Lista de exercícios métodos da bisseção, Newton e Ponto fixo

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Universidade Federal do Rio Grande
Campus Rio Grande
Curso de Engenharia
Disciplina de Cálculo Numérico Computacional - 01283
Prof. Igor Oliveira Monteiro
Primeira lista de Cálculo Numérico Computacional
Soluções de equações em uma variável – Método da Bissecção, Ponto fixo e Newton 
12 exercícios – 28/03/2018 – Entrega em 3 de abril pelo e-mail igor.monteiro@furg.br
Observação: a lista deve ser feita individualmente e entregue em pdf (preferencialmente em
formato latex). Nela deve constar o detalhamento dos cálculos e os códigos utilizados.
Método da bissecção
1. Utilize o método da bissecção para determinar uma raiz de f (x)=√x−cos (x) no intervalo
[0,1].
2. Utilize o método da bissecção para determinar as soluções com precisão de 10−2 para
x4−2 x3−4 x2+4 x+4=0 em cada intervalo:
a) [−2,−1] b) [0,2] c) [2,3 ] d) [−1,0]
3. a) Esboçe os gráficos de y=x e y=2 sen (x ) .
b) Utilize o método da bissecção para determinar uma aproximação com precisão de 10−5 do
primeiro valor positivo de x com x=2 sen(x) .
4. Determine uma aproximação de √3 correta até 10−4 , utilizando o método da bissecção.
Método do ponto fixo
5. Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto
fixo em p precisamente quando f (p)=0 , onde f (x)=x4+2x2−x−3 .
a) g1(x)=(3+x−2x2)1 /4 b) g2(x)=( x+3−x42 )
1/2
c) g3(x)=( x+3x2+2 )
1/2
d) g4(x )=
3 x4+2x2+3
4 x3+4 x−1
6. Se possível, efetue 6 iterações em cada função g do exercício acima com valor inicial
p0=1 . Qual é a função que você acredita que vai fornecer a melhor aproximação.
7. Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de
10−4 para x4−3 x2−3=0 em [1,2]. Utilize p0=1 .
8. Utilize o teorema do ponto fixo para mostrar que g(x )=π+0,5 sen(x /2) tem um único
ponto fixo no intervalo [0,2π] . Aplique a iteração de ponto fixo para encontrar uma
aproximação do ponto fixo que tenha a precisão de 10−4 .
Método de Newton
9. Seja f (x)=x2−6 . Utilize o método de Newton com p0=1 para determinar uma raiz de
f com precisão de 10−4 .
10. Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10−4 para os
problemas a seguir.
a) x3−2x2−5=0 em [1,4] b) x3+3 x2−1=0 em [-3.-2]
c) x−cos (x)=0 em [0,π/2] d) x−0,8−0,2 sen(x)=0 em [0,π/2]
11. A equação x2−10cos(x )=0 tem duas soluções. Utilize o método de Newton para
encontrar uma aproximação das soluções com precisão de 10−5 , com os valores p0 a
seguir:
a) p0=100 b) p0=−100 c) p0=−25 d) p0=25
12. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com erro de 10−4 do valor
de x que produza o ponto no gráfico de y=x2 mais próximo de (1,0).