2 Valor Futuro de um Montante Único
Imagine que na idade de 25 anos você começa a fazer depósitos em dinheiro anuais de $ $2 mil em uma poupança que paga 5% de juros anuais. Ao final de 40 anos, na idade de 65 anos, você teria feito depósitos no total de $80 mil (40 anos x $ 2 mil por ano). Presumindo que você não tenha feito retiradas, como você pensa que será seu saldo na conta? $100 mil? $150 mil? $200 mil? Não, seus $80 mil terão crescido e chegado a $242 mil! Por quê? A razão é que o valor do dinheiro no tempo permitiu que os depósitos ganhassem juros e juros sobre juros, que foram capitalizados por 40 anos.
1.10.2.1 O Conceito de Valor Futuro
Juros compostos são usados para indicar que o montante de juros ganhos sobre um dado depósito torna-se parte do principal ao final de um período específico. O termo principal se refere ao montante de dinheiro sobre o qual os juros são pagos. O tipo mais comum é a capitalização anual.
O valor futuro de um montante presente é encontrado pela capitalização composta durante um período específico de tempo. Instituições de poupanças fazem propaganda de retornos de capitalização de juros compostos a uma taxa de x %, ou x % de juros compostos anualmente, semestralmente, trimestralmente, semanalmente, diariamente, ou mesmo continuamente. O conceito de valor futuro com capitalização anual pode ser ilustrado por um exemplo simples.
Exemplo 1.3: Se Fred Moreno coloca $100 em uma conta de poupança, pagando 8% de juros compostos anualmente, ao final de 1 ano ele vai ter $108 na conta - o principal inicial de $100 mais 8% ($8) em juros. O valor futuro ao final do primeiro ano é calculado ao se usar a equação (4).
Valor futuro ao final do ano 1 = $100 x (1 + 0,08) = $ 108
Se Fred deixasse, seu dinheiro por mais um ano, ele receberia juros com a taxa de 8% sobre o novo principal de $108. Ao final do segundo ano haveria $116,64 na conta - o principal no início do ano 2 ($108) mais 8% dos $108
($8,64) em juros. O valor futuro ao final do segundo ano é calculado ao se usar a equação abaixo:
Valor futuro ao final do ano 2 = $108 x (1 +0,08) = $116,64

Desenvolvendo a expressão da linha acima, chega-se à:
Valor futuro ao final do ano 2 = $100 x (l + 0,08) x (1 + 0,08)

= $ 100 x (l + 0,08)2
= $116,64
Esta equação leva a uma fórmula geral para se calcular valor futuro.
1.10.2.2 A Equação para Valor Futuro
A relação básica na equação 4.3 pode ser generalizada para se achar o valor futuro após qualquer número de períodos. Seja:
VFn = valor futuro ao final do período n
VP = principal inicial, ou valor presente
k = taxa anual de juros pagos (Atenção: em calculadoras financeiras, I é
tipicamente usado para representar esta taxa)
n = número de períodos - geralmente anos - em que o dinheiro é deixado depositado.
Ao usar esta anotação, uma equação geral para o valor futuro ao final do período n pode ser formulada:

(6)
A aplicação da equação pode ser ilustrada por um simples exemplo.
Exemplo 1.4: Jane Farber colocou $ 800 em uma conta de poupança, pagando 6% de juros compostos anualmente. Ela espera determinar quanto dinheiro haverá na conta, ao final de 5 anos.
Solução: Substituindo VP = $800, k = 0,06 e n = 5 na equação (6), chega-se ao montante ao final do ano 5:
VF5= 800 x (1 + 0,06)5 = 800 x (1,338) = 1.070,40
Jane vai ter $1.070,40 na conta ao final do quinto ano.
Uso da linha de tempo: Esta análise pode ser descrita em uma linha de tempo como abaixo:
VF5 = $1.070,40
VP = $800

0 1 2 3 4 5
Figura 1.6: Linha do Tempo
1.10.2.3 Usando Tabelas e Calculadoras para achar o Valor Futuro
Resolver a equação no exemplo anterior consome tempo, pois é necessário elevar 1,06 à quinta potência.
Uso da Tabela
Usar uma tabela de juros de valor futuro ou uma calculadora financeira simplifica bastante os cálculos, como será demonstrado.
A tabela que fornece valores para (1 + k)n na equação (6) é a Tabela A-l.
Esta tabela é usualmente referida como "tabela de fator de juros compostos" ou "tabela do valor futuro de $1”.
O valor em cada célula desta tabela é chamado de fator de juros de valor futuro. Esse fator é o multiplicador usado para calcular, a uma taxa de juros específica, o valor futuro de um montante atual a um dado tempo. A taxa de juros de valor futuro para um principal inicial de $1 capitalizado a k % por n períodos, é referido como FJVFk,n :
Fator de Juros de Valor Futuro = FJVFk,n = (1 + k)n (7)
Ao achar a interseção da taxa anual de juros, k, e os períodos apropriados, será encontrado o fator de juros de valor futuro relevante a um problema em particular.
Apesar de se utilizar usualmente com anos, em vez de períodos, tabelas financeiras são freqüentemente apresentadas em termos de períodos para fornecer o máximo de flexibilidade.
Ao deixar FJVFk,n, representar o fator apropriado, pode-se reescrever a equação 6 como a seguir:
VFn = VP x (FJVFk,n) (8)
Esta expressão indica que para se achar o valor futuro, VFn, ao final do período n de um depósito inicial, tem-se simplesmente que multiplicar o depósito inicial, VP, pela taxa de juros de valor futuro apropriado. Um exemplo vai ilustrar esse cálculo, usando tanto a tabela quanto a calculadora.
Exemplo 1.5: No exemplo anterior, Jane Farber colocou $800 em sua conta de poupança a uma taxa de juros compostos de 6% ao ano e espera saber quanto ela vai ter na conta ao final de 5 anos.
Solução: Uso da Tabela: O fator de juros de valor futuro do principal inicial de $1 em um depósito para 5 anos a uma taxa de juros compostos de 6% anualmente, FJVF 6%, em 5 anos, na Tabela A-l, é de 1,338. Multiplicando o principal inicial de $800 por esse fator resulta um valor futuro ao final do ano 5 de $1.070,40.
Uso da Calculadora
Muitas calculadoras permitem que o usuário estabeleça o número de pagamentos por ano. A maioria dessas calculadoras é pré-programada para pagamentos mensais - 12 pagamentos por ano. Tendo em vista que se trabalha principalmente com pagamentos anuais - um pagamento por ano -, é importante ter certeza de que a calculadora esteja programada para um pagamento por ano. Apesar de a maioria ser pré-programada para reconhecer que todos os pagamentos ocorram ao final do período, é importante ter certeza de que a calculadora esteja programada corretamente no modo END. Consulte o guia de referencia que acompanha a calculadora para achar as instruções de como programar esses valores.
As funções financeiras pré-programadas na calculadora financeira podem ser usadas para calcular o valor futuro diretamente
Para evitar incluir dados anteriores nos cálculos atuais, sempre limpe todos os registros da calculadora antes de inserir valores e fazer cada cálculo.
Primeiro, digite $800 e aperte PV; depois, digite 5 e aperte N; então, digite 6 e aperte I (que é o equivalente de “k” nesta notação);
Os valores conhecidos ser inseridos na calculadora em qualquer ordem; a ordem especificada nesta, assim como em outras demonstrações de uso da calculadora incluídas neste texto, são resultado meramente de conveniência e preferência pessoal.
finalmente, calcule o valor futuro, aperte CPT e então FV. O valor futuro de $1.070,58 deve aparecer no visor da calculadora. Em muitas calculadoras, esse valor será precedido por um sinal de menos (isto é, - 1.070,58). Se um sinal de menos aparece na calculadora, ignore-o aqui, assim como em outras ilustrações de “Uso da Calculadora” neste texto.

A calculadora diferencia entradas de saídas através da colocação de um sinal negativo na frente dos fluxos de saída. Por exemplo, no problema anteriormente demonstrado, o valor presente de $800 (VP), devido ao fato de ele ter entrado como um número positivo (isto é, 800), é considerado uma entrada ou um depósito. Portanto, o valor futuro calculado (VF) de - 1.070,58 é precedido de um sinal de menos para mostrar que ele é a saída resultante ou retirada.
Se o valor de $800 tivesse entrado como um número negativo (isto é, -800), o valor futuro de $1.070.58 seria mostrado como um número positivo (isto é, 1.070,58). Colocados de forma simples, os fluxos de caixa – valor presente (VP) e valor futuro (VF) – terão sinais opostos.
Entradas: 800 5 6
Funções: PV N I CPT FV
Saídas : 1.070,58
Figura 1.7: Teclas da Calculadora: Exemplo 1.5
Tendo em vista que a calculadora é mais precisa do que as taxas de valor futuro, que serão arredondadas para o 0,00 1 mais próximo, uma pequena diferença - neste caso, $0,18 – existirá freqüentemente entre os valores encontrados por esses métodos alternativos. Evidentemente, maior precisão e facilidade de cálculo tendem a favorecer o uso
da calculadora ao se fazer cálculos financeiros como esse.
1.10.2.4 Uma visão Gráfica do Valor Futuro
Lembre que é mensurado o valor futuro ao final de um dado período. A relação entre várias taxas de juros, o número de períodos de juros ganhos e o valor futuro de uma unidade monetária são ilustrados na figura 1.8.
Valor futuro de uma unidade monetária ($)
20%
30,00
25,00
20,00 15%

15,00
10,00 10%

5,00 5%

1,00 0%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Períodos
Figura 1.8: Relação do Valor Futuro: Taxas de juros, períodos de tempo e valor futuro de uma
unidade monetária.
1.10.2.5 Capitalizando com Freqüência Maior do que Anualmente
Juros são muitas vezes capitalizados com freqüência maior que uma vez por ano. Instituições de poupança capitalizam juros semestralmente, trimestralmente, mensalmente, semanalmente, diariamente ou mesmo continuamente. Serão discutidas as várias questões e técnicas referentes à capitalização com freqüência maior que uma vez por ano.
Capitalização Semestral
Capitalização semestral de juros envolve dois períodos de capitalização dentro de um ano. Em vez de a taxa de juros declarada ser paga uma vez por ano, a metade da taxa de juros declarada é paga duas vezes por ano.
Exemplo 1.6: Fred Moreno decidiu investir $100,00 em uma conta de poupança, pagando 8% de juros capitalizados semestralmente. Se ele deixar seu dinheiro na conta por dois anos, receberá 4% de juros capitalizados por quatro períodos, cada um deles com duração de 6 meses.
Solução: A tabela 1.1 usa taxas de juros para mostrar que ao final do ano 1, com capitalização semestral de 8%. Fred terá $108,16. Ao final de 2 anos, ele terá $116,99.

Tabela 1.1: O Valor Futuro de um Investimento de $100,00 a uma Taxa de Juros de 8%
Capitalizados Semestralmente por 2 anos

Período
Principal Inicial
($)
(1)
Fator de juros do valor
Futuro
(2)
Valor futuro ao final do
Período ($)
[(1) x (2)]
(3)
6 meses
100,00
1,04
104,00
1 ano
104,00
1,04
108,16
18 meses
108,16
1,04
112,49
2 anos
112,49
1,04
116,99
Capitalização Trimestral
A capitalização trimestral envolve quatro períodos de capitalização dentro de um ano. Um quarto da taxa de juros declarada é pago quatro vezes por ano.
Exemplo 1.7 Fred Moreno encontrou uma instituição que vai lhe pagar 8% de juros capitalizados trimestralmente. Se ele deixar seu dinheiro nessa conta por 2 anos, receberá 2% de juros capitalizados em oito períodos, cada um dos quais com duração de três meses.
Solução: A tabela 1.2 usa fator de juros que mostra o montante que Fred terá ao final de 2 anos. Ao final de 1 ano, com 8% de juros de capitalização trimestral, Fred terá $108,24. Ao final de 2 anos, ele terá $ 117,16.
Tabela 1.2: O Valor Futuro de um Investimento de $100,00 a uma Taxa de Juros de 8% Capitalizados
Trimestralmente por 2 Anos
Período
Principal inicial ($)
(1)
Fator de juros do valor futuro
(2)
Valor futuro ao final do período ($)
[(1) x (2)]
(3)
3 meses
100,00
1,02
102,00
6 meses
102,00
1,02
104,04
9 meses
104,04
1,02
106,12
1 ano
106,12
1,02
108,24
15 meses
108,24
1,02
110,40
18 meses
110,40
1,02
112,61
21 meses
112,61
1,02
114,86
2 anos
114,86
1,02
117,17
A tabela 1.3 compara valores para os $100 de Fred Moreno ao final dos anos 1 e 2 dados juros anuais, semestrais e trimestrais, capitalizando a uma taxa de 8%. Como mostra-
do, quanto maior a freqüência com que os juros são capitalizados, maior é o montante de dinheiro acumulado. Isso é verdadeiro para qualquer taxa de juros por qualquer período de tempo.
Tabela 1.3: O Valor Futuro de um Investimento de $100 a uma Taxa de Juros de 8% para os Anos 1 e 2
Dados Vários Períodos de Capitalização
Fim do ano
Período de capitalização

Anual
Semestral
Trimestral
1
108,00
108,16
108,24
2
116,64
116,64
117,16
Uma Equação Geral para Capitalização com Freqüência Maior que a Anual
Deve ficar claro a partir dos exemplos anteriores que se m se iguala ao número de vezes ao ano em que os juros são capitalizados, a equação (4), a fórmula para capitalização anual, pode ser reescrita da seguinte forma:

, sendo FJVFk,n = (1 +
)nxm (9)
Se m = 1, a equação (9) reduz-se à equação (4). Portanto, se os juros são capitalizados anualmente (uma vez por ano), a equação (9) vai fornecer o mesmo resultado que a equação (4). O uso geral da equação (9) pode ser ilustrado com um exemplo simples.
Exemplo 1.8: Os exemplos anteriores calcularam o montante que Fred Moreno teria ao final de 2 anos se ele depositasse $100 a juros de 8% capitalizados semestralmente e trimestralmente.
Solução: Para uma capitalização semestral, m seria igual a 2 na equação (9); para uma capitalização trimestral, m seria igual a 4. Substituindo os valores apropriados para capitalização semestral e trimestral na equação (9), chega-se a:
1. Para capitalização semestral:
VF2 = 100 x (1 +
)2 x 2 = 100 x (1 + 0,04)4 = $116,99
2. Para capitalização trimestral:
VF2 = 100 x (1 +
)4 x 2 = 100 x (1 + 0,02)8 = 117, 16
Estes resultados coincidem com os valores para VF, nas tabelas 1.2 e 1.3.
Se os juros fossem capitalizados mensalmente, semanalmente ou diariamente, m seria igual a 12, 52 e 365, respectivamente.
Usando Tabelas e Calculadoras
É possível usar fator de juros de valor futuro para $1, dado na tabela A-l, para encontrar o valor futuro quando os juros são capitalizados m vezes a cada ano. Em vez de indexar a tabela para k% e n anos, como foi feito quando os juros foram capitalizados anualmente, indexamos para (k / m) % e (m x n) períodos. No entanto, a tabela não é tão útil dessa forma, pois ela inclui apenas taxas selecionadas para um número limitado de períodos. Em vez disso, uma calculadora pessoal ou computador pessoal são tipicamente exigidos. O exemplo seguinte demonstra o uso tanto de uma tabela quanto de uma calculadora.
Exemplo1.9: Fred Moreno esperava encontrar o valor futuro de $100 investidos a 8% capitalizados semestralmente e trimestralmente por 2 anos. O número de períodos de capitalização, m, a taxa de juros e o número de períodos usados em cada caso, juntamente com a taxa de juros de valor futuro, são os seguintes:
Tabela 1.4: Dados do exemplo 1.6
Período de Capitalização
M
Taxa de juros
(k ( n)
Períodos
(m x n)
Fator
de Juros de valor futuro da tabela A-1
Semestralmente
2
8% ( 2 = 4%
2 x 2 = 4
1,170
Trimestralmente
4
8% ( 4 = 2%
4 x 2 = 8
1,172
Uso da Tabela: Multiplicando o fator de juros de valor futuro pelo depósito inicial de $100 resulta em um valor de $117,00 (1,170 x 100) para a capitalização semestral e um valor de $117,20 (1,172 x 100) para uma capitalização trimestral.
Uso da Calculadora: Se a calculadora fosse usada para o cálculo de capitalização semestral. O número de períodos seria 4 e a taxa de juros seria de 4%. O valor futuro de $116,99 deveria aparecer no visor da calculadora.
Entradas: 100 4 4
Funções: PV N I CPT FV
Saídas: 116,99
Para o caso da capitalização trimestral, o número de períodos seria igual a 8 e a taxa de juros seria de 2%. O valor futuro de $117,17 deveria aparecer no visor da calculadora.
Entradas: 100 8 2
Funções: PV N I CPT FV
Saídas: 117,17
Comparando os valores da calculadora e da tabela, pode-se ver que os valores da calculadora geralmente concordam com aqueles valores dados nas tabelas (1.1) e (1.2), mas são mais precisos. Pois as taxas da tabela foram arredondadas.
Capitalização Contínua
Em um caso extremo, os juros podem ser capitalizados continuamente. Capitalização contínua envolve capitalização a cada microssegundo - o menor período de tempo imaginável. Neste caso, m na equação (9) chegaria perto do infinito e, através do uso de cálculo, a equação se tornaria:
VFn (capitalização contínua) = VP x (ek x n) (10)
onde e é a função exponencial, que tem um valor de 2,7183.
A maioria das calculadoras tem a função exponencial, tipicamente destacada como ex, inserida nelas. O uso dessa tecla é especialmente útil para se calcular o valor futuro quando os juros são capitalizados continuamente.
A taxa de juros de valor futuro para a capitalização contínua é por conseguinte:
FJVFk,n (capitalização contínua) = ek x n (11)
Exemplo 1,10: Para encontrar o valor, ao final de 2 anos (n = 2), do depósito de $100 de Fred Moreno (VP = $100) em uma conta, pagando juros anuais (k = 0.08) capitalizados continuamente, pode-se substituir estes valores na equação (10):
Solução:
VF2 (capitalização contínua) = 100 x e0,08 x 2 = 100 x 2.71830,16
= 100 x 1,1735 = 117,35
Uso da Calculadora - Para se encontrar esse valor usando a calculadora, primeiro encontre o valor de e digitando 0,16 e então apertando em 2nd, depois e para conseguir chegar a 117,35. Depois multiplique esse valor por 100 para chegar ao valor de 117,35. (Atenção: Em algumas calculadoras, 2nd talvez não tenha de ser apertado antes de apertar ex.).

Funções:

2nd

Saídas:

1,1735

117,35
Figura 1.9 Uso da calculadora: Exemplo 1.10
Portanto, o valor futuro com capitalização contínua é igual a $117,35, que, como esperado, é maior do que o valor futuro dos juros capitalizados semestralmente ($116,99) ou trimestralmente ($117,16). Como foi destacado anteriormente, a capitalização contínua oferece o maior montante que resultaria de capitalização de juros com freqüência maior do que uma vez por ano.
Perspectiva Financeira Pessoal
As Recompensas da Capitalização
Capitalizar juros pode fazer mágica em suas finanças pessoais também. Quando eles estavam com trinta e poucos anos, Lou e Cathy Hayward decidiram investir 10% dos seus salários cada ano. Agora, com seus quarenta e cinco anos, o casal tem uma poupança de $180 mil. Se os Hayward continuarem a poupar nesta taxa anual de $6.500 por ano e ganharem 8,7% após os impostos, sua renda anual de aposentadoria seria de $ 50 mil à taxa de hoje, incluindo a Previdência Social.
Você acha que não consegue achar dinheiro algum em um orçamento já apertado? Coloque apenas $25 por mês em um fundo mútuo de investimento que renda 8,4% anualmente – a média de rendimento das ações após a inflação entre 1.975 e 1.995 - e em 20 anos sua conta terá $15.500. Aumente o montante mensal para $100 e você estará $62 mil mais rico. Se você não tem a disciplina de investir regularmente, consiga um programa de investimento automático com um fundo mútuo de investimento que movimente dinheiro diretamente de sua conta bancária, mensal ou trimestralmente, para uma conta de investimento.
1.10,2.6 Taxas de Juros Nominais e Efetivas
Tanto os consumidores quanto as empresas necessitam fazer comparações objetivas de custos de empréstimos, ou rendimentos de investimentos através de diferentes períodos de capitalização. No sentido de colocar as taxas de juros em uma base comum para permitir comparações, é feita uma distinção entre taxas anuais nominal e efetiva. A nominal, ou taxa declarada anual, é a taxa contratual anual cobrada por um financiador ou prometida por um tomador de empréstimos. A taxa efetiva anual, ou real (Ke), é a taxa anual de juros paga na realidade ou conseguida. A taxa anual efetiva reflete o impacto da freqüência de capitalização, enquanto a taxa nominal anual não.
Usando o sistema introduzido anteriormente, pode-se calcular a taxa efetiva anual, Ke, ao substituir valores para a taxa anual nominal, k, assim como a freqüência de capitalização, m, chegando na equação (12).

(12)
Pode-se aplicar esta equação usando dados de exemplos anteriores.
Exemplo 1.11: Fred Moreno espera encontrar a taxa anual efetiva associada a uma taxa anual nominal de 8% (k = 0,08) quando os juros são capitalizados (1) anualmente (m = 1); (2) semestralmente (m = 2); e trimestralmente (m = 4).
Solução: Substituindo esses valores na equação (12), encontra-se o seguinte:
Para uma capitalização anual:
= (1 + 0,08) – 1 = 0,08 = 8%
Para uma capitalização semestral:

= (1 + 0,04)2 – 1 = 0,0816 = 8,16%
Para uma capitalização trimestral:

= (1 + 0,02)4 –1 = 0,0824 = 8,24%
Estes valores demonstram dois pontos importantes: (1) As taxas efetiva e nominal são equivalentes para a capitalização anual e (2) a taxa efetiva anual aumenta com o crescimento na freqüência da capitalização.
A taxa efetiva anual máxima para uma taxa anual dada ocorre quando os juros são capitalizados continuamente. A taxa efetiva anual para esse caso extremo pode ser achada ao se usar a seguinte equação:
Ke (capitalização contínua) = ek – 1
Para a taxa anual nominal de 8% (k = 0,08), a substituição na equação acima resulta em uma taxa efetiva anual de:
e0,08 - 1 = 1,0833 - 1 = 0,0833 = 8,33%
no caso de capitalização contínua. Esta é a taxa efetiva anual mais alta alcançada com uma taxa nominal de 8%.
No nível do consumidor, "leis a respeito da verdade dos financiamentos" exigem a divulgação em cartões de crédito e outros empréstimos da taxa percentual anual (TPA). A TPA é a taxa nominal conseguida ao se multiplicar a taxa periódica com o número de períodos em 1 ano. Por exemplo, um cartão de crédito bancário que cobra 11/2% por mês teria uma TPA de 18% (1,5% por mês em 12 meses por ano). "Leis a respeito da verdade de poupanças”, por' outro lado, exigem que os bancos cobrem dos seus produtos de poupança o retorno percentual anual (RPA).
A RPA é a taxa efetiva anual que o produto da poupança paga. Por exemplo, uma conta de poupança que paga 0,5 por mês teria um RPA de 6,17% [(1,005)12 - 1]. Fazer a cotação de taxas de juros de
empréstimos em sua taxa nominal anual mais baixa - a TPA - e taxas de juros de poupança em sua taxa efetiva anual mais alta – a RPA – oferece duas vantagens: há uma tendência de padronizar a divulgação para os consumidores, assim como de permitir que as instituições financeiras façam a cotação de taxas de juros mais atraentes - taxas de financiamento baixas e taxas de poupança altas.
1.10.3 Valor Futuro de uma Anuidade
Uma anuidade é uma série de fluxos de caixa anuais iguais. Esses fluxos de caixa podem ser fluxos de entrada de retornos obtidos sobre investimentos ou fluxos de saída de fundos investidos para retornos futuros. Os cálculos exigidos para encontrar o valor futuro de uma anuidade, sobre a qual os juros são pagos a uma taxa específica capitalizada anualmente, podem ser ilustrados pelo seguinte exemplo.
Exemplo 1.12: Mollie Carr gostaria de determinar quanto dinheiro terá ao final de 5 anos se ela depositar $1 mil anualmente ao final de cada um dos próximos 5 anos, em uma conta de poupança que paga 7% de juros anuais.
Solução: A tabela 1.5 apresenta os cálculos necessários para se encontrar o valor futuro dessa anuidade ao final do ano 5. Esta situação é descrita na linha de tempo seguinte:
($) 1.311
1.225
1.145
1.070
1.000

5.751 Valor Futuro
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

0 1 2 3 4 5
Fim do ano
Figura 1.10: Uso da Linha de Tempo: Exemplo 1.12
Como a tabela e a figura mostram, ao final do ano 5, Mollie terá $5.751 em sua conta. A coluna 2 da tabela indica que, devido ao fato de os depósitos serem feitos ao final do ano, o primeiro depósito vai ganhar juros por 4 anos, o segundo por 3 anos e assim por diante. As taxas de juros de valor futuro na coluna 3 correspondem a esses períodos de ganhos de juros, assim como a uma taxa de juros de 7%.
Tabela 1.5 O Valor Futuro de uma Anuidade de 5 anos de $1.000 Capitalizados a 7%
Fim do ano
Montante depositado
(1) (em $)
Número de anos capitalizados
(2)
Fator de juros de valor futuro da Tabela A-1
(3)
Valor futuro ao final do ano
[(1) x (3)]
(4) (em $)
1
1.000
4
1,311
1.311
2
1.000
3
1,225
1.225
3
1.000
2
1,145
1.145
4
1.000
1
1,070
1.070
5
1.000
0
1,000
1.000
Valor futuro ao final do ano 5
5.751

1.10.3.1 Usando Tabelas e Calculadoras para achar o Valor Futuro de uma Anuidade
Cálculos de anuidades podem ser simplificados ao se usar uma tabela de fator para o valor futuro de uma anuidade ou uma calculadora financeira. Os dados para o valor futuro de uma anuidade de $1 estão na Tabela A-2. Os fatores incluídos na tabela são baseados na assunção de que todo depósito é feito ao final do período.
As discussões de anuidades através deste texto concentram-se na forma mais comum de anuidade – a anuidade ordinária, que ocorre ao final de cada período. Quando ela ocorrer no início de cada período é chamada de anuidade vencida. As tabelas financeiras para anuidades incluídas neste texto são preparadas para o uso de anuidades ordinárias.
A fórmula para o fator de juros de valor futuro para uma anuidade quando os juros são capitalizados anualmente a k% por n períodos, FJVFAk,n, é:
FJVFAk,n =
(13)
Esta fórmula meramente estabelece que a taxa de juros de valor futuro para uma anuidade n-ano é achada ao se adicionar a soma das primeiras n-1 taxas de juros de valor futuros com 1,000: isto é:
FJVFAk,n = 1,000 +
(14)
Esse fator é o multiplicador usado para calcular o valor futuro de uma anuidade, a uma taxa de juros específica, por um dado período de tempo.
Ao deixar VFAn igualar o valor futuro de uma anuidade de n-anos, PMT se iguala ao montante a ser depositado anualmente, ao final de cada ano, e FJVFAk,n representa a taxa de juros de valor futuro para a anuidade de uma unidade monetária capitalizada a k% por n anos. A relação entre essas variáveis pode ser expressa como segue:
VFAn = PMT x (FJVFAk,n) (15)
Um exemplo vai ilustrar esses cálculos, usando tanto a tabela quanto a calculadora.
Exemplo 1.13 Como destacado anteriormente, Mollie Carr gostaria de encontrar o valor futuro (VFAn), ao final de 5 anos (n), de um depósito anual de fim de ano de $1.000 (PMT) em uma conta, pagando 7% de juros anuais (k) durante os próximos 5 anos.
Solução:
Uso da tabela: O fator de juros de valor futuro apropriado para uma anuidade de 5 anos a 7% (FJVFA 7%, 5 anos), achado na tabela A-2, é de 5,751. Ao usar a equação 15, o depósito de $1.000 x 5,751 resulta em um valor futuro para a anuidade de $5.751.
Uso da calculadora: Usando as entradas da calculadora mostradas abaixo, você deve achar o valor futuro da anuidade de $5.750,74 – uma resposta um pouco mais precisa do que a achada usando a tabela.
Entradas 1.000 5 7
Funções PMT N I CPT FV
Saídas 5.750,74
1.10.4 Valor Presente de um Montante Único
É muitas vezes útil determinar hoje o valor de um montante futuro de dinheiro. O valor presente é o valor corrente em unidades monetárias de um montante futuro - o montante de dinheiro que teria de ser investido hoje a uma dada taxa de juros, através de um período específico, para se igualar ao montante futuro. O valor presente depende largamente das oportunidades de investimento do recebedor e do ponto no tempo no qual o montante deverá ser recebido.
1.10.4.1 O Conceito de Valor Presente
O processo de se achar os valores presentes é muitas vezes referido como taxas de desconto de fluxos de caixa. Ele está preocupado em responder à questão: "Se eu posso ganhar k% sobre meu dinheiro, qual o máximo que eu estaria disposto a pagar agora para uma oportunidade de receber VFn unidades monetárias, em n períodos de hoje?”. Esse processo é na realidade o inverso de capitalizar juros. Em vez de achar o valor futuro de unidades monetárias atuais investidas a uma taxa qualquer, taxas de desconto determinam o valor presente de um montante futuro, presumindo a oportunidade de obter um certo rendimento, k, sobre o dinheiro. Essa taxa anual de rendimento é referida de diferentes formas como taxa de desconto,
retorno exigido, custo de capital ou custo de oportunidade. Esses termos serão usados de forma alternada neste texto. O processo de taxas de desconto pode ser ilustrado por um simples exemplo.
Exemplo 1.14 Mr. Cotter tem uma oportunidade de receber $300 daqui a um ano. Se ele pode obter 6% sobre seus investimentos no curso normal dos eventos, qual o máximo que ele deve pagar agora por essa oportunidade?
Solução: Para responder a essa questão, ele deve determinar quantas unidades monetárias teriam de ser investidas a 6%: hoje em dia para ter $300 daqui a um ano. Ao deixar VP igualar esse montante desconhecido e usar o mesmo sistema utilizado na discussão de valor futuro, a situação pode ser descrita como a seguir:
VP x (1 + 0,06) = $300 (16)
Resolvendo a equação 16 para VP, chega-se à equação 17:
VP =
= $283,02 (17)
O "valor presente" de $300 recebido daqui a um ano, dado um custo de oportunidade de 6%, é de $283,02. Mr. Cotter deve estar indiferente a receber $283,02 hoje ou $300 daqui a um ano.
Isto é, o investimento hoje de $283,02, a um custo de oportunidade de 6%, resultaria em $300 ao final de 1 ano.
1.10.4.2 A Equação de Valor Presente
O valor presente de um montante futuro pode ser achado matematicamente ao se resolver a equação 17. para VP. Em outras palavras, a pessoa meramente quer obter o valor presente, VP, de algum montante futuro, VFn, a ser recebido n períodos de agora, presumindo um custo de oportunidade k. Resolvendo a equação 17 para VP, chega-se à equação 18 que é a equação geral para o valor presente de um montante futuro.

(18)
Exemplo 1.15 Pam Valenti espera encontrar o valor presente de $1.700 que será recebido daqui a 8 anos. O custo de oportunidade da Pam é de 8%.
Solução: Substituindo VF8 = $1.700, n = 8 e k = 0,08, chega-se à :

Para resolver a equação acima, o termo (1 + 0,08) deve ser elevado à oitava potência. O valor resultante desse cálculo que consome tempo é de 1,851. Dividindo 1.770 por esse valor chega-se ao valor presente para os $1.700, que é de $918,42.
Uso da linha de tempo: Esta análise pode ser descrita na seguinte linha de tempo:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
VF8 = $1.700
VP = $918,42
Figura 1.11: Linha de tempo. Exemplo 1.15
1.10.4.3 Usando Tabelas e Calculadoras para achar o Valor Presente
O cálculo do valor presente pode ser simplificado ao se usar um fator de juros de valor presente. Esta taxa é o multiplicador usado para calcular o valor presente de um montante a ser recebido em um período futuro, a uma taxa específica de desconto. O fator de juros de valor presente para o valor presente de $1, com uma taxa de desconto de k% por n períodos, é referido como FJVPk,n:
Fator de Juros de Valor Presente = FJVPk,n =
(19)
O apêndice Tabela A-3 apresenta taxa de juros de valor atual para $1. Ao deixar FJVPk,n
representar o fator apropriado, é possível reescrever a equação 18 como a seguir:
VP = VFn x (FJVPk,n) (20)
Esta expressão indica que para achar o valor presente, VP, de um montante a ser recebido em um período futuro, n, nós temos de multiplicar o montante futuro, VFn, pelo fator de juros de valor presente apropriado. Um exemplo vai ilustrar esse cálculo, usando tanto a tabela quanto a calculadora.
Exemplo 1.16 Como destacado, Pam Valenti gostaria de achar o valor presente de $1.700 a ser recebido daqui a 8 anos, presumindo um custo de oportunidade de 8%.
Solução: Uso da Tabela O fator de juros de valor presente para 8% e 8 anos, FJVP8%,8, achado na Tabela A-3, é de 0,540. Multiplicando o valor futuro de $1.700 por seu fator de juros resulta em um valor presente de $918.
Uso da Calculadora Usando as funções financeiras da calculadora e as entradas mostradas
abaixo, você deve achar o valor presente de $ 918,46.
Entradas: 1.700 8 8
Funções: FV N I CPT PV
Saídas: 918,46
Devido ao fato de os números terem sido arredondados no cálculo, na equação 18 e na tabela A-3, o valor obtido com a calculadora - $918,46 - é mais preciso, apesar de, para os fins deste texto, essas diferenças serem insignificantes.
1.10.4.4 Uma Visão Gráfica do Valor Presente
Lembre que cálculos de valor presente presumem que os valores futuros são mensurados ao final de um dado período. A relação entre várias taxas de desconto, períodos de tempo e o valor presente de uma unidade monetária é ilustrada na figura 1.11.
Valor presente de uma unidade monetária ($)

1,00 0%

0,75

0,50

5%
0,25
10%
15%
20%
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Períodos
Figura 1.12: Relação de valor presente. Taxas de desconto, períodos de tempo e valor presente
de uma unidade monetária.
Permanecendo constantes as demais variáveis, a figura claramente mostra que: (1) quanto maior a taxa de desconto, menor o valor presente e (2) quanto mais longo o período de tempo, menor o valor presente. Também repare que dada uma taxa de desconto de 0%, o valor presente sempre se iguala ao valor futuro ($1). Mas para qualquer taxa de desconto
maior do que zero, o valor presente é menor do que o valor futuro de $1.
1.10.4.5 Comparando Valor Presente e Valor futuro
Será apresentado um par de importantes observações sobre valores presentes.
Uma é que a expressão para o fator de juros de valor presente para k% e n períodos, 1 / (1 + k)n, é a inversa do fator de juros de valor futuro para k% e n períodos, (1 + k)n. Esse fato pode ser confirmado ao se dividir o fator de juros de valor presente por k% e n períodos, FJVPk,n, em 1,0 e comparando o valor resultante com o fator de juros de valor futuro dado na Tabela A- I para k% e n períodos, FJVFk,n. Os dois valores devem ser equivalentes.
Segunda, devido à relação entre fator de juros de valores presentes e fator de juros de valores futuros, nós podemos achar o fator de juros de valores presentes em uma tabela de fatores de juros de valores futuros e vice-versa. Por exemplo, o fator de juros de valor futuro da Tabela A-l para 10% e 5 períodos é de 1,611. Dividindo este valor por 1,0 resulta 0,621. que é o fator de juros de valor presente dado na Tabela A-3 para 10% e 5 períodos.
1.10.5 Valor Presente de uma série de Fluxos de Caixa
Muitas vezes em finanças há uma necessidade de se achar o valor presente de uma série de fluxos de caixa a serem recebidos em vários períodos futuros. Dois tipos básicos de séries de fluxos de caixa são possíveis: séries mistas e anuidade. Uma série mista de fluxos de caixa não reflete nenhum padrão preestabelecido; uma anuidade, como colocado anteriormente é um padrão de fluxos de caixa iguais. Devido ao fato de certos atalhos serem usados para se achar o valor presente de uma anuidade, nós vamos discutir séries mistas e anuidades separadamente. Adicionalmente, o valor presente de perpetuidade é considerado nesta seção.
1.10.5.1 Valor Presente de uma Série Mista
Para se achar o valor presente de uma série mista de fluxos de caixa, determina-se o valor presente de cada montante futuro, como descrito na seção anterior e então soma-se todos os valores presentes individuais, para chegar ao valor presente total de uma série. Um exemplo vai ilustrar esse procedimento usando uma tabela ou uma calculadora.
Exemplo 1.17 À QTD Company, uma fabricante de sapatos, foi oferecida a oportunidade de receber a seguinte série mista de fluxos de caixa pelos próximos 5 anos:
Valor Presente de uma Série Mista
Ano
Fluxo de Caixa
(em $)
1
400
2
800
3
500
4
400
5
300
Se a empresa tem de ganhar pelo menos 9% sobre seus investimentos, qual é o máximo que ela deve pagar por essa oportunidade?
Solução: Uso da tabela Para resolver esse problema, determine o valor presente de cada fluxo de caixa com uma taxa de desconto de 9% pelo número apropriado de anos. A soma desses valores individuais é o valor presente do total da série. Os fatores de juros de valores presentes exigidos são aqueles mostrados na Tabela A-3. A tabela 1.6. apresenta os cálculos necessários para se achar o valor presente da série de fluxos de caixa, que é de $ 1.904,60.
Uso da Calculadora Você pode usar uma calculadora para achar o valor presente de cada fluxo de caixa individual, como demonstrado anteriormente e então somar os valores presentes para chegar ao valor presente de uma série de fluxos de caixa. No entanto, a maioria das calculadoras financeiras tem uma função que permite que você digite rodos os fluxos de caixa, especifique a taxa de desconto e então calcule diretamente o valor presente de toda a série de fluxos de caixa, sendo em vista que as calculadoras fornecem soluções mais precisas do que aquelas baseadas em fatores arredondados de tabelas, o valor presente da série de fluxos de caixa da QTD Company, achado usando uma calculadora, será um valor que é próximo, mas não precisamente igual ao valor de $1.904,60 calculado anteriormente.
O pagamento de $1.904,60 fornecerá exatamente um retorno de 9%. A QTD não deveria pagar mais do que esse montante pela oportunidade de receber esses fluxos de caixa.
Tabela1.6: O valor Presente de uma Série Mista de Fluxos de Caixa
Ano (n)
Fluxo de Caixa
(1) (em $)
FJVP9%, n a
(2)
Valor Presente
[(1) x (2)]
(3) (em $)
1
400
0,917
366,80
2
800
0,842
673,60
3
500
0,772
386,00
4
400
0,708
283,20
5
300
0,650
195,00
Valor presente de uma série mista
1.904,60
a Fator de juros de valor presente a 9% da tabela A–3
Uso da linha do tempo: Essa situação é descrita na seguinte linha de tempo:
($)
Fim do ano
0 1 2 3 4 5

400 800 500 400 300

366,80
673,60
386,00
283,20
195,00
Valor presente 1.904,60
Figura 1.13: Linha de Tempo. Exemplo 1.17
1.10.5.2 Valor Presente de uma Anuidade
O método para se achar o valor presente de uma anuidade é similar ao usado para uma série mista de fluxos de caixa, mas pode ser simplificado.
Exemplo 1.18 A Labco Company, uma pequena fabricante de brinquedos de plástico, gostaria de determinar o máximo que deveria pagar para adquirir uma anuidade em especial. A empresa exige um retorno mínimo de 8% sobre o todos os investimentos, e a anuidade consiste de fluxos de caixa de $700 ao ano, por 5 anos. A tabela 1.7 mostra o longo método para se achar o valor presente de uma anuidade – que é o mesmo método usado para a série mista. Esse procedimento resulta em um valor presente de $2.795,10.
Tabela 1.7: o método Longo para se achar o Valor Presente de uma Anuidade
Ano (n)
Fluxo de Caixa
(1) (em $)
FJVP8%, n a
(2)
Valor Presente
[(1) x (2)]
(3) (em $)
1
700
0,926
648,20
2
700
0,857
599,90
3
700
0,794
555,80
4
700
0,735
514,50
5
700
0,681
476,70
Valor presente de uma série mista
2.795,10
a Fator de juros de valor presente a 8% da tabela A – 3
Solução:
Uso da linha de tempo Similarmente, essa situação é descrita na seguinte linha de tempo:
($) Fim do ano
0 1 2 3 4 5

700 700 700 700 700

648,20
599,90
555,80
514,50
476,70
Valor presente 2.795,10
Figura 1.14 Linha de Tempo. Exemplo 1.18

Usando Tabelas e Calculadoras para achar o Valor Presente de uma Anuidade
Cálculos de anuidade podem ser simplificados ao se usar uma tabela de fatores de juros para o valor presente de uma anuidade ou de uma calculadora. Os valores para o valor presente de uma anuidade de $1 são dados na tabela A – 4 que na realidade representam a somo dos n primeiros fatores de juros de valores presentes da tabela A – 3, para uma taxa de desconto dada. A fórmula para o fator de juros de valor presente para uma anuidade com fluxos de caixa de fim de ano e taxas de desconto
de k% por n períodos, FJVPAk,n, é:
Esta fórmula meramente coloca que o fator de juros de valor presente para uma anuidade de n-anos é achado ao se somar os primeiros n fatores de juros de valores presentes a uma dada taxa, isto é:
FJVPAk,n =
(21)
FJVPAk,n =
(22)
Esse fator é o multiplicador usado para calcular o valor presente de uma anuidade, a uma taxa de desconto específica, por um dado período de tempo.
Ao deixar o VPAn se igualar ao valor presente de uma anuidade de n anos, PMT se iguala ao montante a ser recebido anualmente ao final de cada ano, e FJVPAk,n representa o valor apropriado para o fator de juros de valor presente para uma anuidade de uma unidade monetária com taxa de desconto de k% por n anos. A relação entre essas variáveis pode ser expressa como a seguir:

VPAn = PMT x (FJVPAk,n) (23)

Exemplo 1.19 A Labco Company, como destacado no exemplo anterior, gostaria de achar o valor presente de uma anuidade de 5 anos de $700, presumindo um custo de oportunidade de 8%.
Solução: Uso da tabela O fator de juros de valor presente para uma anuidade de 8% por 5 anos (FJVPA8%, 5 anos), achado na tabela A – 4, é de 3,993. Ao usar a equação 23, a anuidade de $700 x 3,993 resulta em uma anuidade de $2.795,10.
Uso da calculadora Usando as entradas da calculadora mostradas abaixo, você deve achar o montante de valor presente de $2.794,90. Repare que esse valor, exceto por uma pequena diferença de arredondamento, concorda com o valor achado ao se usar a tabela A – 4.
Entradas: 700 5 8
Funções: PMT N I CPT PV
Saídas: 2.794,90
Devido ao arredondamento dos números no cálculo da tabela 1.7, e a outras taxas na tabela A – 4, o valor obtido com a calculadora - $2.784,90 – é mais preciso, apesar de, para os fins deste texto essas diferenças serem insignificantes.
1.10.5.3 Valor Presente de uma Perpetuidade
Uma perpetuidade é uma anuidade com vida infinita – em outras palavras, uma anuidade que nunca cessa de fornecer a seu portador um fluxo de caixa ao final de cada ano. Ela é algumas vezes necessária para se achar o valor presente de uma perpetuidade. O fator de juros de valor presente para perpetuidade com uma taxa de desconto k é;
FJVPAk, ( =
(24)
Como mostra a equação, o fator apropriado, FJVPAk, (, é achado simplesmente ao se dividir 1 pela taxa de desconto, k (na forma numérica e não percentual). A validade desse método pode ser vista ao se olhar para as taxas na tabela A – 4 para 8, 10, 20 e 40%: quando o número de períodos (tipicamente anos) se aproxima de 50, os valores dessas taxas se aproximam de 12,500 (1/0,08), 10,000 (1/0,10), 5,000 (1/0,20) e 2,500 (1/0,40), respectivamente. Um exemplo vai ajudar a tornar clara a aplicação do fator dado na equação 24.
Exemplo 1.20 Fanny May gostaria de determinar o valor presente de uma taxa perpétua de $1 mil com uma taxa de desconto de 10%.
Solução: O fator de juros de valor presente apropriado pode ser achado ao se dividir 1 por 0,10. Como demonstrado na equação 24. Substituindo a taxa resultante, 10 e o montante da perpetuidade, PMT = $1.000, chega-se a um valor presente de $10.000 para a perpetuidade. Em outras palavras, a receita de $1.000 a cada ano por período indefinido vale apenas $10.000 hoje se Fanny May puder ganhar 10% sobre seus investimentos. Se ela tivesse $10.000 e ganhasse 10% de juros a cada ano, $1.000 por ano poderiam ser retirados indefinidamente sem tocar os $10.000 iniciais, que nunca seriam mexidos.
1.11 Aplicações Especiais de Valor no Tempo
Técnicas de valor futuro e presente têm um número de aplicações importantes. Serão estudadas três dessas: (1) o cálculo de depósitos necessários para acumular uma soma futura, (2) o cálculo de amortização de financiamentos e (3) a determinação de juros ou taxas de crescimento.
1.11.1 Depósitos para Acumular uma Soma Futura
As pessoas muitas vezes gostariam de determinar o depósito anual necessário para acumular um certo montantes de dinheiro, muitos anos à frente. Suponha que você quer comprar uma casa daqui a 5 anos e estima que uma entrada de $20.000 será necessária nesse dia. Você espera fazer depósitos anuais iguais de fim de ano em uma conta, pagando juros anuais de 6%, portanto você tem de determinar qual o tamanho da anuidade que vai resultar em uma soma exata igual a $20 mil ao final do ano 5. A solução desse problema está proximamente relacionada ao processo de se achar o valor futuro de uma anuidade.
Anteriormente, no capítulo, foi achado o valor futuro de uma anuidade de n-anos, VFAn, ao multiplicar o depósito anual, PMT, pelo fator de juros apropriado, FJVFAk,n. A relação das três variáveis foi definida pela equação 14, que é re-escrita aqui:
VFAn = PMT x (FJVFAk,n)
É possível achar o depósito anual necessário para acumular VFAn dólares, dada uma taxa específica de juros, k e um certo número de anos, n, ao resolver a equação para PMT. Isolando PMT do lado esquerdo da equação, chega-se a:
PMT =
(25)
Uma vez que isso tenha sido feito, é necessário apenas substituir os valores conhecidos de VFAn e FJVFAk,n no lado direito da equação para achar os depósitos anuais necessários. Um exemplo vai demonstrar esse cálculo.
Exemplo 1.21 Como há pouco colocado, pretende-se determinar os depósitos iguais anuais de fim de ano necessários para cumular $20 mil ao final de 5 anos dada uma taxa de juros de 6%.
Solução: Uso da Tabela A tabela A – 2 indica que o fator de juros de valor futuro para uma anuidade a 6% por 5 anos (FJVFA6%, 5anos) é de 5,637. Substituindo VFA5 = 20.000 e FJVFA6%, 5 anos = 5,637 na equação 25, chega-se a um depósito anual necessário, PMT, de $3.547,99. Portanto, se $3.547,99 são depositados ao final de cada ano, por 5 anos, a uma taxa de juros de 6%, haverá 20 mil na conta, ao fim de 5 anos.]
Uso da calculadora Usando as entradas da calculadora mostradas abaixo, é possível achar o montante do depósito anual de $3.547,93. Repare que esse valor, exceto por uma pequena diferença de arredondamento, concorda com o valor achado ao se usar a tabela A – 2.
Entradas: 20.000 5 6
Funções: FV N I CPT PMT
Saídas: 3.547,93
1.11.2 Amortização de um Financiamento
O termo amortização de um financiamento se refere à determinação dos pagamentos anuais de fim de ano de um financiamento necessários para fornecer ao financiador um retorno de juros específico e para ressarcir o principal do financiamento por um período específico. O processo de amortização do financiamento envolve achar os pagamentos futuros (pelo tempo do financiamento) cujo valor presente na taxa de juros do financiamento se iguala ao montante do principal inicial tomado emprestado. Financiadores usam um cronograma de amortização do financiamento para determinar esses montantes de pagamento e a alocação de cada pagamento para cobrir juros e principal. No caso da hipoteca de imóveis, essas tabelas são usadas para