215594780-1D-Exercicio-Computacional-Para-Prova

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PTC 2307: Exercício computacional para fazer em casa e trazer resultados para a prova 
O objetivo desse exercício é familiarizar os alunos com ferramentas computacionais que são muito úteis 
para o estudo de sistemas dinâmicos complicados. Utilizar Matlab, opção Simulink ou Scilab, opção xcos, 
vide vídeos de apoio no Moodle do Stoa. 
Parte A 
Considere o modelo predador-presa básico de Lotka e Volterra apresentado no Capítulo 1 e descrito pelo 
conjunto de equações 
���(�)
��
= ���(�) − ���(�)��(�) 
e 
���(�)
��
= −���(�) + ���(�)��(�) 
em que x1(t) representa a quantidade de presas (lebres, por exemplo) e x2(t) representa o número de 
predadores (onças, por exemplo), obviamente ambos não negativos. Deseja-se analisar o comportamento 
deste modelo. 
Passos e considerações preliminares 
(i) Obtenha um diagrama de simulação. 
(ii) Adote os valores � = 5, β=3, γ=4 e δ=2. 
(iii) Coloque 3 osciloscópios: 1 para monitorar x1(t), o outro para monitorar x2(t) e finalmente outro (que 
pode ter o nome XY Graph ou XY Plot, por exemplo) para visualizar um sinal (x2) como função de 
outro sinal (x1), em que o tempo fica implícito, como feito no estudo de figuras de Lissajous em 
disciplinas anteriores. 
(iv) Nas simulações, use um tempo final que garanta que os transitórios já ficaram bem pequenos. 
Com o diagrama implementado pede-se: 
A1) Faça 3 simulações, para os seguintes pares de condições iniciais [x1(0) x2(0)]: 
[1,0 ; 1,0], [1,5 ; 1,5] e [2,0 ; 2,0] e imprima as figuras obtidas. Caso deseje, conecte blocos Out1 e Out2 
junto aos osciloscópios que monitoram x1(t) e x2(t), pois então, cada vez que você der um run, o simulador 
guarda na área de trabalho os respectivos sinais x1(t) e x2(t) facilitando qualquer análise ou gráfico que sejam 
necessários. Em função dos resultados x1(t) e x2(t) obtidos em cada caso: 
a: forneça uma descrição sucinta dos resultados para cada um dos 3 casos, 
b: determine as amplitudes pico a pico de cada sinal em cada caso, 
c: determine os atrasos entre x1(t) e x2(t) em cada caso 
d: verifique se as amplitudes pico a pico se mantiveram quando você passou de um conjunto de 
condições iniciais a outra. 
 
 
 
Parte B 
Um modelo predador-presa mais refinado é dado pelas seguintes equações: 
���(�)
��
= ���(�) − ���
�(�) −
��(�)��(�)
��(�) + �
 
���(�)
��
= ���(�) − �
��
�(�)
��(�)
+ 	�(�)		 
Passos e considerações preliminares 
(i) Obtenha um diagrama de simulação, adotando os valores � = 5, β=2, γ=3, δ=3 e θ=2 
(ii) Coloque 3 osciloscópios: 1 para monitorar x1(t), o outro para monitorar x2(t) e finalmente outro 
(que pode ter o nome XY Graph ou XY Plot, por exemplo) para visualizar um sinal (x2) como 
função de outro sinal (x1), em que o tempo fica implícito, como feito no estudo de figuras de 
Lissajous. 
(iii) Nas simulações, use um tempo final que garanta que se atingiu um regime estacionário. 
 
Com o diagrama implementado pede-se: 
B1) Faça 3 simulações, para u(t)=0 e as seguintes condições iniciais [x1(0) x2(0)]: 
[1,0 ; 1,0], [0,05 ; 1,0] e [5,0 ; 2,0] e imprima as figuras obtidas e meça valores importantes. Caso deseje, 
conecte blocos Out1 e Out2 junto aos osciloscópios que monitoram x1(t) e x2(t), pois então, cada vez que 
você der um run, o simulador guarda na área de trabalho os respectivos sinais x1(t) e x2(t) facilitando 
qualquer análise ou gráfico que sejam necessários. 
a: forneça uma descrição sucinta do que você achou em cada um dos 3 casos, 
b: compare os resultados que foram encontrados nos 3 casos 
c: compare esses resultados com os obtidos no modelo mais simples predador-presa e comente 
B2) Partindo da condição inicial [5,0 ; 2,0] aplique u(t)=2, significando que agora você está permitindo uma 
taxa de caça constante do predador. Verifique o resultado e compare com o caso em que a condição inicial 
era a mesma mas u(t)=0, comentando. 
Observações: 
1) note que as variáveis tem que ser não negativas, então se em alguma simulação você obteve valores negativos, verifique se não 
há erros no seu diagrama de simulação ou se você não partiu de alguma condição inicial negativa. No modelo mais simples você 
pode partir de condições iniciais nulas (é fácil ver que o sistema não sai deste ponto de equilíbrio), mas no segundo modelo não se 
pode partir de valor nulo na variável x1 pois ela está em um denominador sem a soma de uma constante. 
2) Os dois sistemas são não lineares. Sua análise não é fácil como a de um sistema linear, podendo ser difícil prever 
matematicamente seus comportamentos a partir das equações que os descrevem. Algumas abordagens matemáticas podem ser 
encontradas em livros sobre sistemas dinâmicos não lineares, um exemplo sendo o livro de S. Strogatz “Nonlinear Dynamics and 
Chaos” Westview, 1994. Mas usando simulações, como sugerido nesses exercícios, podemos obter uma certa idéia dos 
comportamentos possíveis, bastando iniciar os sistemas em diferentes condições iniciais e verificar os resultados correspondentes. 
Se fosse o caso poderíamos também estudar como cada valor de parâmetro influencia os comportamentos do sistema. 
3) O modelo mais refinado está descrito em J.D. Murray, “Mathematical Biology, vol.1, 3rd Ed., Springer, 2002”