4 Hidraulica

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Hidrodinâmica 3-1
3 HIDRODINÂMICA 
3.1 Definição 
A Hidrodinâmica tem por objeto o estudo do movimento dos fluidos. 
3.2 Vazão ou descarga 
Chama-se vazão ou descarga o volume do líquido que atravessa uma determinada 
seção na unidade de tempo. 
 Unidade: m3/s, l/s. 
3.3 Linha de corrente 
Linha de corrente é uma linha contínua traçada no líquido, que, no mesmo instante t 
considerado, mantém-se tangente em todos os pontos à velocidade V. 
 
linha de corrente  trajetória da 
partícula 
 
 
 Figura 3.1 
3.4 Tubo de corrente 
É o tubo constituído por todas as linhas de corrente que passam por uma pequena 
curva fechada. 
Tem a propriedade de não poder ser atravessado por partículas do líquido, isto é, a 
sua parede pode ser considerada impermeável. 
 
Figura 3.2 
3.5 Classificação dos movimentos 
Seja um ponto de um escoamento, com as seguintes grandezas: 
 = massa específica 
Hidrodinâmica 3-2
v = velocidade 
p = pressão 
Se neste ponto essas grandezas forem constantes ao longo do tempo, diz-se que o 
movimento é permanente. 
Se pelo menos uma dessas grandezas variar com o tempo, o movimento é chamado 
de não-permanente. 
3.6 Equação da continuidade 
Seja P1 o peso do líquido que entra na seção 1 do trecho de um tubo de corrente, no 
intervalo de tempo dt. 
Seja P2 o peso do líquido que sai da seção 2 no intervalo de tempo dt. 
Figura 3.3 
111
1111 ..
..
VA
dt
dlA
dt
P


 . (3.1) 
222
2222 ..
.. VA
dt
dlA
dt
P


 (3.2) 
Se o movimento for permanente: 
P1 = P2 
 222111 .... vAvA   (3.3) 
Se o líquido for incompressível: 
21   
Então: 2211 .. vAvA  (3.4) 
Logo: AvQ . (3.5) 
onde: Q = vazão; 
 v = velocidade média na seção; 
 A = área da seção transversal. 
3.7 Equação de Bernoulli (1772) 
Hipóteses para dedução da equação: 
 movimento permanente 
Hidrodinâmica 3-3
 escoamento sem viscosidade 
 líquido incompressível 
 escoamento em tubo de corrente 
 
Figura 3.4 
 Instante inicial  considera-se que as partículas estão contidas nas seções 1 e 2. 
 Decorrido o intervalo dt, as partículas da seção 1 ocupam a seção 1´ e as partículas da 
seção 2 ocupam a seção 2´. 
 Tudo acontece como se a massa dm1, saindo de 1-1´ passa para o lugar da massa dm2. 
 Conforme o Teorema da Energia Cinética: 
  trabalhos externos = variação da energia cinética 
 Trabalho:  = F.d 
 121
2
2221222111 2
1
2
1).(..... vdmvdmzzvoldldApdldAp   (3.6) 
 Porém: 
dm1ddm1 = .dA1.dl1 111 dldAg
dm   
 
g

  222 dldAg
dm   
 Então: 
2
121
2
22221222111 ...2
1...
2
1).(..... vdldA
g
vdldA
g
zzvoldldApdldAp   (3.7) 
Dividindo-se ambos os membros pelo peso: 
 Peso = .vol = 1211 dldAdldA   
g
v
g
vzzpp
2
1
2
2
21
21
2
1
2
1


 (3.8) 
Ordenando-se os índices, tem-se: 
Hidrodinâmica 3-4
g
vpz
g
vpz
22
2
22
2
11
1  
 (3.9) 
Dessa forma, ao longo de qualquer linha de corrente, é constante a soma das alturas 
geométrica (z), piezométrica (p/) e cinética (v2/2g). 
3.8 Extensão da equação de Bernoulli aos escoamentos reais 
Considerações: 
1. Tubo de corrente para tubo de seção finita 
- no tubo de corrente: 
g
v
2
2
 
- no tubo de seção finita: 
g
v
2
.
2
 
 = coeficiente de correção do termo cinético, chamado de coeficiente de Coriolis. 
2. Escoamento líquido viscoso (com perda de energia) 
A Equação de Bernoulli para o escoamento real se escreve: 
H
g
vpz
g
vpz 
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 


 (3.10) 
Significado das parcelas: 
z1 = energia potencial por unidade de peso ou carga geométrica ou carga de posição na 
 seção 1. 


1p energia de pressão por unidade de peso ou carga piezométrica ou carga de pressão 
 na seção 1. 

g
v
2
2
1
1 energia cinética por unidade de peso ou carga cinética ou carga de velocidade na 
 seção 1. 
 perda de energia por unidade de peso ou perda de carga entre 1 e 2. 
3.9 Equação fundamental da Hidrodinâmica 
  


 SCC
AdvdV
tDT
DN 
 (3.11) 
N – propriedade extensiva que se estende a toda massa do sistema considerado. 
 - propriedade intensiva, relativa a unidade de massa. 
Figura 3.5 
Hidrodinâmica 3-5
Equação da conservação da massa na forma integral (instante t) 
Admitindo que N = massa = M 
No volume de controle: 
 
V
dVN  
 Como dV = dm, pode-se escrever a equação acima em termos de dm: 
 
MM
MdmdmN .   = 1 
 Sabe-se que não há variação de massa no tempo, ou matematicamente 0
Dt
DM . 
 Assim, substituindo  por 1, pode-se escrever a equação da conservação da massa 
da seguinte forma: 
  0



 SCC
Advd
t

 (3.12) 
Figura 3.6 
Regime permanente  0



C
d
t
    0
SC
Adv

 
222111 .... AvAv    fluido compressível 
221121 .. AvAv    fluido incompressível 
3.10 Quantidade de Movimento 
2ª lei de Newton: 
vmN . (Quantidade de movimento) 
  Fam
Dt
vDm
DT
vmD
Dt
DN 
 .. (força resultante na direção do movimento) 
vddvdmvN
CCm

 

 
Equação da Quantidade de Movimento na forma integral: 
 





C SC
Advvdv
t
F )(

 (3.13) 
Hidrodinâmica 3-6
Regime permanente  0



C
dv
t

   
SC
AdvvF

 
Exemplo: Consideremos o escoamento permanente de um 
fluido através de uma curva convergente, cujo plano de 
simetria é vertical, conforme a figura. Admitir que nas seções 
de entrada (área A1) e saída (área A2), as propriedades 
pressão (p), velocidade (v) e massa específica () sejam 
uniformes e conhecidas. Pede-se determinar as componentes 
da força que o fluido exerce sobre o bloco de ancoragem. 
Solução: 
- Em relação ao eixo y: 
Equação da Quantidade de Movimento 
 cos)( 2
2
21
2
1 AvAvAdvvF
SC
yy  
 (I) 
Por outro lado, tem-se as forças externas: 
yy RApApF  cos2211 (II) 
- Em relação ao eixo z: 
Q.M.:  sen)( 222 AvAdvvF
SC
zz  
 (III) 
Forças externas: zz RPApF  sen22 
Igualando (I) e (II): 
 coscos 2
2
21
2
12211 AvAvRApAp y  
Isolando Ry tem-se: 
 coscos 2
2
21
2
12211 AvAvApApRy  
Igualando (III) e (IV): 
 sensen 2
2
222 AvRPAp z  
Isolando Rz: 
 sensen 2
2
222 AvPApRz  
 
EXERCÍCIOS-EXEMPLOS 
3.1 De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250 mm de diâmetro, com 
poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 125 mm, do qual a 
água passa para a atmosfera sob a forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-
se 105 l/s. 
Hidrodinâmica 3-7
Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 250 mm; a altura de água H na 
barragem;a potência bruta do jato. 
 
 Solução: 
 Bernoulli entre os pontos 1 e 2. 
0;
22 21
2
2
2
2
2
1
1
1  zz
g
vzp
g
v
zp

 
02 

p 
g
v
g
vp
22
2
1
2
2 

 
 Eq. da continuidade: Q = v1.A1 = v2.A2 
smvmA /14,2
0491,0
105,00491,0
4
250,0
1
2
2
1 


 
smvmA /53,8
01227,0
105,00127,0
4
125,0
2
2
2
2 


 
mp 48,3
81,92
14,253,8 221 




 
 Bernoulli entre 1 e 3: 
H
g
vp
g
vzp
g
vzp 
222
2
11
2
3
3
3
2
1
1
1

 
mHH 71,3 
81,92
14,248,3
2


 
 Potência do jato: 
CVsmKgfHQP 2,5/. 55,38971,3105,0000.1..   
3.2 A figura representa um sifão. Se desprezarmos o atrito da 
água na mangueira, qual será a velocidade do jato livre 
no ponto C ? Qual a pressão no ponto B? 
 Dados:  = 1000 Kg/m3 
 g = 9,81 m/s2 
 Solução: 
1) Bernoulli entre A e C 
Hidrodinâmica 3-8
 
g
vzP
g
vzP CCCAAA 22
22


 
 mz
g
vz CCC 5,2;2
0
2
 
smvxxgzvgzv CCCcc /0,75,281,9222
2  
2) pB = ? 
 Bernoulli entre B e C 
 
g
vzp
g
vzP CCCBBB 22
22


 
 Eq. da continuidade: 
vB.AT = vC.AT ; AT = Áreatubo 
g
v
g
v CB
22
22
 
pC = patm 
BC
B
C
B
CB
B zzpzpzzp 

 
zC = - 2,5 m 
zB = 1,2 m 
pB = 1.000 x 9,81 x (-2,5 – 1,2)  pB = -36.297 N/m2 
3.3 Determinar a resultante dos esforços que uma curva 
divergente de 90º instalada em posição vertical, conforme 
a figura, recebe da água em escoamento permanente, 
sabendo-se que A1 = 1m2, A2 = 2 m2, p1 (pressão média 
em A1) = 2 kgf/cm2; p2 (pressão média em A2) = 2,1 
kgf/cm2 (peso específico da água) = 1.000 kgf/m3, V = 
(volume entre A1 e A2) = 5 m3 e Q = 1m3/s. 
 
p1 = 2 kgf/cm2 = 20.000 kgf/ m2 
p2 = 2,1 kgf/cm2 = 21.000 kgf/ m2 
- Eq. da Quantidade de Movimento: 
  11111 ..)).(.( vQAvvAdvvF yy   
 (I) 
  22222 ... vQAvvAdvvF xx   
 (II) 
- Forças externas: 
yy RPApF  11 (III) 
xx RApF  22 (IV) 
Hidrodinâmica 3-9
 (I) = (III) 
yRpApVQ  1111.. ; m/s 0,10,1
0,1
1
1
1  A
Qv 
000.10,50,1000.200,10,1
81,9
000.1.. 1111  PApVQRy  = 102 + 20.000 + 5.000 
Ry = 25.102 kgf 
 (II) = (IV) 
.Q2.v2 = -p2.A2 – Rx 
51000.425,00,1
81,9
000.10,2000.21.. 2222  VQApRx  
Rx = - 42.051 kgf 
2222 102.25)051.42(  yx RRR  R = 48.973 kgf 
 
3.4 A bifurcação representada na figura tem seus eixos situados no plano horizontal e a 
água escoa no sentido indicado. Admitindo que o escoamento seja permanente e 
uniforme (propriedades constantes nas seções), determinar o valor da força F, 
exercida pelo fluido no bloco de ancoragem da bifurcação. 
 Dados: 
 seção 1: 
  = 1000Kg/m3 
 Q1 = 2,0 m3/s 
 D1 = 1,0 m 
 p1 = 12.000 Kgf/m2 
 seção 2: 
 Q2 = 1,0 m3/s 
 D2 = 0,7 m 
 p2 = 10.000 Kgf/m2 
 
  º45cos...2 22211 AvvAvAdvVF
SC
xy   
 
RApApFy 
0
2211 45cos2 
-.v1.Q1 + 2.v2.Q2cos45 = p1A1 – 2p2.A2.cos45 – R 
R = p1A1 – 2p2.A2.cos45 + .v1.Q1 - 2.v2.Q2cos45 
sm
A
QvmxA /55,2
785,0
0,2;785,0
4
0,1
1
1
1
2
2
1 
 
sm
A
QvmxA /60,2
385,0
0,1;385,0
4
7,0
2
2
2
2
2
2 
 
R = 12.000 x 0,785 – 2 x 10.000 x 0,385 x 0,707 
+1.000 x 2,55 x 2,0 – 2 x 1.000 x 2,60 x 1,0 x 0,707 
Hidrodinâmica 3-10
R = 9.420 – 5.444 + 5.100 – 3.676 
R = 5.400 kgf 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
E3.1 No esquema da figura sabendo-se que a pressão no ponto a vale 2 bar, pede-se 
determinar a velocidade do jato no ponto B. Desprezar o atrito do fluido no interior 
do tubo e adotar g = 9,8 m/s2. 
 Dados: pA = 2 bar 
 g = 9,8 m/s2 
 1 bar = 105 Pa 
 Pede-se: vB = ? 
 
 
 
 
E3.2 Determinar a vazão Q (m3/s) que escoa em regime permanente através do bocal 
convergente onde ocorre uma perda de carga de 3 m.c.a. O fluido em escoamento é 
água com  = 1000 kg/m3. 
 São dados: 
 D1 = 15,2 cm 
 D2 = 7,6 cm 
 p1 = 2 bar 
 p2 = patm = 0 
 g = 9,8 m/s2 
 1 bar = 105 N/m2 
E3.3 Tem-se água que flui em regime permanente para cima em 
um cano vertical de 01 m de diâmetro e através de um bocal 
de 0,05 m de diâmetro, sendo descarregada para a atmosfera 
(ver figura em anexo). A velocidade da corrente na saída do 
bocal deve ser de 20 m/s. Calcular a pressão requerida na 
seção 1, supondo escoamento livre de fricção (utilizar SI). 
água = 9.810 N/m3 
 Resp.: p1 = 226,71 kN 
E3.4 Água flui em escoamento permanente através do joelho 
redutor a 90, como mostrado na figura. Na entrada para o 
joelho, a pressão efetiva é 120 kPa e a área da seção 
transversal é de 0,01 m2. Na saída, a área da seção 
transversal é de 0,0025 m2 e a velocidade, de 16 m/s. A 
pressão na saída é atmosférica. Determinar a força 
Hidrodinâmica 3-11
requerida para manter o joelho em posição. 
 Resp.: Rx = 1.360 N ; Ry = -640 N 
E3.5 Um jato de água ( = 1.000 kg/m3) com 
velocidade v = 30 m/s é desviado de 60 por 
um concha, conforme indicado na figura. A 
área do jato é A = 10 cm2. Determinar a 
força que o jato aplica sobre a concha. 
 Rx = 450 kgf ; Ry = 779 kgf ; R = 900 kgf