Prévia do material em texto

UA'S - Cálculo Numérico
Cálculo Numérico (Faculdade de Minas)
Digitalizar para abrir em Studocu
A Studocu não é patrocinada ou endossada por nenhuma faculdade ou universidade
UA'S - Cálculo Numérico
Cálculo Numérico (Faculdade de Minas)
Digitalizar para abrir em Studocu
A Studocu não é patrocinada ou endossada por nenhuma faculdade ou universidade
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
https://www.studocu.com/pt-br/document/faculdade-de-minas/calculo-numerico/uas-calculo-numerico/71510362?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
https://www.studocu.com/pt-br/course/faculdade-de-minas/calculo-numerico/6500834?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
https://www.studocu.com/pt-br/document/faculdade-de-minas/calculo-numerico/uas-calculo-numerico/71510362?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
https://www.studocu.com/pt-br/course/faculdade-de-minas/calculo-numerico/6500834?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
CÁLCULO NUMÉRICO
Respostas UA’S
Aula 01 – Introdução ao cálculo numérico e ao erro computacional
1. Os métodos numéricos são procedimentos que formulam os problemas 
matemáticos de forma que sejam resolvidos utilizando operações aritméticas, além 
de serem capazes de trabalhar com um grande volume de equações, não 
linearidades e geometrias complexas, que são inviáveis de serem resolvidas de 
forma analítica. Em relação à definição e às características dos métodos numéricos, 
analise as afirmações a seguir:
I – Os métodos numéricos compreendem a análise dos métodos que resolvem
problemas matemáticos por meio de operações aritméticas.
II – Os métodos numéricos utilizam computadores para obterem as respostas
numéricas dos problemas.
III – Na etapa de programação da solução numérica é formulada a solução por meio
do modelo matemático do problema.
IV – Na etapa de definição do problema a ser resolvido, são consideradas as
análises dos problemas similares em que ocorreu erro, para que não sejam gerados
novos erros para o problema.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a resposta correta:
A. Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
I – Afirmativa correta, pois os métodos numéricos são procedimentos que formulam os
problemas matemáticos de forma que sejam resolvidos utilizando operações aritméticas.
II – Afirmativa correta, pois os métodos numéricos são aplicados a computadores que
realizam cálculos complexos e repetitivos em um pequeno espaço de tempo, gerando
soluções precisas, mesmo que não sejam exatas.
III – Afirmativa incorreta, pois na etapa de programação da solução numérica são definidos
os métodos numéricos que serão utilizados por meio de algoritmos.
IV – Afirmativa incorreta, pois na etapa de definição do problema a ser resolvido são
listadas as variáveis a serem utilizadas e as restrições aplicadas ao problema.
Aula 02 – Método da Bisseção
1. 
Dada função r(s) = s³ + s – 1, no intervalo [0,2], qual é o número c que satisfaz o
teorema do valor médio?
C. 2/raiz de 3 
2. 
A equação 2t – 1 – sen(t) = 0 tem quantas raízes reais?
D. Uma raiz real.
3. Seja t uma função de domínio no conjunto dos números reais e contínua no 
intervalo [-2, 2] com t(-2) = 1 e t(2) = 3, indique qual das relações define a função s, 
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
de domínio no conjunto dos números reais, para qual o teorema de Bolzano 
assegura a existência de pelo menos um raiz da função no intervalo [-2, 2].
A. s(u) = u + t(u)
4. Dado o intervalo fechado [3, 4] e o erro estimado de ξ ≤ 0,01, assinale o número de
iterações para determinar a raiz da função s(t) = t³ - 2 pelo método da bisseção:
E. 7
5. Dado o intervalo fechado [-1,0] com erro ξ = 0,13 e a função t(u) = t³ -3t -1, 
selecione qual o intervalo que satisfaz o critério de parada de iteração b – a ≤ ξ pelo 
método da bisseção:
B. [-0,375; -0,25]
Aula 3 – Raízes de funções: bisseção, falsa posição e newton
1. Determine os intervalos que contêm as raízes da função
f(x)=x3-9x+3:
C. [-4,-3], [0,1] e [2,3]
Podemos mostrar em uma tabela, que a função tem extremos no infinito [-∞,+∞]. Portanto,
para reduzir os cálculos, vamos montar uma tabela com os possíveis valores dos
gabaritos:
x -∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +∞
f(x) - -77 -25 3 1311 3 -5 -7 33183+
Observe que as quebras de sinais, pelo Teorema de Bolzano, ocorrem nos intervalos [-4,-
3], [0,1] e [2,3]. Como sabemos que uma função de 3º grau tem, no máximo, 3 raízes,
então elas estão nos intervalos determinados.
2. Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a
aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando o método de 
Newton. Utilize a função f(x)=x3-5.
E. 1,71
f(x)=x3−5f'(x)=3x2f''(x)=6x
Sabemos que 13= 1 e que 23= 8, então a raiz cúbica de 5 está entre 1 e 2. Vamos utilizar
este intervalo inicial [1,2] e determinar o melhor extremo:
f(1)=−4f(2)=3f''(1)=6f''(2)=12
Como f(2) e f''(2) tem o mesmo sinal, x0 = 2 é o melhor extremo.
xn=xn−1−f(xn)f'(xn)x1=2−f(2)f'(2)=2−312=1,75x2=1,75−f(1,75)f'(1,75)=1,75−0,35939,1875=
1,71
Resposta: A raiz desejada é x = 1,71
3. Encontre a raiz da função f(x)=x3-9x+3, utilizando o método da Bissecção e tendo 
como intervalo inicial [0,1]. Utilize duas casas decimais para a aproximação.
A. a) 0,33
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
4. Utilizando o método de Newton, determine, após três iterações, a raiz da função 
f(x)=x3-x+1, contida no intervalo [-2, -1], com uma casa decimal por arredondamento.
D. d) -1,3
5.Considere a função f(x)=x2+x-6, e determine a raiz dela pelo método de Newton, 
tomando como x0 = 1,5.
C. c) 2
Aula 4 – Sistemas Lineares
1. Considere o seguinte conjunto de equações nas variáveis x, ye z: qual equação é 
linear?
D. A equação 4.
2. 2x – 3y = -1 ; x + 2y = 10
A. x = 4 e y = 3.
3. Obtenha a solução do seguinte sistema de equações lineares do tipo 2 x 2:
2x – y = 3 ; x + 3y = 5
A. x = 2 e y = 1.
4. Encontre a solução do sistema de equações lineares a seguir.
2x + y + 3z = 8 ; 4x + 2y + 2z = 4 ; 2x + 5y + 3z = -12
C. x = 2, y = –5 e z = 3.
5. Indique quais são os valores das variáveis x, y e z que resolvem o seguinte 
sistema de equações lineares: x+ y + 2z = 9 ; 3z – 11z = -27; 2y – 7z = - 17
B. x = 1, y = 2 e z = 3.
Aula 5 – Regressão por quadrados mínimos
1. No laboratório de Física Experimental de uma linha de produção de automóveis, 
um Engenheiro Mecânico está testando o tempo de reação do computador de bordo 
para indicar se está faltando combustível a partir da corrente elétrica fornecida ao 
sistema. O quadro abaixo indica os valores experimentais encontrados:
E. w(A) = 0,23A + 0,771
2. Qual o resíduo de aproximação de um polinômio de segundo grau que minimiza a 
aproximação?
B. 0,00360
3. Dado o polinômio aproximador de terceiro grau w(u) = 1,379u³ – 0,353u² + 0,061u +
1,012 e o quadro abaixo: Qual o resíduo dessa aproximação por mínimos 
quadrados?
B. 7,911 × 10–4
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
4. Para um mesmo conjuntode dados tabelados, foram encontrados os seguintes
resíduos:
I) 17,89 × 10–4(ajuste de dados por uma reta)
II) 4,756 × 10–4(ajuste de dados por uma parábola)
III) 0,829 × 10–4(ajuste de dados por um polinômio de grau 3)
A partir das informações apresentadas, é correto afirmar que:
C. o resíduo que produziu um melhor ajuste foi III.
5. Dada a aproximação w(u) = a1ln (u) + a2 e os dados tabelados no quadro abaixo:
B. a1 = 5,473 e a2 = 0,989
Aula 6 – Interpolação
1. Dada a função t(u) = cos (u) com os valores tabelados de u0 = 0 e u1 = 0,6. Qual é a 
função de interpolação do primeiro grau para aproximar t(0,45) e o erro absoluto 
(considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente, 
utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o polinômio 
interpolador?
E. p1(u) = 1 – 0,29111u e 0,31439.
2. Dada a função r(s) = cos (s) com os valores tabelados de s0 = 0, s1 = 0,6 e s2 = 
0,9, qual é a função de interpolação do segundo grau para aproximar s(0,45) e o erro 
absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), 
respectivamente, utilizando o método de resolução de sistema linear para obter o 
polinômio interpolador?
C. p2(s) = 1 – 0,03246s – 0,43109s² e 0,00234.
3. Dada a função w(t)= sen(πt) com os valores tabelados de t0 = 1,25 e t1 = 1,6, qual é 
a função de interpolação do primeiro grau, pelo método de Lagrange, para 
aproximar w(1,4) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por 
truncamento), respectivamente?
A. p1(t) = 0,16415 – 0,697t e 0,1394.
4. Dado o seguinte quadro de diferenças divididas: Quais são os valores que estão
faltando, respectivamente?
A. w[u0] = 1, w[u1] = 3 e w[u0, u1] = 5.
5 Dada a função k(u) = eu, no intervalo [0,1], com pontos ui que são igualmente 
espaçados entre si e h sendo a distância, qual é o maior valor de h para que o erro 
da interpolação linear, em qualquer ponto de [0,1], seja ≤ 0,01 = E(u)? Considere 
esse valor com um arredondamento de cinco dígitos significativos pelo método do 
truncamento.
B. h ≥ 0,17155.
Aula 7 – Interpolação polinomial
1. Obtenha o polinômio interpolador de Lagrange para certa função f sabendo que 
f(-1) = 1; f(0) = -1; f(2) = 2 e f(3) = 2.
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
C. Pavimento é uma estrutura não perene, formada por camadas de diferentes materiais
compactados a partir do subleito.
O pavimento é adequado para atender estrutural e operacionalmente ao tráfego de
maneira durável e ao mínimo custo possível.
2. Considere a tabela a seguir.
Utilize o polinômio de Lagrange e calcule o valor de log 2,45.
A. 0,38916
3. Determine f(2), utilizando o polinômio de Newton, a partir de f(0) = 1; f(1) = 3 e f(3) 
= 55
C. 21
4. A respeito da interpolação polinomial de Lagrange, o que é correto afirmar?
D. É utilizada para a formulação de modelos matemáticos.
A interpolação polinomial de Lagrange é utilizada para a formulação de modelos
matemáticos, podendo ser usada para polinômios de 3.º grau, e, embora sirva para
calcularmos logaritmos, essa não é uma utilidade exclusiva. Além disso, é nas escolas de
Engenharia que a interpolação tem o seu maior uso, e, conforme ficou expresso no livro, a
interpolação ficou definida no século XVII, muitos séculos depois do fim da escola
pitagórica.
5. Uma determinada função f(x) mede a densidade (y) do óleo de um motor, a uma 
temperatura x. Utilize os polinômios de Lagrange de primeira e segunda ordem para 
avaliar a densidade do óleo do motor a uma temperatura de 15ºC, baseado nos 
dados previamente apurados.
x1 = 0 f (x1) = 3,85
x2 = 20 f (x2) = 0,800
x3 = 40 f (x3) = 0,212
D. 1.ª forma: 1,5625; 2.ª forma: 1,33169.
Aula 8 – Otimização
1. Utilize a busca da razão áurea a fim de determinar uma aproximação para o 
máximo da função f(x) = 3x2 - 2exno intervalo xi = 1 exs = 4. Faça 4 iterações.
D. f (1,4721) = -2,2155
2. Utilize a interpolação quadrática para determinar o máximo da função f(x) = 
3x2 - 2excom aproximações iniciais x0 = 1, x1 = 2 e x2 = 3. Faça 7 iterações.
A. f (1,5121 )= -2,2132
3. Utilize o método de Newton para determinar o máximo da função f(x) = 
3 x 2 - 2 e x com aproximação inicial x 0 = 2. Faça 4 iterações.
B. f(1,5121) = -2,2132
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
4. Um fazendeiro tem 1.200m de cerca e quer cercar certo terreno retangular que 
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são 
as dimensões do campo com maior área? Utilize o método de Newton, empregando 
qualquer condição inicial x0, tal que 100de A para B, passando por
C, o percurso será de 450 km. Para ir de B para C, passando por A, a distância será
de 600km. Determine quantos quilômetros essa pessoa vai percorrer ao se deslocar
de A para B, sem passar por C.
E. 
350km
4. Determine a solução do sistema
C. 
x = 1; y = 1; z = 1.
5. 
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
No Dia das Mães, dois amigos decidiram comprar um buquê de flores com rosas e
tulipas para oferecer às respectivas mães. O primeiro garoto foi a uma floricultura
que cobrava R$ 2,50 por cada flor, independentemente da espécie, e gastou R$
25,00. Já o segundo rapaz efetuou a compra em outra loja especializada, na qual o
valor de cada rosa era R$ 2,00 e o das tulipas, R$ 3,00 a unidade, gastando R$ 24,00.
Os dois amigos compraram buquês com a mesma quantidade de rosas e tulipas.
Indique quantas flores havia em cada buquê.
B. 
10
Aula 12 – Modelagem Matemática e Métodos Numéricos: erros e sistemas de Ponto
Flutuante.
1. 
Dado o número π=3,1415926535…, qual a sua representação com parte inteira igual
a zero?
C. 
c) 0,31415926535.10
π = 3,1415926535…
Quando utilizamos a notação em ponto flutuante, a parte inteira é, por padrão, zero. Para
isso, é necessário, muitas vezes, deslocar a vírgula. Porém, para que o número não seja
alterado, iremos demonstrar que deslocamento foi esse, fazendo o produto pela base
elevada a um determinado expoente. No nosso caso, π está representado na base 10
original. Dessa forma, na notação de ponto flutuante, teríamos 0,31415926535. Para que
esse número não deixe de representar π, é preciso que a vírgula seja deslocada para a
direita novamente e, nesse caso, faríamos uma multiplicação por 101 ou simplesmente 10.
Obs: quando deslocarmos a vírgula “arbitrariamente” em um número, faremos: se o
deslocamento for à esquerda, o expoente será positivo tantas casas quanto for o
deslocamento; se for à direita, será negativo tantas casas quanto for o expoente.
2. 
Ainda sobre o número π=3,1415926535…, qual o seu arredondamento para 7 dígitos
após a vírgula?
D. 
d) 3,1415927
Os sete dígitos após a vírgula são 1415926. Como o primeiro dígito após a mantissa é 5,
devemos avaliar os dígitos que se seguem.
Nesse caso, vale a regra: se o primeiro algarismo após a mantissa for 5 e seguido em
qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no último
algarismo da mantissa.
Portanto, temos 3,1415927.
3. 
Em uma medição de terreno, um engenheiro civil fez as seguintes medidas:
comprimento = 1234cm e largura = 848cm. Levando em conta que uma determinada
máquina trabalha com mantissa t=3 por arredondamento em ponto flutuante,
determine a área desse terreno devolvida ao usuário em m²:
A. 
a) 104 m²
Primeiramente faremos a inserção dos dados na máquina, e teremos:
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
1234cm  0,1234.104 cm, mas como a mantissa da máquina é t=3, e o primeiro dígito
após a mantissa é 4, o arredondamento conserva o último algarismo, logo 0,123.104 
848cm  0,848.10³ cm
Fazendo o produto para obter a área, temos 0,104304.107, que novamente pelo tamanho e
arredondamento da mantissa fica 0,104.107cm² , que convertido em m² nos dá 0,104.10³
ou 104m².
Obs: veja que, devido à mantissa pequena e aos arredondamentos, muito se perdeu. O
mesmo terreno medido sem arredondamentos e redução teria como resultado: 12,34m x
8,48m = 104,6432m².
4. 
Qual o erro absoluto do número 60,3451, tendo sido truncado com mantissa t=3?
E. 
e) 0,451.10(-1)
x = 0,603451.102
\'x = 0,603.102
EAx = x - \'x = 0,000451.102 = 0,451.102.10-3 = 0,451.10-1
5. 
Que representação o número (59)10 possui na base binária?
B. 
b) 111011
59:2=29 resto 1 29:2=14 resto 1 14:2=7 resto 0 7:2=3 resto 1 3:2=1 resto 1. Os restos lidos
de baixo para cima, e considerando o último quociente, temos 111011.
Aula 13 – Método da Secante
1. 
Calcular a raiz da função f(x) = x² + x - 6, sendo x0 = 1,5 e x1 = 1,7 e o erro £ 10-2.
B. 
2,00000 é a raiz procurada.
2. 
Considere a função contínua f(x) = x3 - 9x + 3. Aplique o método da secante para
encontrar uma raiz com precisão melhor do que 5 x 10-4(ε = 0.0005), usando os
pontos x0 = 0 e x1 = 1 como chute inicial.
A. 
x = 0,33763 e f(x) = -0,22220 x 10-³ ou -2,2 x 10-4
3. 
Encontre as raízes de f(x) = cos(x) − x. Considere que a raiz está entre os valores
com x0 = 0,7 e x1 = 0,8 e o critério de parada 10, e aproximação inicial x0=(1, 1, 1) :
E. 
x 1 =1,739; x 2 =1,99; x 3 =-0,249
2. Resolva o sistema linear pelo método iterativo de Jacobi com ε≤10-2 ou K>10, e
aproximação inicial x0=(1, 0, -1).
A. 
x 1 =0,215; x 2 =-0,414; x 3 =-0,070 
3. Determine a solução do sistema pelo método de Jacobi com ε≤10-3 ou K>12, e
aproximação inicial x0=(0,0).
C. 
x 1 = 0,798 ; x 2 = - 0,598
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
4. Considere o sistema massa/mola a seguir:
No exemplo em questão, o sistema linear que relaciona o deslocamento x1, x2 e x3,
com o peso P1, P2 e P3 de cada massa e a constante k1, k2 e k3 de cada mola é:
Determine o deslocamento de cada uma das massas considerando o sistema
com m1=3 kg, m2=4 kg, m3=3,5 kg, k1=15 kg/s2, k2=20 kg/s2 e k3=23 kg/s2. Considere a
aceleração da gravidade g=10 m/s2, aproximação inicial x(0) =(6, 6, 6)e critérios de
parada com ε ≤ 10-2 ou k >10.
B. 
x 1 =6,5; x 2 =8,3; x 3 =8,7
5. Determine a solução do sistema linear pelo método iterativo de Jacobi com ε ≤10-
2 ou k >10 , e aproximação inicial x0 =(0, 0, 0) .
E. 
x 1 =0,779; x 2 =0,511; x 3 =-1,593
Aula 17 – Sistemas Lineares: Método Iterativo de Gauss-Seidel
1. Em um sistema linear Ax = b, a matriz A é dada por:
Qual é a melhor maneira de alterar essa matriz para que seja possível utilizar o 
método de Gauss-Seidel?
C. 
2. Determine a solução do sistema linear a seguir pelo método iterativo de Gauss-
Seidel, com ε ≤ 10 -2 ou k > 10 e aproximação inicial x(0)
 = (1, 1, 1).
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
A. 
x1= 0,613; x2= 0,863; x3= 0,023.
3. Resolva o sistema linear a seguir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, 
com ε ≤ 10 -2 ou k > 10 e aproximação inicial x(0)
 = (1, 0, 1).
D. 
x1 = 0,608; x2 = –0,473; x3= –0,361.
4. Determine a solução do sistema a seguir pelo método de Gauss-Seidel, com 
aproximação inicial x(0) = (0, 0) e critérios de parada ε ≤ 10 -2 ou k > 12.
C. 
x1 = 0,363; x2 = –0,272.
5. Determine a solução do sistema a seguir pelo método de Gauss-Seidel, com 
aproximação inicial x(0) = (0, 0) e critérios de parada ε ≤ 10 -3 ou k > 10.
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
E. 
x1 = –0,080; x2 = –0,360.
Aula 18 – Sistemas Lineares: Decomposição LU
1. Decomponha a matriz a seguir na forma A = LU:
C. 
2. Resolva o sistema pelo método de decomposição LU com três algarismos
significativos:
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
D. 
x1 = 0,487; x2 = 0,219; x3 = 0,683
3. Resolva o sistema pelo método de decomposição LU com pivotação com três
algarismos significativos:
E. 
x1 = 0,333; x2 = -0,333; x3 = -0,333
4. Determine a inversa da matriz A, utilizando a decomposição LU:
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
A.
Um engenheiro civil precisa de 5.200m3 de areia, 6.300m3 de brita e 6.100m3 de
cascalho para realizar uma construção. Existem três minas diferentes, de modo que
são solicitados o material e a composição de extração de cada mina.
B. 
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
Mina 1: 2.154m3; mina 2: 8.525m3, Mina 3: 7289m3
Aula 19 – Modelagem Matemática e Métodos Numéricos: erros e sistemas de Ponto
Flutuante
1. 
O software TKD577 converte números decimais em binários. Foi realizado um teste
com os números (205)10 e (89)10. Quais seriam os números binários que devem
aparecer na tela do computador, respectivamente, para que o software esteja
funcionando corretamente?
C. 
11001101 e 1011001.
2. 
A representação de um número real em um computador é realizada pela aritmética
do ponto flutuante. Dados os números:
I – (49,785)10
II – (10110011)2
III – (11001)2
Indique como seriam as representações desses números no computador
respectivamente?
A. 
I – 0,49785 × 102; II – 0,10110011 × 21000; III – 0,11001 × 2101
3. A tabela a seguir descreve os sistemas de representação de quatro máquinas.
Sabendo que o número de casas decimais exatas da mantissa é dado pelo
último bit da mantissa expresso pela relação:
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
D. 
a precisão da mantissa na máquina Plaza TI 920 é da ordem 8.
4. 
O cálculo da área de uma circunferência de raio r se caracteriza como exemplo de
problema físico que, se calculado por métodos numéricos, pode apresentar
problemas na fase de resolução, pois o número π é irracional e infinito. Na verdade,
calculamos uma aproximação desse valor pela modelagem matemática da equação:
Acircunferência = π × r2.
Ao adotar πa = 3,14 e πv = 3,141592 como valor aproximado e valor verdadeiro para o
número π, indique qual seria o erro relativo da área da circunferência de raio 10
metros, levando em consideração o método de truncamento para três algarismos
significativos?
D. 
5,067 × 10-4
5. 
Considerando uma máquina de 4 dígitos significativos (q = 4), indique como ficaria
representado o número (12,357)10 por arredondamento e truncamento
respectivamente?
D. 
0,1236 × 102 e 0,1235 × 102
Aula 20 – Método de Newton-Raphson
1. 
Utilize o método de Newton para encontrar uma estimativa para a raiz positiva da
função f(x) = ex – 2x – 1 com aproximação inicial x0 = 1 e ε = 0,1.
C. 
A aproximação fornecida pelo método de Newton é de 1,273957.
2. 
Determine o zero positivo da função f(x) = x2 – cos x, utilizando o método de Newton-
Raphson com ε =10–3 ou 4 iterações no máximo e intervalo (0,5; 1).
B. 
O zero da função para ε = 0,001 é 0,824.
3. 
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
Use o método de Newton com o valor inicial especificado x1para encontrar x3, a
terceira aproximação da raiz da equação dada por x3 – x2 – 1 = 0. Considere a
iteração inicial x1 = 1 (sua resposta deve conter quatro casas decimais).
A. 
x3 = 1,6250
4. Calcule a raiz da função f(x) = x − cos(x). Comece o cálculo com x1 = 1.
D. 
A raiz da função é 0,739085133215161.
5. Dada f(x) = 1/x + x2 – 5, determine o zero dessa função pelo método de Newton-
Raphson para = 0,001ɛ no intervalo de 1 a 3 de x. Considere o chute inicial x0 = 2.
D. 
x2 = 2,1284 é o zero da função.
Aula 21 – Método da Falsa Posição
1. 
Dada a função t(u) = - cos(u) – u³, com raiz no intervalo fechado [-1, 0], encontre uma
aproximação linear para a raiz de t com precisão de 0,001.
D. 
- 0,8654
2. 
Dada a função s(r) = 2r cos(2r) – (r – 2)², com raiz no intervalo fechado [2, 3],
encontre uma aproximação linear para a raiz de s com precisão de 0,00001.
A. 
2,370686
3. A tabela a seguir descreve o número de iterações da função f(x) = sen(x) – e-x no
intervalo fechado [3, 4] com ϵ = 10-5. Indique o critério de parada atendido e o seu
valor respectivamente.
D. 
|f(ak)| e 2 ∙ 10-8
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
4. As tabelas 1 e 2 determinam a aproximação linear pelo método da secante e da
falsa posição da função g(y) = cos y – y no intervalo fechado [0.5, π/4]. Indique a
diferença entre a iteração 4 do método da secante e a média aritmética das iterações
4 e 5 do método da falsa posição.
A. 
1,5215 ∙ 10-7
5. Considerando a função g(z) = z³ - 9z + 3, com raiz no intervalo fechado [0, 1] e
precisão 0,0005 e a tabela de iterações pelo método da falsa posição a seguir,
indique o critério de parada alcançado e seu valor respectivamente.
C. 
|g(z)| e 2,25883909 ∙ 10-4
Aula 22 – Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss, Sistemas Lineares: Eliminação de
Gauss com pivotamento, Decomposição LU e Decomposição LU com pivotamento.
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
1. 
Hoje é dia de S. Valentim. Dois rapazes pretendem comprar um ramo de flores, com
rosas e tulipas, para oferecer às respectivas namoradas. Considere x1 o número de
rosas e x2 o número de tulipas de cada ramo. O primeiro rapaz vai comprar o ramo
da florista "Mil Pétalas", que 2 reais cobra por cada rosa e 2 reais por cada tulipa,
gastando 10 reais. O segundo decide comprar o ramo na florista "Tudo em flor", que
cobra 2 reais por cada rosa e 3 reais por cada tulipa, gastando 13 reais. Qual a
solução para o sistema? 
Resolva utilizando o Método de Gausscom Pivotamento.
x1 = 2ex2 = 3
A. 
a) x1=2 e x2 = 3
2. 
Determine a solução do sistema linear.
D. 
d)
3. 
No estudo das operações com matrizes e seus determinantes, existem
procedimentos que asseguram a manutenção dos resultados, outros, apesar de
alterar determinados pontos, não interferem nas equações resultantes, por fim,
alguns podem ser desastrosos. Ao mudar as posições das linhas em uma matriz, o
que acontece com seu determinante?
C. 
c) Torna-se o simétrico.
4. 
Considere o seguinte sistema de equações para determinar as concentrações c 1, c2 e
c3 (g/m3), numa série de 3 reatores como função da quantidade de massa à entrada
de cada reator (termo independente do sistema em g):
Desenvolvendo o método de Fatoração LU, como fica a matriz L no sistema dado?
C. 
c)
5. 
Determine a solução do sistema linear.
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
B. 
b) x1=1, x2=1 e x3=1
Aula 23 – Sistemas Lineares, Método Iterativo de Jacobi
1. 
Encontre a solução do sistema Ax = b, utilizando o Método Iterativo de Jacobi até a
1ª iteração, utilizando x0 = [0, 0, 0]t
10x1 + 3x2 + x3 = 14
5x1 – 10x2 + 3x3 = - 5
x1 + 3x2 + 10x3 = 14
B. 
[1,4; 0,5; 1,4].
2. 
Determine a primeira iteração do sistema, pelo Método Iterativo de Jacobi, sendo a
inicial x0 = [0, 0, 0]t:
3x1 + x2 + x3 = 7
x1 + 4x2 + 2x3 = 4
0x1 + 2x2 + 5x3 = 5
B. 
[7/3; 1; 1]
3. 
Considerando o Método Iterativo de Jacobi, selecione a alternativa correta:
D. 
A diagonal principal de uma matriz solução de um Sistema Linear deve ter números que
sejam maiores que a soma dos outros elementos da mesma linha.
4. Utilizando os critérios de convergência, modifique a Matriz a seguir, para que o
método iterativo de Jacobi possa ser usado na solução do sistema linear.
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
C. 
Trocar a posição da 1ª coluna com a posição da 2ª coluna.
5. 
Qual a alternativa CORRETA que define o critério de parada do Método Iterativo de
Jacobi?
E. 
O erro calculado na iteração é menor do que o erro estipulado como aceitável.
Aula 24 – Integração Numérica, regra do trapézio simples e Regra do trapézio composta
1. Você está prestando serviços para uma Agência Espacial e precisa resolver com
urgência um problema de trajetória de um modulo espacial em um intervalo dado pela
integral:
Calcule o resultado aproximado pela regra do trapézio simples.
C. 
1,906854
2. 
Algumas funções têm primitivas difíceis de serem encontradas, especialmente as
que envolvem trigonometria e funções exponenciais juntas. Quando é possível lidar
com aproximações, podemos utilizar a regra do trapézio para resolver tais questões,
colocando um número de intervalos que consideremos satisfatório para a
aproximação. Observe a função:
Agora resolva essa função pela regra do trapézio composta, utilizando 6 intervalos.
E. 
0,678191
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico
3. 
Métodos numéricos para solução de integrais são essenciais se você obteve dados
por meio de observações, e não há uma função preestabelecida. Imagine que você
fez uma observação em laboratório e obteve os seguintes dados
Pontos x f(x)
0 0 1
1 0,1 7
2 0,2 4
3 0,3 3
4 0,4 5
5 0,5 2
Utilizando a regra do trapézio, calcule a integral.
C. 
2,05
4. 
O Barão Ariosvaldo de Bragança Orleans Pessanha Machado morreu e deixou uma
grande fortuna para seus herdeiros: metade para seu cachorro yorkshire e a outra
metade para a Associação dos Matemáticos Falidos. O Barão era matemático
amador e gostava de brincadeiras, tendo passado a parte final de sua vida criando
“memes” para a Internet e fazendo montagens gaiatas para enviar por Whatsapp.
Lamentavelmente, certa vez, criou uma piada tão engraçada, que o fez rir muito e
engasgar com as bolachas que comia junto com seu chá inglês, causando-lhe a
morte. As instruções do seu testamento, redigido em aramaico, informavam que a
relação dos seus bens (em diversas moedas, terras em vários países, ações das
maiores empresas do mundo, joias, etc.) estavam guardadas em um cofre, cujo
segredo era a solução numérica de sete elementos da integral:
Ajude o responsável pelo inventário, o respeitado advogado Legalino Dura Lex, a
resolver o problema.
D. 
15,225521
5. 
O departamento de projetos de sua empresa enviou a você uma série de cálculos
para serem feitos, a fim de poder construir as máquinas necessárias para uma nova
linha de produção. Exausto, após passar o dia calculando, você depara-se com mais
uma integral, que na hora acha difícil de resolver por método direto e resolve fazer o
cálculo pela regra do trapézio, dividindo a função em 8 subintervalos. A integral é:
Qual é o resultado encontrado?
E. 
0,117166
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
Baixado por ELIEL GERALDO (eliel10kta@gmail.com)
lOMoARcPSD|52315592
https://www.studocu.com/pt-br?utm_campaign=shared-document&utm_source=studocu-document&utm_medium=social_sharing&utm_content=uas-calculo-numerico